sistema homogêneo equações lineares sobre o campo
DEFINIÇÃO. O sistema fundamental de soluções do sistema de equações (1) é um sistema não vazio linearmente independente de suas soluções, cujo vão linear coincide com o conjunto de todas as soluções do sistema (1).
Observe que um sistema homogêneo de equações lineares que tem apenas uma solução zero não tem um sistema fundamental de soluções.
PROPOSTA 3.11. Quaisquer dois sistemas fundamentais de soluções de um sistema homogêneo de equações lineares consistem no mesmo número de soluções.
Prova. De fato, quaisquer dois sistemas fundamentais de soluções do sistema homogêneo de equações (1) são equivalentes e linearmente independentes. Portanto, pela Proposição 1.12, seus postos são iguais. Portanto, o número de soluções incluídas em um sistema fundamental é igual ao número de soluções incluídas em qualquer outro sistema fundamental de soluções.
Se a matriz principal A do sistema homogêneo de equações (1) é zero, então qualquer vetor de é uma solução para o sistema (1); neste caso, qualquer coleção de vetores linearmente independentes de é um sistema fundamental de soluções. Se o posto da coluna da matriz A for , então o sistema (1) tem apenas uma solução - zero; portanto, neste caso, o sistema de equações (1) não possui um sistema fundamental de soluções.
TEOREMA 3.12. Se o posto da matriz principal de um sistema homogêneo de equações lineares (1) for menor que o número de variáveis , então o sistema (1) possui um sistema fundamental de soluções composto por soluções.
Prova. Se o posto da matriz principal A do sistema homogêneo (1) for igual a zero ou , então foi mostrado acima que o teorema é verdadeiro. Portanto, assume-se abaixo que Assumindo , assumiremos que as primeiras colunas da matriz A são linearmente independentes. Nesse caso, a matriz A é equivalente por linhas à matriz de passo reduzido e o sistema (1) é equivalente ao seguinte sistema de equações de passo reduzido:
É fácil verificar que qualquer sistema de valores de livre variáveis do sistema(2) corresponde a uma e apenas uma solução do sistema (2) e, portanto, do sistema (1). Em particular, apenas a solução zero do sistema (2) e do sistema (1) corresponde ao sistema de valores zero.
No sistema (2), atribuiremos valor igual a 1 a uma das variáveis livres e valor zero às demais variáveis. Como resultado, obtemos soluções para o sistema de equações (2), que escrevemos como linhas da seguinte matriz C:
O sistema de linhas desta matriz é linearmente independente. De fato, para quaisquer escalares da igualdade
igualdade segue
e daí a igualdade
Provemos que o vão linear do sistema de linhas da matriz C coincide com o conjunto de todas as soluções do sistema (1).
Solução arbitrária do sistema (1). Então o vetor
também é uma solução para o sistema (1), e
Um sistema homogêneo é sempre consistente e tem uma solução trivial 
. Para que exista uma solução não trivial, é necessário que o posto da matriz 
foi menor que o número de incógnitas:
.
Sistema de decisão fundamental
sistema homogêneo 
chame o sistema de soluções na forma de vetores coluna 
, que correspondem à base canônica, ou seja, base na qual constantes arbitrárias 
são alternadamente definidos como iguais a um, enquanto o restante é definido como zero.
Então decisão comum sistema homogêneo tem a forma:
Onde 
são constantes arbitrárias. Em outras palavras, a solução geral é uma combinação linear do sistema fundamental de soluções.
Assim, as soluções básicas podem ser obtidas a partir da solução geral se às incógnitas livres for dado alternadamente o valor da unidade, assumindo todas as outras iguais a zero.
Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema
Aceitamos , então obtemos a solução na forma:
Vamos agora construir um sistema fundamental de soluções:
.
A solução geral pode ser escrita como:
As soluções para um sistema de equações lineares homogêneas têm as seguintes propriedades:
Em outras palavras, qualquer combinação linear de soluções para um sistema homogêneo é novamente uma solução.
Resolver sistemas de equações lineares tem sido de interesse para os matemáticos por vários séculos. Os primeiros resultados foram obtidos no século XVIII. Em 1750, G. Kramer (1704–1752) publicou seus trabalhos sobre os determinantes de matrizes quadradas e propôs um algoritmo para encontrar a matriz inversa. Em 1809, Gauss delineou um novo método de solução conhecido como método de eliminação.
O método de Gauss, ou método de eliminação sucessiva de incógnitas, consiste no fato de que, com a ajuda de transformações elementares, o sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular). Esses sistemas permitem que você encontre consistentemente todas as incógnitas em uma determinada ordem.
Suponha que no sistema (1) 
(o que é sempre possível).
(1)
Multiplicando a primeira equação sucessivamente pelo chamado números adequados
e somando o resultado da multiplicação com as equações correspondentes do sistema, obtemos um sistema equivalente no qual todas as equações, exceto a primeira, não terão incógnitas x 1
(2)
Agora multiplicamos a segunda equação do sistema (2) por números apropriados, assumindo que 
,
e adicionando-o aos inferiores, eliminamos a variável 
de todas as equações, começando com o terceiro.
Continuando este processo, após 
passos que obtemos:
(3)
Se pelo menos um dos números 
não é igual a zero, então a igualdade correspondente é inconsistente e o sistema (1) é inconsistente. Inversamente, para qualquer sistema de numeração conjunta 
são iguais a zero. Número 
nada mais é do que o posto da matriz do sistema (1).
A transição do sistema (1) para (3) é chamada em linha reta Método gaussiano e encontrar incógnitas de (3) - para trás .
Comente : É mais conveniente realizar transformações não com as próprias equações, mas com a matriz estendida do sistema (1).
Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema
.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
.
Vamos adicionar às linhas 2,3,4 a primeira, multiplicada por (-2), (-3), (-2) respectivamente:
.
Vamos trocar as linhas 2 e 3 e, na matriz resultante, adicionar a linha 2 à linha 4, multiplicada por 
:
.
Adicionar à linha 4 linha 3 multiplicado por 
:
.
é obvio que 
, portanto, o sistema é compatível. Do sistema de equações resultante
encontramos a solução por substituição reversa:
,
,
,
.
Exemplo 2 Encontre a solução do sistema:
.
É óbvio que o sistema é inconsistente, porque 
, uma 
.
Vantagens do método de Gauss :
Menos demorado do que o método de Cramer.
Estabelece inequivocamente a compatibilidade do sistema e permite encontrar uma solução.
Dá a capacidade de determinar a classificação de quaisquer matrizes.
dados da matriz
Encontre: 1) aA - bB,
Solução: 1) Encontramos sequencialmente, usando as regras para multiplicar uma matriz por um número e adicionar matrizes ..
2. Encontre A*B se
Solução: Use a Regra de Multiplicação de Matrizes
Responda: 
3. Para uma dada matriz, encontre o menor M 31 e calcule o determinante.
Solução: Menor M 31 é o determinante da matriz que é obtido de A
depois de excluir a linha 3 e a coluna 1. Encontre
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Vamos transformar a matriz A sem alterar seu determinante (vamos fazer zeros na linha 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Agora calculamos o determinante da matriz A por expansão ao longo da linha 1
Resposta: M 31 = 0, detA = 0
Resolva usando o método de Gauss e o método de Cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Solução: Vamos checar
Você pode usar o método de Cramer
Solução do sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Aplicamos o método de Gauss.
Reduzimos a matriz estendida do sistema a uma forma triangular.
Para facilitar os cálculos, trocamos as linhas:
Multiplique a 2ª linha por (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) e adicione ao terceiro:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Multiplique a 1ª linha por (k = -2 / 2 = -1 ) e adicione ao segundo:
Agora o sistema original pode ser escrito como:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
A partir da 2ª linha expressamos
A partir da 1ª linha expressamos
A solução é a mesma.
Resposta: (2; -5; 3)
Encontre a solução geral do sistema e FSR
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Solução: Aplicar o método de Gauss. Reduzimos a matriz estendida do sistema a uma forma triangular.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Multiplique a 1ª linha por (-11). Multiplique a 2ª carreira por (13). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:
| -2 | -2 | -3 | ||
Multiplique a 2ª linha por (-5). Multiplique a 3ª linha por (11). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:
Multiplique a 3ª linha por (-7). Multiplique a 4ª linha por (5). Vamos adicionar a 4ª linha à 3ª:
A segunda equação é uma combinação linear do resto
Encontre o posto da matriz.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
O menor selecionado tem a ordem mais alta (de todos os menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos na diagonal recíproca), portanto rang(A) = 2.
Este menor é básico. Inclui coeficientes para incógnitas x 1, x 2, o que significa que as incógnitas x 1, x 2 são dependentes (básicas) e x 3, x 4, x 5 são livres.
O sistema com os coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Pelo método de eliminação de incógnitas, encontramos decisão comum:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Encontramos o sistema fundamental de soluções (FSR), que consiste em (n-r) soluções. No nosso caso, n=5, r=2, portanto, o sistema fundamental de soluções consiste em 3 soluções, e essas soluções devem ser linearmente independentes.
Para que as linhas sejam linearmente independentes, é necessário e suficiente que o posto da matriz composta pelos elementos das linhas seja igual ao número de linhas, ou seja, 3.
Basta dar as incógnitas livres x 3 ,x 4 ,x 5 a partir das linhas do determinante de 3ª ordem, diferentes de zero, e calcular x 1 ,x 2 .
O determinante não nulo mais simples é a matriz identidade.
Mas aqui é mais conveniente levar
Encontramos usando a solução geral:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4Þ
I decisão FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 º
Decisão do II FSR: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 º
III decisão FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Dados: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Encontre: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Solução: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Resposta: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i
O método Gaussiano tem uma série de desvantagens: é impossível saber se o sistema é consistente ou não até que todas as transformações necessárias no método Gaussiano tenham sido realizadas; o método gaussiano não é adequado para sistemas com coeficientes de letras.
Considere outros métodos para resolver sistemas de equações lineares. Esses métodos usam o conceito de classificação de uma matriz e reduzem a solução de qualquer sistema conjunto à solução de um sistema ao qual se aplica a regra de Cramer.
Exemplo 1 Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares usando o sistema fundamental de soluções do sistema homogêneo reduzido e uma solução particular do sistema não homogêneo.
1. Fazemos uma matriz UMA e a matriz aumentada do sistema (1)
2. Explore o sistema (1) para compatibilidade. Para fazer isso, encontramos os postos das matrizes UMA e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) incompatível. Se conseguirmos isso , então este sistema é consistente e vamos resolvê-lo. (O estudo de consistência é baseado no teorema de Kronecker-Capelli).
uma. Nós achamos rA.
Encontrar rA, consideraremos sucessivamente menores não nulos de primeira, segunda, etc. ordens da matriz UMA e os menores que os cercam.
M1=1≠0 (1 é retirado do canto superior esquerdo da matriz MAS).
Contornando M1 a segunda linha e a segunda coluna desta matriz. 
. Continuamos a fazer fronteira M1 a segunda linha e a terceira coluna..gif" width="37" height="20 src=">. Agora limitamos o menor diferente de zero М2′ segunda ordem.
Nós temos: 
(porque as duas primeiras colunas são iguais)
(porque a segunda e terceira linhas são proporcionais).
Nós vemos que rA=2, e é a base menor da matriz UMA.
b. Nós achamos .
Menor suficientemente básico М2′ matrizes UMA borda com uma coluna de membros livres e todas as linhas (temos apenas a última linha).
. Segue-se disso que М3” permanece a base menor da matriz https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Porque М2′- base menor da matriz UMA sistemas (2) , então este sistema é equivalente ao sistema (3) , consistindo nas duas primeiras equações do sistema (2) (por М2′ está nas duas primeiras linhas da matriz A).
(3)
Como o menor básico é https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Neste sistema, duas incógnitas livres ( x2 e x4 ). É por isso FSR sistemas (4) consiste em duas soluções. Para encontrá-los, atribuímos incógnitas livres a (4) valores primeiro x2=1 , x4=0 , e depois - x2=0 , x4=1 .
No x2=1 , x4=0 Nós temos:
.
Este sistema já possui a única coisa solução (pode ser encontrada pela regra de Cramer ou por qualquer outro método). Subtraindo a primeira equação da segunda equação, obtemos:
A decisão dela será x1= -1 , x3=0 . dados os valores x2 e x4 , que fornecemos, obtemos a primeira solução fundamental do sistema (2) : .
Agora nós colocamos (4) x2=0 , x4=1 . Nós temos:
.
Resolvemos este sistema usando o teorema de Cramer:
.
Obtemos a segunda solução fundamental do sistema (2) : .
Soluções β1 , β2 e fazer as pazes FSR sistemas (2) . Então sua solução geral será
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Aqui C1 , C2 são constantes arbitrárias.
4. Encontre um privado solução sistema heterogêneo(1) . Como no parágrafo 3 , em vez do sistema (1) considere o sistema equivalente (5) , consistindo nas duas primeiras equações do sistema (1) .
(5)
Transferimos as incógnitas livres para os lados direitos x2 e x4.
(6)
Vamos dar incógnitas grátis x2 e x4 valores arbitrários, por exemplo, x2=2 , x4=1 e ligá-los em (6) . Vamos pegar o sistema
Este sistema tem única decisão(porque seu determinante М2′0). Resolvendo-o (usando o teorema de Cramer ou o método de Gauss), obtemos x1=3 , x3=3 . Dados os valores das incógnitas livres x2 e x4 , Nós temos solução particular de um sistema não homogêneo(1)α1=(3,2,3,1).
5. Agora resta escrever solução geral α de um sistema não homogêneo(1) : é igual a soma decisão privada este sistema e solução geral de seu sistema homogêneo reduzido (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Isso significa: 
(7)
6. Exame. Para verificar se você resolveu o sistema corretamente (1) , precisamos de uma solução geral (7) substituir em (1) . Se cada equação se tornar uma identidade ( C1 e C2 deve ser destruído), então a solução foi encontrada corretamente.
vamos substituir (7) por exemplo, apenas na última equação do sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Obtemos: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Onde -1=-1. Temos uma identidade. Fazemos isso com todas as outras equações do sistema (1) .
Comente. A verificação geralmente é bastante complicada. Podemos recomendar a seguinte "verificação parcial": na solução geral do sistema (1) atribua alguns valores a constantes arbitrárias e substitua a solução particular resultante apenas nas equações descartadas (ou seja, nas equações de (1) que não estão incluídos (5) ). Se você obtiver identidades, então provavelmente, solução do sistema (1) encontrado corretamente (mas tal verificação não dá uma garantia total de correção!). Por exemplo, se em (7) colocar C2=- 1 , C1=1, então obtemos: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substituindo na última equação do sistema (1), temos: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ou seja, –1=–1. Temos uma identidade.
Exemplo 2 Encontre uma solução geral para um sistema de equações lineares (1) , expressando as principais incógnitas em termos de livres.
Solução. Como em Exemplo 1, compor matrizes UMA e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dessas matrizes. Agora deixamos apenas aquelas equações do sistema (1) , cujos coeficientes estão incluídos neste menor básico (ou seja, temos as duas primeiras equações) e consideramos o sistema composto por elas, que é equivalente ao sistema (1).
Vamos transferir as incógnitas livres para os lados direitos dessas equações.
sistema (9) resolvemos pelo método Gaussiano, considerando as partes certas como membros livres.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opção 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opção 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opção 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opção 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Continuaremos a polir a técnica transformações elementares no sistema homogêneo de equações lineares.
De acordo com os primeiros parágrafos, o material pode parecer enfadonho e comum, mas essa impressão é enganosa. Além de um maior desenvolvimento de métodos técnicos, haverá muitos nova informação, portanto, tente não negligenciar os exemplos neste artigo.
A resposta sugere-se. Um sistema de equações lineares é homogêneo se o termo livre todos equação do sistema é zero. Por exemplo:
É bem claro que sistema homogêneo é sempre consistente, ou seja, sempre tem solução. E, antes de tudo, o chamado trivial solução 
. Trivial, para quem não entende nada do significado do adjetivo, significa bespontovoe. Não academicamente, claro, mas inteligivelmente =) ... Por que rodeios, vamos descobrir se este sistema tem outras soluções:
Exemplo 1
Solução: para resolver um sistema homogêneo é necessário escrever matriz do sistema e com a ajuda de transformações elementares, leve-o a uma forma escalonada. Observe que não há necessidade de anotar a barra vertical e a coluna zero de membros livres aqui - afinal, faça o que fizer com zeros, eles permanecerão zero: 
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3.
(2) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
Dividir a terceira linha por 3 não faz muito sentido.
Como resultado de transformações elementares, um sistema homogêneo equivalente é obtido 
, e, aplicando o movimento inverso do método gaussiano, é fácil verificar que a solução é única.
Responda: 
Formulemos um critério óbvio: um sistema homogêneo de equações lineares tem única solução trivial, E se classificação da matriz do sistema(dentro este caso 3) é igual ao número de variáveis (neste caso, 3 unid.).
Aquecemos e sintonizamos nosso rádio em uma onda de transformações elementares:
Exemplo 2
Resolver um sistema homogêneo de equações lineares 
Para finalmente corrigir o algoritmo, vamos analisar a tarefa final:
Exemplo 7
Resolva um sistema homogêneo, escreva a resposta na forma vetorial. 
Solução: escrevemos a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada: 
(1) O sinal da primeira linha foi alterado. Mais uma vez, chamo a atenção para a técnica repetidamente encontrada, que permite simplificar significativamente a próxima ação.
(1) A primeira linha foi adicionada à 2ª e 3ª linhas. A primeira linha multiplicada por 2 foi adicionada à 4ª linha.
(3) As últimas três linhas são proporcionais, duas delas foram removidas.
Como resultado, uma matriz de etapas padrão é obtida e a solução continua ao longo da trilha serrilhada:
– variáveis básicas;
são variáveis livres.
Expressamos as variáveis básicas em termos de variáveis livres. Da 2ª equação:
- substituir na 1ª equação:
Então a solução geral é:
Como existem três variáveis livres no exemplo em consideração, o sistema fundamental contém três vetores.
Vamos substituir um triplo de valores 
na solução geral e obter um vetor cujas coordenadas satisfazem cada equação do sistema homogêneo. E, novamente, repito que é altamente desejável verificar cada vetor recebido - não levará muito tempo, mas economizará cem por cento de erros.
Por um triplo de valores 
encontre o vetor
E finalmente para o triplo 
obtemos o terceiro vetor:
Responda: , Onde
Quem quiser evitar valores fracionários pode considerar triplos e obter a resposta na forma equivalente:
Falando em frações. Vejamos a matriz obtida no problema 
e faça a pergunta - é possível simplificar a solução adicional? Afinal, aqui expressamos primeiro a variável básica em termos de frações, depois a variável básica em termos de frações e, devo dizer, esse processo não foi o mais fácil e nem o mais agradável.
A segunda solução:
A ideia é tentar escolha outras variáveis básicas. Vamos olhar para a matriz e observar dois uns na terceira coluna. Então, por que não obter zero no topo? Vamos fazer mais uma transformação elementar:
