Ou aritmética - este é um tipo de sequência numérica ordenada, cujas propriedades são estudadas em um curso de álgebra escolar. Este artigo discute em detalhes a questão de como encontrar a soma progressão aritmética.
Antes de passar à consideração da questão (como encontrar a soma de uma progressão aritmética), vale a pena entender o que será discutido.
Qualquer sequência numeros reais, que é obtido adicionando (subtraindo) algum valor de cada número anterior, é chamado de progressão algébrica (aritmética). Esta definição, traduzida para a linguagem da matemática, assume a forma:
Aqui i é o número ordinal do elemento da série a i . Assim, sabendo apenas um número inicial, você pode restaurar facilmente toda a série. O parâmetro d na fórmula é chamado de diferença de progressão.
Pode ser facilmente mostrado que a seguinte igualdade vale para a série de números em consideração:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Ou seja, para encontrar o valor do n-ésimo elemento em ordem, adicione a diferença d ao primeiro elemento a 1 n-1 vezes.
Antes de dar a fórmula para a quantidade indicada, vale a pena considerar um simples caso especial. Progressão Dana números naturais de 1 a 10, você precisa encontrar a soma deles. Como há poucos termos na progressão (10), é possível resolver o problema de frente, ou seja, somar todos os elementos em ordem.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Vale a pena considerar uma coisa interessante: como cada termo difere do seguinte pelo mesmo valor d \u003d 1, a soma do primeiro com o décimo, do segundo com o nono e assim por diante dará o mesmo resultado . Sério:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Como você pode ver, existem apenas 5 dessas somas, ou seja, exatamente duas vezes menos que o número de elementos da série. Então, multiplicando o número de somas (5) pelo resultado de cada soma (11), chegará ao resultado obtido no primeiro exemplo.
Se generalizarmos esses argumentos, podemos escrever a seguinte expressão:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Essa expressão mostra que não é necessário somar todos os elementos em uma linha, basta saber o valor do primeiro a 1 e do último a n , bem como o número total de termos n.
Acredita-se que Gauss tenha pensado nessa igualdade pela primeira vez quando procurava uma solução para o problema proposto por seu professor: somar os primeiros 100 números inteiros.
A fórmula dada no parágrafo anterior responde à questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética (dos primeiros elementos), mas muitas vezes em tarefas é necessário somar uma série de números no meio da progressão. Como fazer isso?
A maneira mais fácil de responder a essa pergunta é considerando o seguinte exemplo: seja necessário encontrar a soma dos termos do m-ésimo ao n-ésimo. Para resolver o problema, um determinado segmento de m até n da progressão deve ser representado como uma nova série numérica. Em tal apresentação mésimo termo a m será o primeiro e a n será numerado n-(m-1). Neste caso, aplicando a fórmula padrão da soma, obtém-se a seguinte expressão:
S m n \u003d (n - m + 1) * (am + a n) / 2.
Sabendo como encontrar a soma de uma progressão aritmética, vale a pena considerar um exemplo simples de uso das fórmulas acima.
Abaixo está uma sequência numérica, você deve encontrar a soma de seus membros, começando no 5º e terminando no 12º:
Os números fornecidos indicam que a diferença d é igual a 3. Usando a expressão para o enésimo elemento, você pode encontrar os valores do 5º e 12º membros da progressão. Acontece que:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Conhecendo os valores dos números nas extremidades do considerado progressão algébrica, e também sabendo quais números da linha eles ocupam, você pode usar a fórmula para o valor obtido no parágrafo anterior. Pegue:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Vale a pena notar que esse valor pode ser obtido de maneira diferente: primeiro, encontre a soma dos primeiros 12 elementos usando a fórmula padrão, depois calcule a soma dos primeiros 4 elementos usando a mesma fórmula e subtraia o segundo da primeira soma .
Problemas de progressão aritmética existem desde os tempos antigos. Apareceram e exigiram uma solução, porque tinham uma necessidade prática.
Então, em um dos papiros antigo Egito, que tem conteúdo matemático - o papiro de Rhind (século XIX aC) - contém a seguinte tarefa: dividir dez medidas de pão em dez pessoas, desde que a diferença entre cada uma delas seja um oitavo de medida.
E nas obras matemáticas dos antigos gregos existem teoremas elegantes relacionados à progressão aritmética. Então, Gipsicles de Alexandria (século II, que equivalia a muito tarefas interessantes e acrescentando o décimo quarto livro aos Elementos de Euclides, formulou a ideia: "Numa progressão aritmética com um número par de membros, a soma dos membros da 2ª metade é maior que a soma dos membros do 1º pelo quadrado de 1 /2 do número de membros."
A sequência an é denotada. Os números da sequência são chamados de seus membros e geralmente são denotados por letras com índices que indicam o número de série desse membro (a1, a2, a3 ... leia-se: “a 1º”, “a 2º”, “a 3º” e assim por diante).
A sequência pode ser infinita ou finita.
O que é uma progressão aritmética? Entende-se como obtido pela soma do termo anterior (n) com o mesmo número d, que é a diferença da progressão.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, então tal progressão é considerada crescente.
Uma progressão aritmética é dita finita se apenas alguns de seus primeiros termos forem levados em consideração. muito em grande número membros já é uma progressão infinita.
Qualquer progressão aritmética é dada pela seguinte fórmula:
an =kn+b, enquanto b e k são alguns números.
A afirmação, que é o oposto, é absolutamente verdadeira: se a sequência é dada por uma fórmula semelhante, então esta é exatamente uma progressão aritmética, que possui as propriedades:
A propriedade característica para quaisquer quatro números de uma progressão aritmética pode ser expressa pela fórmula an + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k são os números da progressão).
Em uma progressão aritmética, qualquer termo necessário (Nº) pode ser encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Por exemplo: o primeiro termo (a1) em uma progressão aritmética é dado e é igual a três, e a diferença (d) é igual a quatro. Você precisa encontrar o quadragésimo quinto termo dessa progressão. a45 = 1+4(45-1)=177
A fórmula an = ak + d(n - k) nos permite determinar enésimo membro progressão aritmética através de qualquer um de seus k-ésimos termos, desde que seja conhecido.
A soma dos membros de uma progressão aritmética (assumindo os 1º n membros da progressão final) é calculada da seguinte forma:
Sn = (a1+an) n/2.
Se o 1º termo também for conhecido, outra fórmula é conveniente para o cálculo:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
A soma de uma progressão aritmética que contém n termos é calculada da seguinte forma:
A escolha das fórmulas para cálculos depende das condições das tarefas e dos dados iniciais.
A série natural de quaisquer números como 1,2,3,...,n,... é o exemplo mais simples de uma progressão aritmética.
Além da progressão aritmética, existe também a progressão geométrica, que possui propriedades e características próprias.
Progressão aritmética nomear uma sequência de números (membros de uma progressão)
Em que cada termo subseqüente difere do anterior por um termo de aço, também chamado de diferença de passo ou progressão.
Assim, definindo o passo da progressão e seu primeiro termo, você pode encontrar qualquer um de seus elementos usando a fórmula
1) Cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo número, é a média aritmética do anterior e do próximo membro da progressão
A recíproca também é verdadeira. Se a média aritmética dos membros ímpares (pares) vizinhos da progressão for igual ao membro que está entre eles, então essa sequência de números é uma progressão aritmética. Por esta afirmação é muito fácil verificar qualquer sequência.
Também pela propriedade da progressão aritmética, a fórmula acima pode ser generalizada para o seguinte
Isso é fácil de verificar se escrevermos os termos à direita do sinal de igual
É freqüentemente usado na prática para simplificar cálculos em problemas.
2) A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula
Lembre-se bem da fórmula da soma de uma progressão aritmética, ela é indispensável nos cálculos e bastante comum em situações simples da vida.
3) Se você precisar encontrar não a soma inteira, mas uma parte da sequência a partir de seu k -ésimo membro, a seguinte fórmula de soma será útil para você
4) É de interesse prático encontrar a soma de n membros de uma progressão aritmética a partir do k-ésimo número. Para fazer isso, use a fórmula
É aqui que termina o material teórico e passamos a resolver problemas comuns na prática.
Exemplo 1. Encontre o quadragésimo termo da progressão aritmética 4;7;...
Solução:
De acordo com a condição, temos
Definir a etapa de progressão
De acordo com a conhecida fórmula, encontramos o quadragésimo termo da progressão
Exemplo2. A progressão aritmética é dada por seu terceiro e sétimo membros. Encontre o primeiro termo da progressão e a soma de dez.
Solução:
Escrevemos os elementos dados da progressão de acordo com as fórmulas
Subtraímos a primeira equação da segunda equação, como resultado, encontramos o passo de progressão
O valor encontrado é substituído em qualquer uma das equações para encontrar o primeiro termo da progressão aritmética
Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão
Sem aplicar cálculos complexos, encontramos todos os valores necessários.
Exemplo 3. Uma progressão aritmética é dada pelo denominador e um de seus membros. Encontre o primeiro termo da progressão, a soma de seus 50 termos começando em 50 e a soma dos primeiros 100.
Solução:
Vamos escrever a fórmula para o centésimo elemento da progressão
e encontre o primeiro
Com base no primeiro, encontramos o 50º termo da progressão
Encontrando a soma da parte da progressão
e a soma dos primeiros 100
A soma da progressão é 250.
Exemplo 4
Encontre o número de membros de uma progressão aritmética se:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Solução:
Escrevemos as equações em termos do primeiro termo e do passo da progressão e as definimos
Substituímos os valores obtidos na fórmula de soma para determinar o número de termos na soma
Fazendo simplificações
e decidir Equação quadrática
Dos dois valores encontrados, apenas o número 8 é adequado para a condição do problema. Assim, a soma dos oito primeiros termos da progressão é 111.
Exemplo 5
resolva a equação
1+3+5+...+x=307.
Solução: Esta equação é a soma de uma progressão aritmética. Escrevemos seu primeiro termo e encontramos a diferença da progressão
Instrução
Uma progressão aritmética é uma sequência da forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Número d passo progressões.Obviamente, o total de um n-ésimo termo arbitrário da aritmética progressões tem a forma: An = A1+(n-1)d. Então conhecendo um dos membros progressões, membro progressões e passo progressões, pode ser , ou seja, o número do termo de progressão. Obviamente, será determinado pela fórmula n = (An-A1+d)/d.
Deixe o m-ésimo termo ser conhecido agora progressões e algum outro membro progressões- n-th, mas n , como no caso anterior, mas sabe-se que n e m não correspondem. progressões pode ser calculado pela fórmula: d = (An-Am)/(n-m). Então n = (An-Am+md)/d.
Se a soma de vários elementos de uma aritmética progressões, bem como seu primeiro e último , então o número desses elementos também pode ser determinado. A soma da aritmética progressões será igual a: S = ((A1+An)/2)n. Então n = 2S/(A1+An) são chdenov progressões. Usando o fato de que An = A1+(n-1)d, esta fórmula pode ser reescrita como: n = 2S/(2A1+(n-1)d). A partir disso, pode-se expressar n resolvendo uma equação quadrática.
Uma sequência aritmética é um conjunto ordenado de números, cada membro do qual, exceto o primeiro, difere do anterior na mesma quantidade. Essa constante é chamada de diferença da progressão ou seu passo e pode ser calculada a partir dos membros conhecidos da progressão aritmética.
Instrução
Se os valores do primeiro e do segundo ou qualquer outro par de termos vizinhos forem conhecidos das condições do problema, para calcular a diferença (d), basta subtrair o termo anterior do termo seguinte. O valor resultante pode ser positivo ou negativo - depende se a progressão está aumentando. Na forma geral, escreva a solução para um par arbitrário (aᵢ e aᵢ₊₁) de membros vizinhos da progressão da seguinte forma: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Para um par de membros de tal progressão, um dos quais é o primeiro (a₁) e o outro é qualquer outro escolhido arbitrariamente, pode-se também fazer uma fórmula para encontrar a diferença (d). No entanto, neste caso, o número de série (i) de um membro arbitrário da sequência deve ser conhecido. Para calcular a diferença, adicione os dois números e divida o resultado pelo número ordinal de um termo arbitrário reduzido por um. NO visão geral escreva esta fórmula assim: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Se, além de um membro arbitrário da progressão aritmética com número ordinal i, outro membro com número ordinal u for conhecido, altere a fórmula da etapa anterior de acordo. Nesse caso, a diferença (d) da progressão será a soma desses dois termos dividida pela diferença de seus números ordinais: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
A fórmula para calcular a diferença (d) torna-se um pouco mais complicada se o valor de seu primeiro membro (a₁) e a soma (Sᵢ) de um determinado número (i) dos primeiros membros da sequência aritmética forem dados nas condições de o problema. Para obter o valor desejado, divida a soma pelo número de termos que a compôs, subtraia o valor do primeiro número da sequência e dobre o resultado. Divida o valor resultante pelo número de termos que compuseram a soma reduzida em um. Em geral, escreva a fórmula para calcular o discriminante da seguinte forma: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")
Uma progressão aritmética é uma série de números em que cada número é maior (ou menor) que o anterior na mesma proporção.
Este tópico é muitas vezes difícil e incompreensível. Índices de letras, o enésimo termo da progressão, a diferença da progressão - tudo isso é meio confuso, sim ... Vamos descobrir o significado da progressão aritmética e tudo vai dar certo na hora.)
A progressão aritmética é um conceito muito simples e claro. Dúvida? Em vão.) Veja por si mesmo.
Vou escrever uma série inacabada de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Você pode estender esta linha? Que números virão depois do cinco? Todo mundo ... uh ..., enfim, todo mundo vai descobrir que os números 6, 7, 8, 9, etc.
Vamos complicar a tarefa. Eu dou uma série inacabada de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Você pode pegar o padrão, estender a série e nomear sétimo número da linha?
Se você descobriu que esse número é 20 - parabéns! Você não apenas sentiu pontos chave progressão aritmética, mas também os usou com sucesso nos negócios! Se você não entender, continue a ler.
Agora vamos traduzir os pontos-chave das sensações para a matemática.)
Primeiro ponto chave.
A progressão aritmética lida com séries de números. Isso é confuso no começo. Estamos acostumados a resolver equações, construir gráficos e tudo mais... E depois estender a série, encontrar o número da série...
Tudo bem. Acontece que as progressões são o primeiro contato com um novo ramo da matemática. A seção chama-se "Série" e trabalha com séries de números e expressões. Acostume-se com isso.)
Segundo ponto chave.
Em uma progressão aritmética, qualquer número difere do anterior pela mesma quantia.
No primeiro exemplo, essa diferença é uma. Seja qual for o número que você pegar, é um a mais que o anterior. No segundo - três. Qualquer número é três vezes maior que o anterior. Na verdade, é esse momento que nos dá a oportunidade de captar o padrão e calcular os números subseqüentes.
Terceiro ponto chave.
Esse momento não é marcante, sim... Mas muito, muito importante. Aqui está ele: cada número de progressão está em seu lugar. Existe o primeiro número, existe o sétimo, existe o quadragésimo quinto e assim por diante. Se você os confundir ao acaso, o padrão desaparecerá. A progressão aritmética também desaparecerá. É apenas uma série de números.
Esse é o ponto.
claro que em novo topico novos termos e notações aparecem. Eles precisam saber. Caso contrário, você não entenderá a tarefa. Por exemplo, você deve decidir algo como:
Escreva os seis primeiros termos da progressão aritmética (an) se a 2 = 5, d = -2,5.
Inspira?) Cartas, alguns índices... E a tarefa, aliás, não poderia ser mais fácil. Você só precisa entender o significado dos termos e da notação. Agora vamos dominar este assunto e retornar à tarefa.
Progressão aritméticaé uma série de números em que cada número é diferente do anterior pela mesma quantia.
Este valor é chamado . Vamos lidar com esse conceito com mais detalhes.
Diferença de progressão aritméticaé a quantidade pela qual qualquer número de progressão mais o anterior.
Um ponto importante. Por favor, preste atenção à palavra "mais". Matematicamente, isso significa que cada número de progressão é obtido adicionando a diferença de uma progressão aritmética para o número anterior.
Para calcular, digamos segundo números da linha, é necessário primeiro número adicionar essa mesma diferença de uma progressão aritmética. Para cálculo quinto- a diferença é necessária adicionar para quarto bem, etc
Diferença de progressão aritmética talvez positivo então cada número da série será real mais do que o anterior. Essa progressão é chamada aumentando. Por exemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aqui cada número é adicionando número positivo, +5 ao anterior.
A diferença pode ser negativo então cada número da série será menor que o anterior. Essa progressão é chamada (você não vai acreditar!) diminuindo.
Por exemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aqui cada número é obtido também adicionando ao número anterior, mas já negativo, -5.
A propósito, ao trabalhar com uma progressão, é muito útil determinar imediatamente sua natureza - se é crescente ou decrescente. Ajuda muito se orientar na decisão, detectar seus erros e corrigi-los antes que seja tarde demais.
Diferença de progressão aritmética geralmente denotado pela letra d.
Como encontrar d? Muito simples. É necessário subtrair de qualquer número da série anterior número. Subtrair. A propósito, o resultado da subtração é chamado de "diferença".)
Vamos definir, por exemplo, d para uma progressão aritmética crescente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Pegamos qualquer número da linha que queremos, por exemplo, 11. Subtraia dele o número anterior Essa. oito:
Essa é a resposta correta. Para esta progressão aritmética, a diferença é três.
Você pode apenas pegar qualquer número de progressões, Porque para uma progressão específica d-sempre o mesmo. Pelo menos em algum lugar no início da linha, pelo menos no meio, pelo menos em qualquer lugar. Você não pode pegar apenas o primeiro número. Só porque o primeiro número nenhum anterior.)
Aliás, sabendo disso d=3, encontrar o sétimo número desta progressão é muito simples. Adicionamos 3 ao quinto número - obtemos o sexto, será 17. Adicionamos três ao sexto número, obtemos o sétimo número - vinte.
vamos definir d para uma progressão aritmética decrescente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Lembro que, independentemente dos sinais, para determinar d necessário de qualquer número tirar o anterior. Escolhemos qualquer número de progressão, por exemplo -7. Seu número anterior é -2. Então:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
A diferença de uma progressão aritmética pode ser qualquer número: inteiro, fracionário, irracional, qualquer.
Cada número da série é chamado membro de uma progressão aritmética.
Cada membro da progressão tem o número dele. Os números estão estritamente em ordem, sem truques. Primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Por exemplo, na progressão 2, 5, 8, 11, 14, ... dois é o primeiro membro, cinco é o segundo, onze é o quarto, bem, você entende ...) Por favor, entenda claramente - os próprios números pode ser absolutamente qualquer, inteiro, fracionário, negativo, o que for, mas numeração- estritamente em ordem!
Como escrever uma progressão na forma geral? Sem problemas! Cada número da série é escrito como uma letra. Para denotar uma progressão aritmética, como regra, a letra é usada uma. O número do membro é indicado pelo índice no canto inferior direito. Os membros são escritos separados por vírgulas (ou ponto e vírgula), assim:
um 1 , um 2 , um 3 , um 4 , um 5 , .....
um 1é o primeiro número um 3- terceiro, etc. Nada complicado. Você pode escrever esta série resumidamente assim: (um).
Existem progressões finito e infinito.
Final a progressão tem um número limitado de membros. Cinco, trinta e oito, tanto faz. Mas é um número finito.
Sem fim progressão - tem um número infinito de membros, como você pode imaginar.)
Você pode escrever uma progressão final através de uma série como esta, todos os membros e um ponto no final:
um 1 , um 2 , um 3 , um 4 , um 5 .
Ou assim, se houver muitos membros:
um 1 , um 2 , ... um 14 , um 15 .
Em uma entrada curta, você terá que indicar adicionalmente o número de membros. Por exemplo (para vinte membros), assim:
(a n), n = 20
Uma progressão infinita pode ser reconhecida pelas reticências no final da linha, como nos exemplos desta lição.
Agora você já pode resolver tarefas. As tarefas são simples, puramente para entender o significado da progressão aritmética.
Vamos dar uma olhada mais de perto na tarefa acima:
1. Escreva os seis primeiros membros da progressão aritmética (an), se a 2 = 5, d = -2,5.
Traduzimos a tarefa para uma linguagem compreensível. Dada uma progressão aritmética infinita. O segundo número desta progressão é conhecido: a 2 = 5. Diferença de progressão conhecida: d = -2,5. Precisamos encontrar o primeiro, terceiro, quarto, quinto e sexto membros desta progressão.
Para maior clareza, escreverei uma série de acordo com a condição do problema. Os primeiros seis membros, onde o segundo membro é cinco:
um 1 , 5 , um 3 , um 4 , um 5 , um 6 , ....
um 3 = um 2 + d
Substituímos na expressão a 2 = 5 e d=-2,5. Não se esqueça do menos!
um 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
O terceiro termo é menor que o segundo. Tudo é lógico. Se o número for maior que o anterior negativo valor, então o número em si será menor que o anterior. A progressão está diminuindo. Ok, vamos levar isso em consideração.) Consideramos o quarto membro de nossa série:
um 4 = um 3 + d
um 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
um 5 = um 4 + d
um 5=0+(-2,5)= - 2,5
um 6 = um 5 + d
um 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Assim, os termos do terceiro ao sexto foram calculados. Isso resultou em uma série:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Resta encontrar o primeiro termo um 1 sobre segundo famoso. Este é um passo na outra direção, para a esquerda.) Portanto, a diferença da progressão aritmética d não deve ser adicionado a um 2, uma Leve embora:
um 1 = um 2 - d
um 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Isso é tudo. Resposta da tarefa:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De passagem, observo que resolvemos esta tarefa recorrente caminho. Esta palavra terrível significa, apenas, a busca de um membro da progressão pelo número anterior (adjacente). Outras maneiras de trabalhar com a progressão serão discutidas posteriormente.
Uma conclusão importante pode ser tirada dessa tarefa simples.
Lembrar:
Se conhecermos pelo menos um membro e a diferença de uma progressão aritmética, podemos encontrar qualquer membro dessa progressão.
Lembrar? Esta derivação simples nos permite resolver a maioria dos problemas curso escolar neste tópico. Todas as tarefas giram em torno três principais Parâmetros: membro de uma progressão aritmética, diferença de uma progressão, número de um membro de uma progressão. Tudo.
Claro, toda a álgebra anterior não é cancelada.) Desigualdades, equações e outras coisas estão ligadas à progressão. Mas de acordo com a progressão- tudo gira em torno de três parâmetros.
Por exemplo, considere algumas tarefas populares neste tópico.
2. Escreva a progressão aritmética final como uma série se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.
Tudo é simples aqui. Tudo já está dado. Você precisa se lembrar de como os membros de uma progressão aritmética são calculados, contados e anotados. É aconselhável não pular as palavras na condição da tarefa: "final" e " n=5". Para não contar até que você esteja completamente azul.) Existem apenas 5 (cinco) membros nesta progressão:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
um 4 = um 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
um 5 = um 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta anotar a resposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Outra tarefa:
3. Determine se o número 7 será um membro de uma progressão aritmética (an) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hum... Quem sabe? Como definir algo?
Como-como ... Sim, anote a progressão em forma de série e veja se haverá um sete ou não! Nós acreditamos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
um 4 = um 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Agora é claramente visto que somos apenas sete escorregou entre 6,5 e 7,7! O sete não entrou em nossa série de números e, portanto, o sete não será um membro da progressão dada.
Resposta: não.
E aqui está uma tarefa baseada em uma versão real do GIA:
4. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; quinze; X; 9; 6; ...
Aqui está uma série sem fim e começo. Sem números de membros, sem diferença d. Tudo bem. Para resolver o problema, basta entender o significado de uma progressão aritmética. Vamos ver e ver o que podemos saber desta linha? Quais são os parâmetros dos três principais?
Números de membros? Não há um único número aqui.
Mas são três números e - atenção! - palavra "consecutivo" em condição. Isso significa que os números estão estritamente em ordem, sem lacunas. Há dois nesta linha? vizinho números conhecidos? Sim existe! Estes são 9 e 6. Então podemos calcular a diferença de uma progressão aritmética! Subtraímos dos seis anterior número, ou seja nove:
Restam espaços vazios. Que número será o anterior para x? Quinze. Então x pode ser facilmente encontrado por adição simples. A 15 some a diferença de uma progressão aritmética:
Isso é tudo. Responda: x=12
Nós mesmos resolvemos os seguintes problemas. Observação: esses quebra-cabeças não são para fórmulas. Apenas para entender o significado de uma progressão aritmética.) Apenas escrevemos uma série de números-letras, olhamos e pensamos.
5. Encontre o primeiro termo positivo da progressão aritmética se a 5 = -3; d = 1,1.
6. Sabe-se que o número 5,5 é um membro da progressão aritmética (an), onde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine o número n deste termo.
7. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Encontre um 3 .
8. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.
9. O trem começou a se mover da estação, aumentando gradativamente sua velocidade em 30 metros por minuto. Qual será a velocidade do trem em cinco minutos? Dê sua resposta em km/h.
10. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 5; a6 = -5. Encontre um 1.
Respostas (em desordem): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; quatro.
Tudo deu certo? Maravilhoso! Você pode dominar a progressão aritmética para mais alto nível, nas próximas aulas.
Não deu tudo certo? Sem problemas. Na Seção Especial 555, todos esses quebra-cabeças são divididos peça por peça.) E, claro, é descrita uma técnica prática simples que imediatamente destaca a solução de tais tarefas de forma clara, clara, como na palma da sua mão!
A propósito, no quebra-cabeça do trem existem dois problemas nos quais as pessoas costumam tropeçar. Um - puramente por progressão, e o segundo - comum a qualquer tarefa em matemática e física também. Esta é uma tradução de dimensões de uma para outra. Mostra como esses problemas devem ser resolvidos.
Nesta lição, examinamos o significado elementar de uma progressão aritmética e seus principais parâmetros. Isso é suficiente para resolver quase todos os problemas neste tópico. Adicionar d para os números, escreva uma série, tudo será decidido.
A solução do dedo funciona bem para peças muito curtas da série, como nos exemplos desta lição. Se a série for mais longa, os cálculos tornam-se mais complicados. Por exemplo, se no problema 9 da pergunta, substitua "cinco minutos" no "trinta e cinco minutos" o problema ficará muito pior.)
E também existem tarefas que são essencialmente simples, mas totalmente absurdas em termos de cálculos, por exemplo:
Dada uma progressão aritmética (an). Encontre um 121 se a 1 =3 e d = 1/6.
E o quê, vamos somar 1/6 muitas e muitas vezes?! É possível se matar!?
Você pode.) Se você não sabe uma fórmula simples, segundo o qual você pode resolver essas tarefas em um minuto. Esta fórmula estará na próxima lição. E esse problema está resolvido aí. Em um minuto.)
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
