로그의 주요 속성, 로그의 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 증가 및 감소가 제공됩니다. 로그의 도함수를 찾는 것이 고려됩니다. 또한 통합, 확장 파워 시리즈복소수를 이용한 표현.
밑이 a인 로그는 y 함수입니다 (x) = 로그 x, 밑이 a인 지수 함수의 역: x (y) = y.
십진 로그숫자의 밑수에 대한 로그입니다. 10 : 로그 x ≡ 로그 10 x.
자연 로그 e의 밑수에 대한 로그입니다. ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
대수 그래프는 직선 y \u003d x에 대한 거울 반사에 의한 지수 함수의 그래프에서 얻습니다. 왼쪽에는 함수 y의 그래프가 있습니다. (x) = 로그 x네 가지 값에 대해 로그의 밑:아= 2
, a = 8
, a = 1/2
그리고 = 1/8
. 그래프는 > 1
로그는 단조 증가합니다. x가 증가함에 따라 성장이 크게 느려집니다. ~에 0
< a < 1
로그는 단조 감소합니다.
로그는 단조 함수이므로 극한값이 없습니다. 로그의 주요 속성은 표에 나와 있습니다.
| 도메인 | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| 값 범위 | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| 단조 | 단조 증가 | 단조롭게 감소 |
| 0, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| y축과의 교차점, x = 0 | 아니 | 아니 |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
밑이 10인 로그를 십진 로그다음과 같이 표시됩니다.
밑 로그 이자형~라고 불리는 자연 로그:
역함수의 정의에 따른 로그의 속성:
로그로그를 취하는 수학 연산입니다. 로그를 취하면 요인의 곱이 항의 합으로 변환됩니다.
강화로그의 역수학적 연산입니다. 강화할 때 주어진 기수는 강화가 수행되는 표현식의 거듭제곱으로 올라갑니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.
로그와 관련된 공식은 지수 함수에 대한 공식과 역함수의 정의에 따릅니다.
지수 함수의 속성을 고려하십시오.
.
그 다음에
.
지수 함수의 속성 적용
:
.
기본 변경 공식을 증명합시다.
;
.
설정 c = b , 우리는 다음을 갖습니다:
밑수 a 로그의 역수는 지수 a가 있는 지수 함수입니다.
그렇다면
그렇다면
로그 모듈로 x의 도함수:
.
n차의 도함수:
.
공식의 유도 >> >
로그의 도함수를 찾으려면 밑으로 줄여야 합니다. 이자형.
;
.
로그의 적분은 부분으로 적분하여 계산됩니다.
그래서,
복소수 함수를 고려하십시오. 지:
.
표현하다 복소수 지모듈을 통해 아르 자형그리고 논쟁 φ
:
.
그런 다음 로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
.
또는
그러나 주장 φ
명확하게 정의되어 있지 않습니다. 우리가 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
그러면 다른 번호에 대해 동일한 번호가 됩니다. N.
따라서 복소수 변수의 함수인 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.
의 경우 확장이 발생합니다.
참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.
로그 a r b r = 로그 a b또는 로그 b= 로그 a r b r
로그의 밑수와 로그 부호 아래의 숫자를 같은 거듭제곱으로 올려도 로그 값은 변경되지 않습니다.
로그의 부호 아래에는 양수만 올 수 있으며 로그의 밑은 1이 아닙니다.
예.
1) 로그 3 9와 로그 9 81을 비교합니다.
3 2 =9이므로 log 3 9=2;
9 2 =81이기 때문에 log 9 81=2.
따라서 로그 3 9=로그 9 81입니다.
두 번째 로그의 밑은 첫 번째 로그의 밑의 제곱과 같습니다: 9=3 2 , 두 번째 로그의 부호 아래 숫자는 첫 번째 로그 아래 숫자의 제곱과 같습니다. 로그: 81=9 2 . 첫 번째 로그 log 3 9의 숫자와 밑이 모두 두 번째 거듭 제곱으로 증가했으며 로그 값은 다음과 같이 변경되지 않았습니다.
또한 뿌리를 추출하기 때문에 N중에서 th 학위 ㅏ숫자의 구성입니다 ㅏ정도( 1/n), 로그 3 9는 다음을 추출하여 로그 9 81에서 얻을 수 있습니다. 제곱근숫자와 로그 밑에서 :
2) 동등성 확인: log 4 25=log 0.5 0.2.
첫 번째 로그를 고려하십시오. 밑변의 제곱근을 취하십시오. 4 그리고 중에서 25 ; 우리는 다음을 얻습니다: log 4 25=log 2 5.
두 번째 로그를 고려하십시오. 로그의 밑: 0.5= 1/2. 이 로그의 부호 아래 숫자: 0.2= 1/5. 이 숫자를 각각 마이너스 1승으로 거듭제곱해 보겠습니다.
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
따라서 로그 0.5 0.2=로그 2 5입니다. 결론: 이 평등은 사실입니다.
방정식을 풉니다.
로그 4 x 4 + 로그 16 81=로그 2(5x+2).로그를 왼쪽에서 밑으로 가져옵니다. 2 .
로그 2 x 2 + 로그 2 3=로그 2(5x+2). 우리는 숫자의 제곱근과 첫 번째 로그의 밑을 취했습니다. 우리는 숫자의 네 번째 루트와 두 번째 로그의 밑을 취했습니다.
로그 2(3x2)=로그2(5x+2). 로그의 합을 곱의 로그로 변환합니다.
3x2=5x+2. 강화 후 받았습니다.
3x2-5x-2=0. 우리는 결정한다 이차 방정식완전한 이차 방정식에 대한 일반 공식:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 진짜 뿌리.
시험.
x=2.
로그 4 2 4 + 로그 16 81=로그 2(5∙2+2);
로그 2 2 2 + 로그 2 3=로그 2 12;
로그 2(4∙3)=로그 2 12;
로그 2 12=로그 2 12;
로그 a n b=(1/
N)∙
로그 b
숫자의 로그 비이유에 의해 엔분수의 곱과 같음 1/ N숫자의 로그에 비이유에 의해 ㅏ.
찾다:1) 21로그 8 3+40로그 25 2; 2) 30로그 32 3∙로그 125 2 그것이 알려진 경우 로그 2 3=b,로그 5 2=c.
해결책.
방정식 풀기:
1) 로그 2 x+로그 4 x+로그 16 x=5.25.
해결책.
이 로그를 밑수 2로 가져옵니다. 공식을 적용합니다. 로그 a n b=(1/ N)∙ 로그 b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5.25;
log2x+0.5log2x+0.25log2x=5.25. 다음은 유사한 용어입니다.
(1+0.5+0.25) log 2 x=5.25;
1.75 로그 2 x=5.25 |:1.75
로그 2x=3. 로그의 정의:
2) 0.5log4(x-2)+log16(x-3)=0.25.
해결책. 밑이 16인 로그를 밑이 4로 가도록 하십시오.
0.5로그 4(x-2)+0.5로그 4(x-3)=0.25 |:0.5
log4(x-2)+log4(x-3)=0.5. 로그의 합을 곱의 로그로 변환합니다.
로그 4((x-2)(x-3))=0.5;
로그 4(x 2 -2x-3x+6)=0.5;
로그 4(x 2 -5x+6)=0.5. 로그의 정의:
x 2 -5x+4=0. Vieta의 정리에 따르면:
x 1 = 1; x2=4. x \u003d 1의 경우 이 평등의 로그가 존재하지 않기 때문에 x의 첫 번째 값은 작동하지 않습니다. 로그 부호 아래에는 양수만 올 수 있습니다.
x=4에 대해 이 방정식을 확인합시다.
시험.
0.5로그 4(4-2)+로그 16(4-3)=0.25
0.5로그 4 2+로그 16 1=0.25
0,5∙0,5+0=0,25
로그 a b=로그 c b/로그 c a
숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ숫자의 로그와 같습니다. 비새로운 기준으로 와 함께이전 밑의 로그로 나눈 값 ㅏ새로운 기준으로 와 함께.
예:
1) 로그 2 3=로그3/로그2;
2) 로그 8 7=ln7/ln8.
계산하다:
1) 로그 5 7그것이 알려진 경우 LG7≈0,8451; LG5≈0,6990.
씨비 / 통나무 씨ㅏ.
log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.
대답: 로그 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) 로그 5 7 그것이 알려진 경우 ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
해결책. 공식 적용: log b =log 씨비 / 통나무 씨ㅏ.
로그 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.
대답: 로그 5 7≈1,209 1≈1,209 .
x 찾기:
1) 로그 3 x=로그 3 4+로그 5 6/로그 5 3+로그 7 8/로그 7 3.
다음 공식을 사용합니다. 씨비 / 통나무 씨= 로그 b . 우리는 다음을 얻습니다.
로그 3 x=로그 3 4+로그 3 6+로그 3 8;
로그 3 x=로그 3(4∙6∙8);
로그 3 x=로그 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
다음 공식을 사용합니다. 씨비 / 통나무 씨= 로그 a b . 우리는 다음을 얻습니다.
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143-(lg11+lg13);
log 7 x=log143-log(11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
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모든 숫자와 마찬가지로 로그는 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 아주 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에 규칙이 있습니다. 기본 속성.
이 규칙을 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 극히 일부가 있습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.
밑이 같은 두 개의 로그를 고려하십시오. ㅏ 엑스그리고 로그 ㅏ 와이. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음을 수행할 수 있습니다.
따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 메모: 중요한 순간여기 - 같은 근거. 베이스가 다르면 이 규칙이 작동하지 않습니다!
이 공식은 개별 부분이 고려되지 않은 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예를 살펴보고 다음을 참조하십시오.
로그 6 4 + 로그 6 9.
로그의 밑이 같기 때문에 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.
작업. 다음 식의 값을 찾습니다. log 2 48 − log 2 3.
기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 - 로그 2 3 = 로그 2 (48:3) = 로그 2 16 = 4.
작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 3 135 - log 3 5.
다시 말하지만, 기본은 동일하므로 다음을 얻습니다.
로그 3 135 - 로그 3 5 = 로그 3 (135:5) = 로그 3 27 = 3.
보시다시피 원래 표현식은 "나쁜"로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변형 후에 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 통제 - 모든 진지함에서 유사한 표현(가끔 - 거의 변경 없음)이 시험에서 제공됩니다.
이제 작업을 조금 복잡하게 해 보겠습니다. 로그의 밑수나 인수에 차수가 있으면 어떻게 됩니까? 그러면 이 차수의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 빼낼 수 있습니다.
마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따른다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 그것을 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어 듭니다.
물론 ODZ 로그가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 엑스> 0. 그리고 한 가지 더: 모든 공식을 왼쪽에서 오른쪽으로 뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. 로그 자체에 로그 기호 앞의 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.
작업. 다음 표현식의 값을 찾으십시오. log 7 49 6 .
첫 번째 공식에 따라 인수의 차수를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12
작업. 표현식의 값을 찾으십시오.
[그림 캡션]
분모는 밑수와 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
[그림 캡션] 마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 분모로만 작업합니다. 그들은 거기에 서 있는 로그의 밑수와 인수를 도의 형태로 제시하고 지표를 꺼냈습니다. 그들은 "3층" 분수를 얻었습니다.
이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 같은 수를 가집니다. log 2 7. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남습니다. 산술 규칙에 따르면 4는 분자로 옮겨질 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다. 2.
로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서, 나는 그것들이 같은 밑에서만 작동한다는 점을 특별히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니면 어떻게 합니까?
새로운 기지로의 전환 공식이 구출됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.
로그를 기록하자 ㅏ 엑스. 그런 다음 임의의 숫자에 대해 씨그런 씨> 0 및 씨≠ 1, 평등은 참입니다:
[그림 캡션]
특히, 우리가 넣으면 씨 = 엑스, 우리는 다음을 얻습니다.
[그림 캡션]
두 번째 공식에서 밑수와 로그 인수를 교환하는 것이 가능하지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다", 즉 로그는 분모에 있습니다.
이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 찾아볼 수 없습니다. 결정할 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다. 대수 방정식그리고 불평등.
하지만 새 재단으로 옮기는 것 외에는 전혀 풀 수 없는 과제가 있다. 다음 중 몇 가지를 고려해 보겠습니다.
작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 5 16 log 2 25.
두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 제거합시다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;
이제 두 번째 로그를 뒤집습니다.
[그림 캡션]곱은 요인의 순열에 따라 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 대수를 알아 냈습니다.
작업. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.
첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 기록하고 지표를 제거합시다.
[그림 캡션]이제 새 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.
[그림 캡션]종종 푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 합니다. 이 경우 공식이 도움이 될 것입니다.
첫 번째 경우에는 번호 N인수의 지수가 됩니다. 숫자 N그것은 단지 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.
두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 이를 기본 로그 항등식이라고 합니다.
실제로 숫자가 있으면 어떻게됩니까? 비그렇게 하기 위해 권력을 끌어올리다 비이 정도까지 숫자를 제공합니다 ㅏ? 맞습니다: 이것은 같은 숫자입니다 ㅏ. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.
새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 가능한 솔루션입니다.
작업. 표현식의 값을 찾으십시오.
[그림 캡션]
log 25 64 = log 5 8 - 밑수와 로그 인수에서 제곱을 제거했습니다. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.
[그림 캡션]모르는 사람이 있다면 이것은 시험의 실제 과제였습니다. :)
결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 줄 것이다. 오히려 이것들은 로그 정의의 결과이다. 그들은 문제에서 끊임없이 발견되며 놀랍게도 "상급"학생에게도 문제를 만듭니다.
그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하여 문제를 해결하십시오.
많은 학생들이 이런 종류의 방정식에 집착합니다. 동시에 작업 자체는 결코 복잡하지 않습니다. 안정적인 표현식을 분리하는 방법을 배워야 하는 유능한 변수 대체를 수행하는 것만으로도 충분합니다.
이 수업 외에도 각각 6개의 작업이 있는 두 가지 옵션으로 구성된 다소 방대한 독립 작업을 찾을 수 있습니다.
오늘 우리는 두 개의 대수 방정식을 분석할 것입니다. 그 중 하나는 "전체적으로" 풀 수 없고 특별한 변환이 필요하고 두 번째는 ... 그러나 한 번에 모든 것을 말하지는 않겠습니다. 비디오를 보고 독립적인 작업을 다운로드하고 복잡한 문제를 해결하는 방법을 배우십시오.
따라서 대괄호에서 공통 요소를 그룹화하고 제거합니다. 또한 대수 정의 영역의 함정이 무엇인지, 정의 영역에 대한 작은 언급이 근과 전체 해를 얼마나 크게 변화시킬 수 있는지 알려 드리겠습니다.
그룹화부터 시작하겠습니다. 다음 로그 방정식을 풀어야 합니다.
로그 2 x 로그 2 (x − 3) + 1 = 로그 2 (x 2 − 3x )
우선 x 2 − 3x를 인수분해할 수 있습니다.
로그 2 x (x − 3)
그런 다음 우리는 멋진 공식을 기억합니다.
log a fg = log a f + log a g
즉시 작은 메모: 이 공식은 , f 및 g가 일반 숫자일 때 잘 작동합니다. 그러나 그 대신에 기능이 있을 때 이러한 표현은 권리가 동등하지 않게 됩니다. 다음과 같은 가상의 상황을 상상해 보십시오.
에프< 0; g < 0
이 경우 곱 fg는 양수이므로 log a( fg )는 존재하지만 log f와 log g는 별도로 존재하지 않으며 이러한 변환을 수행할 수 없습니다.
묵살 이 사실정의 영역이 좁아지고 결과적으로 뿌리가 손실됩니다. 따라서 이러한 변환을 수행하기 전에 함수 f와 g가 양수인지 미리 확인해야 합니다.
우리의 경우 모든 것이 간단합니다. 원래 방정식에 함수 log 2 x가 있으므로 x > 0(결국 변수 x가 인수에 있음)입니다. 로그 2(x − 3)도 있으므로 x − 3 > 0입니다.
따라서 함수 log 2 x (x − 3)에서 각 요인은 0보다 커집니다. 따라서 제품을 다음 합계로 안전하게 분해할 수 있습니다.
로그 2 x 로그 2(x − 3) + 1 = 로그 2 x + 로그 2(x − 3)
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0
언뜻 보기에는 쉽지 않은 일처럼 보일 수 있습니다. 반대로 용어의 수만 증가했습니다! 더 진행하는 방법을 이해하기 위해 새로운 변수를 소개합니다.
로그 2 x = a
로그 2(x − 3) = b
a b + 1 − a − b = 0
이제 세 번째 항을 첫 번째 항과 그룹화합니다.
(a b - a) + (1 - b) = 0
a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0
첫 번째와 두 번째 대괄호에는 모두 b − 1이 포함되어 있습니다(두 번째 경우에는 대괄호에서 "빼기"를 빼야 함). 구성을 인수분해해 보겠습니다.
a (1 b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(a 1 − 1) = 0
그리고 이제 우리는 우리의 놀라운 규칙을 기억합니다. 요인 중 하나 이상이 0일 때 곱은 0과 같습니다.
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
b와 a가 무엇인지 기억합시다. 로그의 부호를 제거하고 인수를 동일시하는 것만 남은 두 개의 간단한 로그 방정식을 얻습니다.
로그 2 x = 1 ⇒ 로그 2 x = 로그 2 2 ⇒ x 1 =2;
로그 2(x − 3) = 1 ⇒ 로그 2(x − 3) = 로그 2 2 ⇒ x 2 = 5
우리는 두 개의 근을 얻었지만 이것은 원래의 대수 방정식의 해가 아니라 답의 후보일 뿐입니다. 이제 도메인을 확인해보자. 첫 번째 인수의 경우:
x > 0
두 루트 모두 첫 번째 요구 사항을 충족합니다. 두 번째 인수로 넘어 갑시다.
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
그러나 여기서 이미 x = 2는 우리를 만족시키지 않지만 x = 5는 우리에게 아주 잘 맞습니다. 따라서 유일한 답은 x = 5입니다.
두 번째 로그 방정식으로 넘어갑니다. 언뜻보기에는 훨씬 간단합니다. 그러나 그것을 해결하는 과정에서 우리는 정의의 영역과 관련된 미묘한 점을 고려할 것입니다. 무지는 초보자의 삶을 상당히 복잡하게 만듭니다.
로그 0.7(x 2 - 6x + 2) = 로그 0.7(7 - 2x)
우리 앞에는 대수 방정식의 정준 형식이 있습니다. 아무것도 변환할 필요가 없습니다. 기본도 동일합니다. 따라서 우리는 단순히 인수를 동일시합니다.
x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x
x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0
x 2 - 4x - 5 = 0
주어진 이차 방정식이 있기 전에 Vieta 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있습니다.
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = -1.
그러나 이러한 뿌리는 아직 확실한 답이 아닙니다. 원래 방정식에는 두 개의 로그가 있으므로 정의 영역을 찾아야 합니다. 정의 영역을 반드시 고려해야 합니다.
따라서 정의 영역을 작성해 보겠습니다. 한편으로 첫 번째 로그의 인수는 0보다 커야 합니다.
x 2 − 6x + 2 > 0
반면에 두 번째 인수도 0보다 커야 합니다.
7 − 2x > 0
이러한 요구 사항은 동시에 충족되어야 합니다. 그리고 여기에서 가장 흥미로운 것이 시작됩니다. 물론, 우리는 이러한 각 부등식을 풀고 그것들을 교차시키고 전체 방정식의 영역을 찾을 수 있습니다. 하지만 왜 자신의 삶을 어렵게 만드는가?
하나의 미묘함을 주목합시다. 로그 기호를 없애고 인수를 동일시합니다. 이것은 요구 사항 x 2 − 6x + 2 > 0 및 7 − 2x > 0이 동일함을 의미합니다. 결과적으로 두 부등식 중 하나를 지울 수 있습니다. 가장 어려운 부분을 지우고 일반적인 선형 부등식을 남겨 둡시다.
-2배 > -7
엑스< 3,5
양변을 음수로 나누었기 때문에 부등식의 부호가 변경되었습니다.
그래서 우리는 아무 것도 없이 ODZ를 찾았습니다. 제곱 부등식, 판별식 및 교차점. 이제 이 간격에 있는 뿌리를 선택하는 것만 남아 있습니다. 분명히 x = 5 > 3.5이기 때문에 x = −1만이 우리에게 적합합니다.
답을 쓸 수 있습니다. x = 1은 유일한 해결책원래 로그 방정식.
이 로그 방정식의 결론은 다음과 같습니다.
사실 이것이 내가 그룹화에 대해 말하고 싶었던 전부입니다. :)
오늘 우리는 많은 학생들이 실수하는 두 가지 전형적인 로그 방정식을 분석할 것입니다. 이 방정식의 예에서 우리는 원래 표현을 풀고 변환하는 과정에서 가장 자주 발생하는 실수를 볼 것입니다.
이것은 분모 어딘가에 로그가 있는 분수가 항상 즉시 존재하지 않는 다소 교활한 유형의 방정식이라는 점에 즉시 주목해야 합니다. 그러나 변환 과정에서 이러한 분수가 반드시 발생합니다.
동시에주의하십시오. 변환 과정에서 로그 정의의 초기 도메인이 크게 변경 될 수 있습니다!
분수와 변수 밑을 포함하는 훨씬 더 엄격한 로그 방정식으로 전환합니다. 하나의 짧은 수업에서 더 많은 것을 하기 위해 기본 이론은 말하지 않겠습니다. 작업으로 바로 가자:
4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1
이 방정식을 보고 누군가는 이렇게 질문할 것입니다. 이 방정식에서 분수는 어디에 있습니까? 서두르지 말고 각 용어를 자세히 살펴 보겠습니다.
첫 번째 항: 4 log 25 (x − 1). 로그의 밑은 숫자이지만 인수는 x 의 함수입니다. 아직 아무것도 할 수 없습니다. 계속해.
다음 항은 log 3 27입니다. 27 = 3 3 임을 상기하십시오. 따라서 전체 로그를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
로그 3 27 = 3 3 = 3
따라서 두 번째 항은 단지 3입니다. 세 번째 항: 2 log x − 1 5. 여기에서도 모든 것이 간단한 것은 아닙니다. 밑은 함수이고 인수는 보통 숫자입니다. 다음 공식에 따라 전체 로그를 뒤집을 것을 제안합니다.
로그 a b = 1/로그 b a
이러한 변환은 b ≠ 1인 경우에만 수행할 수 있습니다. 그렇지 않으면 두 번째 분수의 분모에서 얻을 로그가 단순히 존재하지 않을 것입니다. 우리의 경우 b = 5이므로 모든 것이 정상입니다.
2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
얻은 변환을 고려하여 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
4 로그 25 (x − 1) − 3 + 2/ 로그 5 (x − 1) = 1
분수의 분모에 log 5(x − 1)가 있고 첫 번째 항에 log 25(x − 1)가 있습니다. 그러나 25 \u003d 5 2이므로 규칙에 따라 로그 밑에서 제곱을 제거합니다.
즉, 로그 밑의 지수는 앞의 분수가 됩니다. 그리고 표현식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0
우리는 동일한 로그가 많은 긴 방정식으로 끝났습니다. 새로운 변수를 소개하겠습니다.
로그 5(x − 1) = t;
2t - 4 + 2/t = 0;
그러나 이것은 이미 분수 - 이성 방정식이며 8-9 학년의 대수학을 통해 해결됩니다. 먼저 두 가지로 나누어 보겠습니다.
t - 2 + 1/t = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0
정확한 사각형은 괄호 안에 있습니다. 롤업하자:
(t - 1) 2 /t = 0
분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0입니다. 이 사실을 절대 잊지 마십시오.
(t - 1) 2 = 0
t=1
≠ 0
t가 무엇인지 기억합시다.
로그 5(x − 1) = 1
로그 5 (x − 1) = 로그 5 5
우리는 로그 기호를 제거하고 인수를 동일시하며 다음을 얻습니다.
x − 1 = 5 ⇒ x = 6
모두. 문제 해결됨. 그러나 원래 방정식으로 돌아가서 x 변수에 한 번에 두 개의 로그가 있다는 것을 기억합시다. 따라서 정의 영역을 작성해야 합니다. x − 1은 로그 인수에 있으므로 이 표현식은 0보다 커야 합니다.
x − 1 > 0
반면에 동일한 x − 1이 밑면에도 존재하므로 다음과 달라야 합니다.
x − 1 ≠ 1
따라서 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.
x > 1; x ≠ 2
이러한 요구 사항은 동시에 충족되어야 합니다. 값 x = 6은 두 요구 사항을 모두 충족하므로 x = 6은 로그 방정식의 최종 솔루션입니다.
두 번째 작업으로 넘어 갑시다.
다시 말하지만, 서두르지 말고 각 용어를 살펴보겠습니다.
log 4 (x + 1) - 밑변에 4가 있습니다. 평소의 숫자이며, 당신은 그것을 만질 수 없습니다. 그러나 지난번에 우리는 밑변에서 정확한 정사각형을 발견했는데, 이는 로그 기호 아래에서 꺼내야 했습니다. 이제 동일한 작업을 수행해 보겠습니다.
로그 4(x + 1) = 1/2 로그 2(x + 1)
트릭은 기저에 있음에도 불구하고 변수 x 가 있는 로그가 이미 있다는 것입니다. 이는 방금 찾은 로그의 역수입니다.
8 로그 x + 1 2 = 8 (1/로그 2(x + 1)) = 8/로그 2(x + 1)
다음 항은 log 2 8입니다. 인수와 밑이 모두 일반 숫자이기 때문에 이것은 상수입니다. 값을 찾자:
로그 2 8 = 로그 2 2 3 = 3
마지막 로그에서도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다.
이제 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
1/2 로그 2 (x + 1) + 8/로그 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
로그 2 (x + 1)/2 + 8/로그 2 (x + 1) − 4 = 0
모든 것을 공통 분모로 봅시다.
우리 앞에는 다시 분수-합리 방정식이 있습니다. 새로운 변수를 소개하겠습니다.
t = 로그 2(x + 1)
새 변수를 고려하여 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
주의: 이 단계에서 용어를 바꿨습니다. 분수의 분자는 차이의 제곱입니다.
지난 시간과 마찬가지로 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0입니다.
(t - 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
≠ 0
모든 요구 사항을 충족하는 하나의 루트가 있으므로 x 변수로 돌아갑니다.
로그 2(x + 1) = 4;
로그 2(x + 1) = 로그 2 2 4;
x + 1 = 16;
x=15
그게 다야, 우리는 방정식을 풀었습니다. 그러나 원래 방정식에는 여러 개의 로그가 있었기 때문에 정의 영역을 작성해야 합니다.
따라서 표현식 x + 1은 로그 인수에 있습니다. 따라서 x + 1 > 0입니다. 반면에 x + 1은 베이스에도 존재합니다. 즉, x + 1 ≠ 1. 합계:
0 ≠ x > -1
찾은 루트가 이러한 요구 사항을 충족합니까? 의심할 여지 없이. 따라서 x = 15는 원래 로그 방정식의 해입니다.
마지막으로 다음과 같이 말하고 싶습니다. 방정식을 보고 복잡하고 비표준적인 문제를 풀어야 한다는 것을 이해한다면 나중에 다른 변수로 표시될 안정적인 구조를 강조 표시하려고 합니다. 일부 항에 변수 x가 전혀 포함되어 있지 않으면 간단히 계산할 수 있는 경우가 많습니다.
그것이 내가 오늘 이야기하고 싶었던 전부입니다. 이 강의가 복잡한 로그 방정식을 푸는 데 도움이 되기를 바랍니다. 다른 비디오 자습서를 보고 다운로드하여 해결하십시오. 독립적 인 일그리고 다음 영상에서 만나요!
지침
주어진 대수식을 쓰십시오. 표현식이 10의 로그를 사용하는 경우 표기법이 단축되고 다음과 같이 표시됩니다. lg b는 십진 로그. 로그의 밑수가 e인 경우 식은 다음과 같이 작성됩니다. ln b는 자연 로그입니다. any의 결과는 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올려야 하는 거듭제곱임을 이해해야 합니다.
두 함수의 합을 찾을 때 하나씩 미분하여 결과를 추가하면 됩니다. (u+v)" = u"+v";
두 함수의 곱의 도함수를 찾을 때 첫 번째 함수의 도함수에 두 번째 함수를 곱하고 두 번째 함수의 도함수에 첫 번째 함수를 곱한 값을 더해야 합니다. (u*v)" = u"* v+v"*u;
두 함수의 몫의 도함수를 찾으려면 제수 함수를 곱한 피제수 도함수의 곱에서 제수 함수를 곱한 제수 도함수의 곱을 빼고 나누어야 합니다. 이 모든 것은 제수 함수의 제곱으로 이루어집니다. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
주어진 경우 복잡한 기능, 그러면 내부 함수의 도함수와 외부 함수의 도함수를 곱해야 합니다. y=u(v(x))라고 하면 y"(x)=y"(u)*v"(x)입니다.
위에서 얻은 것을 사용하여 거의 모든 기능을 구별할 수 있습니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *엑스));
한 점에서 도함수를 계산하는 작업도 있습니다. 함수 y=e^(x^2+6x+5)가 주어지면 x=1 지점에서 함수의 값을 찾아야 합니다.
1) 함수의 도함수를 찾습니다: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) 주어진 점 y"(1)=8*e^0=8에서 함수의 값을 계산합니다.
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출처:
그렇다면 비합리적인 방정식과 합리적인 방정식의 차이점은 무엇입니까? 알 수 없는 변수가 제곱근 기호 아래에 있으면 방정식이 비합리적인 것으로 간주됩니다.
지침
이러한 방정식을 푸는 주요 방법은 두 부분을 모두 올리는 방법입니다. 방정식광장으로. 하지만. 이것은 자연스러운 일이며 첫 번째 단계는 표시를 제거하는 것입니다. 기술적으로 이 방법은 어렵지 않지만 때로는 문제가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 v(2x-5)=v(4x-7). 양변을 제곱하면 2x-5=4x-7이 됩니다. 이러한 방정식은 풀기 어렵지 않습니다. x=1. 그러나 숫자 1은 주어지지 않습니다 방정식. 왜요? x값 대신 방정식의 단위를 대입하면 오른쪽과 왼쪽에 말이 안 되는 표현이 들어갑니다. 이러한 값은 제곱근에 대해 유효하지 않습니다. 따라서 1은 외부 근이므로 이 방정식에는 근이 없습니다.
따라서 비합리적인 방정식은 두 부분을 모두 제곱하는 방법을 사용하여 풉니다. 그리고 방정식을 풀면 외부 뿌리를 잘라낼 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 원래 방정식에서 찾은 근을 대체하십시오.
다른 것을 고려하십시오.
2x+vx-3=0
물론 이 방정식은 이전 방정식과 동일한 방정식을 사용하여 풀 수 있습니다. 화합물 이동 방정식, 제곱근이 없는 오른쪽그런 다음 제곱 방법을 사용합니다. 결과 합리적인 방정식과 근을 풉니다. 그러나 다른 하나는 더 우아한 것입니다. 새 변수를 입력하십시오. vx=y. 따라서 2y2+y-3=0과 같은 방정식을 얻게 됩니다. 그것이 일반적인 이차 방정식입니다. 그 뿌리를 찾으십시오. y1=1 및 y2=-3/2. 다음으로 두 가지를 해결 방정식 vx=1; vx \u003d -3/2. 두 번째 방정식에는 근이 없습니다. 첫 번째 방정식에서 x=1임을 알 수 있습니다. 뿌리를 확인해야 할 필요성을 잊지 마십시오.
신원을 해결하는 것은 아주 쉽습니다. 이를 위해서는 목표가 달성될 때까지 동일한 변환을 수행해야 합니다. 따라서 가장 간단한 산술 연산의 도움으로 작업이 해결됩니다.
필요할 것이예요
지침
가장 간단한 이러한 변환은 대수적 약식 곱셈입니다(예: 합(차)의 제곱, 제곱의 차, 합(차), 합(차)의 세제곱). 이 밖에도 많은 삼각 공식, 본질적으로 동일한 ID입니다.
실제로 두 항의 합 제곱은 제곱과 같다첫 번째 더하기의 두 배 첫 번째와 두 번째 곱의 두 배 더하기 두 번째 것의 제곱, 즉 (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.
둘 다 단순화
