매클로린 급수에서 죄의 확장. 파워 시리즈로 기능 확장

웹사이트에 수학 공식을 삽입하는 방법은 무엇입니까?

웹 페이지에 하나 또는 두 개의 수학 공식을 추가해야 하는 경우 가장 쉬운 방법은 기사에 설명된 대로입니다. 수학 공식은 Wolfram Alpha에서 자동으로 생성된 그림 형식으로 사이트에 쉽게 삽입됩니다. . 단순함 외에도 이 보편적인 방법은 사이트의 가시성을 향상시키는 데 도움이 됩니다. 검색 엔진. 그것은 오랫동안 작동해 왔지만(제 생각에는 영원히 작동할 것입니다) 이미 도덕적으로 구식입니다.

사이트에서 수학 공식을 정기적으로 사용하는 경우 MathML, LaTeX 또는 ASCIIMathML 마크업을 사용하여 웹 브라우저에 수학 표기법을 표시하는 특수 JavaScript 라이브러리인 MathJax를 사용하는 것이 좋습니다.

MathJax 사용을 시작하는 방법에는 두 가지가 있습니다: (1) 간단한 코드를 사용하여 MathJax 스크립트를 웹사이트에 빠르게 연결할 수 있습니다. 이 스크립트는 적시에 원격 서버에서 자동으로 로드됩니다(서버 목록). (2) MathJax 스크립트를 원격 서버에서 귀하의 서버로 다운로드하고 이를 귀하 사이트의 모든 페이지에 연결하십시오. 더 복잡하고 시간이 많이 걸리는 두 번째 방법은 사이트 페이지 로딩 속도를 높이고, 어떤 이유로 상위 MathJax 서버를 일시적으로 사용할 수 없게 되더라도 이는 귀하의 사이트에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 이러한 장점에도 불구하고 저는 첫 번째 방법이 더 간단하고 빠르며 기술이 필요하지 않기 때문에 선택했습니다. 내 예를 따르면 단 5분 안에 귀하의 사이트에서 MathJax의 모든 기능을 사용할 수 있습니다.

기본 MathJax 웹사이트나 문서 페이지에서 가져온 두 가지 코드 옵션을 사용하여 원격 서버에서 MathJax 라이브러리 스크립트를 연결할 수 있습니다.

이러한 코드 옵션 중 하나를 복사하여 웹페이지의 코드에 붙여넣어야 합니다. 태그 사이나 태그 바로 뒤에 붙여넣는 것이 좋습니다. 첫 번째 옵션에 따르면 MathJax는 더 빠르게 로드되고 페이지 속도가 덜 느려집니다. 그러나 두 번째 옵션은 최신 버전의 MathJax를 자동으로 모니터링하고 로드합니다. 첫 번째 코드를 삽입하면 정기적으로 업데이트해야 합니다. 두 번째 코드를 삽입하면 페이지가 더 느리게 로드되지만 MathJax 업데이트를 지속적으로 모니터링할 필요는 없습니다.

MathJax를 연결하는 가장 쉬운 방법은 Blogger 또는 WordPress에 있습니다. 사이트 제어판에서 타사 JavaScript 코드를 삽입하도록 설계된 위젯을 추가하고 위에 제시된 다운로드 코드의 첫 번째 또는 두 번째 버전을 복사한 다음 위젯을 더 가까이 배치합니다. 템플릿의 시작 부분까지(그런데 MathJax 스크립트가 비동기적으로 로드되기 때문에 이것은 전혀 필요하지 않습니다). 그게 다야. 이제 MathML, LaTeX 및 ASCIIMathML의 마크업 구문을 배우고 사이트의 웹 페이지에 수학 공식을 삽입할 준비가 되었습니다.

모든 프랙탈은 무제한으로 일관되게 적용되는 특정 규칙에 따라 구성됩니다. 이러한 각 시간을 반복이라고 합니다.

멩거 스펀지를 구성하기 위한 반복 알고리즘은 매우 간단합니다. 측면 1이 있는 원래 정육면체는 면에 평행한 평면에 의해 27개의 동일한 정육면체로 나뉩니다. 하나의 중앙 큐브와 면을 따라 인접한 6개의 큐브가 제거됩니다. 결과는 나머지 20개의 작은 큐브로 구성된 세트입니다. 각 큐브에 동일한 작업을 수행하면 400개의 작은 큐브로 구성된 세트가 생성됩니다. 이 과정을 끝없이 계속하면 Menger 스폰지가 생깁니다.

임의의 함수가 집합에 정의되어 있는 경우를 보여드리겠습니다.
, 지점 부근
많은 파생 상품이 있으며 거듭제곱 시리즈의 합입니다.

그러면 이 계열의 계수를 찾을 수 있습니다.

멱급수로 바꿔보자
. 그 다음에
.

함수의 1차 도함수를 구해보자
:

~에
:
.

2차 미분에 대해 우리는 다음을 얻습니다:

~에
:
.

이 절차를 계속 N일단 우리가 얻으면:
.

따라서 우리는 다음 형식의 거듭제곱 계열을 얻었습니다.

,

라고 불리는 테일러 옆에기능을 위해
지점 근처에
.

Taylor 시리즈의 특별한 경우는 다음과 같습니다. 매클로린 시리즈~에
:

Taylor(Maclaurin) 계열의 나머지는 주 계열을 버리고 얻어집니다. N첫 번째 멤버는 다음과 같이 표시됩니다.
. 그런 다음 기능
합계로 쓸 수 있다 N시리즈의 첫 번째 멤버
그리고 나머지
:,

.

나머지는 보통
다양한 수식으로 표현됩니다.

그 중 하나는 라그랑주 형식입니다.

, 어디
.
.

실제로는 Maclaurin 급수가 더 자주 사용됩니다. 따라서 함수를 작성하려면
멱급수 합계의 형태로 다음이 필요합니다.

1) Maclaurin(Taylor) 계열의 계수를 찾습니다.

2) 결과적인 거듭제곱 계열의 수렴 영역을 찾습니다.

3) 이 계열이 다음 함수로 수렴됨을 증명하십시오.
.

정리 1(매클로린 급수의 수렴을 위한 필요충분조건). 시리즈의 수렴 반경을 보자
. 이 계열이 간격으로 수렴하려면
기능하다
,조건이 충족되기 위해서는 필요하고 충분합니다.
지정된 간격으로.

정리 2. 함수 차수의 도함수인 경우
어느 정도 간격을 두고
절대값이 동일한 숫자로 제한됨 중, 그건
, 이 간격에서 함수는
Maclaurin 계열로 확장할 수 있습니다.

예시 1. 점 주변의 Taylor 시리즈로 확장
기능.

해결책.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

융합지역
.

예시 2. 기능 확장 한 점 주위의 테일러 급수에서
.

해결책:

함수와 그 파생물의 값을 찾으십시오.
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

이 값들을 일렬로 나열해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

또는
.

이 급수의 수렴영역을 찾아보자. d'Alembert의 검정에 따르면 계열은 다음과 같이 수렴합니다.

.

그러므로 어떤 경우에도 이 한계는 1보다 작으므로 계열의 수렴 범위는 다음과 같습니다.
.

기본 기본 함수의 매클로린 급수 확장의 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다. Maclaurin 시리즈를 기억하세요:

.

간격으로 수렴
기능하다
.

함수를 시리즈로 확장하려면 다음이 필요합니다.

a) 이 함수에 대한 매클로린 급수 계수를 구합니다.

b) 결과 계열에 대한 수렴 반경을 계산합니다.

c) 결과 계열이 다음 함수로 수렴됨을 증명합니다.
.

예제 3. 함수를 고려해보세요
.

해결책.

함수와 그 파생물의 값을 계산해 보겠습니다.
.

그런 다음 계열의 수치 계수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

누구에게나 N.발견된 계수를 Maclaurin 급수로 대체하고 다음을 얻습니다.

결과 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다. 즉:

.

따라서 계열은 간격으로 수렴합니다.
.

이 계열은 다음 함수로 수렴됩니다. 어떤 값에도 , 왜냐하면 어떤 간격으로든
기능 절대값 파생 상품의 수는 제한되어 있습니다. .

예시 4. 기능을 고려하십시오
.

해결책.

:

짝수차의 파생물이 있음을 쉽게 알 수 있습니다.
, 그리고 파생 상품은 홀수 차수입니다. 발견된 계수를 Maclaurin 급수로 대체하고 확장을 구해 보겠습니다.

수렴구간을 구해보자 이 시리즈. d'Alembert 징후에 따르면:

누구에게나 . 따라서 계열은 간격으로 수렴합니다.
.

이 계열은 다음 함수로 수렴됩니다.
, 모든 파생 상품이 단일성으로 제한되기 때문입니다.

실시예 5.
.

해결책.

함수와 그 파생물의 값을 찾아 보겠습니다.
:

따라서 이 계열의 계수는 다음과 같습니다.
그리고
, 따라서:

이전 행과 유사하게 수렴되는 영역
. 계열은 다음 함수로 수렴합니다.
, 모든 파생 상품이 단일성으로 제한되기 때문입니다.

기능을 참고해주세요
홀수 거듭제곱, 함수의 홀수 및 계열 확장
– 균등하고 짝수 거듭제곱으로 시리즈로 확장합니다.

실시예 6. 이항 계열:
.

해결책.

함수와 그 파생물의 값을 찾아 보겠습니다.
:

이를 통해 다음을 알 수 있습니다.

이 계수 값을 Maclaurin 급수로 대체하고 이 함수를 거듭제곱 급수로 확장해 보겠습니다.

이 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다.

따라서 계열은 간격으로 수렴합니다.
. 제한 지점에서
그리고
지수에 따라 계열은 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있습니다.
.

연구된 계열은 간격으로 수렴합니다.
기능하다
즉, 계열의 합입니다.
~에
.

실시예 7. 매클로린 급수(Maclaurin series)의 함수를 확장해 보겠습니다.
.

해결책.

이 함수를 계열로 확장하기 위해 다음과 같은 이항 계열을 사용합니다.
. 우리는 다음을 얻습니다:

멱급수(멱급수는 수렴하는 영역에서 적분될 수 있음)의 속성을 바탕으로 왼쪽과 제곱의 적분을 찾습니다. 오른쪽 부분이 시리즈의:

이 시리즈의 수렴 영역을 찾아 보겠습니다.
,

즉, 이 계열의 수렴 영역은 간격입니다.
. 구간의 끝에서 계열의 수렴을 결정해 보겠습니다. ~에

. 이 계열은 조화로운 계열, 즉 발산하는 계열입니다. ~에
우리는 공통 용어로 숫자 시리즈를 얻습니다
.

급수는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴됩니다. 따라서 이 계열의 수렴 영역은 간격입니다.
.

대략적인 계산에서 멱급수는 매우 중요한 역할을 합니다. 도움을 받아 삼각 함수 표, 로그 표, 기타 함수 값 표가 작성되었으며, 이는 확률 이론 및 수학적 통계와 같은 다양한 지식 분야에서 사용됩니다. 또한 함수를 거듭제곱 계열로 확장하는 것은 이론적 연구에 유용합니다. 대략적인 계산에서 멱급수를 사용할 때 주요 문제는 계열의 합을 첫 번째 계열의 합으로 대체할 때 오류를 추정하는 문제입니다. N회원.

두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

이 기능은 부호 교대 계열로 확장됩니다.

함수는 일련의 상수 부호로 확장됩니다.

기능을 보자
교류 전력 계열로 확장되었습니다. 그런 다음 특정 값에 대해 이 함수를 계산할 때 라이프니츠 기준을 적용할 수 있는 수열을 얻습니다. 이 기준에 따라 계열의 합이 첫 번째 계열의 합으로 대체되면 N항이면 절대 오차는 이 계열의 나머지 부분 중 첫 번째 항을 초과하지 않습니다. 즉,
.

실시예 8. 계산하다
0.0001의 정확도로.

해결책.

Maclaurin 급수를 사용하겠습니다.
, 각도 값을 라디안으로 대체:

주어진 정확도로 계열의 첫 번째 항과 두 번째 항을 비교하면 다음과 같습니다.

세 번째 확장 기간:

지정된 계산 정확도보다 낮습니다. 그러므로 계산하려면
시리즈의 두 항을 남겨두는 것으로 충분합니다.

.

따라서
.

실시예 9. 계산하다
0.001의 정확도로.

해결책.

우리는 이항 급수 공식을 사용할 것입니다. 이를 위해 다음과 같이 작성해 보겠습니다.
처럼:
.

이 표현에서는
,

계열의 각 항을 지정된 정확도와 비교해 보겠습니다. 분명하다
. 그러므로 계산하려면
시리즈의 세 가지 용어를 남기는 것으로 충분합니다.

또는
.

실시예 10. 숫자 계산 0.001의 정확도로.

해결책.

기능에 대한 연속
대체하자
. 우리는 다음을 얻습니다:

계열의 합을 첫 번째 계열의 합으로 대체할 때 발생하는 오류를 추정해 보겠습니다. 회원. 명백한 불평등을 적어 보겠습니다.

그건 2 무한대. 존재하는 경우 함수 f(x)는 매클로린 급수의 합과 일치해야 합니다.

이제 개별 기능에 대한 Maclaurin 급수를 고려해 보겠습니다.

1. 따라서 첫 번째 것은 f(x) = e x가 됩니다. 물론, 그 특성상 이러한 함수는 매우 다른 차수의 도함수를 가지며, f (k) (x) = e x , 여기서 k는 모두와 같습니다. x = 0을 대체합니다. 우리는 f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... 위의 내용을 기반으로 시리즈 e x는 다음과 같습니다.

2. 함수 f(x) = sin x에 대한 매클로린 급수. 모든 미지수에 대한 함수는 도함수를 가지며, 또한 f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), 여기서 k는 임의와 같음 자연수. 즉, 간단한 계산을 통해 f(x) = sin x에 대한 계열은 다음과 같은 형식이 될 것이라는 결론에 도달할 수 있습니다.

3. 이제 f(x) = cos x 함수를 고려해 보겠습니다. 모든 미지수에 대해 임의 차수의 도함수를 가지며 |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|