밑이 10인 로그 9. 로그. 십진 로그

\(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)

좀 더 쉽게 설명해보자. 예를 들어, \(\log_(2)(8)\)는 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 거듭제곱해야 하는 것과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)임을 알 수 있습니다.

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준에서 작성되고 밑은 로그의 부호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같이 읽습니다. "25의 로그에 대한 5의 밑수".

로그를 계산하는 방법?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻으려면 밑을 어느 정도 올려야 합니까?

예를 들어, 로그 계산: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻으려면 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\로그_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻으려면 \(\sqrt(5)\)를 몇 제곱해야 합니까? 그리고 숫자를 단위로 만드는 정도는 무엇입니까? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) 를 얻으려면 \(\sqrt(7)\) 을 몇 제곱해야 합니까? 첫 번째 - 첫 번째 학위의 모든 숫자는 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻으려면 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 그것이 분수의 거듭제곱이라는 것을 알고 있습니다. 제곱근차수 \(\frac(1)(2)\) 입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예시 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

대답 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었습니까?

이것을 이해하기 위해 방정식을 풀어봅시다: \(3^(x)=9\). 평등이 작동하도록 하려면 \(x\)를 일치시키기만 하면 됩니다. 물론 \(x=2\)입니다.

이제 다음 방정식을 풉니다: \(3^(x)=8\) x는 무엇과 같습니까? 그게 요점입니다.

가장 독창적인 사람은 "X는 2보다 조금 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자는 정확히 어떻게 써야 합니까? 이 질문에 답하기 위해 그들은 로그를 생각해 냈습니다. 그 덕분에 여기서 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

나는 \(\log_(3)(8)\) 뿐만 아니라 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 예, 비정상적으로 보이지만 짧습니다. 왜냐하면 우리가 그것을 형식으로 쓰고 싶다면 소수, 그러면 다음과 같이 보일 것입니다: \(1.892789260714.....\)

예시 : 방정식 \(4^(5x-4)=10\) 풀기

해결책 :

대답 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

소수 및 자연 로그

로그의 정의에 명시된 바와 같이, 그 밑은 1을 제외한 모든 양수일 수 있습니다((a>0, a\neq1)\). 그리고 가능한 모든 밑수 중에서 두 가지가 너무 자주 발생하여 로그에 대한 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다.

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(약 \(2.7182818…\)와 같음)이고 로그는 \(\ln(a)\)로 작성되는 로그입니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 동일합니다.

십진 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 작성됩니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 동일합니다., 여기서 \(a\)는 일부 숫자입니다.

기본 로그 항등

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 로그 항등"이라고 하며 다음과 같습니다.

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 생겼는지 봅시다.

로그의 짧은 정의를 기억하십시오.

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉, \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 같습니다. 그러면 \(a^(b)=c\) 공식에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\) 를 쓸 수 있습니다. \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 로그 항등으로 밝혀졌습니다.

로그의 나머지 속성을 찾을 수 있습니다. 그들의 도움으로 직접 계산하기 어려운 대수를 사용하여 표현식의 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예시 : 표현식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값 찾기

해결책 :

대답 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법은 무엇입니까?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자에 불과합니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 어떤 숫자도 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, \(\log_(2)(4)\)는 2와 같습니다. 그런 다음 두 개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 도 \(2\) 와 같으므로 \(2=\log_(3)(9)\) 도 쓸 수 있습니다. \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\) 등과 유사합니다. 즉, 밝혀진다.

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 두 가지를 밑수가 있는 로그로 쓸 수 있습니다(방정식에서도, 표현식에서도, 부등식에서도) - 밑수 제곱을 인수로 쓰면 됩니다.

트리플과 동일합니다. \(\log_(2)(8)\), \(\log_(3)(27)\), 또는 \(\log_(4)( 64) \) ... 여기에서 큐브의 밑수를 인수로 씁니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 네 가지:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

그리고 마이너스 1:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

그리고 3분의 1:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 밑이 \(b\)인 로그로 나타낼 수 있습니다. \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예시 : 표현식의 값 찾기 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

대답 : \(1\)

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다. 맨 아래 줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2를 4승해야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 해야 합니다. 이것은 표에서 알 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실, 로그의 정의:

인수 x의 밑수에 대한 로그는 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법: log a x \u003d b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2 로그는 3임). 2 6 = 64 이므로 2 64 = 6 을 기록할 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 수의 로그를 찾는 작업을 로그라고 합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, log 2 5 를 찾아보십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 세그먼트의 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 절대 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 과 같이 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 논증이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하기 위해 그림을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 힘이다, 인수를 얻으려면 기반을 높여야합니다. 그것은 힘으로 제기 된 기초입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 바닥은 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 이 훌륭한 규칙을 제 학생들에게 말했고 혼란은 없었습니다.

우리는 정의를 알아 냈습니다. 로그를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

1. 인수와 밑은 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 감소되는 합리적 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
2. 어떤 힘에 대한 단위는 여전히 단위이기 때문에 기본은 화합과 달라야합니다. 이 때문에 "둘을 얻으려면 하나가 어떤 권력을 가져야 하는가"라는 질문은 무의미하다. 그런 학위는 없습니다!

이러한 제한을 지역 허용된 값 (ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다. log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어 로그는 음수일 수 있습니다. log 2 0.5 \u003d -1, 왜냐하면 0.5 = 2 -1 .

그러나 지금은 로그의 ODZ를 알 필요가 없는 숫자 표현만 고려하고 있습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 그들이 갈 때 대수 방정식불평등, DHS 요구 사항이 의무화됩니다. 실제로, 근거와 논거에는 위의 제한 사항에 반드시 일치하지는 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 로그 계산을 위한 일반적인 계획을 고려하십시오. 다음 세 단계로 구성됩니다.

1. 밑과 인수 x를 가능한 가장 작은 밑이 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
2. 변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
3. 결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 소수점 이하 자릿수와 유사하게: 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 몇 배나 적습니다.

이 체계가 특정 예에서 어떻게 작동하는지 봅시다.

작업. 로그 계산: log 5 25

1. 밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
로그 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. 답변을 받았습니다: 2.

작업. 로그 계산:

작업. 로그 계산: log 4 64

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   로그 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. 받은 답변: 3.

작업. 로그 계산: log 16 1

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   로그 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. 응답을 받았습니다: 0.

작업. 로그 계산: log 7 14

1. 밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표시되지 않습니다. 왜냐하면 7 1< 14 < 7 2 ;
2. 이전 단락에서 로그는 고려되지 않습니다.
3. 대답은 변화가 없다는 것입니다: 로그 7 14.

마지막 예에 대한 작은 메모. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하기만 하면 됩니다. 전개에 최소한 두 개의 서로 다른 요인이 있는 경우 숫자는 정확한 검정력이 아닙니다.

작업. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오. 8; 48; 81; 35; 열네 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - 정확한 정도, 왜냐하면 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 가지 요인이 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 5 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.

우리는 또한 우리가 소수항상 자신의 정확한 힘입니다.

십진 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 십진 로그는 밑이 10인 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 10을 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lg x .

예를 들어, 로그 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

앞으로 교과서에 'Find lg 0.01'과 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두시기 바랍니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 그것은 관하여자연 로그에 대해.

x의 자연 로그는 밑이 e 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: ln x .

많은 사람들이 물을 것입니다. 숫자 e는 또 무엇입니까? 그것 무리수, 그의 정확한 값검색 및 기록이 불가능합니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459...

우리는 이 숫자가 무엇이고 왜 필요한지 조사하지 않을 것입니다. e가 자연 로그의 밑이라는 것을 기억하십시오.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1 ; 로그 e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - 등 한편, ln2는 무리수이다. 일반적으로 모든 유리수의 자연 로그는 비합리적입니다. 물론 단일성을 제외하고: ln 1 = 0.

자연 로그의 경우 일반 로그에 대해 참인 모든 규칙이 유효합니다.

종종 숫자 10을 사용합니다. 밑수 10에 대한 숫자의 로그를 호출합니다. 소수. 10진 로그를 사용하여 계산을 수행할 때 기호로 연산하는 것이 일반적입니다. 엘지, 하지만 통나무; 기본을 결정하는 숫자 10은 표시되지 않습니다. 예, 교체합니다. 로그 10 105단순화하다 LG105; ㅏ 로그102에 LG2.

을 위한 십진 로그밑이 1보다 큰 로그가 갖는 동일한 기능이 일반적입니다. 즉, 십진 로그는 양수에 대해서만 특성화됩니다. 1보다 큰 숫자의 십진 로그는 양수이고 1보다 작은 숫자는 음수입니다. 두 개의 음수가 아닌 숫자 중 더 큰 숫자는 더 큰 십진 로그와 동일합니다. 고유 한 특징로그의 기초로 숫자 10을 선호하는 이유를 설명하는 독특한 기호.

이러한 특성을 분석하기 전에 다음 공식을 살펴보겠습니다.

숫자의 십진 로그의 정수 부분 ㅏ~라고 불리는 특성, 그리고 분수 가수이 로그.

숫자의 십진 로그의 특성 ㅏ로 표시되고 가수는 (lg ㅏ}.

예를 들어 lg 2 ≈ 0.3010이라고 하면 = 0, (log 2) ≈ 0.3010입니다.

lg 543.1 ≈ 2.7349도 마찬가지입니다. 따라서 = 2, (lg 543.1)≈ 0.7349.

테이블에서 양수의 십진 로그 계산은 매우 널리 사용됩니다.

십진 로그의 특징적인 기호.

십진 로그의 첫 번째 부호입니다.전체 1 뒤에 0이 오는 음수가 아닌 숫자는 전부의선택한 숫자의 레코드에서 0의 수와 같은 양수 .

lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5라고 합시다.

일반적으로 말하자면

저것 ㅏ= 10N , 우리가 얻는

lg a = lg 10 n = n lg 10 =피.

두 번째 기호입니다.양의 10진수의 10진수 로그 분수, 앞에 0이 있는 1로 표시된 것은 - 피, 어디 피- 정수의 0을 고려하여 이 숫자의 표현에서 0의 수.

고려하다 , lg 0.001 = -3, lg 0.000001 = -6.

일반적으로 말하자면

,

저것 ㅏ= 10-N 그리고 그것은 밝혀졌다

LG = LG 10N =-n lg 10 =-n

세 번째 기호입니다.특성 십진수 로그 1보다 큰 음수가 아닌 숫자는 1을 제외한 이 숫자의 정수 부분에 있는 자릿수와 같습니다.

이 특성을 분석해보자 1) 로그 lg 75.631의 특성은 1과 같다.

과연, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

이것은 의미합니다,

lg 75.631 = 1 + b,

소수의 쉼표를 오른쪽이나 왼쪽으로 이동하는 것은 연산과 동일합니다. 곱셈이 분수를 정수 지수로 10의 거듭제곱으로 피(양수 또는 음수). 따라서 양의 소수 분수의 소수점이 왼쪽이나 오른쪽으로 이동해도 이 분수의 소수 로그의 가수는 변경되지 않습니다.

따라서 (로그 0.0053) = (로그 0.53) = (로그 0.0000053).

로그의 주요 속성, 로그의 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 증가 및 감소가 제공됩니다. 로그의 도함수를 찾는 것이 고려됩니다. 또한 통합, 확장 파워 시리즈복소수를 이용한 표현.

로그의 정의

밑이 a인 로그는 y 함수입니다 (x) = 로그 x, 밑이 a인 지수 함수의 역: x (y) = y.

십진 로그숫자의 밑수에 대한 로그입니다. 10 : 로그 x ≡ 로그 10 x.

자연 로그 e의 밑수에 대한 로그입니다. ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

대수 그래프는 직선 y \u003d x에 대한 거울 반사에 의한 지수 함수의 그래프에서 얻습니다. 왼쪽에는 함수 y의 그래프가 있습니다. (x) = 로그 x네 가지 값에 대해 로그의 밑:아= 2 , a = 8 , a = 1/2 그리고 = 1/8 . 그래프는 > 1 로그는 단조 증가합니다. x가 증가함에 따라 성장이 크게 느려집니다. ~에 0 < a < 1 로그는 단조 감소합니다.

로그의 속성

도메인, 값 집합, 오름차순, 내림차순

로그는 단조 함수이므로 극한값이 없습니다. 로그의 주요 속성은 표에 나와 있습니다.

개인 가치

밑이 10인 로그를 십진 로그다음과 같이 표시됩니다.

밑 로그 이자형~라고 불리는 자연 로그:

기본 로그 공식

역함수의 정의에 따른 로그의 속성:

로그의 주요 속성과 그 결과

베이스 교체 공식

로그로그를 취하는 수학 연산입니다. 로그를 취하면 요인의 곱이 항의 합으로 변환됩니다.

강화로그의 역수학적 연산입니다. 강화할 때 주어진 기수는 강화가 수행되는 표현식의 거듭제곱으로 올라갑니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.

로그의 기본 공식 증명

로그와 관련된 공식은 지수 함수에 대한 공식과 역함수의 정의에 따릅니다.

지수 함수의 속성을 고려하십시오.
.
그 다음에
.
지수 함수의 속성 적용
:
.

기본 변경 공식을 증명합시다.
;
.
설정 c = b , 우리는 다음을 갖습니다:

역함수

밑수 a 로그의 역수는 지수 a가 있는 지수 함수입니다.

그렇다면

그렇다면

로그의 도함수

로그 모듈로 x의 도함수:
.
n차의 도함수:
.
공식의 유도 >> >

로그의 도함수를 찾으려면 밑으로 줄여야 합니다. 이자형.
;
.

완전한

로그의 적분은 부분으로 적분하여 계산됩니다.
그래서,

복소수 표현

복소수 함수를 고려하십시오. 지:
.
표현하다 복소수 지모듈을 통해 아르 자형그리고 논쟁 φ :
.
그런 다음 로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
.
또는

그러나 주장 φ 명확하게 정의되어 있지 않습니다. 우리가 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
그러면 다른 번호에 대해 동일한 번호가 됩니다. N.

따라서 복소수 변수의 함수인 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.

전원 시리즈 확장

의 경우 확장이 발생합니다.

참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.