로그 표현, 예제 해결. 이 기사에서는 로그 해결과 관련된 문제를 살펴보겠습니다. 과제는 표현의 의미를 찾는 질문을 던집니다. 로그의 개념은 많은 작업에 사용되며 그 의미를 이해하는 것이 매우 중요하다는 점에 유의해야 합니다. 통합 상태 시험의 경우 로그는 방정식을 풀 때, 응용 문제 및 함수 연구와 관련된 작업에 사용됩니다.
로그의 의미를 이해하기 위해 예를 들어 보겠습니다.
기본 로그 항등식:
항상 기억해야 할 로그의 속성:
*제품의 로그 합계와 동일요인의 로그.
* * *
*몫(분수)의 로그는 요소의 로그 간의 차이와 같습니다.
* * *
*지수의 로그는 지수와 그 밑의 로그를 곱한 것과 같습니다.
* * *
*새로운 재단으로의 전환
* * *
추가 속성:
* * *
로그 계산은 지수 속성의 사용과 밀접한 관련이 있습니다.
그 중 일부를 나열해 보겠습니다.
본질 이 부동산의분자를 분모로 옮기거나 그 반대로 옮기면 지수의 부호가 반대로 바뀐다는 사실에 있습니다. 예를 들어:
이 속성의 결과는 다음과 같습니다.
* * *
거듭제곱을 거듭제곱할 때 밑수는 동일하게 유지되지만 지수는 곱해집니다.
* * *
보시다시피 로그의 개념 자체는 간단합니다. 가장 중요한 것은 필요한 것입니다 좋은 연습, 이는 특정 기술을 제공합니다. 물론 공식에 대한 지식도 필요합니다. 기본 로그를 변환하는 기술이 개발되지 않은 경우 간단한 작업을 해결할 때 쉽게 실수할 수 있습니다.
먼저 수학 과정의 가장 간단한 예를 연습하고 해결한 다음 더 복잡한 예를 진행하세요. 앞으로는 "무서운" 로그가 어떻게 해결되는지 확실히 보여줄 것입니다. 통합 시험에는 나타나지 않지만 관심이 있으니 놓치지 마세요!
그게 다야! 행운을 빕니다!
감사합니다, Alexander Krutitskikh
추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
로그란 무엇입니까? 로그를 푸는 방법? 이러한 질문은 많은 졸업생을 혼란스럽게 합니다. 전통적으로 로그라는 주제는 복잡하고 이해하기 어렵고 무서운 것으로 간주되었습니다. 특히 로그가 포함된 방정식.
이것은 절대 사실이 아닙니다. 전적으로! 나를 믿지 못합니까? 괜찮은. 이제 단 10~20분 안에 다음을 수행할 수 있습니다.
1. 이해가 되실 겁니다 로그란 무엇인가?.
2. 전체 수업을 해결하는 방법을 배우세요 지수 방정식. 비록 당신이 그들에 대해 아무것도 들어본 적이 없더라도 말이죠.
3. 간단한 로그를 계산하는 방법을 배웁니다.
게다가, 이를 위해서는 구구단과 숫자를 거듭제곱하는 방법만 알면 됩니다...
의심이 있으신 것 같은데요... 글쎄요, 시간을 잘 맞춰두세요! 가다!
먼저 머리 속에서 다음 방정식을 풀어보세요.
그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)
예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)
함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.
이 비디오 튜토리얼에서는 근을 찾는 것뿐만 아니라 주어진 세그먼트에 있는 근을 선택해야 하는 다소 심각한 로그 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.
문제 C1. 방정식을 풀어보세요. 구간에 속하는 이 방정식의 근을 모두 찾으세요.
그런데 그런 문제를 해결하려고 해마다 학생들이 찾아오는데 솔직히, 어려운 방정식, 그러나 동시에 그들은 어디에서 시작해야 하며 로그에 접근하는 방법은 무엇인지 이해할 수 없습니다. 이 문제는 강하고 잘 준비된 학생들 사이에서도 발생할 수 있습니다.
결과적으로 많은 사람들이 이 주제를 두려워하기 시작하거나 심지어 자신이 멍청하다고 생각하기 시작합니다. 따라서 기억하십시오. 그러한 방정식을 풀 수 없다고 해서 이것이 당신이 멍청하다는 의미는 아닙니다. 예를 들어 이 방정식을 거의 구두로 처리할 수 있기 때문입니다.
로그 2 x = 4
그렇지 않다면 당신은 지금 이 글을 읽고 있지 않을 것입니다. 왜냐하면 당신은 더 단순하고 일상적인 일로 바빴기 때문입니다. 물론 누군가는 “이 간단한 방정식이 우리의 건강한 구조와 무슨 관련이 있습니까?”라고 반대할 것입니다. 나는 대답합니다. 모든 로그 방정식은 그것이 아무리 복잡하더라도 궁극적으로 구두로 풀 수 있는 가장 간단한 구조로 귀결됩니다.
물론 선택이나 탬버린과 함께 춤을 추는 것이 아니라 명확하고 오랫동안 정의된 규칙에 따라 복잡한 로그 방정식에서 더 간단한 방정식으로 이동해야 합니다. 로그 표현식을 변환하는 규칙. 이를 알면 수학 통합 국가 시험에서 가장 정교한 방정식도 쉽게 다룰 수 있습니다.
그리고 오늘 수업에서 우리가 이야기할 것은 바로 이러한 규칙들입니다. 가다!
그래서 우리는 방정식을 푼다:
우선, 로그 방정식에 관해서 우리는 기본 전술, 즉 로그 방정식을 풀기 위한 기본 규칙을 기억합니다. 이는 다음으로 구성됩니다:
정식 형식 정리. 모든 로그 방정식은 그것이 무엇을 포함하든, 어떤 로그, 밑수, 무엇을 포함하든 관계없이 반드시 다음 형식의 방정식으로 축소되어야 합니다.
로그 f(x) = 로그 a g(x)
방정식을 살펴보면 즉시 두 가지 문제를 발견할 수 있습니다.
그래서 우리는 방정식과 방정식을 분리하는 문제 목록을 작성했습니다. 표준 방정식 , 풀이 과정에서 로그 방정식을 줄여야 합니다. 따라서 이 단계에서 방정식을 풀면 위에서 설명한 두 가지 문제가 제거됩니다.
로그 방정식을 표준 형식으로 줄이면 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
순서대로 진행해보자. 먼저 왼쪽 구조를 살펴보겠습니다. 두 로그의 합에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 놀라운 공식을 기억해 봅시다:
로그 a f(x) + 로그 a g(x) = 로그 a f(x) g(x)
그러나 우리의 경우 첫 번째 항은 전혀 로그가 아니라는 점을 고려해 볼 가치가 있습니다. 이는 단위를 밑이 2인 로그로 표현해야 함을 의미합니다(밑이 2인 로그가 왼쪽에 있기 때문에 정확히 2입니다). 어떻게 하나요? 놀라운 공식을 다시 기억해 봅시다.
a = 로그 b b a
여기서 이해해야 할 점은 "모든 진수 b"라고 말할 때 b는 여전히 임의의 숫자가 될 수 없다는 의미입니다. 로그에 숫자를 삽입하면 특정 제한즉, 로그의 밑은 0보다 커야 하고 1과 같지 않아야 합니다. 그렇지 않으면 로그는 단순히 의미가 없습니다. 이것을 적어보자:
0 < b ≠ 1
우리의 경우에 무슨 일이 일어나는지 봅시다:
1 = 로그 2 2 1 = 로그 2 2
이제 이 사실을 고려하여 전체 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. 그리고 우리는 즉시 또 다른 규칙을 적용합니다. 로그의 합은 인수 곱의 로그와 같습니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
새로운 방정식이 생겼습니다. 보시다시피, 이는 이미 우리가 추구하는 표준 방정식에 훨씬 더 가깝습니다. 하지만 한 가지 문제가 있습니다. 우리는 그것을 두 번째 점으로 기록했습니다. 왼쪽과 오른쪽에 있는 로그는 다른 이유. 다음 단계로 넘어 갑시다.
따라서 왼쪽 로그의 밑은 2이고, 오른쪽 로그의 밑은 근입니다. 그러나 로그 논증의 밑이 거듭제곱될 수 있다는 것을 기억한다면 이것은 문제가 되지 않습니다. 다음 규칙 중 하나를 적어 보겠습니다.
로그 a b n = n 로그 a b
인간의 언어로 번역하면 로그의 밑에서 거듭제곱을 빼내어 승수로 앞에 놓을 수 있습니다. 숫자 n은 로그에서 바깥쪽으로 "이동"하여 앞에 있는 계수가 되었습니다.
우리는 로그의 밑에서 힘을 쉽게 도출할 수 있습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:
즉, 로그의 인수에서 차수를 제거하면 이 차수도 로그 앞의 인수로 쓰여지지만 숫자가 아닌 역수 1/k로 쓰여집니다.
그러나 그것이 전부는 아닙니다! 이 두 공식을 결합하여 다음 공식을 만들 수 있습니다.
로그의 밑과 인수 모두에 거듭제곱이 나타날 때, 밑과 인수 모두에서 즉시 거듭제곱을 취함으로써 시간을 절약하고 계산을 단순화할 수 있습니다. 이 경우 인수에 있던 내용(이 경우 계수 n)이 분자에 나타납니다. 그리고 밑의 차수인 k는 분모로 갈 것입니다.
그리고 이제 로그를 동일한 밑수로 줄이기 위해 사용할 공식은 바로 이러한 공식입니다.
우선, 다소 아름다운 베이스를 선택합시다. 분명히 루트보다 베이스에서 2로 작업하는 것이 훨씬 더 즐겁습니다. 따라서 두 번째 로그를 밑이 2인 것으로 줄여 보겠습니다. 이 로그를 별도로 작성해 보겠습니다.
여기서 우리는 무엇을 할 수 있나요? 유리수 지수를 사용하여 거듭제곱 공식을 떠올려 보겠습니다. 즉, 근을 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 쓸 수 있습니다. 그런 다음 우리는 인수와 로그의 밑수 모두에서 1/2의 거듭제곱을 취합니다. 로그를 향한 분자와 분모의 계수에서 2를 줄입니다.
마지막으로, 새로운 계수를 고려하여 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
로그 2 2(9x 2 + 5) = 로그 2 (8x 4 + 14)
우리는 표준 로그 방정식을 얻었습니다. 왼쪽과 오른쪽 모두 동일한 밑수 2에 대한 로그를 갖습니다. 이러한 로그 외에는 계수도 없고 왼쪽이나 오른쪽에도 항이 없습니다.
결과적으로 우리는 로그의 부호를 제거할 수 있습니다. 물론 정의 영역을 고려합니다. 하지만 그렇게 하기 전에, 다시 돌아가서 분수에 대해 조금 더 명확하게 해보겠습니다.
모든 학생들이 올바른 로그 앞의 요인이 어디서 왔고 어디로 가는지 이해하는 것은 아닙니다. 다시 적어 보겠습니다.
분수가 무엇인지 알아 봅시다. 적어보자:
이제 분수 나누기 규칙을 기억해 봅시다. 1/2로 나누려면 역분수를 곱해야 합니다.
물론 추가 계산의 편의를 위해 2를 2/1로 쓸 수 있습니다. 이것이 풀이 과정에서 두 번째 계수로 관찰되는 것입니다.
이제 모두가 두 번째 계수가 어디에서 왔는지 이해하기를 바랍니다. 이제 정식 로그 방정식을 푸는 방법으로 바로 넘어가겠습니다.
이제 로그를 제거하고 다음 표현식을 남길 수 있음을 상기시켜 드리겠습니다.
2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
왼쪽의 괄호를 열어 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
모든 것을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
비슷한 것을 가져와서 다음을 얻자:
8x4 − 18x2 + 4 = 0
계수를 단순화하기 위해 이 방정식의 양변을 2로 나눌 수 있으며 다음을 얻습니다.
4x4 − 9x2 + 2 = 0
우리 앞에는 평소 이차방정식, 그 근은 판별식을 통해 쉽게 계산됩니다. 그럼 판별식을 적어보겠습니다.
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
좋습니다. 판별식은 "아름답다"이고 근은 7입니다. 그게 다입니다. X의 수를 직접 세어 보겠습니다. 하지만 이 경우근은 x가 아니라 x 2가 될 것입니다. 왜냐하면 우리는 이차방정식을 갖고 있기 때문입니다. 따라서 우리의 옵션은 다음과 같습니다.
참고: 우리는 뿌리를 추출했으므로 두 가지 답변이 있을 것입니다. 왜냐하면... 정사각형 - 균일한 기능. 그리고 만약 우리가 2의 근만 쓴다면, 우리는 단순히 두 번째 근을 잃게 될 것입니다.
이제 우리는 이차방정식의 두 번째 근을 작성합니다:
다시, 우리는 산술을 추출합니다 제곱근방정식의 양쪽에서 우리는 두 개의 근을 얻습니다. 하지만 다음 사항을 기억하세요.
로그의 논증을 표준 형식으로 단순히 동일시하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 정의 영역을 기억하세요!
전체적으로 우리는 4개의 뿌리를 얻었습니다. 이들 모두는 실제로 원래 방정식의 해입니다. 살펴보세요: 원래 로그 방정식에서 내부 로그는 9x 2 + 5(이 함수는 항상 양수임) 또는 8x 4 + 14 - 역시 항상 양수입니다. 따라서 로그 정의 영역은 우리가 어떤 근을 얻든 상관없이 어떤 경우에도 충족됩니다. 이는 네 가지 근이 모두 우리 방정식의 해가 된다는 것을 의미합니다.
좋습니다. 이제 문제의 두 번째 부분으로 넘어가겠습니다.
네 개의 루트 중에서 세그먼트 [-1; 8/9]. 우리는 뿌리로 돌아가 이제 그들의 선택을 수행할 것입니다. 우선 좌표축을 그리고 그 위에 세그먼트의 끝을 표시하는 것이 좋습니다.
두 점 모두 음영 처리됩니다. 저것들. 문제의 조건에 따라 우리는 음영처리된 부분에 관심이 있습니다. 이제 뿌리를 살펴보겠습니다.
비합리적인 뿌리부터 시작해 보겠습니다. 참고로 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
이로부터 2의 근은 우리가 관심을 갖는 부분에 속하지 않는다는 결론이 나옵니다. 마찬가지로, 우리는 음수 근을 얻을 것입니다: 그것은 -1보다 작습니다. 즉, 우리가 관심 있는 부분의 왼쪽에 있습니다.
두 개의 근이 남습니다: x = 1/2 및 x = −1/2. 세그먼트의 왼쪽 끝(-1)은 음수이고 오른쪽 끝(8/9)은 양수입니다. 따라서 이 끝점 사이 어딘가에 숫자 0이 있습니다. 루트 x = −1/2는 −1과 0 사이에 있습니다. 즉, 최종 답변으로 끝날 것입니다. 루트 x = 1/2에도 동일한 작업을 수행합니다. 이 루트는 고려 중인 세그먼트에도 있습니다.
8/9가 1/2보다 큰지 확인할 수 있습니다. 이 숫자들을 서로 빼봅시다:
우리는 7/18 > 0이라는 분수를 얻었습니다. 이는 정의상 8/9 > 1/2을 의미합니다.
좌표축에 적절한 근을 표시해 보겠습니다.
최종 답은 1/2과 −1/2의 두 근이 됩니다.
결론적으로 다시 한 번 무리수로 돌아가고 싶습니다. 이제 그들의 예를 사용하여 수학에서 유리수량과 비합리수량을 비교하는 방법을 살펴보겠습니다. 우선, V 사이에 "더 많은"또는 "적은"표시인 진드기가 있지만 우리는 그것이 어느 방향으로 향하는지 아직 모릅니다. 적어보자:
왜 비교 알고리즘이 필요한가요? 사실 이 문제에서 우리는 매우 운이 좋았습니다. 나누기 숫자 1을 해결하는 과정에서 우리는 다음과 같이 확실히 말할 수 있습니다.
그러나 항상 그러한 숫자가 즉시 표시되는 것은 아닙니다. 그럼 우리의 수치를 직접적으로 비교해 보도록 하겠습니다.
어떻게 이루어졌나요? 우리는 일반적인 불평등과 동일한 작업을 수행합니다.
비교했을 때 무리수분할 요소를 즉시 선택할 수는 없으므로 "정면"비교를 수행하는 것이 좋습니다. 이를 일반적인 불평등으로 설명합니다.
이를 해결하면 다음과 같이 공식화됩니다.
이제 모든 것을 쉽게 비교할 수 있습니다. 요점은 64/81입니다.< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
그게 전부입니다. 우리는 모든 숫자가 수직선 x에 실제로 있어야 하는 순서대로 정확하고 정확하게 표시되어 있다는 엄격한 증거를 받았습니다. 아무도 이 해법에서 결점을 찾지 못할 것이므로 기억하십시오. 나누는 숫자(우리의 경우 1)가 즉시 표시되지 않으면 위의 구조를 자유롭게 작성하고 곱하고 제곱하십시오. 그러면 결국에는 아름다운 불평등을 얻으세요. 이 불평등을 통해 어떤 숫자가 더 크고 더 작은지 분명해질 것입니다.
문제로 돌아가서, 방정식을 풀 때 맨 처음에 무엇을 했는지 다시 한 번 주목하고 싶습니다. 즉, 우리는 원래의 로그 방정식을 자세히 살펴보고 이를 다음과 같이 줄이려고 했습니다. 표준적인대수 방정식. 추가 항, 앞에 계수 등 없이 왼쪽과 오른쪽에 로그만 있는 경우. a 또는 b를 기반으로 하는 두 개의 로그가 필요하지 않고 다른 로그와 동일한 로그가 필요합니다.
또한 로그의 밑도 동일해야 합니다. 또한 방정식이 올바르게 구성되면 기본 로그 변환(로그 합, 숫자를 로그로 변환 등)을 사용하여 이 방정식을 표준 방정식으로 줄입니다.
그러므로 이제부터는 당장 풀 수 없는 로그방정식을 봤을 때 헤매거나 답을 찾으려고 애쓰지 말아야 합니다. 당신이 해야 할 일은 다음 단계를 따르는 것뿐입니다.
결과적으로 8~9학년 자료의 초등 대수학 도구를 사용하여 풀 수 있는 간단한 방정식을 얻게 됩니다. 일반적으로 내 웹사이트에 가서 로그 풀이를 연습하고, 나처럼 로그 방정식을 풀고, 나보다 더 잘 푸세요. 그리고 그게 전부입니다. 파벨 베르도프가 당신과 함께했습니다. 또 보자!
