먼저 방정식의 수가 변수의 수와 같은 경우, 즉 m = n. 그런 다음 시스템의 행렬은 정사각형이고 그 행렬식을 시스템의 행렬식이라고 합니다.
비축퇴 상태의 방정식 AX = B의 시스템을 일반적으로 고려해 보겠습니다. 정방행렬가. 이 경우에는 역행렬 A -1 . 양변에 왼쪽에 A -1을 곱합시다. 우리는 A -1 AX \u003d A -1 B를 얻습니다. 여기에서 EX \u003d A -1 B와
마지막 평등은 이러한 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾기 위한 행렬 공식입니다. 이 공식의 사용을 역행렬 방법이라고 합니다.
예를 들어 이 방법을 사용하여 다음 시스템을 풉니다.
;
시스템의 솔루션이 끝나면 찾은 값을 시스템의 방정식에 대입하여 확인할 수 있습니다. 이 경우 진정한 평등으로 바뀌어야합니다.
이 예에서는 다음을 확인하겠습니다.
n=2라고 하자:
첫 번째 방정식의 두 부분에 22를 곱하고 두 번째 방정식의 두 부분에 (-a 12)를 곱한 다음 결과 방정식을 더하면 변수 x 2를 시스템에서 제외합니다. 마찬가지로 변수 x 1을 제거할 수 있습니다(첫 번째 방정식의 양변에 (-a 21)을 곱하고 두 번째 방정식의 양변에 a 11을 곱하여). 결과적으로 다음과 같은 시스템을 얻습니다.
괄호 안의 표현은 시스템의 결정 요소입니다.
나타내다
그러면 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.
결과 시스템에서 시스템의 행렬식이 0이면 시스템은 일관되고 명확합니다. 고유 솔루션은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
= 0, a 1 0 및/또는 2 0이면 시스템의 방정식은 0*х 1 = 2 및/또는 0*х 1 = 2의 형식을 취합니다. 이 경우 시스템이 일관성이 없습니다.
= 1 = 2 = 0인 경우 시스템은 다음과 같은 형식을 취하므로 일관성이 있고 무한합니다(해의 개수가 무한합니다).
크래머의 정리(증명 생략). 방정식 의 시스템 n 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템은 다음 공식에 의해 결정되는 고유한 솔루션을 갖습니다.
,
여기서 j는 j번째 열을 자유 멤버 열로 대체하여 행렬 A에서 얻은 행렬의 행렬식입니다.
위의 공식을 크래머의 공식.
예를 들어, 이 방법을 사용하여 이전에 역행렬 방법을 사용하여 풀었던 시스템을 풉니다.
고려된 방법의 단점:
1) 상당한 복잡성(행렬의 계산 및 역행렬 찾기);
2) 제한된 범위(정사각 행렬이 있는 시스템의 경우).
실제 경제 상황은 방정식과 변수의 수가 상당히 많고 변수보다 방정식이 더 많은 시스템으로 모델링되는 경우가 많으므로 실제로는 다음과 같은 방법이 더 일반적입니다.
이 방법은 시스템 m을 푸는 데 사용됩니다. 선형 방정식 n개의 변수가 있는 일반보기. 그 본질은 확장된 행렬에 등가 변환 시스템을 적용하는 데 있으며, 이를 통해 솔루션을 쉽게 찾을 수 있을 때 방정식 시스템이 형식으로 변환됩니다(있는 경우).
이것은 시스템 행렬의 왼쪽 상단 부분이 계단식 행렬이 되는 것과 같은 뷰입니다. 이것은 순위를 결정하기 위해 계단식 행렬을 얻는 데 사용된 것과 동일한 기술을 사용하여 달성됩니다. 이 경우 확장된 행렬에 기본 변환이 적용되어 등가 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다. 그 후, 증강 행렬은 다음과 같은 형식을 취합니다.
이러한 행렬을 얻는 것을 직선으로가우스 방법.
해당 방정식 시스템에서 변수 값을 찾는 것을 호출합니다 뒤로가우스 방법. 생각해 봅시다.
마지막 (m – r) 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
숫자 중 하나 이상이면 
가 0이 아니면 해당 평등이 거짓이 되고 전체 시스템이 일관되지 않습니다.
따라서 모든 공동 시스템에 대해 
. 이 경우 변수의 모든 값에 대한 마지막 (m – r) 방정식은 0 = 0이며 시스템을 풀 때 무시할 수 있습니다(해당 행은 버리십시오).
그 후 시스템은 다음과 같습니다.
먼저 r=n인 경우를 고려하십시오. 그러면 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.
시스템의 마지막 방정식에서 x r 을 고유하게 찾을 수 있습니다.
x r 을 알면 x r -1 을 고유하게 표현할 수 있습니다. 그런 다음 이전 방정식에서 x r 및 x r -1 을 알면 x r -2 등을 표현할 수 있습니다. 최대 x 1 .
따라서 이 경우 시스템은 협력적이고 명확할 것입니다.
이제 r이 다음 경우를 고려하십시오.
이 방정식에서 기본 변수 x r을 비기본 변수로 표현할 수 있습니다.
끝에서 두 번째 방정식은 다음과 같습니다.
x r 대신 결과 표현식을 대입하면 기본 변수 x r -1 을 기본이 아닌 변수까지 표현할 수 있습니다. 등. 변수 x 1 . 시스템에 대한 솔루션을 얻으려면 기본이 아닌 변수를 임의의 값과 동일시한 다음 얻은 공식을 사용하여 기본 변수를 계산할 수 있습니다. 따라서 이 경우 시스템은 일관되고 불확실합니다(무한한 수의 솔루션을 가짐).
예를 들어 연립방정식을 풀어보겠습니다.
기본 변수 집합이 호출됩니다. 기초시스템. 그것들에 대한 계수 열 세트도 호출됩니다. 기초(기본 열) 또는 기본 부전공시스템 매트릭스. 모든 비 기본 변수가 0과 같은 시스템의 솔루션은 다음과 같이 호출됩니다. 기본 솔루션.
이전 예에서 기본 솔루션은 (4/5; -17/5; 0; 0)입니다(변수 x 3 및 x 4(c 1 및 c 2)는 0으로 설정되고 기본 변수 x 1 및 x 2는 그들을 통해 계산됩니다) . 비기저해의 예를 들자면 x 3 과 x 4 (c 1 and c 2) 를 동시에 0이 아닌 임의의 숫자와 동일시하고 나머지 변수를 다음과 같이 계산해야 합니다. 그들을. 예를 들어, c 1 = 1 및 c 2 = 0일 때 비기본 솔루션 - (4/5, -12/5, 1, 0)을 얻습니다. 대체를 통해 두 솔루션이 모두 올바른지 쉽게 확인할 수 있습니다.
분명히, 비기저 솔루션의 무한 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있을 수 있습니다. 얼마나 많은 기본 솔루션이 있을 수 있습니까? 변환된 행렬의 각 행은 하나의 기본 변수에 대응해야 합니다. 문제에는 총 n개의 변수와 r개의 기본 행이 있습니다. 따라서 가능한 기본 변수 집합의 수는 n에서 2까지의 조합 수를 초과할 수 없습니다. 미만일 수 있습니다. 
, 이 특정 변수 집합이 기초가 되는 형식으로 시스템을 변환하는 것이 항상 가능한 것은 아니기 때문입니다.
이것은 어떤 종류입니까? 이것은 이러한 변수에 대한 계수 열로 구성된 행렬이 단계적이며 이 경우 행으로 구성되는 경우와 같은 형식입니다. 저것들. 이러한 변수에 대한 계수 행렬의 순위는 r과 같아야 합니다. 열 수가 r과 같으므로 더 클 수 없습니다. r보다 작은 것으로 판명되면 변수가 있는 열의 선형 종속성을 나타냅니다. 그러한 기둥은 기초를 형성할 수 없습니다.
위의 예에서 찾을 수 있는 다른 기본 솔루션을 고려해 보겠습니다. 이렇게 하려면 4개의 변수와 2개의 기본 변수의 가능한 모든 조합을 고려하십시오. 이러한 조합은 
, 그리고 그 중 하나(x 1 및 x 2)는 이미 고려되었습니다.
변수 x 1 과 x 3 을 취합시다. 계수 행렬의 순위를 찾으십시오.
2이므로 기본이 될 수 있습니다. 비 기본 변수 x 2 및 x 4를 0으로 동일시합니다. x 2 \u003d x 4 \u003d 0. 그런 다음 공식 x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4에서 x 1 \u003d 4/5 및 공식 x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3에서 x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. 따라서 기본 솔루션(4/5, 0, 17/5, 0)을 얻습니다.
마찬가지로 기본 변수 x 1 및 x 4 - (9/7, 0, 0, -17/7)에 대한 기본 솔루션을 얻을 수 있습니다. x 2 및 x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 및 x 4 - (0, 0, 9, 4).
이 예에서 변수 x 2 및 x 3은 해당 행렬의 순위가 1과 같기 때문에 기본 변수로 사용할 수 없습니다. 2 미만:
.
일부 변수로부터 기초를 형성하는 것이 가능한지 여부를 결정하는 또 다른 접근법이 가능합니다. 예제를 풀 때 시스템 행렬을 계단식 형식으로 변환한 결과 다음과 같은 형식을 취했습니다.
변수 쌍을 선택함으로써 이 행렬의 해당하는 소수를 계산할 수 있었습니다. x 2 와 x 3 을 제외한 모든 쌍에 대해 0이 아님을 쉽게 알 수 있습니다. 열은 선형 독립입니다. 변수 x 2 및 x 3이 있는 열에만 해당 
, 이는 선형 의존성을 나타냅니다.
한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 연립방정식을 풀자
따라서 마지막 행렬의 세 번째 행에 해당하는 방정식은 일관성이 없습니다. 잘못된 같음 0 = -1로 이어지므로 이 시스템은 일관성이 없습니다.
요르단-가우스 방법 3 가우스 방법의 개발입니다. 그 본질은 변수의 계수가 행 또는 열 4의 순열까지 단위 행렬을 형성할 때 시스템의 확장 행렬이 형식으로 변환된다는 것입니다(여기서 는 시스템 행렬의 순위).
이 방법을 사용하여 시스템을 해결해 보겠습니다.
시스템의 증강 행렬을 고려하십시오.
이 행렬에서 항등 요소를 선택합니다. 예를 들어, 세 번째 제약 조건에서 x 2의 계수는 5입니다. 이 열의 나머지 행에 0이 있는지 확인합시다. 열을 단일로 만듭니다. 변환 과정에서 이것을 호출합니다. 열관대한(리딩, 키). 세 번째 제약(세 번째 끈)도 호출됩니다 관대한. 내 자신 요소허용되는 행과 열(여기서는 단위)의 교차점에 있는 , 라고도 합니다. 관대한.
이제 첫 번째 줄에 계수(-1)가 포함됩니다. 그 자리에서 0을 얻으려면 세 번째 행에 (-1)을 곱하고 첫 번째 행에서 결과를 뺍니다(즉, 첫 번째 행을 세 번째 행에 더하기만 하면 됩니다).
두 번째 줄은 계수 2를 포함합니다. 그 자리에 0을 얻으려면 세 번째 줄에 2를 곱하고 첫 번째 줄에서 결과를 뺍니다.
변환 결과는 다음과 같습니다.
이 행렬은 처음 두 제약 조건 중 하나를 삭제할 수 있음을 명확하게 보여줍니다(해당 행은 비례합니다. 즉, 이 방정식은 서로 뒤따릅니다). 두 번째 것을 지우자:
따라서 새 시스템에는 두 개의 방정식이 있습니다. 단일 열(초)이 수신되고 여기서 단위는 두 번째 행에 있습니다. 기본 변수 x 2는 새 시스템의 두 번째 방정식에 해당한다는 것을 기억합시다.
첫 번째 행에 대한 기본 변수를 선택합시다. x 3을 제외한 모든 변수가 될 수 있습니다(x 3에서 첫 번째 제약 조건은 0 계수를 갖기 때문에, 즉 변수 x 2 및 x 3 세트는 여기에서 기본이 될 수 없습니다). 첫 번째 또는 네 번째 변수를 사용할 수 있습니다.
x 1을 선택합시다. 그러면 해결 요소는 5가 되고 첫 번째 행의 첫 번째 열에서 1을 얻으려면 해결 방정식의 양쪽을 5로 나누어야 합니다.
나머지 행(즉, 두 번째 행)의 첫 번째 열에 0이 있는지 확인합시다. 이제 두 번째 줄은 0이 아니라 3이므로 변환된 첫 번째 줄의 요소를 두 번째 줄에서 빼서 3을 곱해야 합니다.
하나의 기본 솔루션은 기본이 아닌 변수를 0으로, 기본 변수를 해당 방정식(0.8, -3.4, 0, 0)의 자유 항과 동일시하여 결과 행렬에서 직접 추출할 수 있습니다. 기본이 아닌 변수를 통해 기본 변수를 표현하는 일반 공식을 유도할 수도 있습니다. x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. 이 공식은 시스템에 대한 전체 무한 솔루션 세트를 설명합니다(x 3 및 x 4를 임의의 숫자와 동일시하여 x 1 및 x 2를 계산할 수 있음).
Jordan-Gauss 방법의 각 단계에서 변환의 본질은 다음과 같습니다.
1) 허용 문자열을 허용 요소로 나누어 그 자리에 단위를 가져옵니다.
2) 다른 모든 행에서 변환된 분해능에 분해능 열의 주어진 줄에 있는 요소를 곱한 값을 빼서 이 요소 대신 0을 얻습니다.
시스템의 변환된 증대 행렬을 다시 한 번 고려하십시오.
이 항목에서 시스템 A의 행렬의 순위가 r임을 알 수 있습니다.
위의 추론 과정에서 우리는 다음과 같은 경우에만 시스템이 일관성이 있음을 확인했습니다. 
. 이것은 시스템의 증강 행렬이 다음과 같이 보일 것임을 의미합니다.
0 행을 버리면 시스템의 확장 행렬의 순위도 r과 같습니다.
크로네커-카펠리 정리. 선형 방정식 시스템은 시스템의 행렬의 순위가 이 시스템의 확장된 행렬의 순위와 같은 경우에만 일관성이 있습니다.
행렬의 순위는 선형 독립 행의 최대 수와 같습니다. 이로부터 확장 행렬의 순위가 방정식의 수보다 작으면 시스템의 방정식은 선형 종속되고 그 중 하나 이상이 시스템에서 제외될 수 있습니다(선형이기 때문에 다른 사람들의 조합). 방정식 시스템은 확장 행렬의 순위가 방정식의 수와 동일한 경우에만 선형으로 독립적입니다.
또한 호환 가능한 선형 방정식 시스템의 경우 행렬의 순위가 변수의 수와 같으면 시스템에 고유한 솔루션이 있고 변수의 수보다 작으면 다음과 같이 주장할 수 있습니다. 시스템은 무한하고 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.
1예를 들어, 행렬에 5개의 행이 있다고 가정합니다(초기 행 순서는 12345임). 두 번째 줄과 다섯 번째 줄을 변경해야 합니다. 두 번째 줄이 다섯 번째 자리를 차지하기 위해 아래로 "이동"하기 위해 두 번째와 세 번째(13245), 두 번째와 네 번째(13425), 두 번째와 다섯 번째( 13452). 그런 다음, 다섯 번째 행이 원래 행렬의 두 번째 행을 대체하려면 다섯 번째 행을 두 번 연속 변경하여 위로 "이동"해야 합니다. (15342).
2n에서 r까지의 조합 수 
n-요소 집합의 모든 다른 r-요소 하위 집합의 수를 호출합니다(다른 집합은 요소의 구성이 다른 집합이며 선택 순서는 중요하지 않습니다). 다음 공식으로 계산됩니다. 
. 기호 "!"의 의미를 기억하십시오. (계승): 
0!=1.)
3이 방법은 앞서 설명한 가우스 방법보다 더 일반적이고 본질적으로 순방향 가우스 방법과 역방향 가우스 방법의 조합이므로 이름의 첫 부분을 생략하고 가우스 방법이라고도 합니다.
4예를 들어, 
.
5시스템의 행렬에 단위가 없는 경우, 예를 들어 첫 번째 방정식의 두 부분을 모두 2로 나눌 수 있으며 첫 번째 계수는 1이 됩니다. 또는 같은.
방정식 시스템은 다양한 프로세스의 수학적 모델링에서 경제 산업에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 생산 관리 및 계획, 물류 경로(운송 문제) 또는 장비 배치 문제를 해결할 때.
방정식 시스템은 수학 분야뿐만 아니라 물리학, 화학 및 생물학에서도 인구 규모를 찾는 문제를 해결할 때 사용됩니다.
선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 둘 이상의 방정식에 대한 용어입니다. 모든 방정식이 참 평등이 되거나 수열이 존재하지 않음을 증명하는 수열.
ax+by=c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. 지정 x, y는 미지수이며, 그 값을 찾아야 하며, b는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유항입니다.
그래프를 그려서 방정식을 풀면 모든 점이 다항식의 해인 직선처럼 보일 것입니다.
가장 간단한 것은 두 개의 변수 X와 Y가 있는 선형 방정식 시스템의 예입니다.
F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0, 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.
연립방정식 풀기 - 그것은 시스템이 진정한 평등이되는 그러한 값 (x, y)을 찾거나 x와 y의 적절한 값이 없다는 것을 확립하는 것을 의미합니다.
점 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션이라고 합니다.
시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 없는 경우 해당 시스템을 등가라고 합니다.
선형 방정식의 동차 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. "등호" 기호 뒤의 오른쪽 부분에 값이 있거나 함수로 표현되는 경우 이러한 시스템은 동질적이지 않습니다.
변수의 수는 2보다 훨씬 많을 수 있습니다. 그런 다음 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.
시스템에 직면하여 학생들은 방정식의 수와 미지수의 수가 반드시 일치해야 한다고 가정하지만, 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 의존하지 않으며 임의로 많은 수가 있을 수 있습니다.
이러한 시스템을 풀기 위한 일반적인 분석 방법은 없으며 모든 방법은 수치 솔루션을 기반으로 합니다. 수학의 학교 과정은 순열, 대수 덧셈, 대입과 같은 방법과 그래픽 및 행렬 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션을 자세히 설명합니다.
해결 방법을 가르치는 주요 임무는 시스템을 올바르게 분석하고 각 예제에 대한 최적의 솔루션 알고리즘을 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 가장 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙과 행동 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 적용하는 원리를 이해하는 것입니다.
일반 교육 학교 프로그램의 7 학년 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션은 매우 간단하며 매우 자세히 설명되어 있습니다. 수학에 관한 모든 교과서에서 이 부분은 충분히 주의를 기울입니다. Gauss 및 Cramer 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션은 고등 교육 기관의 첫 번째 과정에서 더 자세히 연구됩니다.
대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수를 통해 표현하는 것을 목표로 합니다. 식은 나머지 방정식에 대입된 다음 단일 변수 형태로 축소됩니다. 시스템의 미지수 개수에 따라 동작이 반복됩니다.
대체 방법에 의한 7급 선형 방정식 시스템의 예를 들어 보겠습니다.
예제에서 알 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었습니다. 결과 표현식은 X 대신 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 두 번째 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻는 데 도움이 되었습니다. . 이 예제의 솔루션은 어려움을 일으키지 않으며 Y 값을 얻을 수 있습니다.마지막 단계는 얻은 값을 확인하는 것입니다.
선형 방정식 시스템의 예를 대입으로 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지수에 대한 변수의 표현은 추가 계산을 위해 너무 복잡할 것입니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 대체 솔루션도 비실용적입니다.
선형 비균일 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션:
덧셈법으로 연립방정식의 해를 구하는 경우, 항별 덧셈과 다양한 수의 방정식의 곱셈이 수행됩니다. 수학 연산의 궁극적인 목표는 변수가 하나인 방정식입니다.
이 방법을 적용하려면 연습과 관찰이 필요합니다. 변수의 개수가 3개 이상인 덧셈법을 사용하여 선형 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함될 때 유용합니다.
솔루션 작업 알고리즘:
시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 솔루션을 찾아야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있으며 미지수도 2개 이하이어야 합니다.
이 방법은 새로운 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 입력된 미지수에 대해 새 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.
새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 1차 방정식을 표준 제곱 삼항식으로 축소할 수 있음을 예에서 알 수 있습니다. 판별식을 찾아 다항식을 풀 수 있습니다.
잘 알려진 공식을 사용하여 판별식의 값을 찾아야 합니다. D = b2 - 4*a*c, 여기서 D는 원하는 판별식, b, a, c는 다항식의 승수입니다. 주어진 예에서, a=1, b=16, c=39, 따라서 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 2개의 해가 있습니다. t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 x= -b / 2*a의 해 하나만 있습니다.
결과 시스템에 대한 솔루션은 추가 방법으로 찾을 수 있습니다.
3개의 방정식이 있는 시스템에 적합합니다. 이 방법은 좌표축에 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 그리는 것으로 구성됩니다. 곡선의 교차점 좌표는 시스템의 일반적인 솔루션이 됩니다.
그래픽 방식에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 시각적인 방법으로 선형 방정식 시스템을 푸는 몇 가지 예를 고려하십시오.
예에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기반으로 y 값을 찾았습니다. 3 및 0. 좌표가 (0, 3) 및 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결했습니다.
두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점이 시스템의 솔루션입니다.
다음 예에서는 선형 방정식 시스템에 대한 그래픽 솔루션을 찾아야 합니다: 0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0.
예에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.
예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성할 때 솔루션이 다르다는 것이 분명해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 항상 말할 수 있는 것은 아니며 항상 그래프를 작성해야 한다는 점을 기억해야 합니다.
행렬은 선형 방정식 시스템을 간략하게 작성하는 데 사용됩니다. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.
행렬은 열과 행의 수가 같을 때 정사각형입니다. 행렬 벡터는 무한히 가능한 행 수가 있는 단일 열 행렬입니다. 대각선 중 하나와 다른 0 요소를 따라 단위가 있는 행렬을 항등이라고 합니다.
역행렬은 이러한 행렬이며, 곱하면 원래 행렬이 단위 1로 바뀌며, 이러한 행렬은 원래 정사각형에 대해서만 존재합니다.
방정식 시스템과 관련하여 방정식의 계수 및 자유 구성원은 행렬의 숫자로 작성되며 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.
행의 요소 중 하나 이상이 0이 아닌 경우 행렬 행을 0이 아닌 행이라고 합니다. 따라서 방정식에서 변수의 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.
행렬의 열은 변수와 엄격하게 일치해야 합니다. 이것은 변수 x의 계수가 한 열에만 쓸 수 있음을 의미합니다.
행렬을 곱할 때 모든 행렬 요소에 숫자를 연속적으로 곱합니다.
역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다. K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| - 행렬 행렬식. |케이| 0이 아니어야 시스템에 솔루션이 있습니다.
행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산되며 요소를 서로 대각선으로 곱하기만 하면 됩니다. "3 x 3" 옵션의 경우 공식이 있습니다 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . 공식을 사용할 수도 있고, 제품에서 요소의 열과 행 번호가 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야 한다는 것을 기억할 수 있습니다.
솔루션을 찾는 행렬 방법을 사용하면 많은 수의 변수와 방정식이 있는 시스템을 풀 때 번거로운 항목을 줄일 수 있습니다.
예에서, nm는 방정식의 계수이고, 행렬은 벡터입니다. x n은 변수이고, b n은 자유항입니다.
고등 수학에서는 가우스법을 크래머법과 함께 연구하며, 시스템에 대한 해를 찾는 과정을 가우스-크라머법이라고 한다. 이 방법은 선형 방정식이 많은 시스템의 변수를 찾는 데 사용됩니다.
가우스 방법은 대체 및 대수 덧셈 솔루션과 매우 유사하지만 더 체계적입니다. 학교 과정에서 가우스 솔루션은 3 및 4 방정식 시스템에 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역 사다리꼴 형태로 만드는 것입니다. 대수 변환 및 대체에 의해 한 변수의 값은 시스템의 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 방정식은 2개의 미지수와 3 및 4 - 각각 3 및 4개의 변수가 있는 표현식입니다.
시스템을 설명된 형식으로 가져온 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.
7학년을 위한 학교 교과서에서 가우스 솔루션의 예는 다음과 같이 설명됩니다.
예에서 볼 수 있듯이 (3) 단계에서 3x 3 -2x 4 =11 및 3x 3 +2x 4 =7의 두 방정식이 얻어졌습니다. 방정식 중 하나의 솔루션을 사용하면 변수 x n 중 하나를 찾을 수 있습니다.
텍스트에 언급된 정리 5는 시스템의 방정식 중 하나가 등가 방정식으로 대체되면 결과 시스템도 원래 시스템과 동일하다고 말합니다.
가우스 방법은 중학생이 이해하기 어렵지만 수학 및 물리 수업의 고급 학습 프로그램에서 공부하는 어린이의 독창성을 개발하는 가장 흥미로운 방법 중 하나입니다.
계산을 쉽게 기록하기 위해 다음을 수행하는 것이 일반적입니다.
방정식 계수와 자유 항은 행렬의 형태로 작성되며, 여기서 행렬의 각 행은 시스템의 방정식 중 하나에 해당합니다. 방정식의 좌변을 우변과 분리합니다. 로마 숫자는 시스템의 방정식 수를 나타냅니다.
먼저 작업할 매트릭스를 작성한 다음 행 중 하나에서 수행되는 모든 작업을 기록합니다. 결과 행렬은 "화살표"기호 뒤에 작성되고 결과가 달성될 때까지 필요한 대수 연산을 계속 수행합니다.
결과적으로 대각선 중 하나가 1이고 다른 모든 계수가 0인 행렬을 얻어야 합니다. 즉, 행렬이 단일 형식으로 축소됩니다. 우리는 방정식의 양변의 숫자로 계산하는 것을 잊어서는 안됩니다.
이 표기법은 덜 번거로우며 수많은 미지수를 나열하여 주의가 산만해지지 않도록 합니다.
모든 솔루션 방법을 무료로 적용하려면 주의와 어느 정도의 경험이 필요합니다. 모든 방법이 적용되는 것은 아닙니다. 솔루션을 찾는 일부 방법은 인간 활동의 특정 영역에서 더 선호되는 반면 다른 방법은 학습 목적으로 존재합니다.
선형 방정식의 시스템
I. 문제에 대한 설명.
Ⅱ. 동종 및 이종 시스템의 호환성.
III. 체계 티방정식 티알려지지 않은. 크래머의 법칙.
IV. 연립방정식을 풀기 위한 행렬 방법.
V. 가우스 방법.
I. 문제에 대한 설명.
시스템이라고 불리는 중선형 방정식 N알려지지 않은 
. 이 시스템의 방정식 계수는 행렬 형태로 작성됩니다.
~라고 불리는 시스템 매트릭스 (1).
방정식의 오른쪽에 있는 숫자는 무료 회원 열 {비}:
.
열( 비}={0 ), 방정식 시스템은 동종의. 그렇지 않으면 ( 비}≠{0 ) - 시스템 이질적인.
선형 방정식 시스템(1)은 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.
[ㅏ]{엑스}={비}. (2)
여기 
- 미지의 열.
방정식 (1)의 시스템을 푸는 것은 집합을 찾는 것을 의미합니다 N
번호 
알 수없는 대신 시스템 (1)로 대체 할 때 
시스템의 각 방정식은 항등식이 됩니다. 번호 
연립방정식의 해라고 합니다.
,
무한한 수의 솔루션을 가질 수 있습니다
솔루션이 전혀 없거나
.
해가 없는 연립방정식을 호환되지 않는. 연립방정식의 해가 하나 이상 있으면 이를 관절. 방정식 시스템은 확실한고유한 솔루션이 있는 경우 불확실한무한한 수의 솔루션이 있는 경우.
Ⅱ. 동종 및 이종 시스템의 호환성.
선형 연립방정식 (1)의 호환성 조건은 다음과 같이 공식화됩니다. 크로네커-카펠리 정리: 선형 방정식 시스템은 시스템 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같은 경우에만 적어도 하나의 솔루션을 갖습니다. 
.
시스템의 확장 행렬은 오른쪽에 자유 항의 열을 할당하여 시스템의 행렬에서 얻은 행렬입니다.
.
만약 Rg ㅏ
Kronecker-Capelli 정리에 따른 균질 선형 방정식 시스템은 항상 일관됩니다. 방정식의 수가 미지수의 수와 같은 동종 시스템의 경우를 고려하십시오. m=n. 그러한 시스템의 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우, 즉 
, 동종 시스템에는 사소한(0) 고유 솔루션이 있습니다. 동차 시스템은 시스템의 방정식 사이에 선형 종속 방정식이 있는 경우 무한한 수의 솔루션을 갖습니다. 
.
예시. 3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식의 동종 시스템을 고려하십시오.
솔루션의 수에 대한 질문을 검토하십시오. 각 방정식은 원점을 통과하는 평면의 방정식으로 간주할 수 있습니다( 디=0 ). 연립방정식은 세 평면이 한 점에서 모두 교차할 때 고유한 솔루션을 갖습니다. 또한 법선 벡터는 동일 평면이 아니므로 조건
.
이 경우 시스템의 솔루션 엑스=0, 와이=0, 지=0 .
세 평면 중 적어도 두 개(예: 첫 번째 및 두 번째 평면)가 평행한 경우, 즉 , 시스템 행렬의 행렬식은 0이고 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 또한 솔루션은 좌표가 될 것입니다 엑스, 와이, 지선의 모든 점
세 평면이 모두 일치하면 연립방정식은 하나의 방정식으로 축소됩니다.
,
솔루션은 이 평면에 있는 모든 점의 좌표가 됩니다.
선형 방정식의 비균질 시스템을 연구할 때 호환성 문제는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 해결됩니다. 그러한 시스템의 방정식 수가 미지수의 수와 같으면 시스템의 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템은 고유한 솔루션을 갖습니다. 그렇지 않으면 시스템이 일관성이 없거나 솔루션이 무한합니다.
예시. 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 비균일 시스템을 연구합니다.
.
,
. 이 경우 시스템 행렬의 순위는 1입니다.Rg ㅏ=1
, 왜냐하면 
,
증강 행렬의 순위 
세 번째 열을 포함하는 두 번째 차수의 마이너가 기본 마이너로 선택될 수 있기 때문에 2와 같습니다.
고려중인 경우 Rg ㅏ
선이 일치하는 경우, 즉 , 방정식 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 선상의 점 좌표 
. 이 경우 Rg ㅏ=
Rg ㅏ *
=1.
시스템은 선이 평행하지 않을 때 고유한 솔루션을 갖습니다. 
. 이 시스템의 솔루션은 선의 교차점의 좌표입니다. 
III. 체계티 방정식티 알려지지 않은. 크래머의 법칙.
시스템 방정식의 수가 미지수의 수와 같을 때 가장 간단한 경우를 생각해 봅시다. 중= N. 시스템 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템에 대한 솔루션은 Cramer의 규칙을 사용하여 찾을 수 있습니다.
(3)
여기 
- 시스템 행렬 행렬식,
- 에서 얻은 행렬의 행렬식 [ ㅏ] 교체 나무료 회원의 열에 th 열:
.
예시. Cramer의 방법으로 연립방정식을 풉니다.
해결책 :
1) 시스템의 행렬식 찾기
2) 보조 행렬식 찾기
3) Cramer의 규칙에 따라 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.
해의 결과는 방정식 시스템에 대입하여 확인할 수 있습니다.
올바른 ID를 얻습니다.
IV. 연립방정식을 풀기 위한 행렬 방법.
[ㅏ]{엑스}={비}
왼쪽에서 행렬 [ ㅏ -1 ], 시스템 행렬의 역행렬:
[ㅏ -1 ][ㅏ]{엑스}=[ㅏ -1 ]{비}. (2)
역행렬의 정의에 의해 제품 [ ㅏ -1 ][ㅏ]=[이자형], 그리고 단위 행렬의 속성에 의해 [ 이자형]{엑스}={엑스). 그런 다음 관계식 (2")에서 우리는 다음을 얻습니다.
{엑스}=[ㅏ -1 ]{비}. (4)
관계식 (4)는 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 행렬 방법의 기초가 됩니다. 시스템의 행렬에 역행렬을 찾고 시스템 오른쪽 부분의 열 벡터를 곱해야 합니다.
예시. 우리는 행렬 방법으로 이전 예에서 고려한 연립방정식을 풉니다.
시스템 매트릭스 
그것의 결정적인 det ㅏ==183
.
.행렬을 찾으려면 [ ㅏ -1 ], [ ㅏ]:
또는 
역행렬 계산 공식은 다음과 같습니다. 
, 그 다음에
이제 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾을 수 있습니다
그럼 우리는 마침내 
.
V. 가우스 방법.
많은 수의 미지의 경우 Cramer 방법 또는 행렬 방법에 의한 방정식 시스템의 솔루션은 고차 행렬식의 계산 또는 큰 행렬의 역전과 관련이 있습니다. 이러한 절차는 최신 컴퓨터에서도 매우 힘든 작업입니다. 따라서 많은 수의 방정식 시스템을 풀기 위해 가우스 방법이 더 자주 사용됩니다.
가우스 방법은 시스템의 확장 행렬의 기본 변환에 의해 미지수를 연속적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 기본 행렬 변환에는 행의 순열, 행의 추가, 0 이외의 숫자로 행의 곱셈이 포함됩니다. 변환의 결과로 시스템의 행렬을 주 대각선에 단위가 있고 주 대각선 아래에 0인 상부 삼각 행렬로 줄일 수 있습니다. 이것은 가우스 방법의 직접적인 이동입니다. 방법의 역 과정은 마지막 것부터 시작하여 미지수를 직접 결정하는 것입니다.
연립방정식을 푸는 예에서 가우스 방법을 설명하겠습니다.
전진 이동의 첫 번째 단계에서 계수가 
변환된 시스템의 1
, 및 계수 
그리고 
제로로 바뀌었다. 이렇게하려면 첫 번째 방정식을 곱하십시오. 1/10
, 두 번째 방정식에 다음을 곱합니다. 10
첫 번째에 더하고 세 번째 방정식에 다음을 곱합니다. -10/2
그리고 첫 번째 항목에 추가합니다. 이러한 변환 후에 우리는
두 번째 단계에서 변환 후 계수를 확인합니다. 
평등해졌다 1
, 그리고 계수 
. 이를 위해 두 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. 42
, 세 번째 방정식을 곱합니다. -42/27
그리고 두 번째 항목에 추가합니다. 우리는 방정식 시스템을 얻습니다
세 번째 단계는 계수를 얻는 것입니다. 
. 이를 위해 세 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. (37 - 84/27)
; 우리는 얻는다
여기에서 가우스 방법의 직접적인 과정이 종료됩니다. 시스템의 행렬은 상부 삼각 행렬로 축소됩니다.
어디 엑스* - 비균질 시스템(2)의 솔루션 중 하나(예: (4)), (E−A + A)행렬의 커널(제로 공간)을 형성합니다. ㅏ.
행렬의 골격 분해를 해보자 (E−A + A):
E−A + A=Q S
어디 큐 n×n-r- 순위 행렬 (Q)=n-r, 에스 n−r×n-순위 매트릭스 (S)=n-r.
그러면 (13)은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.
x=x*+Qk, ∀ 케이 ∈ R n-r .
어디 k=Sz.
그래서, 일반적인 해결 절차의사 역행렬을 사용하는 선형 방정식 시스템은 다음 형식으로 나타낼 수 있습니다.
x=x*+Qk, ∀ 케이 ∈ R n-r .
온라인 계산기를 사용하면 자세한 설명과 함께 선형 방정식 시스템의 일반적인 솔루션을 찾을 수 있습니다.
실시예 1. 시스템의 일반적인 솔루션과 특정 솔루션 찾기해결책계산기로 하세요. 확장 및 기본 행렬을 작성합니다. 
주 행렬 A는 점선으로 구분되며, 위에서부터 시스템 방정식에서 항의 가능한 순열을 염두에 두고 미지의 시스템을 작성합니다. 확장 행렬의 순위를 결정하면 동시에 주요 행렬의 순위를 찾습니다. 행렬 B에서 첫 번째 열과 두 번째 열은 비례합니다. 두 개의 비례 열 중 하나만 기본 단조에 속할 수 있으므로 예를 들어 반대 부호가 있는 점선 너머의 첫 번째 열을 이동하겠습니다. 시스템의 경우 이는 x 1에서 방정식의 오른쪽으로 항을 이동하는 것을 의미합니다. 
행렬을 삼각형 형태로 가져옵니다. 행렬 행에 0 이외의 숫자를 곱하고 시스템의 다른 행에 추가하는 것은 방정식에 동일한 숫자를 곱하고 다른 방정식에 더하는 것을 의미하므로 행으로만 작업할 것이며, 이는 시스템의 해를 변경하지 않습니다. . 첫 번째 행으로 작업: 행렬의 첫 번째 행에 (-3)을 곱하고 두 번째와 세 번째 행에 차례로 더합니다. 그런 다음 첫 번째 행에 (-2)를 곱하고 네 번째 행에 더합니다. 
두 번째와 세 번째 선은 비례하므로 그 중 하나(예: 두 번째 줄)를 지울 수 있습니다. 이것은 세 번째 방정식의 결과이기 때문에 시스템의 두 번째 방정식을 삭제하는 것과 같습니다. 
이제 두 번째 줄로 작업합니다. (-1)을 곱하고 세 번째 줄에 추가합니다. 
점선으로 된 보조는 가장 높은 차수(가능한 모든 보조 항목 중)를 가지며 0이 아니며(주대각선에 있는 요소의 곱과 같음) 이 보조는 주 행렬과 확장 행렬 모두에 속하므로 rangA = 범위B = 3 .
미성년자 
기본입니다. 여기에는 미지수 x 2, x 3, x 4에 대한 계수가 포함됩니다. 즉, 미지수 x 2, x 3, x 4는 종속되고 x 1, x 5는 자유입니다.
행렬을 변환하여 왼쪽에 기본 마이너만 남겨둡니다(위 솔루션 알고리즘의 4번 지점에 해당). 
이 행렬의 계수가 있는 시스템은 원래 시스템과 동일하며 다음 형식을 갖습니다.
미지수 제거 방법으로 우리는 다음을 찾습니다. 
, ,
우리는 자유 x 1 및 x 5를 통해 종속 변수 x 2, x 3, x 4를 표현하는 관계를 얻었습니다. 즉, 일반적인 솔루션을 찾았습니다. 
자유 미지수에 임의의 값을 부여하면 특정 솔루션을 원하는 수만큼 얻습니다. 두 가지 특정 솔루션을 찾아보겠습니다.
1) x 1 = x 5 = 0, x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3이라고 합시다.
2) x 1 = 1, x 5 = -1, x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7을 입력합니다.
따라서 (0.1, -3,3,0) - 하나의 솔루션, (1.4, -7.7, -1) - 다른 솔루션의 두 가지 솔루션을 찾았습니다.
실시예 2. 호환성 조사, 시스템의 일반적인 솔루션 및 특정 솔루션 찾기 
해결책. 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식을 재정렬하여 첫 번째 방정식의 단위를 갖고 행렬 B를 작성해 보겠습니다. 
첫 번째 행에서 작동하는 네 번째 열에서 0을 얻습니다. 
이제 두 번째 행을 사용하여 세 번째 열에서 0을 가져옵니다. 
세 번째와 네 번째 행은 비례하므로 순위를 변경하지 않고 그 중 하나를 지울 수 있습니다.
세 번째 행에 (-2)를 곱하고 네 번째 행에 더합니다. 
주 행렬과 확장 행렬의 순위는 4이고 순위는 미지수와 일치하므로 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
실시예 3. 시스템 호환성을 검사하고 솔루션이 있으면 찾으십시오. 
해결책. 우리는 시스템의 확장 행렬을 구성합니다. 
왼쪽 상단 모서리에 1이 있도록 처음 두 방정식을 재정렬합니다.
첫 번째 행에 (-1)을 곱하여 세 번째 행에 추가합니다. 
두 번째 줄에 (-2)를 곱하고 세 번째 줄에 추가합니다. 
주 행렬은 0으로 구성된 행을 수신하고 순위를 찾을 때 지워지고 마지막 행은 확장 행렬에 남아 있기 때문에 시스템이 일관되지 않습니다. 즉, r B > r A 입니다.
운동. 호환성에 대해 이 방정식 시스템을 조사하고 행렬 미적분을 사용하여 풉니다.
해결책
예시. 선형 방정식 시스템의 호환성을 증명하고 두 가지 방법으로 해결합니다. 1) 가우스 방법에 의해; 2) Cramer의 방법. (x1,x2,x3 형식으로 답을 입력하세요.)
솔루션 :doc :doc :xls
대답: 2,-1,3.
예시. 선형 방정식 시스템이 제공됩니다. 호환성을 증명하십시오. 시스템의 일반적인 솔루션과 하나의 특정 솔루션을 찾으십시오.
해결책
대답: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
운동. 각 시스템에 대한 일반 및 특정 솔루션을 찾으십시오.
해결책.우리는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 이 시스템을 연구합니다.
확장 및 기본 행렬을 작성합니다.
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
운동. 연립방정식을 풉니다.
대답:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
자유 미지수에 임의의 값을 부여하면 특정 솔루션을 원하는 수만큼 얻습니다. 시스템은 불확실한
