Esistono due tipi di addizione di frazioni:
Innanzitutto, impariamo l'addizione di frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ad esempio, aggiungiamo le frazioni e . Somma i numeratori e lascia invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni la pizza:
Esempio 2. Aggiungi frazioni e .
La risposta risultò essere una frazione impropria. Quando arriva la fine del compito, è consuetudine eliminare le frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria è necessario selezionarne l'intera parte. Nel nostro caso, l'intera parte è facilmente isolabile: due divisi per due equivalgono a uno:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizza alla pizza, ottieni una pizza intera:
Esempio 3. Aggiungi frazioni e .
Ancora una volta sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se aggiungi altra pizza alla pizza, ottieni la pizza:
Esempio 4. Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere aggiunti e il denominatore lasciato invariato:
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a una pizza e aggiungi altra pizza, otterrai 1 pizza intera e un'altra pizza.
Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nell'addizionare frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
Ora impariamo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori delle frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.
Ad esempio, le frazioni possono essere sommate perché hanno gli stessi denominatori.
Ma le frazioni non possono essere sommate subito, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).
Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne vedremo solo uno, poiché gli altri metodi possono sembrare complicati per un principiante.
L'essenza di questo metodo è che prima viene cercato il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il MCM viene quindi diviso per il denominatore della prima frazione per ottenere il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo.
I numeratori e i denominatori delle frazioni vengono quindi moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi vengono convertite in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni.
Esempio 1. Aggiungiamo le frazioni e
Innanzitutto troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6
LCM (2 e 3) = 6
Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividi il LCM per il denominatore della prima frazione e ottieni il primo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.
Il numero risultante 2 è il primo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla prima frazione. Per fare ciò, traccia una piccola linea obliqua sopra la frazione e scrivi il fattore aggiuntivo che trovi sopra:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividi 6 per 2, otteniamo 3.
Il numero risultante 3 è il secondo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla seconda frazione. Ancora una volta, tracciamo una piccola linea obliqua sulla seconda frazione e annotiamo il fattore aggiuntivo che si trova sopra di essa:
Ora abbiamo tutto pronto per l'aggiunta. Resta da moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Guarda attentamente a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:
Questo completa l'esempio. Risulta aggiungere .
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a pizza ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:
La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo le frazioni e ad un denominatore comune, abbiamo ottenuto le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi pezzi di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotti allo stesso denominatore).
Il primo disegno rappresenta una frazione (quattro pezzi su sei), mentre il secondo disegno rappresenta una frazione (tre pezzi su sei). Sommando questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione è impropria, quindi ne abbiamo evidenziato la parte intera. Di conseguenza, abbiamo ottenuto (una pizza intera e un'altra sesta pizza).
Tieni presente che abbiamo descritto questo esempio in modo troppo dettagliato. Nelle istituzioni educative non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM sia dei denominatori che dei fattori aggiuntivi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati per i tuoi numeratori e denominatori. A scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:
Ma c’è anche un’altra faccia della medaglia. Se non prendi appunti dettagliati nelle prime fasi dello studio della matematica, inizieranno ad apparire domande di questo tipo. “Da dove viene quel numero?”, “Perché le frazioni si trasformano improvvisamente in frazioni completamente diverse? «.
Per rendere più semplice la somma di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni passo passo:
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione 
.
Usiamo le istruzioni fornite sopra.
Passaggio 1. Trova il MCM dei denominatori delle frazioni
Trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4
Passaggio 2. Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione
Dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo ottenuto il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la prima frazione:
Ora dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:
Ora dividiamo il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la terza frazione:
Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi
Moltiplichiamo numeratori e denominatori per i loro fattori aggiuntivi:
Passaggio 4. Aggiungi le frazioni con gli stessi denominatori
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). Non resta che sommare queste frazioni. Aggiungilo:
L'aggiunta non rientrava in una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente nella riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non rientra in una riga, viene spostata alla riga successiva ed è necessario inserire un segno uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio della nuova riga. Il segno uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.
Passaggio 5. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, evidenzia l'intera parte al suo interno
Abbiamo una frazione impropria nella nostra risposta. Dobbiamo evidenziarne tutta una parte. Evidenziamo:
Abbiamo ricevuto una risposta
Esistono due tipi di sottrazione delle frazioni:
Innanzitutto, impariamo a sottrarre le frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sottrarne un'altra da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione, ma lasciare lo stesso denominatore.
Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore. Facciamolo:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 2. Trova il valore dell'espressione.
Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione e lascia invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 3. Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione bisogna sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:
Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
Ad esempio, puoi sottrarre una frazione da una frazione perché le frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma non puoi sottrarre una frazione da una frazione, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).
Il denominatore comune si trova utilizzando lo stesso principio che abbiamo utilizzato quando abbiamo sommato frazioni con denominatori diversi. Innanzitutto, trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi il MCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che è scritto sopra la prima frazione. Allo stesso modo, il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sopra la seconda frazione.
Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi vengono convertite in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.
Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi ridurle allo stesso denominatore (comune).
Innanzitutto, troviamo il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12
LCM (3 e 4) = 12
Ora torniamo alle frazioni e
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Scrivi un quattro sopra la prima frazione:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi un tre sulla seconda frazione:
Ora siamo pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:
Abbiamo ricevuto una risposta
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se tagli la pizza da una pizza, ottieni la pizza
Questa è la versione dettagliata della soluzione. Se fossimo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in modo più breve. Una soluzione del genere sarebbe simile a questa:
La riduzione delle frazioni a un denominatore comune può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo queste frazioni a un denominatore comune, abbiamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza, ma questa volta saranno divise in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore):
La prima immagine mostra una frazione (otto pezzi su dodici), mentre la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi su dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione 
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi prima devi ridurle allo stesso denominatore (comune).
Troviamo il MCM dei denominatori di queste frazioni.
I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore di ciascuna frazione.
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la terza frazione. Dividi il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la terza frazione:
Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.
La continuazione dell'esempio non sta in una riga, quindi la spostiamo alla riga successiva. Non dimenticare il segno uguale (=) sulla nuova riga:
La risposta si è rivelata una frazione regolare e tutto sembra andarci bene, ma è troppo ingombrante e brutto. Dovremmo renderlo più semplice. Cosa si può fare? Puoi abbreviare questa frazione.
Per ridurre una frazione, devi dividere il suo numeratore e denominatore per (MCD) dei numeri 20 e 30.
Quindi, troviamo il mcd dei numeri 20 e 30:
Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per il mcd trovato, cioè per 10
Abbiamo ricevuto una risposta
Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione per quel numero e lasciare invariato il denominatore.
Esempio 1. Moltiplica una frazione per il numero 1.
Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1
La registrazione può essere intesa come se durasse la metà di 1 volta. Ad esempio, se prendi la pizza una volta, ottieni la pizza
Dalle leggi della moltiplicazione sappiamo che se si scambiano il moltiplicando e il fattore il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Ancora una volta, la regola per moltiplicare un numero intero e una frazione funziona:
Questa notazione può essere intesa come se prendesse la metà di uno. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo la metà, allora avremo la pizza:
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della frazione per 4
La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:
L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi 4 pizze, otterrai due pizze intere
E se invertiamo il moltiplicando e il moltiplicatore, otteniamo l'espressione . Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:
Il numero moltiplicato per la frazione e il denominatore della frazione vengono risolti se hanno un fattore comune maggiore di uno.
Ad esempio, un'espressione può essere valutata in due modi.
Primo modo. Moltiplica il numero 4 per il numeratore della frazione e lascia invariato il denominatore della frazione:
Secondo modo. Il quattro moltiplicato e il quattro al denominatore della frazione possono essere ridotti. Questi quattro possono essere ridotti di 4, poiché il massimo comun divisore per due quattro è il quattro stesso:
Abbiamo ottenuto lo stesso risultato 3. Dopo aver ridotto i quattro, al loro posto si formano nuovi numeri: due unità. Ma moltiplicare uno per tre e poi dividere per uno non cambia nulla. Pertanto la soluzione può essere scritta brevemente:
La riduzione può essere eseguita anche quando abbiamo deciso di utilizzare il primo metodo, ma nella fase di moltiplicazione del numero 4 e del numeratore 3 abbiamo deciso di utilizzare la riduzione:
Ma ad esempio, l'espressione può essere calcolata solo nel primo modo: moltiplica 7 per il denominatore della frazione e lascia invariato il denominatore:
Ciò è dovuto al fatto che il numero 7 e il denominatore della frazione non hanno un divisore comune maggiore di uno, e di conseguenza non si annullano.
Alcuni studenti accorciano erroneamente il numero da moltiplicare e il numeratore della frazione. Non puoi farlo. Ad esempio, la seguente voce non è corretta:
Ridurre una frazione significa questo sia numeratore che denominatore sarà diviso per lo stesso numero. Nella situazione con l'espressione, la divisione viene eseguita solo nel numeratore, poiché scriverlo equivale a scrivere . Vediamo che la divisione viene eseguita solo al numeratore e nessuna divisione avviene al denominatore.
Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta risulta essere una frazione impropria è necessario evidenziarne l'intera parte.
Esempio 1. Trova il valore dell'espressione.
Abbiamo ricevuto una risposta. È consigliabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la seguente forma:
L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Come prendere due terzi da questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:
E prendine due da questi tre pezzi:
Faremo la pizza. Ricorda come si presenta una pizza, divisa in tre parti:
Un pezzo di questa pizza e i due pezzi che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:
In altre parole, stiamo parlando di pizza della stessa dimensione. Pertanto il valore dell'espressione è
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:
Esempio 3. Trova il valore di un'espressione
Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta si è rivelata una frazione regolare, ma sarebbe opportuno se fosse abbreviata. Per ridurre questa frazione, devi dividere il numeratore e il denominatore di questa frazione per il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 105 e 450.
Quindi, troviamo il MCD dei numeri 105 e 450:
Ora dividiamo numeratore e denominatore della nostra risposta per il mcd che abbiamo ora trovato, cioè per 15
Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Ciò non cambierà il significato di cinque, poiché l'espressione significa “il numero cinque diviso uno”, e questo, come sappiamo, è uguale a cinque:
Ora faremo conoscenza con un argomento molto interessante in matematica. Si chiama "numeri inversi".
Definizione. Invertire il numeroUN è un numero che, se moltiplicato perUN ne dà uno.
Sostituiamo in questa definizione invece della variabile UN numero 5 e prova a leggere la definizione:
Invertire il numero 5 è un numero che, se moltiplicato per 5 ne dà uno.
È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che è possibile. Immaginiamo cinque come una frazione:
Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplichiamo la frazione per se stessa, solo capovolta:
Cosa accadrà di conseguenza? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:
Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero , poiché moltiplicando 5 per ottieni uno.
Il reciproco di un numero può essere trovato anche per qualsiasi altro numero intero.
Puoi anche trovare il reciproco di qualsiasi altra frazione. Per fare questo, basta capovolgerlo.
Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Dividiamolo equamente tra due. Quanta pizza riceverà ogni persona?
Si può notare che dopo aver diviso metà della pizza si sono ottenuti due pezzi uguali, ognuno dei quali costituisce una pizza. Quindi tutti prendono una pizza.
Il denominatore comune di più frazioni è il MCM (minimo comune multiplo) dei numeri naturali che sono i denominatori delle frazioni date.
Ai numeratori delle frazioni indicate è necessario aggiungere ulteriori fattori pari al rapporto tra MCM e il denominatore corrispondente.
I numeratori di determinate frazioni vengono moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi, risultando in numeratori di frazioni con un unico denominatore comune. I segni di azione (“+” o “-”) nella registrazione delle frazioni ridotte a un denominatore comune vengono memorizzati prima di ciascuna frazione. Per le frazioni con un denominatore comune, i segni di azione vengono conservati prima di ciascun numeratore ridotto.
Solo ora puoi aggiungere o sottrarre i numeratori e firmare il denominatore comune sotto il risultato.
Attenzione! Se nella frazione risultante il numeratore e il denominatore hanno fattori comuni, la frazione deve essere ridotta. È consigliabile convertire una frazione impropria in una frazione mista. Lasciare il risultato di un'addizione o sottrazione senza cancellare la frazione, ove possibile, è una soluzione incompleta dell'esempio!
Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi. Regola. A sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurli al minimo comune denominatore, quindi eseguire l'addizione o la sottrazione come con le frazioni con gli stessi denominatori.
Le frazioni possono anche essere sommate e sottratte se ci sono lettere al numeratore.
Le regole per sommare frazioni con denominatori diversi sono molto semplici.
Diamo un'occhiata passo dopo passo alle regole per aggiungere frazioni con denominatori diversi:
1. Trova il LCM (minimo comune multiplo) dei denominatori. Il MCM risultante sarà il denominatore comune delle frazioni;
2. Ridurre le frazioni a un denominatore comune;
3. Aggiungi le frazioni ridotte a un denominatore comune.
Usando un semplice esempio, impareremo come applicare le regole per sommare frazioni con denominatori diversi.
Un esempio di somma di frazioni con denominatori diversi.
Somma frazioni con denominatori diversi:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Decideremo passo dopo passo.
1. Trova il LCM (minimo comune multiplo) dei denominatori.
Il numero 12 è divisibile per 6.
Da ciò concludiamo che 12 è il minimo comune multiplo dei numeri 6 e 12.
Risposta: il numero dei numeri 6 e 12 è 12:
MCM(6, 12) = 12
Il LCM risultante sarà il denominatore comune di due frazioni 1/6 e 5/12.
2. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.
Nel nostro esempio, solo la prima frazione deve essere ridotta al denominatore comune di 12, perché la seconda frazione ha già un denominatore di 12.
Dividi il denominatore comune di 12 per il denominatore della prima frazione:
2 ha un moltiplicatore aggiuntivo.
Moltiplica il numeratore e il denominatore della prima frazione (1/6) per un fattore aggiuntivo di 2.
Nel V secolo a.C., l'antico filosofo greco Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia “Achille e la Tartaruga”. Ecco come sembra:Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano, in un modo o nell'altro, l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.
Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.
Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.
Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:
Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.
Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.
Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:
Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.
In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in effetti, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.
Le differenze tra set e multiset sono descritte molto bene su Wikipedia. Vediamo.
Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.
C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.
Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.
Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Poi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.
Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi è unica per ogni moneta...
E ora mi sorge la domanda più interessante: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.
Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Che è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.
Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".
La somma delle cifre di un numero è una danza degli sciamani con il tamburello, che non ha nulla a che vedere con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma è per questo che sono sciamani, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente si estingueranno.
Hai bisogno di prove? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. In matematica non esiste una formula che possa essere utilizzata per trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri sono simboli grafici con cui scriviamo numeri, e nel linguaggio della matematica il compito suona così: "Trova la somma dei simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo facilmente.
Scopriamo cosa e come fare per trovare la somma delle cifre di un dato numero. Quindi, prendiamo il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.
1. Annota il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo numerico grafico. Questa non è un'operazione matematica.
2. Tagliamo l'immagine risultante in più immagini contenenti i singoli numeri. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.
3. Converti i singoli simboli grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.
4. Aggiungi i numeri risultanti. Questa è matematica.
La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i “corsi di taglio e cucito” tenuti dagli sciamani e utilizzati dai matematici. Ma non è tutto.
Da un punto di vista matematico, non importa in quale sistema numerico scriviamo un numero. Quindi, in sistemi numerici diversi la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. Con il numero grande 12345, non voglio ingannarmi, consideriamo il numero 26 dell'articolo su. Scriviamo questo numero nei sistemi numerici binario, ottale, decimale ed esadecimale. Non esamineremo ogni passaggio al microscopio, lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.
Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come se determinassi l’area di un rettangolo in metri e centimetri, otterresti risultati completamente diversi.
Lo zero ha lo stesso aspetto in tutti i sistemi numerici e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che. Domanda per i matematici: come si designa in matematica qualcosa che non è un numero? Cosa, per i matematici non esiste altro che numeri? Posso permetterlo agli sciamani, ma non agli scienziati. La realtà non è solo una questione di numeri.
Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare numeri con diverse unità di misura. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averle confrontate, ciò non ha nulla a che fare con la matematica.
Cos'è la vera matematica? Ciò accade quando il risultato di un'operazione matematica non dipende dalla dimensione del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue questa azione.
OH! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per lo studio della santità indefila delle anime durante la loro ascensione al cielo! Alone in alto e freccia verso l'alto. Quale altro bagno?
Femmina... L'alone in alto e la freccia in basso sono maschili.
Se una simile opera d'arte di design lampeggia davanti ai tuoi occhi più volte al giorno,
Allora non sorprende che all'improvviso trovi una strana icona nella tua macchina:
Personalmente mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (una foto) (una composizione di più foto: segno meno, numero quattro, designazione dei gradi). E non penso che questa ragazza sia una sciocca che non conosce la fisica. Ha solo un forte stereotipo nella percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.
1A non è “meno quattro gradi” o “uno a”. Questo è "uomo che fa la cacca" o il numero "ventisei" in notazione esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente con questo sistema numerico percepiscono automaticamente un numero e una lettera come un simbolo grafico.
Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori simili
Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Concetto di NOC
Ridurre le frazioni allo stesso denominatore
Come sommare un numero intero e una frazione
1 Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori simili
Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori, ma lasciare lo stesso denominatore, ad esempio:
Per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore, ad esempio:
Per sommare le frazioni miste, devi sommare separatamente le loro parti intere, quindi aggiungere le loro parti frazionarie e scrivere il risultato come frazione mista,
Se, sommando parti frazionarie, ottieni una frazione impropria, seleziona da essa l'intera parte e aggiungila alla parte intera, ad esempio:
2 Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Per aggiungere o sottrarre frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurle allo stesso denominatore, quindi procedere come indicato all'inizio di questo articolo. Il denominatore comune di più frazioni è il LCM (minimo comune multiplo). Per il numeratore di ciascuna frazione, si trovano fattori aggiuntivi dividendo il LCM per il denominatore di questa frazione. Vedremo un esempio più tardi, dopo aver capito cos'è un NOC.
3 Minimo comune multiplo (LCM)
Il minimo comune multiplo di due numeri (MCM) è il più piccolo numero naturale divisibile per entrambi i numeri senza lasciare resto. A volte l'LCM può essere trovato oralmente, ma più spesso, soprattutto quando si lavora con grandi numeri, è necessario trovarlo per iscritto, utilizzando il seguente algoritmo:
Per trovare l'LCM di più numeri, è necessario:
Ad esempio, troviamo il LCM dei numeri 28 e 21:
4Ridurre le frazioni allo stesso denominatore
Torniamo alla somma delle frazioni con denominatori diversi.
Quando riduciamo le frazioni allo stesso denominatore, che è uguale al MCM di entrambi i denominatori, dobbiamo moltiplicare i numeratori di queste frazioni per moltiplicatori aggiuntivi. Puoi trovarli dividendo il MCM per il denominatore della frazione corrispondente, ad esempio:
Pertanto, per ridurre le frazioni allo stesso esponente, devi prima trovare il MCM (ovvero il numero più piccolo divisibile per entrambi i denominatori) dei denominatori di queste frazioni, quindi aggiungere ulteriori fattori ai numeratori delle frazioni. Puoi trovarli dividendo il denominatore comune (CLD) per il denominatore della frazione corrispondente. Quindi devi moltiplicare il numeratore di ciascuna frazione per un fattore aggiuntivo e mettere il MCM come denominatore.
5Come sommare un numero intero e una frazione
Per sommare un numero intero e una frazione, devi solo aggiungere questo numero prima della frazione, il che risulterà, ad esempio, in una frazione mista.
