Note importanti!
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Che cos'è una probabilità?
Di fronte a questo termine per la prima volta, non capirei di cosa si tratta. Quindi cercherò di spiegare in modo comprensibile.
La probabilità è la possibilità che si verifichi l'evento desiderato.
Ad esempio, hai deciso di visitare un amico, ricordare l'ingresso e persino il piano in cui abita. Ma ho dimenticato il numero e l'ubicazione dell'appartamento. E ora sei sulla tromba delle scale e di fronte a te ci sono le porte tra cui scegliere.
Qual è la possibilità (probabilità) che se suoni il primo campanello, il tuo amico lo apra per te? Appartamento intero e un amico vive solo dietro uno di loro. Con pari possibilità, possiamo scegliere qualsiasi porta.
Ma qual è questa possibilità?
Porte, la porta giusta. Probabilità di indovinare suonando la prima porta: . Cioè, una volta su tre indovinerai di sicuro.
Vogliamo sapere chiamando una volta, quante volte indovineremo la porta? Diamo un'occhiata a tutte le opzioni:
E ora considera tutte le opzioni in cui un amico può essere:
un. Per 1° porta
b. Per 2° porta
in. Per 3° porta
Confrontiamo tutte le opzioni sotto forma di tabella. Un segno di spunta indica le opzioni quando la tua scelta corrisponde alla posizione di un amico, una croce - quando non corrisponde.
Come vedi tutto Forse opzioni la posizione dell'amico e la tua scelta di quale porta suonare.
MA esiti favorevoli di tutti . Cioè, indovinerai i tempi suonando una volta alla porta, ad es. .
Questa è la probabilità: il rapporto tra un esito favorevole (quando la tua scelta ha coinciso con la posizione di un amico) e il numero di eventi possibili.
La definizione è la formula. La probabilità è solitamente indicata con p, quindi:
Non è molto conveniente scrivere una formula del genere, quindi prendiamo per - il numero di risultati favorevoli e per - il numero totale di risultati.
La probabilità può essere scritta in percentuale, per questo è necessario moltiplicare il risultato risultante per:
Probabilmente, la parola "risultati" ha attirato la tua attenzione. Poiché i matematici chiamano esperimenti varie azioni (per noi, tale azione è un campanello), è consuetudine chiamare il risultato di tali esperimenti un risultato.
Bene, i risultati sono favorevoli e sfavorevoli.
Torniamo al nostro esempio. Supponiamo di aver suonato a una delle porte, ma ci è stata aperta sconosciuto. Non abbiamo indovinato. Qual è la probabilità che se suoniamo una delle porte rimanenti, il nostro amico la apri per noi?
Se lo pensavi, allora questo è un errore. Scopriamolo.
Abbiamo due porte rimaste. Quindi abbiamo possibili passaggi:
1) Chiama a 1° Porta
2) Chiama 2° Porta
Un amico, con tutto questo, è sicuramente dietro uno di loro (dopotutto, non era dietro quello che abbiamo chiamato):
a) un amico 1° porta
b) un amico per 2° porta
Disegniamo di nuovo la tabella:
Come puoi vedere, ci sono tutte le opzioni, di cui - favorevoli. Cioè, la probabilità è uguale.
Perché no?
La situazione che abbiamo considerato è esempio di eventi dipendenti. Il primo evento è il primo campanello, il secondo evento è il secondo campanello.
E sono chiamati dipendenti perché influenzano le seguenti azioni. Dopotutto, se un amico aprisse la porta dopo il primo squillo, quale sarebbe la probabilità che si trovi dietro a uno degli altri due? Correttamente, .
Ma se ci sono eventi dipendenti, allora devono esserci indipendente? Vero, ci sono.
Un esempio da manuale è lanciare una moneta.
E lascia che le code cadano almeno mille volte di seguito. La probabilità di cadere testa in una volta sarà la stessa. Ci sono sempre opzioni, ma favorevoli.
Distinguere eventi dipendenti da eventi indipendenti è facile:
Facciamo un po' di pratica per determinare la probabilità.
Esempio 1
La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità di ottenere un heads up due volte di seguito?
Soluzione:
Considera tutte le opzioni possibili:
Come puoi vedere, tutte le opzioni. Di questi, siamo solo soddisfatti. Questa è la probabilità:
Se la condizione chiede semplicemente di trovare la probabilità, allora la risposta deve essere data nel modulo frazione decimale. Se fosse indicato che la risposta deve essere data in percentuale, allora moltiplicheremmo per.
Risposta:
Esempio 2
In una scatola di cioccolatini, tutte le caramelle sono confezionate nello stesso involucro. Tuttavia, dai dolci - con noci, cognac, ciliegie, caramello e torrone.
Qual è la probabilità di prendere una caramella e ottenere una caramella con le noci. Dai la tua risposta in percentuale.
Soluzione:
Quanti possibili esiti ci sono? .
Cioè, prendendo una caramella, sarà una di quelle nella scatola.
E quanti esiti favorevoli?
Perché la scatola contiene solo cioccolatini con noci.
Risposta:
Esempio 3
In una scatola di palline. di cui sono bianchi e neri.
Soluzione:
a) Ci sono solo palline nella scatola. di cui sono bianchi.
La probabilità è:
b) Ora ci sono le palline nella scatola. E sono rimasti altrettanti bianchi.
Risposta:
| La probabilità di tutti i possibili eventi è (). |
Ad esempio, in una scatola di palline rosse e verdi. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? Palla verde? Palla rossa o verde?
Probabilità di estrarre una pallina rossa
Pallone verde:
Palla rossa o verde:
Come puoi vedere, la somma di tutti i possibili eventi è uguale a (). Comprendere questo punto ti aiuterà a risolvere molti problemi.
Esempio 4
Ci sono pennarelli nella confezione: verde, rosso, blu, giallo, nero.
Qual è la probabilità di pescare NON un segnalino rosso?
Soluzione:
Contiamo il numero esiti favorevoli.
NON un indicatore rosso, ciò significa verde, blu, giallo o nero.
| La probabilità che un evento non si verifichi è meno la probabilità che l'evento si verifichi. |
Sai già cosa sono gli eventi indipendenti.
E se hai bisogno di trovare la probabilità che si verifichino due (o più) eventi indipendenti di seguito?
Diciamo che vogliamo sapere qual è la probabilità che lanciando una moneta una volta, vedremo un'aquila due volte?
Abbiamo già considerato - .
E se lanciassimo una moneta? Qual è la probabilità di vedere un'aquila due volte di seguito?
Totale opzioni possibili:
Non so voi, ma una volta ho sbagliato questa lista. Oh! E l'unica opzione (la prima) ci si addice.
Per 5 lanci, puoi fare tu stesso un elenco di possibili risultati. Ma i matematici non sono così industriosi come te.
Pertanto, hanno prima notato, e poi dimostrato, che la probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti diminuisce ogni volta della probabilità di un evento.
In altre parole,
Considera l'esempio della stessa, sfortunata moneta.
Probabilità di testare in un processo? . Ora stiamo lanciando una moneta.
Qual è la probabilità di ottenere croce di fila?
Questa regola non funziona solo se ci viene chiesto di trovare la probabilità che lo stesso evento si verifichi più volte di seguito.
Se volessimo trovare la sequenza TAILS-EAGLE-TAILS su lanci consecutivi, faremmo lo stesso.
La probabilità di ottenere croce - , testa - .
La probabilità di ottenere la sequenza CODE-EAGLE-TAILS-TAILS:
Puoi verificarlo tu stesso creando un tavolo.
Quindi fermati! Nuova definizione.
Scopriamolo. Prendiamo la nostra moneta consumata e la lanciamo una volta.
Possibili opzioni:
Quindi qui ci sono eventi incompatibili, questa è una certa sequenza di eventi. sono eventi incompatibili
Se vogliamo determinare qual è la probabilità di due (o più) eventi incompatibili, aggiungiamo le probabilità di questi eventi.
Devi capire che la perdita di un'aquila o della croce sono due eventi indipendenti.
Se vogliamo determinare qual è la probabilità che una sequenza) (o qualsiasi altra) cada, usiamo la regola della moltiplicazione delle probabilità.
Qual è la probabilità di ottenere testa al primo lancio e croce al secondo e al terzo?
Ma se vogliamo sapere qual è la probabilità di ottenere una delle diverse sequenze, ad esempio, quando esce testa esattamente una volta, ad es. opzioni e, quindi, dobbiamo aggiungere le probabilità di queste sequenze.
Le opzioni totali ci soddisfano.
Possiamo ottenere la stessa cosa sommando le probabilità di occorrenza di ciascuna sequenza:
Quindi, aggiungiamo le probabilità quando vogliamo determinare la probabilità di alcune sequenze di eventi incompatibili.
C'è una grande regola per aiutarti a non confonderti quando moltiplicare e quando aggiungere:
Torniamo all'esempio in cui abbiamo lanciato una moneta più volte e vogliamo conoscere la probabilità di vedere testa una volta.
Cosa succederà?
Dovrebbe cadere:
(testa E croce E croce) OR (croce E testa E croce) OR (croce E croce E testa).
E così risulta:
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio 5
Ci sono matite nella scatola. rosso, verde, arancione e giallo e nero. Qual è la probabilità di disegnare matite rosse o verdi?
Soluzione:
Esempio 6
Un dado viene lanciato due volte, qual è la probabilità che esca un totale di 8?
Soluzione.
Come possiamo ottenere punti?
(e) o (e) o (e) o (e) o (e).
La probabilità di cadere da una (qualsiasi) faccia è .
Calcoliamo la probabilità:
Penso che ora ti sia diventato chiaro quando hai bisogno di come contare le probabilità, quando aggiungerle e quando moltiplicarle. Non è vero? Facciamo un po' di esercizio.
Compiti:
Prendiamo un mazzo di carte in cui le carte sono picche, cuori, 13 fiori e 13 tamburelli. Dall'asso di ogni seme.
Risposte:
Se sei stato in grado di risolvere tutti i problemi da solo, allora sei un bravo ragazzo! Ora i compiti sulla teoria della probabilità nell'esame farai clic come matti!
Considera un esempio. Diciamo di lanciare un dado. Che razza di osso è questo, lo sai? Questo è il nome di un cubo con dei numeri sulle facce. Quanti volti, quanti numeri: da a quanti? Prima.
Quindi tiriamo un dado e vogliamo che esca con un o. E cadiamo.
In teoria probabilistica dicono cosa è successo evento favorevole(da non confondere con il bene).
Se cadesse, anche l'evento sarebbe di buon auspicio. In totale possono verificarsi solo due eventi favorevoli.
Quanti cattivi? Poiché tutti gli eventi possibili, gli sfavorevoli sono gli eventi (questo è se cade o).
Definizione:
La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.. Cioè, la probabilità mostra quale proporzione di tutti i possibili eventi è favorevole.
La probabilità è indicata da una lettera latina (apparentemente, da parola inglese probabilità - probabilità).
È consuetudine misurare la probabilità in percentuale (vedi l'argomento). Per fare ciò, il valore di probabilità deve essere moltiplicato per. Nell'esempio dei dadi, probabilità.
E in percentuale: .
Esempi (decidi tu stesso):
Soluzioni:
Lo stesso con le code: .
Tutte le matite nel cassetto sono verdi. Qual è la probabilità di disegnare una matita rossa? Non ci sono possibilità: probabilità (dopotutto, eventi favorevoli -).
Un tale evento è chiamato impossibile.
Qual è la probabilità di disegnare una matita verde? Ci sono esattamente tanti eventi favorevoli quanti sono gli eventi totali (tutti gli eventi sono favorevoli). Quindi la probabilità è o.
Un tale evento è chiamato certo.
Se nella scatola ci sono matite verdi e rosse, qual è la probabilità di disegnare una verde o una rossa? Ancora una volta. Nota la seguente cosa: la probabilità di disegnare il verde è uguale e il rosso è .
In sintesi, queste probabilità sono esattamente uguali. Questo è, la somma delle probabilità di tutti i possibili eventi è uguale a o.
Esempio:
In una scatola di matite, tra queste ci sono blu, rosse, verdi, semplici, gialle e le altre sono arancioni. Qual è la probabilità di non disegnare il verde?
Soluzione:
Ricorda che tutte le probabilità si sommano. E la probabilità di disegnare verde è uguale. Ciò significa che la probabilità di non disegnare il verde è uguale.
Ricorda questo trucco: La probabilità che un evento non si verifichi è meno la probabilità che l'evento si verifichi.
Lanci una moneta due volte e vuoi che esca testa entrambe le volte. Qual è la probabilità di questo?
Esaminiamo tutte le opzioni possibili e determiniamo quante ce ne sono:
Aquila-aquila, coda-aquila, coda-aquila, coda-coda. Cos'altro?
L'intera variante. Di questi, solo uno ci si addice: Eagle-Eagle. Quindi, la probabilità è uguale.
Bene. Ora lanciamo una moneta. Conta te stesso. Accaduto? (Rispondere).
Potresti aver notato che con l'aggiunta di ogni lancio successivo, la probabilità diminuisce di un fattore. Regola generale chiamato regola di moltiplicazione:
Le probabilità di eventi indipendenti cambiano.
Cosa sono gli eventi indipendenti? Tutto è logico: questi sono quelli che non dipendono l'uno dall'altro. Ad esempio, quando lanciamo più volte una moneta, ogni volta viene effettuato un nuovo lancio, il cui risultato non dipende da tutti i lanci precedenti. Con lo stesso successo, possiamo lanciare due monete diverse contemporaneamente.
Altri esempi:
Risposte:
Gli eventi incompatibili sono eventi che si completano a vicenda con piena probabilità. Come suggerisce il nome, non possono accadere contemporaneamente. Ad esempio, se lanciamo una moneta, possono cadere testa o croce.
Esempio.
In una scatola di matite, tra queste ci sono blu, rosse, verdi, semplici, gialle e le altre sono arancioni. Qual è la probabilità di disegnare verde o rosso?
Soluzione.
La probabilità di disegnare una matita verde è uguale. Rosso - .
Eventi di buon auspicio per tutti: verde + rosso. Quindi la probabilità di disegnare verde o rosso è uguale.
La stessa probabilità può essere rappresentata nella forma seguente: .
Questa è la regola dell'addizione: le probabilità di eventi incompatibili si sommano.
Esempio.
La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che il risultato dei lanci sia diverso?
Soluzione.
Ciò significa che se esce testa per prima, croce dovrebbe essere seconda e viceversa. Si scopre che qui ci sono due coppie di eventi indipendenti e queste coppie sono incompatibili tra loro. Come non confondersi su dove moltiplicare e dove aggiungere.
C'è una semplice regola per tali situazioni. Prova a descrivere cosa dovrebbe accadere collegando gli eventi con i sindacati "AND" o "OR". Ad esempio, nel questo caso:
Deve rotolare (testa e croce) o (croce e testa).
Dove c'è un'unione "e", ci sarà la moltiplicazione e dove "o" è l'addizione:
Provate voi stessi:
Soluzioni:
Un altro esempio:
Lanciamo una moneta una volta. Qual è la probabilità che esca testa almeno una volta?
Soluzione:
La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.
Eventi indipendenti
Due eventi sono indipendenti se il verificarsi di uno non cambia la probabilità che si verifichi l'altro.
Piena probabilità
La probabilità di tutti i possibili eventi è ().
La probabilità che un evento non si verifichi è meno la probabilità che l'evento si verifichi.
Regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti
La probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di ciascuno degli eventi
Eventi incompatibili
Gli eventi incompatibili sono quegli eventi che non possono verificarsi simultaneamente come risultato di un esperimento. Un certo numero di eventi incompatibili formano un gruppo completo di eventi.
Le probabilità di eventi incompatibili si sommano.
Dopo aver descritto cosa dovrebbe accadere, usando le unioni "AND" o "OR", invece di "AND" mettiamo il segno di moltiplicazione e invece di "OR" - addizione.
Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.
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Probabilità evento è il rapporto tra il numero di esiti elementari che favoriscono un dato evento e il numero di tutti egualmente possibili esiti dell'esperienza in cui questo evento può verificarsi. La probabilità di un evento A è indicata da P(A) (qui P è la prima lettera della parola francese probabilite - probabilità). Secondo la definizione
(1.2.1)
dove è il numero di esiti elementari favorevoli all'evento A; - il numero di tutti gli esiti elementari dell'esperienza ugualmente possibili, che formano un insieme completo di eventi.
Questa definizione di probabilità è chiamata classica. È sorto stato iniziale sviluppo della teoria della probabilità.
La probabilità di un evento ha le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un determinato evento è uguale a uno. Designiamo un certo evento con la lettera. Per un certo evento, dunque
(1.2.2)
2. La probabilità di un evento impossibile è zero. Indichiamo l'evento impossibile con la lettera. Per un evento impossibile, dunque
(1.2.3)
3. Probabilità evento casuale espresso come numero positivo minore di uno. Dal momento che le disuguaglianze, o sono soddisfatte per un evento casuale, quindi
(1.2.4)
4. La probabilità di qualsiasi evento soddisfa le disuguaglianze
(1.2.5)
Ciò risulta dalle relazioni (1.2.2) -(1.2.4).
Esempio 1 Un'urna contiene 10 palline della stessa dimensione e peso, di cui 4 rosse e 6 blu. Una pallina viene estratta dall'urna. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia blu?
Soluzione. L'evento "il pareggio è risultato essere blu" sarà indicato con la lettera A. Questa prova ha 10 esiti elementari ugualmente possibili, di cui 6 favorevoli all'evento A. Secondo la formula (1.2.1), otteniamo 
Esempio 2 Tutti i numeri naturali da 1 a 30 sono scritti su carte identiche e posti in un'urna. Dopo aver mescolato accuratamente le carte, una carta viene rimossa dall'urna. Qual è la probabilità che il numero sulla carta estratta sia un multiplo di 5?
Soluzione. Indichiamo con A l'evento "il numero sulla carta presa è un multiplo di 5". In questo test ci sono 30 esiti elementari ugualmente possibili, di cui 6 esiti favorevoli all'evento A (numeri 5, 10, 15, 20, 25, 30). Di conseguenza, 
Esempio 3 Vengono lanciati due dadi, viene calcolata la somma dei punti sulle facce superiori. Trova la probabilità dell'evento B, consistente nel fatto che le facce superiori dei cubi avranno un totale di 9 punti.
Soluzione. Ci sono 6 2 = 36 esiti elementari ugualmente possibili in questo studio. L'evento B è favorito da 4 risultati: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), quindi 
Esempio 4. Scelto a caso numero naturale, non superiore a 10. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?
Soluzione. Indichiamo con la lettera C l'evento "il numero scelto è primo". In questo caso, n = 10, m = 4 ( numeri primi 2, 3, 5, 7). Pertanto, la probabilità desiderata 
Esempio 5 Vengono lanciate due monete simmetriche. Qual è la probabilità che entrambe le monete abbiano delle cifre sui lati superiori?
Soluzione. Indichiamo con la lettera D l'evento "c'era un numero sul lato superiore di ogni moneta". Ci sono 4 risultati elementari ugualmente possibili in questo test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notazione (G, C) significa che sulla prima moneta c'è uno stemma, sulla seconda - un numero). L'evento D è favorito da un esito elementare (C, C). Poiché m = 1, n = 4, allora 
Esempio 6 Qual è la probabilità che le cifre di un numero a due cifre scelto casualmente siano le stesse?
Soluzione. doppia cifra sono numeri da 10 a 99; ci sono 90 numeri in totale.9 numeri hanno le stesse cifre (questi sono i numeri 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Poiché in questo caso m = 9, n = 90, allora 
,
dove A è l'evento "numero con le stesse cifre".
Esempio 7 Dalle lettere della parola differenziale una lettera viene scelta a caso. Qual è la probabilità che questa lettera sia: a) una vocale b) una consonante c) una lettera h?
Soluzione. Ci sono 12 lettere nella parola differenziale, di cui 5 sono vocali e 7 sono consonanti. Lettere h questa parola no. Indichiamo gli eventi: A - "vocale", B - "consonante", C - "lettera h". Il numero di risultati elementari favorevoli: - per l'evento A, - per l'evento B, - per l'evento C. Da n \u003d 12, quindi
, e .
Esempio 8 Vengono lanciati due dadi, viene annotato il numero di punti sulla faccia superiore di ciascun dado. Trova la probabilità che entrambi i dadi abbiano lo stesso numero di punti.
Soluzione. Indichiamo questo evento con la lettera A. L'evento A è favorito da 6 esiti elementari: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). In totale ci sono esiti elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi, in questo caso n=6 2 =36. Quindi la probabilità desiderata 
Esempio 9 Il libro ha 300 pagine. Qual è la probabilità che una pagina aperta casualmente abbia un numero di sequenza multiplo di 5?
Soluzione. Dalle condizioni del problema deriva che ci saranno n = 300 di tutti gli esiti elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi, di cui m = 60 favoriscono il verificarsi dell'evento specificato. Infatti, un numero multiplo di 5 ha la forma 5k, dove k è un numero naturale, e , da cui 
. Di conseguenza, 
, dove A - l'evento "pagina" ha un numero di sequenza multiplo di 5".
Esempio 10. Vengono lanciati due dadi, viene calcolata la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile che ottenga un totale di 7 o 8?
Soluzione. Designiamo gli eventi: A - "7 punti sono caduti", B - "8 punti sono caduti". L'evento A è favorito da 6 risultati elementari: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) e l'evento B - da 5 risultati: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Ci sono n = 6 2 = 36 di tutti i risultati elementari ugualmente possibili. Quindi, e .
Quindi, P(A)>P(B), ovvero ottenere un totale di 7 punti è un evento più probabile che ottenere un totale di 8 punti.
Compiti
1. Viene scelto a caso un numero naturale non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia un multiplo di 3?
2. Nell'urna un rosso e b palline blu della stessa dimensione e peso. Qual è la probabilità che una pallina estratta a caso da questa urna sia blu?
3. Si sceglie a caso un numero non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia un divisore di zo?
4. Nell'urna un blu e b palline rosse della stessa dimensione e peso. Una palla viene estratta da questa urna e messa da parte. Questa palla è rossa. Quindi un'altra palla viene estratta dall'urna. Trova la probabilità che anche la seconda pallina sia rossa.
5. Viene scelto a caso un numero naturale non superiore a 50. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?
6. Vengono lanciati tre dadi, viene calcolata la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 9 o 10 punti?
7. Vengono lanciati tre dadi, viene calcolata la somma dei punti lasciati. Cos'è più probabile che ottenga un totale di 11 (evento A) o 12 punti (evento B)?
Risposte
1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - la probabilità di ottenere 9 punti in totale; p 2 \u003d 27/216 - la probabilità di ottenere 10 punti in totale; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Domande
1. Come si chiama la probabilità di un evento?
2. Qual è la probabilità di un determinato evento?
3. Qual è la probabilità di un evento impossibile?
4. Quali sono i limiti della probabilità di un evento casuale?
5. Quali sono i limiti della probabilità di ogni evento?
6. Quale definizione di probabilità è chiamata classica?
Tutto nel mondo accade in modo deterministico o casuale...
Aristotele
La teoria della probabilità calcola le probabilità di vari eventi. Fondamentale nella teoria della probabilità è il concetto di evento casuale.
Ad esempio, lanci una moneta, questa cade casualmente su uno stemma o una croce. Non sai in anticipo su quale lato atterrerà la moneta. Concludi un contratto di assicurazione, non sai in anticipo se i pagamenti verranno effettuati o meno.
Nei calcoli attuariali, si deve essere in grado di stimare la probabilità di vari eventi, quindi la teoria della probabilità gioca un ruolo chiave. Nessun altro ramo della matematica può occuparsi delle probabilità degli eventi.
Diamo un'occhiata più da vicino al lancio della moneta. Ci sono 2 esiti che si escludono a vicenda: stemma o frac. L'esito del tiro è casuale, poiché l'osservatore non può analizzare e tenere conto di tutti i fattori che influenzano il risultato. Qual è la probabilità di uno stemma? La maggior parte risponderà ½, ma perché?
Lasciamo formalmente MA denota la perdita dello stemma. Lascia che la moneta lanci n una volta. Poi la probabilità dell'evento MA può essere definita come la proporzione di quei rotoli che danno luogo a uno stemma:
dove n numero totale di lanci n / a) il numero degli stemmi.
Viene chiamata la relazione (1). frequenza sviluppi MA in una lunga serie di prove.
Si scopre che in diverse serie di test la frequenza corrispondente in generale n raggruppa attorno a un valore costante PAPÀ). Questo valore viene chiamato probabilità di evento MA ed è contrassegnato dalla lettera R- abbreviazione della parola inglese probabilità - probabilità.
Formalmente abbiamo:
(2)
Questa legge si chiama la legge dei grandi numeri.
Se la moneta è corretta (simmetrica), la probabilità di ottenere lo stemma è uguale alla probabilità di ottenere croce ed è uguale a ½.
Permettere MA e A determinati eventi, ad esempio, indipendentemente dal fatto che si sia verificato o meno un evento assicurato. L'unione di due eventi è un evento che consiste nell'esecuzione di un evento MA, sviluppi A o entrambi gli eventi insieme. L'intersezione di due eventi MA e A chiamato evento consistente nell'implementazione come evento MA, ed eventi A.
Regole di base le probabilità degli eventi sono le seguenti:
1. La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra zero e uno:
2. Siano A e B due eventi, allora:
Si legge così: la probabilità di combinare due eventi è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi meno la probabilità dell'intersezione degli eventi. Se gli eventi sono incompatibili o non sovrapposti, la probabilità di combinare (la somma di) due eventi è uguale alla somma delle probabilità. Questa legge è chiamata legge aggiunte probabilità.
Diciamo che un evento è certo se la sua probabilità è uguale a 1. Quando si analizzano determinati fenomeni, sorge la domanda su come influisca il verificarsi di un evento A per l'evento MA. Per questo, entra probabilità condizionale :
(4)
Si legge così: probabilità di occorrenza MA a condizione Aè uguale alla probabilità di attraversamento MA e A diviso per la probabilità dell'evento A.
La formula (4) assume che la probabilità di un evento A Sopra lo zero.
La formula (4) può anche essere scritta come:
(5)
Questa è la formula moltiplicazione delle probabilità.
Conosciuto anche come probabilità condizionata. a posteriori probabilità di evento MA- probabilità di accadimento MA dopo l'esordio A.
In questo caso, viene chiamata la probabilità stessa a priori probabilità. Ci sono molte altre formule importanti che sono molto utilizzate nei calcoli attuariali.
Supponiamo che sia in corso un esperimento le cui condizioni possono essere stabilite in anticipo reciprocamente ipotesi che si escludono a vicenda (ipotesi):
Assumiamo che o l'ipotesi abbia luogo, o ... o. Le probabilità di queste ipotesi sono note e uguali:
Allora la formula vale completare probabilità :
(6)
Probabilità di un evento MAè uguale alla somma dei prodotti della probabilità di accadimento MA per ogni ipotesi sulla probabilità di tale ipotesi.
Formula di Bayes
permette di ricalcolare la probabilità delle ipotesi alla luce di nuova informazione, che ha dato il risultato MA.
Formula di Bayes dentro in un certo sensoè l'inverso della formula della probabilità totale.
Considera il seguente problema pratico.
Supponiamo che si sia verificato un incidente aereo e che gli esperti siano impegnati a studiarne le cause. Si conoscono in anticipo quattro ragioni per le quali si è verificata la catastrofe: o la ragione, o, o, o. Secondo le statistiche disponibili, questi motivi hanno le seguenti probabilità:
Durante l'esame del luogo dell'incidente, sono state trovate tracce di accensione del carburante, secondo le statistiche, la probabilità di questo evento per un motivo o per l'altro è la seguente:
Domanda: qual è la causa più probabile del disastro?
Calcolare le probabilità delle cause nella condizione del verificarsi dell'evento MA.
Ciò mostra che la prima ragione è la più probabile, poiché la sua probabilità è massima.
Considera l'atterraggio di un aereo in un aeroporto.
Approdo tempo atmosferico può essere il seguente: non c'è una bassa nuvolosità (), c'è una bassa nuvolosità (). Nel primo caso, la probabilità di un atterraggio riuscito è P1. Nel secondo caso - R2. È chiaro che P1>P2.
I dispositivi che forniscono un atterraggio alla cieca hanno una probabilità di funzionamento senza problemi R. Se c'è poca copertura nuvolosa e gli strumenti di atterraggio cieco si guastano, la probabilità di un atterraggio riuscito è P3, e P3<Р2 . È noto che per un dato aeroporto la frazione di giorni in un anno con scarsa nuvolosità è pari a .
Trova la probabilità di un atterraggio sicuro dell'aereo.
Dobbiamo trovare la probabilità.
Ci sono due opzioni che si escludono a vicenda: i dispositivi di piano cieco funzionano, i dispositivi di piano cieco si sono guastati, quindi abbiamo:
Da qui, secondo la formula della probabilità totale:
Una compagnia di assicurazioni si occupa di assicurazioni sulla vita. Il 10% degli assicurati in questa compagnia sono fumatori. Se l'assicurato non fuma, la probabilità della sua morte durante l'anno è 0,01.Se è un fumatore, questa probabilità è 0,05.
Qual è la percentuale di fumatori tra gli assicurati morti durante l'anno?
Opzioni di risposta: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Soluzione
Entriamo negli eventi:
La condizione del problema significa questo
Inoltre, poiché gli eventi e formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie, allora .
La probabilità che ci interessa è .
Usando la formula di Bayes, abbiamo:
quindi l'opzione corretta è ( A).
La compagnia di assicurazione vende contratti di assicurazione sulla vita in tre categorie: standard, privilegiati e ultra-privilegiati.
Il 50% di tutti gli assicurati è standard, il 40% è preferito e il 10% è ultra-preferito.
La probabilità di morte entro un anno per un assicurato standard è 0,010, per un privilegiato è 0,005 e per un ultra privilegiato è 0,001.
Qual è la probabilità che l'assicurato deceduto sia ultra-privilegiato?
Soluzione
Consideriamo i seguenti eventi:
In termini di questi eventi, la probabilità che ci interessa è . Per condizione:
Poiché gli eventi , , formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie, usando la formula di Bayes abbiamo:
Prendi una variabile casuale, ad esempio i danni causati da un incendio o l'importo dei pagamenti assicurativi.
Una variabile casuale è completamente caratterizzata dalla sua funzione di distribuzione.
Definizione. Funzione 
chiamato funzione di distribuzione
variabile casuale ξ
.
Definizione. Se esiste una funzione tale che per arbitrario un eseguita
allora diciamo che la variabile casuale ξ Esso ha densità di distribuzione di probabilità f(x).
Definizione. Permettere . Per una funzione di distribuzione continua F α-quantile teoricoè chiamata soluzione dell'equazione.
Questa soluzione potrebbe non essere l'unica.
Quantile di livello ½ chiamato teorico mediano , quantili di livello ¼ e ¾ -quartili inferiore e superiore rispettivamente.
Nelle applicazioni attuariali, un ruolo importante è svolto da La disuguaglianza di Chebyshev:
per ogni
Simbolo di aspettativa matematica.
Si legge così: la probabilità che il modulo sia maggiore di minore o uguale all'aspettativa del modulo divisa per .
L'incertezza del momento del decesso è un importante fattore di rischio nell'assicurazione sulla vita.
Non si può dire nulla di preciso sul momento della morte di un individuo. Tuttavia, se abbiamo a che fare con un grande gruppo omogeneo di persone e non siamo interessati al destino delle singole persone di questo gruppo, allora siamo nel quadro della teoria della probabilità come scienza dei fenomeni casuali di massa con la proprietà di stabilità della frequenza.
Rispettivamente, possiamo parlare di aspettativa di vita come una variabile casuale T.
Nella teoria della probabilità, descrivono la natura stocastica di qualsiasi variabile casuale T funzione di distribuzione F(x), che è definita come la probabilità che la variabile casuale T inferiore al numero X:
.
In matematica attuariale, è piacevole lavorare non con una funzione di distribuzione, ma con una funzione di distribuzione aggiuntiva 
.
In termini di longevità, è la probabilità che una persona vivrà fino all'età X anni.
chiamato funzione di sopravvivenza(funzione di sopravvivenza):
La funzione di sopravvivenza ha le seguenti proprietà:
Nelle tabelle della vita, di solito si presume che ce ne siano alcune limite di età (età limite) (di norma, anni) e, di conseguenza, a x>.
Quando si descrive la mortalità mediante leggi analitiche, di solito si presume che il tempo di vita sia illimitato, tuttavia, il tipo e i parametri delle leggi sono selezionati in modo che la probabilità di vita oltre una certa età sia trascurabile.
La funzione di sopravvivenza ha un semplice significato statistico.
Diciamo che stiamo osservando un gruppo di neonati (solitamente) che osserviamo e possiamo registrare i momenti della loro morte.
Indichiamo il numero di rappresentanti viventi di questo gruppo in età fino a . Quindi:
.
Simbolo e qui e sotto è usato per denotare l'aspettativa matematica.
Quindi, la funzione di sopravvivenza è uguale alla proporzione media di coloro che sono sopravvissuti per invecchiare da un determinato gruppo fisso di neonati.
In matematica attuariale spesso si lavora non con una funzione di sopravvivenza, ma con un valore appena introdotto (avendo fissato la dimensione iniziale del gruppo).
La funzione di sopravvivenza può essere ricostruita dalla densità:
Da un punto di vista pratico, sono importanti le seguenti caratteristiche:
1 . Media tutta la vita
,
2
. Dispersione tutta la vita
,
dove 
,
Lo studio della probabilità da un punto di vista matematico è una disciplina speciale: la teoria della probabilità. Nella teoria della probabilità e nella statistica matematica, il concetto di probabilità è formalizzato come una caratteristica numerica di un evento - una misura di probabilità (o il suo valore) - una misura su un insieme di eventi (sottoinsiemi di un insieme di eventi elementari), assumendo valori da
(\ displaystyle 0)
(\ stile di visualizzazione 1)
Significato
(\ stile di visualizzazione 1)
Corrisponde a un evento valido. Un evento impossibile ha probabilità 0 (il contrario generalmente non è sempre vero). Se la probabilità che si verifichi un evento è
(\ displaystyle p)
Allora la probabilità che non si verifichi è uguale a
(\ displaystyle 1-p)
In particolare, la probabilità
(\ displaystyle 1/2)
Significa uguale probabilità del verificarsi e del non verificarsi dell'evento.
La definizione classica di probabilità si basa sul concetto di equiprobabilità dei risultati. La probabilità è il rapporto tra il numero di esiti che favoriscono un determinato evento e il numero totale di esiti ugualmente probabili. Ad esempio, la probabilità di ottenere testa o croce su un lancio casuale di monete è 1/2 se si presume che si verifichino solo queste due possibilità e sono ugualmente probabili. Questa classica "definizione" di probabilità può essere generalizzata al caso di un numero infinito di valori possibili - ad esempio, se un evento può verificarsi con uguale probabilità in qualsiasi punto (il numero di punti è infinito) di un'area limitata di spazio (piano), quindi la probabilità che si verifichi in qualche parte di questa area ammissibile è uguale al rapporto tra il volume (area) di questa parte e il volume (area) dell'area di tutti i possibili punti .
La "definizione" empirica di probabilità è correlata alla frequenza del verificarsi di un evento, in base al fatto che con un numero di prove sufficientemente ampio, la frequenza dovrebbe tendere al grado oggettivo di possibilità di tale evento. Nella presentazione moderna della teoria della probabilità, la probabilità è definita assiomaticamente, come un caso speciale della teoria astratta della misura di un insieme. Tuttavia, il legame tra la misura astratta e la probabilità, che esprime il grado di possibilità di un evento, è proprio la frequenza della sua osservazione.
La descrizione probabilistica di alcuni fenomeni si è diffusa nella scienza moderna, in particolare nell'econometria, nella fisica statistica dei sistemi macroscopici (termodinamici), dove anche nel caso di una classica descrizione deterministica del moto delle particelle, una descrizione deterministica dell'intero sistema di particelle non è praticamente possibile e appropriato. Nella fisica quantistica, gli stessi processi descritti sono di natura probabilistica.
Quando una moneta viene lanciata, si può dire che atterrerà testa a testa, oppure probabilità di questo è 1/2. Naturalmente, questo non significa che se una moneta viene lanciata 10 volte, atterrerà necessariamente su testa 5 volte. Se la moneta è "equa" e se viene lanciata molte volte, la metà delle volte esce testa molto vicino. Esistono quindi due tipi di probabilità: sperimentale e teorico .
Se lanciamo una moneta un gran numero di volte - diciamo 1000 - e contiamo quante volte esce testa, possiamo determinare la probabilità che esca testa. Se esce testa 503 volte, possiamo calcolare la probabilità che esca:
503/1000 o 0,503.
esso sperimentale definizione di probabilità. Questa definizione di probabilità deriva dall'osservazione e dallo studio dei dati ed è abbastanza comune e molto utile. Ad esempio, ecco alcune probabilità che sono state determinate sperimentalmente:
1. La possibilità che una donna sviluppi un cancro al seno è 1/11.
2. Se baci qualcuno che ha il raffreddore, la probabilità che anche tu abbia il raffreddore è 0,07.
3. Una persona appena rilasciata dal carcere ha l'80% di possibilità di tornare in carcere.
Se consideriamo il lancio di una moneta e tenendo conto che è ugualmente probabile che esca testa o croce, possiamo calcolare la probabilità che esca testa: 1 / 2. Questa è la definizione teorica di probabilità. Ecco alcune altre probabilità che sono state determinate teoricamente usando la matematica:
1. Se ci sono 30 persone in una stanza, la probabilità che due di loro abbiano la stessa data di nascita (anno escluso) è 0,706.
2. Durante un viaggio incontri qualcuno e nel corso della conversazione scopri di avere una conoscenza reciproca. Tipica reazione: "Non può essere!" In effetti, questa frase non si adatta, perché la probabilità di un tale evento è piuttosto alta - poco più del 22%.
Pertanto, la probabilità sperimentale è determinata dall'osservazione e dalla raccolta dei dati. Le probabilità teoriche sono determinate dal ragionamento matematico. Esempi di probabilità sperimentali e teoriche, come quelle discusse sopra, e specialmente quelle che non ci aspettiamo, ci portano all'importanza di studiare la probabilità. Potresti chiedere: "Qual è la vera probabilità?" In realtà, non ce n'è. È possibile determinare sperimentalmente le probabilità entro certi limiti. Possono coincidere o meno con le probabilità che otteniamo teoricamente. Ci sono situazioni in cui è molto più facile definire un tipo di probabilità piuttosto che un altro. Ad esempio, sarebbe sufficiente trovare la probabilità di prendere un raffreddore utilizzando la probabilità teorica.
Consideriamo innanzitutto la definizione sperimentale di probabilità. Il principio di base che utilizziamo per calcolare tali probabilità è il seguente.
Se in un esperimento in cui vengono fatte n osservazioni, la situazione o l'evento E si verifica m volte in n osservazioni, allora la probabilità sperimentale dell'evento si dice P(E) = m/n.
Esempio 1 Indagine sociologica. È stato condotto uno studio sperimentale per determinare il numero di mancini, destrimani e persone in cui entrambe le mani hanno lo stesso sviluppo, i risultati sono mostrati nel grafico.
a) Determinare la probabilità che la persona sia destrorsa.
b) Determinare la probabilità che la persona sia mancina.
c) Determinare la probabilità che la persona parli equamente in entrambe le mani.
d) La maggior parte dei tornei PBA ha 120 giocatori. Sulla base di questo esperimento, quanti giocatori possono essere mancini?
Soluzione
a) Il numero di destrimani è 82, il numero di mancini è 17 e il numero di coloro che parlano ugualmente fluentemente in entrambe le mani è 1. Il numero totale di osservazioni è 100. Quindi, la probabilità che una persona è destrorsa è P
P = 82/100, o 0,82, o 82%.
b) La probabilità che una persona sia mancina è P, dove
P = 17/100 o 0,17 o 17%.
c) La probabilità che una persona sia ugualmente fluente con entrambe le mani è P, dove
P = 1/100 o 0,01 o 1%.
d) 120 giocatori di bocce e da (b) possiamo aspettarci che il 17% sia mancino. Da qui
17% di 120 = 0,17.120 = 20,4,
cioè, possiamo aspettarci che circa 20 giocatori siano mancini.
Esempio 2 Controllo di qualità
. È molto importante per un produttore mantenere la qualità dei propri prodotti ad un livello elevato. In effetti, le aziende assumono ispettori del controllo qualità per garantire questo processo. L'obiettivo è rilasciare il numero minimo possibile di prodotti difettosi. Ma poiché l'azienda produce migliaia di articoli ogni giorno, non può permettersi di ispezionare ogni articolo per determinare se è difettoso o meno. Per scoprire quale percentuale di prodotti è difettosa, l'azienda testa molti meno prodotti.
L'USDA richiede che l'80% dei semi venduti dai coltivatori germini. Per determinare la qualità dei semi che l'azienda agricola produce, vengono piantati 500 semi da quelli che sono stati prodotti. Successivamente, è stato calcolato che sono germogliati 417 semi.
a) Qual è la probabilità che il seme germini?
b) I semi soddisfano gli standard governativi?
Soluzione a) Sappiamo che su 500 semi piantati, 417 sono germogliati. La probabilità di germinazione dei semi P, e
P = 417/500 = 0,834 o 83,4%.
b) Poiché la percentuale di semi germinati ha superato l'80% su richiesta, i semi soddisfano gli standard statali.
Esempio 3 Ascolti televisivi. Secondo le statistiche, ci sono 105.500.000 famiglie televisive negli Stati Uniti. Ogni settimana vengono raccolte ed elaborate informazioni sui programmi di visualizzazione. In una settimana, 7.815.000 famiglie sono state sintonizzate sulla serie comica di successo della CBS Everybody Loves Raymond e 8.302.000 famiglie sono state sintonizzate sulla hit della NBC Law & Order (Fonte: Nielsen Media Research). Qual è la probabilità che la TV di una casa sia sintonizzata su "Everybody Loves Raymond" durante una determinata settimana? su "Law & Order"?
Soluzione La probabilità che la TV di una famiglia sia impostata su "Everybody Loves Raymond" è P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La possibilità che la TV domestica sia stata impostata su "Law & Order" è P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Queste percentuali sono chiamate valutazioni.
Supponiamo di fare un esperimento, come lanciare una moneta o un dardo, pescare una carta da un mazzo o testare oggetti su una catena di montaggio. Viene chiamato ogni possibile risultato di un tale esperimento Esodo . Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili risultati spazio dei risultati . Evento è un insieme di risultati, cioè un sottoinsieme dello spazio dei risultati.
Esempio 4 Lanciare freccette. Supponiamo che nell'esperimento "lancio delle freccette", il dardo colpisca il bersaglio. Trova ciascuno dei seguenti:
b) Spazio dei risultati
Soluzione
a) I risultati sono: colpire il nero (H), colpire il rosso (K) e colpire il bianco (B).
b) C'è uno spazio di risultato (colpisci nero, colpisci rosso, colpisci bianco), che può essere scritto semplicemente come (B, R, B).
Esempio 5 Lanciare i dadi.
Un dado è un cubo con sei lati, ognuno dei quali ha da uno a sei punti. 
Supponiamo di lanciare un dado. Trova
a) Risultati
b) Spazio dei risultati
Soluzione
a) Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spazio dei risultati (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Indichiamo la probabilità che un evento E si verifichi come P(E). Ad esempio, "la moneta atterrerà croce" può essere indicato con H. Quindi P(H) è la probabilità che la moneta atterrerà croce. Quando tutti i risultati di un esperimento hanno la stessa probabilità di verificarsi, si dice che sono ugualmente probabili. Per vedere la differenza tra eventi che sono ugualmente probabili ed eventi che non sono ugualmente probabili, considera l'obiettivo mostrato di seguito. 
Per il bersaglio A, gli eventi hit neri, rossi e bianchi sono ugualmente probabili, poiché i settori nero, rosso e bianco sono gli stessi. Tuttavia, per il bersaglio B, le zone con questi colori non sono le stesse, cioè non è altrettanto probabile colpirle.
Se un evento E può verificarsi in m modi fuori da n possibili esiti equiprobabili dallo spazio dei risultati S, allora probabilità teorica
evento, P(E) è
P(E) = m/n.
Esempio 6 Qual è la probabilità di ottenere un 3 tirando un dado?
Soluzione Ci sono 6 risultati ugualmente probabili sul dado e c'è solo una possibilità di lanciare il numero 3. Quindi la probabilità P sarà P(3) = 1/6.
Esempio 7 Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado?
Soluzione L'evento è il lancio di un numero pari. Questo può accadere in 3 modi (se ottieni 2, 4 o 6). Il numero di risultati equiprobabili è 6. Quindi la probabilità P(pari) = 3/6, o 1/2.
Useremo una serie di esempi relativi a un mazzo standard da 52 carte. Tale mazzo è costituito dalle carte mostrate nella figura seguente. 
Esempio 8 Qual è la probabilità di pescare un asso da un mazzo di carte ben mischiato?
Soluzione Ci sono 52 risultati (il numero di carte nel mazzo), sono ugualmente probabili (se il mazzo è ben mescolato) e ci sono 4 modi per pescare un asso, quindi secondo il principio P, la probabilità
P(disegnando un asso) = 4/52, o 1/13.
Esempio 9 Supponiamo di scegliere senza guardare una biglia da un sacchetto di 3 biglie rosse e 4 biglie verdi. Qual è la probabilità di scegliere una pallina rossa?
Soluzione Ci sono 7 risultati ugualmente probabili per ottenere una palla, e poiché il numero di modi per estrarre una palla rossa è 3, otteniamo
P(scegliendo una palla rossa) = 3/7.
Le seguenti affermazioni sono risultati dal principio P.
a) Se l'evento E non può verificarsi, allora P(E) = 0.
b) Se l'evento E è destinato a verificarsi, allora P(E) = 1.
c) La probabilità che si verifichi l'evento E è un numero compreso tra 0 e 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Ad esempio, nel lancio di una moneta, l'evento in cui la moneta si ferma sul bordo ha probabilità zero. La probabilità che una moneta sia testa o croce ha una probabilità di 1.
Esempio 10 Supponiamo di pescare 2 carte da un mazzo con 52 carte. Qual è la probabilità che entrambi siano picche?
Soluzione Il numero di modi in cui n pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte ben mischiato è 52 C 2 . Poiché 13 delle 52 carte sono di picche, il numero m di modi per pescare 2 picche è 13 C 2 . Quindi,
P(allungando 2 picchi) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.
Esempio 11 Supponiamo che 3 persone vengano selezionate casualmente da un gruppo di 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che vengano scelti 1 uomo e 2 donne?
Soluzione Numero di modi per scegliere tre persone da un gruppo di 10 persone 10 C 3 . Un uomo può essere scelto in 6 modi C 1 e 2 donne possono essere scelti in 4 modi C 2. Secondo il principio fondamentale del conteggio, il numero di modi per scegliere il 1° uomo e 2 donne è 6 C 1 . 4C2. Quindi, la probabilità che vengano scelti 1 uomo e 2 donne è
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.
Esempio 12 Lanciare i dadi. Qual è la probabilità di lanciare un totale di 8 su due dadi?
Soluzione Ci sono 6 possibili risultati su ogni dado. I risultati sono raddoppiati, cioè ci sono 6,6 o 36 possibili modi in cui i numeri su due dadi possono cadere. (È meglio se i cubi sono diversi, diciamo che uno è rosso e l'altro è blu - questo aiuterà a visualizzare il risultato.) 
Le coppie di numeri che sommano fino a 8 sono mostrate nella figura seguente. Ci sono 5 modi possibili per ottenere la somma uguale a 8, quindi la probabilità è 5/36.
