Quando una moneta viene lanciata, si può dire che atterrerà testa a testa, oppure probabilità di questo è 1/2. Naturalmente, questo non significa che se una moneta viene lanciata 10 volte, atterrerà necessariamente su testa 5 volte. Se la moneta è "equa" e se viene lanciata molte volte, la metà delle volte esce testa molto vicino. Esistono quindi due tipi di probabilità: sperimentale e teorico .
Se lanciamo una moneta un gran numero di volte - diciamo 1000 - e contiamo quante volte esce testa, possiamo determinare la probabilità che esca testa. Se esce testa 503 volte, possiamo calcolare la probabilità che esca:
503/1000 o 0,503.
esso sperimentale definizione di probabilità. Questa definizione di probabilità deriva dall'osservazione e dallo studio dei dati ed è abbastanza comune e molto utile. Ad esempio, ecco alcune probabilità che sono state determinate sperimentalmente:
1. La possibilità che una donna sviluppi un cancro al seno è 1/11.
2. Se baci qualcuno che ha il raffreddore, la probabilità che anche tu abbia il raffreddore è 0,07.
3. Una persona appena rilasciata dal carcere ha l'80% di possibilità di tornare in carcere.
Se consideriamo il lancio di una moneta e tenendo conto che è ugualmente probabile che esca testa o croce, possiamo calcolare la probabilità che esca testa: 1 / 2. Questa è la definizione teorica di probabilità. Ecco alcune altre probabilità che sono state determinate teoricamente usando la matematica:
1. Se ci sono 30 persone in una stanza, la probabilità che due di loro abbiano la stessa data di nascita (anno escluso) è 0,706.
2. Durante un viaggio incontri qualcuno e nel corso della conversazione scopri di avere una conoscenza reciproca. Tipica reazione: "Non può essere!" In effetti, questa frase non si adatta, perché la probabilità di un tale evento è piuttosto alta - poco più del 22%.
Pertanto, la probabilità sperimentale è determinata dall'osservazione e dalla raccolta dei dati. Le probabilità teoriche sono determinate dal ragionamento matematico. Esempi di probabilità sperimentali e teoriche, come quelle discusse sopra, e specialmente quelle che non ci aspettiamo, ci portano all'importanza di studiare la probabilità. Potresti chiedere: "Qual è la vera probabilità?" In realtà, non ce n'è. È possibile determinare sperimentalmente le probabilità in determinati limiti. Possono coincidere o meno con le probabilità che otteniamo teoricamente. Ci sono situazioni in cui è molto più facile definire un tipo di probabilità piuttosto che un altro. Ad esempio, sarebbe sufficiente trovare la probabilità di prendere un raffreddore utilizzando la probabilità teorica.
Consideriamo innanzitutto la definizione sperimentale di probabilità. Il principio di base che utilizziamo per calcolare tali probabilità è il seguente.
Se in un esperimento in cui vengono fatte n osservazioni, la situazione o l'evento E si verifica m volte in n osservazioni, allora la probabilità sperimentale dell'evento si dice P(E) = m/n.
Esempio 1 Indagine sociologica. È stato condotto uno studio sperimentale per determinare il numero di mancini, destrimani e persone in cui entrambe le mani hanno lo stesso sviluppo, i risultati sono mostrati nel grafico.
a) Determinare la probabilità che la persona sia destrorsa.
b) Determinare la probabilità che la persona sia mancina.
c) Determinare la probabilità che la persona parli equamente in entrambe le mani.
d) La maggior parte dei tornei PBA ha 120 giocatori. Sulla base di questo esperimento, quanti giocatori possono essere mancini?
Soluzione
a) Il numero di destrimani è 82, il numero di mancini è 17 e il numero di coloro che parlano ugualmente fluentemente in entrambe le mani è 1. Il numero totale di osservazioni è 100. Quindi, la probabilità che una persona è destrorsa è P
P = 82/100, o 0,82, o 82%.
b) La probabilità che una persona sia mancina è P, dove
P = 17/100 o 0,17 o 17%.
c) La probabilità che una persona sia ugualmente fluente con entrambe le mani è P, dove
P = 1/100 o 0,01 o 1%.
d) 120 giocatori di bocce e da (b) possiamo aspettarci che il 17% sia mancino. Da qui
17% di 120 = 0,17.120 = 20,4,
cioè, possiamo aspettarci che circa 20 giocatori siano mancini.
Esempio 2 Controllo di qualità
. È molto importante che il produttore mantenga la qualità dei propri prodotti alto livello. In effetti, le aziende assumono ispettori del controllo qualità per garantire questo processo. L'obiettivo è rilasciare il numero minimo possibile di prodotti difettosi. Ma poiché l'azienda produce migliaia di articoli ogni giorno, non può permettersi di ispezionare ogni articolo per determinare se è difettoso o meno. Per scoprire quale percentuale di prodotti è difettosa, l'azienda testa molti meno prodotti.
ministero agricoltura Gli Stati Uniti richiedono che l'80% dei semi venduti dai coltivatori germini. Per determinare la qualità dei semi che l'azienda agricola produce, vengono piantati 500 semi da quelli che sono stati prodotti. Successivamente, è stato calcolato che sono germogliati 417 semi.
a) Qual è la probabilità che il seme germini?
b) I semi soddisfano gli standard governativi?
Soluzione a) Sappiamo che su 500 semi piantati, 417 sono germogliati. La probabilità di germinazione dei semi P, e
P = 417/500 = 0,834 o 83,4%.
b) Poiché la percentuale di semi germinati ha superato l'80% su richiesta, i semi soddisfano gli standard statali.
Esempio 3 Ascolti televisivi. Secondo le statistiche, ci sono 105.500.000 famiglie televisive negli Stati Uniti. Ogni settimana vengono raccolte ed elaborate informazioni sui programmi di visualizzazione. In una settimana, 7.815.000 famiglie sono state sintonizzate sulla serie comica di successo della CBS Everybody Loves Raymond e 8.302.000 famiglie sono state sintonizzate sulla hit della NBC Law & Order (Fonte: Nielsen Media Research). Qual è la probabilità che la TV di una casa sia sintonizzata su "Everybody Loves Raymond" durante una determinata settimana? su "Law & Order"?
Soluzione La probabilità che la TV di una famiglia sia impostata su "Everybody Loves Raymond" è P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La possibilità che la TV domestica sia stata impostata su "Law & Order" è P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Queste percentuali sono chiamate valutazioni.
Supponiamo di fare un esperimento, come lanciare una moneta o un dardo, pescare una carta da un mazzo o testare oggetti su una catena di montaggio. Viene chiamato ogni possibile risultato di un tale esperimento Esodo . Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili risultati spazio dei risultati . Evento è un insieme di risultati, cioè un sottoinsieme dello spazio dei risultati.
Esempio 4 Lanciare freccette. Supponiamo che nell'esperimento "lancio delle freccette", il dardo colpisca il bersaglio. Trova ciascuno dei seguenti:
b) Spazio dei risultati
Soluzione
a) I risultati sono: colpire il nero (H), colpire il rosso (K) e colpire il bianco (B).
b) C'è uno spazio di risultato (colpisci nero, colpisci rosso, colpisci bianco), che può essere scritto semplicemente come (B, R, B).
Esempio 5 Lanciare i dadi.
Un dado è un cubo con sei lati, ognuno dei quali ha da uno a sei punti.
Supponiamo di lanciare un dado. Trova
a) Risultati
b) Spazio dei risultati
Soluzione
a) Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spazio dei risultati (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Indichiamo la probabilità che un evento E si verifichi come P(E). Ad esempio, "la moneta atterrerà croce" può essere indicato con H. Quindi P(H) è la probabilità che la moneta atterrerà croce. Quando tutti i risultati di un esperimento hanno la stessa probabilità di verificarsi, si dice che sono ugualmente probabili. Per vedere la differenza tra eventi che sono ugualmente probabili ed eventi che non sono ugualmente probabili, considera l'obiettivo mostrato di seguito. 
Per il bersaglio A, gli eventi hit neri, rossi e bianchi sono ugualmente probabili, poiché i settori nero, rosso e bianco sono gli stessi. Tuttavia, per il bersaglio B, le zone con questi colori non sono le stesse, cioè non è altrettanto probabile colpirle.
Se un evento E può verificarsi in m modi fuori da n possibili esiti equiprobabili dallo spazio dei risultati S, allora probabilità teorica
evento, P(E) è
P(E) = m/n.
Esempio 6 Qual è la probabilità di ottenere un 3 tirando un dado?
Soluzione Ci sono 6 risultati ugualmente probabili sul dado e c'è solo una possibilità di lanciare il numero 3. Quindi la probabilità P sarà P(3) = 1/6.
Esempio 7 Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado?
Soluzione L'evento è il lancio di un numero pari. Questo può accadere in 3 modi (se ottieni 2, 4 o 6). Il numero di risultati equiprobabili è 6. Quindi la probabilità P(pari) = 3/6, o 1/2.
Useremo una serie di esempi relativi a un mazzo standard da 52 carte. Tale mazzo è costituito dalle carte mostrate nella figura seguente. 
Esempio 8 Qual è la probabilità di pescare un asso da un mazzo di carte ben mischiato?
Soluzione Ci sono 52 esiti (il numero di carte nel mazzo), sono ugualmente probabili (se il mazzo è ben mescolato) e ci sono 4 modi per pescare un asso, quindi secondo il principio P, la probabilità
P(disegnando un asso) = 4/52, o 1/13.
Esempio 9 Supponiamo di scegliere senza guardare una biglia da un sacchetto di 3 biglie rosse e 4 biglie verdi. Qual è la probabilità di scegliere una pallina rossa?
Soluzione Ci sono 7 risultati ugualmente probabili per ottenere una palla, e poiché il numero di modi per estrarre una palla rossa è 3, otteniamo
P(scegliendo una palla rossa) = 3/7.
Le seguenti affermazioni sono risultati dal principio P.
a) Se l'evento E non può verificarsi, allora P(E) = 0.
b) Se l'evento E è destinato a verificarsi, allora P(E) = 1.
c) La probabilità che si verifichi l'evento E è un numero compreso tra 0 e 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Ad esempio, nel lancio di una moneta, l'evento in cui la moneta si ferma sul bordo ha probabilità zero. La probabilità che una moneta sia testa o croce ha una probabilità di 1.
Esempio 10 Supponiamo di pescare 2 carte da un mazzo con 52 carte. Qual è la probabilità che entrambi siano picche?
Soluzione Il numero di modi in cui n pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte ben mischiato è 52 C 2 . Poiché 13 delle 52 carte sono di picche, il numero m di modi per pescare 2 picche è 13 C 2 . Quindi,
P(allungando 2 picchi) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.
Esempio 11 Supponiamo che 3 persone vengano selezionate casualmente da un gruppo di 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che vengano scelti 1 uomo e 2 donne?
Soluzione Numero di modi per scegliere tre persone da un gruppo di 10 persone 10 C 3 . Un uomo può essere scelto in 6 modi C 1 e 2 donne possono essere scelti in 4 modi C 2. Secondo il principio fondamentale del conteggio, il numero di modi per scegliere il 1° uomo e 2 donne è 6 C 1 . 4C2. Quindi, la probabilità che vengano scelti 1 uomo e 2 donne è
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.
Esempio 12 Lanciare i dadi. Qual è la probabilità di lanciare un totale di 8 su due dadi?
Soluzione Ci sono 6 possibili risultati su ogni dado. I risultati sono raddoppiati, cioè ci sono 6,6 o 36 possibili modi in cui i numeri su due dadi possono cadere. (È meglio se i cubi sono diversi, diciamo che uno è rosso e l'altro è blu - questo aiuterà a visualizzare il risultato.) 
Le coppie di numeri che sommano fino a 8 sono mostrate nella figura seguente. Ce ne sono 5 modi possibili ottenendo la somma uguale a 8, quindi la probabilità è 5/36.
Questo è il rapporto tra il numero di quelle osservazioni in cui si è verificato l'evento in questione e il numero totale di osservazioni. Una tale interpretazione è ammissibile in caso di sufficiente un largo numero osservazione o esperienza. Ad esempio, se circa la metà delle persone che incontri per strada sono donne, allora puoi dire che la probabilità che la persona che incontri per strada sia una donna è 1/2. In altre parole, la frequenza del suo verificarsi in una lunga serie di ripetizioni indipendenti di un esperimento casuale può servire come stima della probabilità di un evento.
Nell'approccio matematico moderno, la probabilità classica (cioè non quantistica) è data dall'assiomatica di Kolmogorov. La probabilità è una misura P, che è impostato sul set X, chiamato spazio delle probabilità. Questa misura deve avere le seguenti proprietà:
Da queste condizioni deriva che la probabilità misura P ha anche la proprietà additività: se impostato UN 1 e UN 2 non si intersecano, quindi . Per dimostrarlo, devi mettere tutto UN 3 , UN 4 , … uguale all'insieme vuoto e applica la proprietà dell'additività numerabile.
La misura della probabilità potrebbe non essere definita per tutti i sottoinsiemi dell'insieme X. Basta definirlo sulla sigma-algebra costituita da alcuni sottoinsiemi dell'insieme X. In questo caso, gli eventi casuali sono definiti come sottoinsiemi misurabili dello spazio X, cioè come elementi dell'algebra sigma.
Quando scopriamo che le ragioni per cui un possibile fatto si verifica effettivamente superano le ragioni opposte, consideriamo questo fatto probabile, altrimenti - incredibile. Questa predominanza delle basi positive su quelle negative, e viceversa, può rappresentare un insieme indefinito di gradi, per cui probabilità(e improbabilità) accade Di più o meno .
I singoli fatti complicati non consentono un calcolo esatto dei loro gradi di probabilità, ma anche qui è importante stabilire delle grandi suddivisioni. Così, ad esempio, nel campo del diritto, quando un fatto personale sottoposto a giudizio è accertato sulla base della testimonianza, rimane sempre, in senso stretto, solo probabile, ed è necessario sapere quanto sia significativa tale probabilità; nel diritto romano si accettava qui una divisione quadrupla: prova plena(dove la probabilità si trasforma praticamente in autenticità), Ulteriore - probatio meno plena, poi - probatio semiplena maggiore e infine probatio semiplena minore .
Oltre alla questione della probabilità del caso, può sorgere, sia nel campo del diritto che in quello della morale (con un certo punto di vista etico), la questione della probabilità che un dato fatto particolare costituisce una violazione della legge generale. Questa domanda, che funge da motivo principale nella giurisprudenza religiosa del Talmud, ha dato origine nella teologia morale cattolica romana (soprattutto dalla fine del XVI secolo) a costruzioni sistematiche molto complesse e a un'enorme letteratura, dogmatica e polemica (vedi Probabilismo ).
Il concetto di probabilità ammette una determinata espressione numerica nella sua applicazione solo a quei fatti che fanno parte di certe serie omogenee. Quindi (nell'esempio più semplice), quando qualcuno lancia una moneta cento volte di seguito, troviamo qui una serie comune o grande (la somma di tutte le cadute di una moneta), composta da due serie private o minori, in questo caso numericamente uguali, righe ("testa" in caduta e "croce" in caduta); La probabilità che questa volta la moneta cada croce, cioè che questo nuovo membro della serie generale appartenga a questa delle due serie minori, è pari ad una frazione che esprime il rapporto numerico tra questa piccola serie e quella grande, cioè 1/2, cioè la stessa probabilità appartiene all'una o all'altra delle due serie private. In esempi meno semplici, la conclusione non può essere tratta direttamente dai dati del problema stesso, ma richiede un'induzione preventiva. Quindi, ad esempio, ci si chiede: qual è la probabilità che un dato neonato viva fino a 80 anni? Qui deve esserci una serie generale o grande di un numero noto di persone nate in condizioni simili e che muoiono in età diverse (questo numero deve essere abbastanza grande da eliminare deviazioni casuali e abbastanza piccolo da preservare l'omogeneità della serie, perché per un persona, nata, ad esempio, a San Pietroburgo in una famiglia culturale benestante, l'intera popolazione di milioni di persone della città, una parte significativa della quale è costituita da persone di vari gruppi che possono morire prematuramente: soldati, giornalisti , lavoratori in professioni pericolose - rappresenta un gruppo troppo eterogeneo per una reale definizione di probabilità); che questa serie generale consista di diecimila vite umane; include righe più piccole che rappresentano il numero di coloro che vivono fino a questa o quell'età; una di queste righe più piccole rappresenta il numero di coloro che vivono fino a 80 anni di età. Ma è impossibile determinare la dimensione di questa serie più piccola (così come di tutte le altre). a priori; ciò avviene in modo puramente induttivo, attraverso la statistica. Supponiamo che studi statistici abbiano stabilito che su 10.000 pietroburghesi della classe media, solo 45 sopravvivono all'età di 80 anni; quindi, questa riga più piccola è correlata a quella più grande da 45 a 10.000 e la probabilità che una data persona appartenga a questa riga più piccola, cioè di vivere fino a 80 anni, è espressa come una frazione di 0,0045. Lo studio della probabilità da un punto di vista matematico costituisce una disciplina speciale, la teoria della probabilità.
Fondazione Wikimedia. 2010.
Sinonimi:Contrari:
Scientifico e filosofico generale. una categoria che denota il grado quantitativo della possibilità della comparsa di eventi casuali di massa in condizioni di osservazione fisse, caratterizzando la stabilità delle loro frequenze relative. In logica, il grado semantico ... ... Enciclopedia filosofica
PROBABILITÀ, un numero compreso tra zero e uno, compreso, che rappresenta la possibilità che questo evento accada. La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di possibilità che un evento possa verificarsi e il numero totale di possibili ... ... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico
Con ogni probabilità .. Dizionario di sinonimi ed espressioni russe simili nel significato. sotto. ed. N. Abramova, M.: dizionari russi, 1999. probabilità, possibilità, probabilità, possibilità, possibilità oggettiva, maza, ammissibilità, rischio. Formica. impossibilità... ... Dizionario dei sinonimi
probabilità- Una misura che un evento può verificarsi. Nota Definizione matematica di probabilità: " numero reale nell'intervallo da 0 a 1, relativo a un evento casuale. Il numero può riflettere la frequenza relativa in una serie di osservazioni ... ... Manuale tecnico del traduttore
Probabilità- "matematico, caratteristica numerica il grado di possibilità del verificarsi di qualsiasi evento in una o nell'altra condizione specifica che può essere ripetuto un numero illimitato di volte. Basato su questo classico… … Dizionario economico e matematico
- (probabilità) La possibilità che si verifichi un evento o un determinato risultato. Può essere rappresentato come una scala con divisioni da 0 a 1. Se la probabilità di un evento è zero, il suo verificarsi è impossibile. Con una probabilità pari a 1, l'inizio di ... Glossario dei termini commerciali
Tutto nel mondo accade in modo deterministico o casuale...
Aristotele
La teoria della probabilità calcola le probabilità di vari eventi. Fondamentale nella teoria della probabilità è il concetto di evento casuale.
Ad esempio, lanci una moneta, questa cade casualmente su uno stemma o una croce. Non sai in anticipo su quale lato atterrerà la moneta. Concludi un contratto di assicurazione, non sai in anticipo se i pagamenti verranno effettuati o meno.
Nei calcoli attuariali, si deve essere in grado di stimare la probabilità di vari eventi, quindi la teoria della probabilità gioca un ruolo chiave. Nessun altro ramo della matematica può occuparsi delle probabilità degli eventi.
Diamo un'occhiata più da vicino al lancio della moneta. Ci sono 2 esiti che si escludono a vicenda: stemma o frac. L'esito del tiro è casuale, poiché l'osservatore non può analizzare e tenere conto di tutti i fattori che influenzano il risultato. Qual è la probabilità di uno stemma? La maggior parte risponderà ½, ma perché?
Lasciamo formalmente MA denota la perdita dello stemma. Lascia che la moneta lanci n una volta. Poi la probabilità dell'evento MA può essere definita come la proporzione di quei rotoli che danno luogo a uno stemma:
dove n numero totale di lanci n / a) il numero degli stemmi.
Viene chiamata la relazione (1). frequenza sviluppi MA in una lunga serie di prove.
Si scopre che in diverse serie di test la frequenza corrispondente in generale n raggruppa attorno a un valore costante PAPÀ). Questo valore viene chiamato probabilità di evento MA ed è contrassegnato dalla lettera R- Corto per parola inglese probabilità - probabilità.
Formalmente abbiamo:
(2)
Questa legge si chiama la legge dei grandi numeri.
Se la moneta è corretta (simmetrica), la probabilità di ottenere lo stemma è uguale alla probabilità di ottenere croce ed è uguale a ½.
Permettere MA e A determinati eventi, ad esempio, indipendentemente dal fatto che si sia verificato o meno un evento assicurato. L'unione di due eventi è un evento che consiste nell'esecuzione di un evento MA, sviluppi A o entrambi gli eventi insieme. L'intersezione di due eventi MA e A chiamato evento consistente nell'implementazione come evento MA, ed eventi A.
Regole di base le probabilità degli eventi sono le seguenti:
1. La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra zero e uno:
2. Siano A e B due eventi, allora:
Si legge così: la probabilità di combinare due eventi è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi meno la probabilità dell'intersezione degli eventi. Se gli eventi sono incompatibili o non sovrapposti, la probabilità di combinare (la somma di) due eventi è uguale alla somma delle probabilità. Questa legge è chiamata legge aggiunte probabilità.
Diciamo che un evento è certo se la sua probabilità è uguale a 1. Quando si analizzano determinati fenomeni, sorge la domanda su come influisca il verificarsi di un evento A per l'evento MA. Per questo, entra probabilità condizionale :
(4)
Si legge così: probabilità di occorrenza MA a condizione Aè uguale alla probabilità di attraversamento MA e A diviso per la probabilità dell'evento A.
La formula (4) assume che la probabilità di un evento A Sopra lo zero.
La formula (4) può anche essere scritta come:
(5)
Questa è la formula moltiplicazione delle probabilità.
Conosciuto anche come probabilità condizionata. a posteriori probabilità di evento MA- probabilità di accadimento MA dopo l'esordio A.
In questo caso, viene chiamata la probabilità stessa a priori probabilità. Ci sono molte altre formule importanti che sono molto utilizzate nei calcoli attuariali.
Supponiamo che sia in corso un esperimento le cui condizioni possono essere stabilite in anticipo reciprocamente ipotesi che si escludono a vicenda (ipotesi):
Assumiamo che o l'ipotesi abbia luogo, o ... o. Le probabilità di queste ipotesi sono note e uguali:
Allora la formula vale completare probabilità :
(6)
Probabilità di un evento MAè uguale alla somma dei prodotti della probabilità di accadimento MA per ogni ipotesi sulla probabilità di tale ipotesi.
Formula di Bayes
permette di ricalcolare la probabilità delle ipotesi alla luce di nuova informazione, che ha dato il risultato MA.
Formula di Bayes dentro in un certo sensoè l'inverso della formula della probabilità totale.
Considera il seguente problema pratico.
Supponiamo che si sia verificato un incidente aereo e che gli esperti siano impegnati a studiarne le cause. Si conoscono in anticipo quattro ragioni per le quali si è verificata la catastrofe: o la ragione, o, o, o. Secondo le statistiche disponibili, questi motivi hanno le seguenti probabilità:
Durante l'esame del luogo dell'incidente, sono state trovate tracce di accensione del carburante, secondo le statistiche, la probabilità di questo evento per un motivo o per l'altro è la seguente:
Domanda: qual è la causa più probabile del disastro?
Calcolare le probabilità delle cause nella condizione del verificarsi dell'evento MA.
Ciò mostra che la prima ragione è la più probabile, poiché la sua probabilità è massima.
Considera l'atterraggio di un aereo in un aeroporto.
Approdo tempo atmosferico può essere il seguente: non c'è una bassa nuvolosità (), c'è una bassa nuvolosità (). Nel primo caso, la probabilità di un atterraggio riuscito è P1. Nel secondo caso - R2. È chiaro che P1>P2.
I dispositivi che forniscono un atterraggio alla cieca hanno una probabilità di funzionamento senza problemi R. Se c'è poca copertura nuvolosa e gli strumenti di atterraggio cieco si guastano, la probabilità di un atterraggio riuscito è P3, e P3<Р2 . È noto che per un dato aeroporto la frazione di giorni in un anno con scarsa nuvolosità è pari a .
Trova la probabilità di un atterraggio sicuro dell'aereo.
Dobbiamo trovare la probabilità.
Ci sono due opzioni che si escludono a vicenda: i dispositivi di piano cieco funzionano, i dispositivi di piano cieco si sono guastati, quindi abbiamo:
Da qui, secondo la formula della probabilità totale:
Una compagnia di assicurazioni si occupa di assicurazioni sulla vita. Il 10% degli assicurati in questa compagnia sono fumatori. Se l'assicurato non fuma, la probabilità della sua morte durante l'anno è 0,01.Se è un fumatore, questa probabilità è 0,05.
Qual è la percentuale di fumatori tra gli assicurati morti durante l'anno?
Opzioni di risposta: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Soluzione
Entriamo negli eventi:
La condizione del problema significa questo
Inoltre, poiché gli eventi e formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie, allora .
La probabilità che ci interessa è .
Usando la formula di Bayes, abbiamo:
quindi l'opzione corretta è ( A).
La compagnia di assicurazione vende contratti di assicurazione sulla vita in tre categorie: standard, privilegiati e ultra-privilegiati.
Il 50% di tutti gli assicurati è standard, il 40% è preferito e il 10% è ultra-preferito.
La probabilità di morte entro un anno per un assicurato standard è 0,010, per un privilegiato è 0,005 e per un ultra privilegiato è 0,001.
Qual è la probabilità che l'assicurato deceduto sia ultra-privilegiato?
Soluzione
Consideriamo i seguenti eventi:
In termini di questi eventi, la probabilità che ci interessa è . Per condizione:
Poiché gli eventi , , formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie, usando la formula di Bayes abbiamo:
Prendi una variabile casuale, ad esempio i danni causati da un incendio o l'importo dei pagamenti assicurativi.
Una variabile casuale è completamente caratterizzata dalla sua funzione di distribuzione.
Definizione. Funzione 
chiamato funzione di distribuzione
variabile casuale ξ
.
Definizione. Se esiste una funzione tale che per arbitrario un eseguita
allora diciamo che la variabile casuale ξ Esso ha densità di distribuzione di probabilità f(x).
Definizione. Permettere . Per una funzione di distribuzione continua F α-quantile teoricoè chiamata soluzione dell'equazione.
Questa soluzione potrebbe non essere l'unica.
Quantile di livello ½ chiamato teorico mediano , quantili di livello ¼ e ¾ -quartili inferiore e superiore rispettivamente.
Nelle applicazioni attuariali, un ruolo importante è svolto da La disuguaglianza di Chebyshev:
per ogni
Simbolo di aspettativa matematica.
Si legge così: la probabilità che il modulo sia maggiore di minore o uguale all'aspettativa del modulo divisa per .
L'incertezza del momento del decesso è un importante fattore di rischio nell'assicurazione sulla vita.
Non si può dire nulla di preciso sul momento della morte di un individuo. Tuttavia, se abbiamo a che fare con un grande gruppo omogeneo di persone e non siamo interessati al destino delle singole persone di questo gruppo, allora siamo nel quadro della teoria della probabilità come scienza dei fenomeni casuali di massa con la proprietà di stabilità della frequenza.
Rispettivamente, possiamo parlare di aspettativa di vita come una variabile casuale T.
Nella teoria della probabilità, descrivono la natura stocastica di qualsiasi variabile casuale T funzione di distribuzione F(x), che è definita come la probabilità che la variabile casuale T inferiore al numero X:
.
In matematica attuariale, è piacevole lavorare non con una funzione di distribuzione, ma con una funzione di distribuzione aggiuntiva 
.
In termini di longevità, è la probabilità che una persona vivrà fino all'età X anni.
chiamato funzione di sopravvivenza(funzione di sopravvivenza):
La funzione di sopravvivenza ha le seguenti proprietà:
Nelle tabelle della vita, di solito si presume che ce ne siano alcune limite di età (età limite) (di norma, anni) e, di conseguenza, a x>.
Quando si descrive la mortalità mediante leggi analitiche, di solito si presume che il tempo di vita sia illimitato, tuttavia, il tipo e i parametri delle leggi sono selezionati in modo che la probabilità di vita oltre una certa età sia trascurabile.
La funzione di sopravvivenza ha un semplice significato statistico.
Diciamo che stiamo osservando un gruppo di neonati (solitamente) che osserviamo e possiamo registrare i momenti della loro morte.
Indichiamo il numero di rappresentanti viventi di questo gruppo in età fino a . Quindi:
.
Simbolo e qui e sotto è usato per denotare l'aspettativa matematica.
Quindi, la funzione di sopravvivenza è uguale alla proporzione media di coloro che sono sopravvissuti per invecchiare da un determinato gruppo fisso di neonati.
In matematica attuariale spesso si lavora non con una funzione di sopravvivenza, ma con un valore appena introdotto (avendo fissato la dimensione iniziale del gruppo).
La funzione di sopravvivenza può essere ricostruita dalla densità:
Da un punto di vista pratico, sono importanti le seguenti caratteristiche:
1 . Media tutta la vita
,
2
. Dispersione tutta la vita
,
dove 
,
La necessità di operazioni sulle probabilità arriva quando si conoscono le probabilità di alcuni eventi ed è necessario calcolare le probabilità di altri eventi che sono associati a questi eventi.
L'addizione di probabilità viene utilizzata quando è necessario calcolare la probabilità di una combinazione o una somma logica di eventi casuali.
Somma degli eventi UN e B designare UN + B o UN ∪ B. La somma di due eventi è un evento che si verifica se e solo se si verifica almeno uno degli eventi. Significa che UN + B- un evento che si verifica se e solo se un evento si verifica durante l'osservazione UN o evento B, o allo stesso tempo UN e B.
Se eventi UN e B sono reciprocamente incoerenti e vengono fornite le loro probabilità, quindi la probabilità che uno di questi eventi si verifichi come risultato di una prova viene calcolata utilizzando la somma delle probabilità.
Il teorema dell'addizione delle probabilità. La probabilità che si verifichi uno dei due eventi reciprocamente incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:
Ad esempio, durante la caccia sono stati sparati due colpi. Evento MA– colpire un'anatra dal primo colpo, evento A– colpo dal secondo colpo, evento ( MA+ A) - colpo dal primo o dal secondo colpo o da due colpi. Quindi se due eventi MA e A sono eventi incompatibili, quindi MA+ A- il verificarsi di almeno uno di tali eventi o di due eventi.
Esempio 1 Una scatola contiene 30 palline della stessa dimensione: 10 rosse, 5 blu e 15 bianche. Calcola la probabilità che una pallina colorata (non bianca) venga presa senza guardare.
Soluzione. Assumiamo che l'evento MA– “la palla rossa è presa”, e l'evento A- "La palla blu è stata presa". Quindi l'evento è "viene presa una palla colorata (non bianca)". Trova la probabilità di un evento MA:
ed eventi A:
Sviluppi MA e A- reciprocamente incompatibili, poiché se viene presa una palla, non possono essere prese palle di colori diversi. Pertanto, utilizziamo l'addizione delle probabilità:
Il teorema dell'addizione di probabilità per più eventi incompatibili. Se gli eventi costituiscono l'insieme completo degli eventi, la somma delle loro probabilità è uguale a 1:
Anche la somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a 1:
Gli eventi opposti formano un insieme completo di eventi e la probabilità di un insieme completo di eventi è 1.
Le probabilità di eventi opposti sono generalmente indicate con lettere minuscole. p e q. In particolare,
da cui seguono le seguenti formule per la probabilità di eventi opposti:
Esempio 2 Il bersaglio nel trattino è diviso in 3 zone. La probabilità che un certo tiratore spari a un bersaglio nella prima zona è 0,15, nella seconda zona - 0,23, nella terza zona - 0,17. Trova la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio e la probabilità che il tiratore manchi il bersaglio.
Soluzione: trova la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio:
Trova la probabilità che il tiratore manchi il bersaglio:
Compiti più difficili in cui è necessario applicare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità - nella pagina "Vari compiti per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità" .
Due eventi casuali si dicono congiunti se il verificarsi di un evento non preclude il verificarsi di un secondo evento nella stessa osservazione. Ad esempio, quando si lancia un dado, l'evento MAè considerato il verificarsi del numero 4 e l'evento A- lasciando cadere un numero pari. Poiché il numero 4 è un numero pari, i due eventi sono compatibili. In pratica, ci sono compiti per calcolare le probabilità del verificarsi di uno degli eventi reciprocamente congiunti.
Il teorema dell'addizione di probabilità per eventi congiunti. La probabilità che si verifichi uno degli eventi congiunti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi, dalla quale viene sottratta la probabilità del verificarsi comune di entrambi gli eventi, cioè il prodotto delle probabilità. La formula per le probabilità di eventi congiunti è la seguente:
Perché gli eventi MA e A compatibile, evento MA+ A si verifica se si verifica uno dei tre possibili eventi: o AB. Secondo il teorema dell'addizione di eventi incompatibili, calcoliamo come segue:
Evento MA si verifica se si verifica uno dei due eventi incompatibili: o AB. Tuttavia, la probabilità di accadimento di un evento da più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di tutti questi eventi:
Allo stesso modo:
Sostituendo le espressioni (6) e (7) nell'espressione (5), otteniamo la formula di probabilità per eventi congiunti:
Quando si utilizza la formula (8), si dovrebbe tenere conto del fatto che gli eventi MA e A può essere:
Formula di probabilità per eventi reciprocamente indipendenti:
Formula di probabilità per eventi mutuamente dipendenti:
Se eventi MA e A sono incoerenti, allora la loro coincidenza è un caso impossibile e, quindi, P(AB) = 0. La quarta formula di probabilità per eventi incompatibili è la seguente:
Esempio 3 Nelle corse automobilistiche, quando si guida nella prima macchina, la probabilità di vincere, quando si guida nella seconda macchina. Trova:
1) La probabilità che la prima macchina vinca non dipende dal risultato della seconda macchina, quindi dagli eventi MA(vince la prima macchina) e A(vince la seconda macchina) - eventi indipendenti. Trova la probabilità che entrambe le auto vincano:
2) Trova la probabilità che una delle due auto vinca:
Compiti più difficili in cui è necessario applicare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità - nella pagina "Vari compiti per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità" .
Esempio 4 Vengono lanciate due monete. Evento UN- perdita dello stemma sulla prima moneta. Evento B- perdita dello stemma sulla seconda moneta. Trova la probabilità di un evento C = UN + B .
La moltiplicazione delle probabilità viene utilizzata quando si deve calcolare la probabilità di un prodotto logico di eventi.
In questo caso, gli eventi casuali devono essere indipendenti. Due eventi si dicono reciprocamente indipendenti se il verificarsi di un evento non influisce sulla probabilità che si verifichi il secondo evento.
Teorema della moltiplicazione delle probabilità per eventi indipendenti. La probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi indipendenti MA e Aè uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi e si calcola con la formula:
Esempio 5 La moneta viene lanciata tre volte di seguito. Trova la probabilità che lo stemma cada tutte e tre le volte.
Soluzione. La probabilità che lo stemma cada al primo lancio di una moneta, alla seconda e alla terza volta. Trova la probabilità che lo stemma cada tutte e tre le volte:
Esempio 6 C'è una scatola con nove nuove palline da tennis. Si prendono tre palline per la partita, dopo la partita vengono rimesse. Quando scelgono le palle, non fanno distinzione tra palle giocate e non giocate. Qual è la probabilità che dopo tre partite non ci siano palline non giocate nella scatola?
Esempio 7 32 lettere dell'alfabeto russo sono scritte su carte dell'alfabeto tagliate. Cinque carte vengono estratte a caso, una dopo l'altra, e poste sul tavolo nell'ordine in cui appaiono. Trova la probabilità che le lettere formino la parola "fine".
Esempio 8 Da un intero mazzo di carte (52 fogli), vengono estratte quattro carte contemporaneamente. Trova la probabilità che tutte e quattro queste carte siano dello stesso seme.
Esempio 9 Lo stesso problema dell'esempio 8, ma ogni carta viene rimessa nel mazzo dopo essere stata pescata.
Compiti più complessi, in cui è necessario applicare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità, nonché calcolare il prodotto di più eventi - nella pagina "Vari compiti per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità" .
La probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi reciprocamente indipendenti può essere calcolata sottraendo da 1 il prodotto delle probabilità di eventi opposti, cioè con la formula:
Esempio 10 Le merci vengono consegnate con tre modalità di trasporto: trasporto fluviale, ferroviario e stradale. La probabilità che il carico venga consegnato per via fluviale è 0,82, per ferrovia 0,87, per strada 0,90. Trova la probabilità che la merce venga consegnata con almeno uno dei tre modi di trasporto.
probabilitàè un numero da 0 a 1 che riflette le possibilità che si verifichi un evento casuale, dove 0 è la completa assenza della probabilità che si verifichi l'evento e 1 significa che l'evento in questione si verificherà definitivamente.
La probabilità di un evento E è un numero compreso tra e 1.
La somma delle probabilità di eventi che si escludono a vicenda è 1.
probabilità empirica- probabilità, che viene calcolata come la frequenza relativa dell'evento nel passato, estratta dall'analisi dei dati storici.
La probabilità di eventi molto rari non può essere calcolata empiricamente.
probabilità soggettiva- la probabilità basata su una personale valutazione soggettiva dell'evento, a prescindere dai dati storici. Gli investitori che decidono di acquistare e vendere azioni spesso agiscono sulla base della probabilità soggettiva.
probabilità a priori -
Possibilità 1 su... (quota) che un evento si verificherà attraverso il concetto di probabilità. La probabilità che si verifichi un evento è espressa in termini di probabilità come segue: P/(1-P).
Ad esempio, se la probabilità di un evento è 0,5, la probabilità di un evento è 1 su 2, poiché 0,5/(1-0,5).
La possibilità che l'evento non si verifichi è calcolata dalla formula (1-P)/P
Probabilità incoerente- ad esempio, nel prezzo delle azioni della società A viene preso in considerazione l'85% del possibile evento E, e nel prezzo delle azioni della società B solo il 50%. Questa è chiamata probabilità non corrispondente. Secondo il teorema delle scommesse olandesi, la probabilità non corrispondente crea opportunità di profitto.
Probabilità incondizionataè la risposta alla domanda "Qual è la probabilità che l'evento si verifichi?"
Probabilità condizionaleè la risposta alla domanda: "Qual è la probabilità dell'evento A se l'evento B si è verificato". La probabilità condizionata è indicata come P(A|B).
Probabilità congiuntaè la probabilità che gli eventi A e B accadano contemporaneamente. Indicato come P(AB).
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Regola di somma delle probabilità:
La probabilità che si verifichi l'evento A o l'evento B è
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Se gli eventi A e B si escludono a vicenda, allora
P(A o B) = P(A) + P(B)
Eventi indipendenti- gli eventi A e B sono indipendenti se
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
Cioè, è una sequenza di risultati in cui il valore di probabilità è costante da un evento all'altro.
Un lancio di una moneta è un esempio di un tale evento: il risultato di ogni lancio successivo non dipende dal risultato del precedente.
Eventi dipendenti Si tratta di eventi in cui la probabilità che uno si verifichi dipende dalla probabilità che si verifichi l'altro.
Regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti:
Se gli eventi A e B sono indipendenti, allora
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Regola di probabilità totale:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)
S e S" sono eventi che si escludono a vicenda
valore atteso variabile casuale è la media dei possibili risultati della variabile casuale. Per l'evento X, l'aspettativa è indicata come E(X).
Supponiamo di avere 5 valori di eventi che si escludono a vicenda con una certa probabilità (ad esempio, il reddito dell'azienda ammontava a tale e tale importo con tale probabilità). L'aspettativa è la somma di tutti i risultati moltiplicata per la loro probabilità:
La varianza di una variabile casuale è il valore atteso delle deviazioni quadrate di una variabile casuale dal suo valore atteso:
s 2 = E( 2 ) (6)
Valore atteso condizionale - l'aspettativa di una variabile casuale X, a condizione che l'evento S si sia già verificato.
