Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :) Bene, amici, se state leggendo questo testo, allora l'evidenza del cappuccio interno mi dice che ancora non sapete cosa sia una progressione aritmetica, ma davvero (no, così: SOOOOO!) volete saperlo. Pertanto, non ti tormenterò con lunghe presentazioni e mi metterò subito al lavoro.
Per iniziare, un paio di esempi. Considera diverse serie di numeri:
Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà c'è qualcosa. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.
Giudica tu stesso. Il primo set è solo numeri consecutivi, ognuno più del precedente. Nel secondo caso, la differenza tra numeri adiacenti è già uguale a cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso, ci sono radici in generale. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mentre $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, cioè nel qual caso ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non aver paura che questo numero sia irrazionale).
Quindi: tutte queste sequenze sono semplicemente chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:
Definizione. Una sequenza di numeri in cui ogni successivo differisce dal precedente esattamente della stessa quantità è chiamata progressione aritmetica. La stessa quantità di differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata dalla lettera $d$.
Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.
E solo un paio di osservazioni importanti. Innanzitutto, viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. Non puoi riorganizzare o scambiare i numeri.
In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa come (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro, per così dire, suggeriscono che molti numeri vanno oltre. Infiniti, per esempio. :)
Vorrei anche notare che le progressioni stanno aumentando e diminuendo. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso set (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:
Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, tu capisci. Pertanto, introduciamo nuove definizioni:
Definizione. Progressione aritmetica chiamato:
- crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
- decrescente, se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.
Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": sono costituite dallo stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).
Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:
Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti di cui sopra. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio, il primo e il secondo) e sottrarre dal numero a destra il numero a sinistra. Sembrerà così:
Come puoi vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata davvero negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.
Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:
\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto\)\]
I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri della progressione. Sono indicati in questo modo con l'aiuto di un numero: il primo membro, il secondo membro e così via.
Inoltre, come già sappiamo, i membri vicini della progressione sono correlati dalla formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
In breve, per trovare il $n$esimo termine della progressione, devi conoscere il $n-1$esimo termine e la differenza $d$. Tale formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero, conoscendo solo il precedente (e di fatto tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più complicata che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]
Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di riferimento e reshebnik. E in qualsiasi libro di testo ragionevole sulla matematica, è uno dei primi.
Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.
Compito numero 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Soluzione. Quindi, conosciamo il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza di progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\sinistra(1-1 \destra)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sinistra(2-1 \destra)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Risposta: (8; 3; -2)
È tutto! Nota che la nostra progressione sta diminuendo.
Ovviamente, $n=1$ non avrebbe potuto essere sostituito: conosciamo già il primo termine. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo assicurati che anche per il primo termine la nostra formula funzioni. In altri casi, tutto si riduceva a banale aritmetica.
Compito numero 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è −40 e il suo diciassettesimo termine è −50.
Soluzione. Scriviamo la condizione del problema nei soliti termini:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]
Metto il segno del sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. E ora notiamo che se sottraiamo la prima equazione dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, perché abbiamo un sistema), otteniamo questo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Proprio così, abbiamo trovato la differenza di progressione! Resta da sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]
Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Pronto! Problema risolto.
Risposta: (-34; -35; -36)
Notare una curiosa proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente conoscere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi nelle progressioni. Ecco un primo esempio di questo:
Compito numero 3. Il quinto termine della progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.
Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui abbiamo:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]
Risposta: 20.4
È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di comporre alcun sistema di equazioni e calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato deciso in un paio di righe.
Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca di membri negativi e positivi della progressione. Non è un segreto che se la progressione aumenta, mentre il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.
Allo stesso tempo, è tutt'altro che sempre possibile trovare questo momento "sulla fronte", ordinando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono progettati in modo tale che senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli: ci addormenteremmo semplicemente finché non troveremmo la risposta. Pertanto, proveremo a risolvere questi problemi in modo più rapido.
Compito numero 4. Quanti termini negativi in una progressione aritmetica -38,5; -35,8; …?
Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, da cui troviamo subito la differenza:
Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione è in aumento. Il primo termine è negativo, quindi a un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L'unica domanda è quando ciò accadrà.
Proviamo a scoprire: fino a che ora (cioè fino a che numero naturale$n$) si conserva la negatività dei termini:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \giusto. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
L'ultima riga necessita di chiarimenti. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, solo i valori interi del numero ci andranno bene (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero massimo consentito è precisamente $n=15$, e in nessun caso 16.
Compito numero 5. In progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.
Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:
Inoltre, proviamo a esprimere il quinto termine in termini del primo e della differenza utilizzando la formula standard:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Ora procediamo per analogia con il problema precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
La soluzione minima intera di questa disuguaglianza è il numero 56.
Si noti che nell'ultima attività tutto è stato ridotto a una stretta disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non ci andrà bene.
Ora che abbiamo imparato a risolvere problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima, impariamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare un sacco di tempo e celle disuguali in futuro. :)
Consideriamo diversi termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli su una linea numerica:
Membri della progressione aritmetica sulla linea dei numeriHo annotato specificamente i membri arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e non qualsiasi $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ecc. Perché la regola, che ora ti dirò, funziona allo stesso modo per qualsiasi "segmento".
E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorsiva e scriviamola per tutti i membri contrassegnati:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Bene, e allora? Ma il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovino alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ della stessa distanza pari a $2d$. Puoi continuare all'infinito, ma l'immagine illustra bene il significato
I membri della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro Cosa significa questo per noi? Ciò significa che puoi trovare $((a)_(n))$ se i numeri vicini sono noti:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Abbiamo dedotto una magnifica affermazione: ogni membro di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei membri vicini! Inoltre, possiamo deviare dal nostro $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi — e comunque la formula sarà corretta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Quelli. possiamo facilmente trovare alcuni $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista, può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti compiti sono appositamente "affilati" per l'uso della media aritmetica. Guarda:
Compito numero 6. Trova tutti i valori di $x$ tali che i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ siano membri consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine specificato).
Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi è soddisfatta la condizione della media aritmetica: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Si è rivelato classico equazione quadrata. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.
Risposta: -3; 2.
Compito numero 7. Trova i valori di $$ tali che i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formino una progressione aritmetica (in quest'ordine).
Soluzione. Ancora una volta, esprimiamo il termine medio in termini di media aritmetica dei termini vicini:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Un'altra equazione quadratica. E ancora due radici: $x=6$ e $x=1$.
Risposta 1; 6.
Se nel processo di risoluzione di un problema ottieni dei numeri brutali, o non sei completamente sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora c'è un meraviglioso trucco che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?
Diciamo che nel problema 6 abbiamo ottenuto le risposte -3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Inseriamoli nella condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che dovrebbero formare una progressione aritmetica. Sostituisci $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Abbiamo i numeri -54; -2; 50 che differiscono per 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Di nuovo una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi, il problema è risolto correttamente. Chi lo desidera può controllare da solo il secondo compito, ma dirò subito: anche lì è tutto corretto.
In generale, risolvendo gli ultimi compiti, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che va ricordato anche:
Se tre numeri sono tali che il secondo è la media del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.
In futuro, la comprensione di questa affermazione ci consentirà di "costruire" letteralmente le progressioni necessarie in base alla condizione del problema. Ma prima di impegnarci in una simile "costruzione", dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che segue direttamente da quanto già considerato.
Torniamo di nuovo alla linea dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:
6 elementi contrassegnati sulla linea dei numeriProviamo ad esprimere la "coda sinistra" in termini di $((a)_(n))$ e $d$, e la "coda destra" in termini di $((a)_(k))$ e $ d$. È molto semplice:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Ora nota che le seguenti somme sono uguali:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (l'uno verso l'altro o viceversa per allontanarci), poi uguali saranno anche le somme degli elementi su cui ci imbatteremo$S$. Questo può essere meglio rappresentato graficamente:
Gli stessi trattini danno somme uguali Comprensione questo fatto ci permetterà di risolvere i problemi fondamentalmente di più alto livello complessità rispetto a quelle discusse sopra. Ad esempio, questi:
Compito numero 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.
Soluzione. Scriviamo tutto ciò che sappiamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Quindi, non conosciamo la differenza della progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Per quelli nel serbatoio: ho tolto il fattore comune 11 dalla seconda parentesi. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con rami verso l'alto, perché se apriamo le parentesi otteniamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Come puoi vedere, il coefficiente con il termine più alto è 11 - questo è un numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:
orario funzione quadratica- parabola
Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel suo vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente, possiamo calcolare questa ascissa usando schema standard(esiste una formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole notare che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria del parabola, quindi il punto $((d) _(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Ecco perché non avevo fretta di aprire le parentesi: nella forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto assume il valore più piccolo (a proposito, non abbiamo calcolato $((y)_(\min ))$ - questo non ci è richiesto). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione iniziale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)
Risposta: -36
Compito numero 9. Inserisci tre numeri tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ in modo che insieme ai numeri dati formino una progressione aritmetica.
Soluzione. Bisogna infatti fare una sequenza di cinque numeri, con il primo e l'ultimo numero già noti. Indica i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Nota che il numero $y$ è il "centro" della nostra sequenza - è equidistante dai numeri $x$ e $z$, e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dai numeri $x$ e $z$ siamo dentro questo momento non possiamo ottenere $y$, allora la situazione è diversa con le estremità della progressione. Ricorda la media aritmetica:
Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ appena trovato. Ecco perchè
Argomentando in modo simile, troviamo il numero rimanente:
Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui devono essere inseriti tra i numeri originali.
Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Compito numero 10. Tra i numeri 2 e 42 inserire più numeri che, insieme ai numeri dati, formino una progressione aritmetica, se si sa che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.
Soluzione. Un compito ancora più difficile, che però si risolve allo stesso modo dei precedenti, attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri inserire. Pertanto, per chiarezza, assumiamo che dopo l'inserimento ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi è 2 e l'ultimo è 42. In questo caso, la progressione aritmetica desiderata può essere rappresentata come:
\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Si noti, tuttavia, che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ sono ottenuti dai numeri 2 e 42 che stanno ai bordi di un passo l'uno verso l'altro , cioè . al centro della sequenza. E questo significa che
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ma allora l'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sinistra(3-1 \destra)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(align)\]
Resta solo da trovare i membri rimanenti:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Pertanto, già al nono passaggio arriveremo all'estremità sinistra della sequenza: il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
In conclusione, vorrei considerare un paio di compiti semplici. Ebbene, come quelli semplici: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi compiti possono sembrare un gesto. Tuttavia, sono proprio questi compiti che si incontrano nell'OGE e nell'USE in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.
Compito numero 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al precedente. Quante parti ha prodotto la brigata a novembre?
Soluzione. Ovviamente il numero delle parti, dipinte per mese, sarà una progressione aritmetica crescente. E:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.
Compito numero 12. Il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri a gennaio e ogni mese ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?
Soluzione. Tutti uguali:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dicembre è l'ultimo, 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Questa è la risposta: 260 libri saranno rilegati a dicembre.
Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a congratularmi con te: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Possiamo tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula della somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.
I problemi di progressione aritmetica esistono fin dall'antichità. Sono apparsi e hanno chiesto una soluzione, perché avevano un bisogno pratico.
Quindi, in uno dei papiri dell'antico Egitto, che ha un contenuto matematico - il papiro Rhind (XIX secolo a.C.) - contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane in dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia una ottavo di misura.
E nelle opere matematiche degli antichi greci ci sono eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Quindi, Gipsicles of Alexandria (II secolo, che ammontava a molto compiti interessanti e aggiungendo il quattordicesimo libro agli Elementi di Euclide, formulò l'idea: "In una progressione aritmetica con un numero pari di membri, la somma dei membri della 2a metà è maggiore della somma dei membri della 1a per il quadrato di 1 /2 del numero dei membri."
La sequenza an è denotata. I numeri della sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente indicati da lettere con indici che indicano il numero seriale di questo membro (a1, a2, a3 ... leggi: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" e così via).
La sequenza può essere infinita o finita.
Cos'è una progressione aritmetica? Si intende ottenuto sommando al termine precedente (n) lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora tale progressione è considerata crescente.
Una progressione aritmetica si dice finita se si tiene conto solo di alcuni dei suoi primi termini. A molto in gran numero membri è già una progressione infinita.
L'eventuale progressione aritmetica è data dalla seguente formula:
an =kn+b, mentre b e k sono dei numeri.
L'affermazione, che è l'opposto, è assolutamente vera: se la sequenza è data da una formula simile, allora questa è esattamente una progressione aritmetica, che ha le proprietà:
La proprietà caratteristica per quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k sono i numeri della progressione).
In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (ennesimo) può essere trovato applicando la seguente formula:
Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato ed è uguale a tre, e la differenza (d) è uguale a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177
La formula an = ak + d(n - k) ci permette di determinare ennesimo termine progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi termini k-esimi, purché sia noto.
La somma dei membri di una progressione aritmetica (assumendo i primi n membri della progressione finale) si calcola come segue:
Sn = (a1+an) n/2.
Se è noto anche il primo termine, un'altra formula è conveniente per il calcolo:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:
La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni delle attività e dai dati iniziali.
La serie naturale di qualsiasi numero come 1,2,3,...,n,... è l'esempio più semplice di progressione aritmetica.
Oltre alla progressione aritmetica, ne esiste anche una geometrica, che ha proprietà e caratteristiche proprie.
Primo livello
Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi (nel nostro caso, loro). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale di essi è il primo, qual è il secondo, e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:
Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:
Il numero assegnato è specifico di un solo numero di sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il -esimo numero) è sempre lo stesso.
Il numero con il numero è chiamato il -esimo membro della sequenza.
Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio,) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .
Nel nostro caso: 
Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio: 
eccetera.
Tale sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progressione" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in un senso più ampio come una sequenza numerica senza fine. Il nome "aritmetica" è stato trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, in cui erano impegnati gli antichi greci.
Questa è una sequenza numerica, ogni cui membro è uguale al precedente, aggiunto con lo stesso numero. Questo numero è chiamato la differenza di una progressione aritmetica ed è indicato.
Prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione aritmetica e quali no:
un)
b)
c)
d)
Fatto? Confronta le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.
Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo esimo membro. Esiste Due modo per trovarlo.
1. Metodo
Possiamo aggiungere al valore precedente del numero di progressione fino a raggiungere il esimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere - solo tre valori:
Quindi, il -esimo membro della progressione aritmetica descritta è uguale a.
2. Metodo
E se avessimo bisogno di trovare il valore dell'esimo termine della progressione? La somma ci avrebbe richiesto più di un'ora, e non è un dato di fatto che non avremmo commesso errori durante la somma dei numeri.
Naturalmente, i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Guarda attentamente l'immagine disegnata ... Sicuramente hai già notato un certo schema, vale a dire:
Ad esempio, vediamo cosa compone il valore del -esimo membro di questa progressione aritmetica: 
In altre parole:
Prova a trovare in modo indipendente in questo modo il valore di un membro di questa progressione aritmetica.
Calcolato? Confronta le tue voci con la risposta:
Fai attenzione che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto successivamente i membri di una progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a "spersonalizzare" questa formula - introduciamola forma generale e prendi:
|
Equazione di progressione aritmetica. |
Le progressioni aritmetiche sono crescenti o decrescenti.
Crescente- progressioni in cui ogni successivo valore dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:
Discendente- progressioni in cui ogni successivo valore dei termini è minore del precedente.
Per esempio:
La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Verifichiamolo in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri:
Da allora:
Quindi, eravamo convinti che la formula funzionasse sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare da solo il -esimo e -esimo membro di questa progressione aritmetica.
Confrontiamo i risultati:
Complichiamo il compito: deriviamo la proprietà di una progressione aritmetica.
Supponiamo di avere la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trovare il valore.
È facile, dici, e inizi a contare secondo la formula che già conosci:
Lascia, a, allora:
Assolutamente giusto. Si scopre che prima lo troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da valori piccoli, allora non c'è nulla di complicato, ma cosa succede se ci vengono dati dei numeri nella condizione? D'accordo, c'è la possibilità di commettere errori nei calcoli.
Ora pensa, è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio usando una formula? Certo che sì, e cercheremo di farlo emergere ora.
Indichiamo il termine desiderato della progressione aritmetica come, conosciamo la formula per trovarlo - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, poi:
Riassumiamo i membri precedenti e successivi della progressione:
Risulta che la somma dei membri precedenti e successivi della progressione è il doppio del valore del membro della progressione situato tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un membro di progressione con valori precedenti e successivi noti, è necessario sommarli e dividere per.
Esatto, abbiamo lo stesso numero. Sistemiamo il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, perché non è affatto difficile.
Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula, che, secondo la leggenda, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss, dedusse facilmente per se stesso ...
Quando Carl Gauss aveva 9 anni, l'insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, chiese a lezione il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da fino a (secondo altre fonti fino a) compreso. " Qual è stata la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) dopo un minuto ha dato la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario dopo lunghi calcoli ha ricevuto il risultato sbagliato ...
Il giovane Carl Gauss ha notato uno schema che puoi facilmente notare.
Supponiamo di avere una progressione aritmetica composta da membri -ti: dobbiamo trovare la somma dei membri dati della progressione aritmetica. Certo, possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma cosa succede se dobbiamo trovare la somma dei suoi termini nel compito, come stava cercando Gauss?
Descriviamo la progressione che ci è stata data. Osserva attentamente i numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi. 
Provato? Cosa hai notato? Correttamente! Le loro somme sono uguali
Ora rispondi, quante di queste coppie ci saranno nella progressione che ci è stata data? Ovviamente, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè.
Basandoci sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e coppie uguali simili, otteniamo che la somma totale è uguale a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:
In alcuni problemi non conosciamo il esimo termine, ma conosciamo la differenza di progressione. Prova a sostituire nella formula della somma, la formula del esimo membro.
Cosa hai preso?
Ben fatto! Torniamo ora al problema che è stato posto a Carl Gauss: calcola tu stesso qual è la somma dei numeri che iniziano dalla -esima, e la somma dei numeri che iniziano dalla -esima.
Quanto hai preso?
Gauss ha scoperto che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È così che hai deciso?
In effetti, la formula per la somma dei membri di una progressione aritmetica è stata dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel 3 ° secolo e per tutto questo tempo le persone argute hanno usato le proprietà di una progressione aritmetica con forza e principale.
Ad esempio, immagina Antico Egitto e il più grande cantiere dell'epoca: la costruzione di una piramide ... La figura ne mostra un lato. 
Dov'è la progressione qui dici? Guarda attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ogni fila del muro della piramide. 
Perché non una progressione aritmetica? Conta quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i blocchi di mattoni sono posizionati nella base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto ciò che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?
A questo caso la progressione è questa:
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di membri di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (contiamo il numero di blocchi in 2 modi).
Metodo 1.
Metodo 2.
E ora puoi anche calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi che sono nella nostra piramide. Era d'accordo? Complimenti, hai imparato la somma degli esimi termini di una progressione aritmetica.
Certo, non puoi costruire una piramide dai blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:
Compiti:
Risposte:
Risposta: Tra due settimane, Masha dovrebbe accovacciarsi una volta al giorno.
I numeri contengono numeri dispari.
Sostituiamo i dati disponibili nella formula:
Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti in è uguale a.
Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.
Sediamoci e cominciamo a scrivere dei numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi. Ma puoi sempre dire quale di loro è il primo, qual è il secondo, e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.
Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.
In altre parole, ad ogni numero può essere associato un certo numero naturale, e solo uno. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.
Il numero con il numero è chiamato il -esimo membro della sequenza.
Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio,) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .
È molto conveniente se il -esimo membro della sequenza può essere dato da qualche formula. Ad esempio, la formula
imposta la sequenza:
E la formula è la seguente sequenza:
Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza). O (, differenza).
Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire il -esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:
Per trovare, ad esempio, l'esimo termine della progressione utilizzando una tale formula, dobbiamo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascia. Quindi:
Bene, ora è chiaro qual è la formula?
In ogni riga, aggiungiamo a, moltiplicato per un numero. Per quello? Molto semplice: questo è il numero del membro corrente meno:
Molto più comodo ora, vero? Controlliamo:
Decidi tu stesso:
In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.
Soluzione:
Il primo termine è uguale. E qual è la differenza? Ed ecco cosa:
(dopotutto, si chiama differenza perché è uguale alla differenza dei membri successivi della progressione).
Quindi la formula è:
Allora il centesimo termine è:
Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?
Secondo la leggenda, grande matematico Carl Gauss, essendo un bambino di 9 anni, ha calcolato questo importo in pochi minuti. Ha notato che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è la stessa, la somma del terzo e del terzo dalla fine è la stessa, e così via. Quante coppie di questo tipo ci sono? Esatto, esattamente la metà del numero di tutti i numeri, cioè. Così,
La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:
Esempio:
Trova la somma di tutti numeri a due cifre, multipli.
Soluzione:
Il primo di questi numeri è questo. Ogni successivo si ottiene aggiungendo un numero al precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.
La formula per l'esimo termine per questa progressione è:
Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti di due cifre?
Molto facile: .
L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:
Risposta: .
Ora decidi tu stesso:
Risposte:
La radice ovviamente non va bene, quindi la risposta.
Calcoliamo la distanza percorsa nell'ultimo giorno utilizzando la formula del -esimo termine:
(km).
Risposta:
Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è uguale e uguale.
La progressione aritmetica è crescente () e decrescente ().
Per esempio:
è scritto come una formula, dove è il numero di numeri nella progressione.
Rende facile trovare un membro della progressione se i suoi membri vicini sono noti - dov'è il numero di numeri nella progressione.
Ci sono due modi per trovare la somma:
Dove è il numero di valori.
Dove è il numero di valori.
Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.
Obiettivi della lezione:
Compiti:
Attrezzatura:
I. Attualizzazione delle conoscenze di base.
1. Lavoro indipendente A coppie.
1a opzione:
Definire una progressione aritmetica. Scrivi una formula ricorsiva che definisce una progressione aritmetica. Fai un esempio di progressione aritmetica e indicane la differenza.
2a opzione:
Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Trova il centesimo termine di una progressione aritmetica ( un}: 2, 5, 8 …
In questo momento, due studenti rovescio le schede preparano le risposte alle stesse domande.
Gli studenti valutano il lavoro del partner confrontandolo con la lavagna. (I volantini con le risposte vengono consegnati).
2. Momento di gioco.
Esercizio 1.
Insegnante. Ho concepito una progressione aritmetica. Fammi solo due domande in modo che dopo le risposte tu possa nominare rapidamente il settimo membro di questa progressione. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Domande degli studenti.
Se non ci sono più domande, l'insegnante può stimolarle: un "divieto" di d (differenza), ovvero non è consentito chiedere quale sia la differenza. Puoi porre domande: qual è il sesto termine della progressione e qual è l'ottavo termine della progressione?
Compito 2.
Ci sono 20 numeri scritti sulla lavagna: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
L'insegnante sta con le spalle alla lavagna. Gli studenti dicono il numero del numero e l'insegnante chiama immediatamente il numero stesso. Spiegare come posso farlo?
L'insegnante ricorda la formula dell'ennesimo termine a n \u003d 3n - 2 e, sostituendo i valori dati di n, trova i valori corrispondenti un .
II. Dichiarazione del compito educativo.
Propongo di risolvere un vecchio problema risalente al II millennio a.C., rinvenuto nei papiri egizi.
Un compito:“Vi sia detto: dividete 10 misure di orzo tra 10 persone, la differenza tra ogni persona e il suo vicino è 1/8 della misura”.
Obiettivo della lezione- ricavare la dipendenza della somma dei termini della progressione dal loro numero, dal primo termine e dalla differenza, e verificare se il problema era risolto correttamente in tempi antichi.
Prima di derivare la formula, vediamo come gli antichi egizi risolvevano il problema.
E hanno risolto così:
1) 10 misure: 10 = 1 misura - quota media;
2) 1 battuta ∙ = 2 battute - raddoppiato media Condividere.
raddoppiato media la quota è data dalla somma delle quote della 5° e 6° persona.
3) 2 battute - 1/8 di battuta = 1 7/8 di battuta - il doppio della quota della quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - la quota del quinto; e così via, puoi trovare la quota di ogni persona precedente e successiva.
Otteniamo la sequenza:
III. La soluzione del compito.
1. Lavorare in gruppo
1° gruppo: Trova la somma di 20 numeri naturali consecutivi: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
In generale 
II gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 100 (Leggenda di Little Gauss).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
Conclusione:
III gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 21.
Soluzione: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Conclusione:
Gruppo IV: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 101.
Conclusione:
Questo metodo per risolvere i problemi considerati è chiamato "metodo Gauss".
2. Ogni gruppo presenta la soluzione al problema alla lavagna.
3. Generalizzazione delle soluzioni proposte per una progressione aritmetica arbitraria:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Troviamo questa somma ragionando in modo simile:
4. Abbiamo risolto il compito?(Sì.)
IV. Comprensione primaria e applicazione delle formule ottenute nella risoluzione di problemi.
1. Verifica della soluzione di un vecchio problema con la formula.
2. Applicazione della formula nella risoluzione di vari problemi.
3. Esercizi per la formazione della capacità di applicare la formula nella risoluzione dei problemi.
A) N. 613
Dato :( e n) - progressione aritmetica;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Trova: S 1500
Soluzione: , e 1 = 1, e 1500 = 1500,
B) Dato: ( e n) - progressione aritmetica;
(e n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Trova: n
Soluzione:
V. Lavoro indipendente con verifica reciproca.
Denis è andato a lavorare come corriere. Nel primo mese il suo stipendio era di 200 rubli, in ogni mese successivo aumentava di 30 rubli. Quanto ha guadagnato in un anno?
Dato :( e n) - progressione aritmetica;
a1 = 200, d=30, n=12
Trova: S 12
Soluzione:
Risposta: Denis ha ricevuto 4380 rubli per l'anno.
VI. Istruzioni per i compiti.
VII. Riassumendo la lezione.
1. Foglio dei punteggi
2. Continua le frasi
3. Riesci a trovare la somma dei numeri da 1 a 500? Quale metodo utilizzerai per risolvere questo problema?
Bibliografia.
1. Algebra, 9a elementare. Libro di testo per le istituzioni educative. ed. G.V. Dorofeeva. Mosca: Illuminismo, 2009.
Se ogni numero naturale n mettere in fila numero reale un , poi dicono che dato sequenza numerica :
un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .
Quindi, una sequenza numerica è una funzione di un argomento naturale.
Numero un 1 chiamato il primo membro della sequenza , numero un 2 — il secondo membro della sequenza , numero un 3 — Terzo e così via. Numero un chiamato ennesimo membro sequenze , e il numero naturale n — il suo numero .
Da due membri vicini un e un +1 sequenze di membri un +1 chiamato successivo (verso qualcosa un ), un un — precedente (verso qualcosa un +1 ).
Per specificare una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.
Spesso la sequenza è data con Formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro della sequenza in base al suo numero.
Per esempio,
la sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula
un= 2n- 1,
e la sequenza di alternanza 1 e -1 - formula
b n = (-1)n +1 . ◄
La sequenza può essere determinata formula ricorrente, ovvero una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, attraverso i membri precedenti (uno o più).
Per esempio,
Se un 1 = 1 , un un +1 = un + 5
un 1 = 1,
un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Se una un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , quindi i primi sette membri della sequenza numerica sono impostati come segue:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,
un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Le sequenze possono essere finale e infinito .
La sequenza è chiamata ultimo se ha un numero finito di membri. La sequenza è chiamata infinito se ha infiniti membri.
Per esempio,
sequenza di numeri naturali a due cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
finale.
Sequenza di numeri primi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
infinito. ◄
La sequenza è chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.
La sequenza è chiamata calante , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.
Per esempio,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . è una sequenza ascendente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . è una successione discendente. ◄
Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono con l'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .
Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.
Progressione aritmetica viene chiamata una sequenza, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, a cui viene aggiunto lo stesso numero.
un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .
è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale n condizione è soddisfatta:
un +1 = un + d,
dove d - un certo numero.
Pertanto, la differenza tra il membro successivo e quello precedente di una data progressione aritmetica è sempre costante:
un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = d.
Numero d chiamato la differenza di una progressione aritmetica.
Per impostare una progressione aritmetica è sufficiente specificarne il primo termine e la differenza.
Per esempio,
Se un 1 = 3, d = 4 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,
un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Per una progressione aritmetica con il primo termine un 1 e differenza d suo n
un = un 1 + (n- 1)d.
Per esempio,
trovare il trentesimo termine di una progressione aritmetica
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, d = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (n- 2)d,
un= un 1 + (n- 1)d,
un +1 = un 1 + nd,
poi ovviamente
| un=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi.
i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.
Per esempio,
un = 2n- 7 , è una progressione aritmetica.
Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:
un = 2n- 7,
un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Di conseguenza,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = un,
|
| 2
| 2
|
◄
Notare che n -esimo membro di una progressione aritmetica può essere trovato non solo attraverso un 1 , ma anche qualsiasi precedente un k
un = un k + (n- K)d.
Per esempio,
per un 5 può essere scritto
un 5 = un 1 + 4d,
un 5 = un 2 + 3d,
un 5 = un 3 + 2d,
un 5 = un 4 + d. ◄
un = un n-k + kd,
un = un n+k - kd,
poi ovviamente
| un=
| un nk
+ un n+k
|
| 2
|
ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla metà della somma dei membri di questa progressione aritmetica equidistanti da esso.
Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica, l'uguaglianza è vera:
una m + una n = una k + una l,
m + n = k + l.
Per esempio,
in progressione aritmetica
1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, perché
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,
primo n membri di una progressione aritmetica è uguale al prodotto della metà della somma dei termini estremi per il numero di termini:
Da ciò, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini
un k, un k +1 , . . . , un,
quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:
Per esempio,
in progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità un 1 , un, d, n eS n legati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:
progressione geometrica si chiama una sequenza, ogni termine della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale n condizione è soddisfatta:
b n +1 = b n · q,
dove q ≠ 0 - un certo numero.
Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di questa progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Numero q chiamato denominatore di una progressione geometrica.
Per impostare una progressione geometrica è sufficiente specificarne il primo termine e il denominatore.
Per esempio,
Se b 1 = 1, q = -3 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 e denominatore q suo n -esimo termine può essere trovato dalla formula:
b n = b 1 · q n -1 .
Per esempio,
trovare il settimo termine di una progressione geometrica 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
poi ovviamente
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
ogni membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedenti e successivi.
Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:
i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.
Per esempio,
dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -3 2 n , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Di conseguenza,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
che prova l'affermazione richiesta. ◄
Notare che n Il termine di una progressione geometrica può essere trovato non solo attraverso b 1 , ma anche qualsiasi termine precedente b K , per cui basta usare la formula
b n = bk · q n - K.
Per esempio,
per b 5 può essere scritto
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = bk · q n - K,
b n = b n - K · q k,
poi ovviamente
b n 2 = b n - K· b n + K
il quadrato di qualsiasi membro di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei membri di questa progressione equidistanti da esso.
Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica, l'uguaglianza è vera:
b m· b n= bk· b l,
m+ n= K+ l.
Per esempio,
esponenzialmente
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , perché
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
primo n membri di una progressione geometrica con denominatore q ≠ 0 calcolato dalla formula:
E quando q = 1 - secondo la formula
S n= n.b. 1
Si noti che se è necessario sommare i termini
bk, bk +1 , . . . , b n,
allora si usa la formula:
| S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + b n = bk · | 1 - q n -
K +1
| . |
| 1 - q
|
Per esempio,
esponenzialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità b 1 , b n, q, n e S n legati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Per una progressione geometrica con il primo termine b 1 e denominatore q avvengono i seguenti proprietà di monotonicità :
b 1 > 0 e q> 1;
b 1 < 0 e 0 < q< 1;
b 1 > 0 e 0 < q< 1;
b 1 < 0 e q> 1.
Se una q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata di segno: i suoi termini di numero dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini di numero pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.
Prodotto del primo n i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati con la formula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Per esempio,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progressione geometrica infinitamente decrescente è chiamata una progressione geometrica infinita il cui modulo denominatore è minore di 1 , questo è
|q| < 1 .
Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Questo si adatta al caso
1 < q< 0 .
Con un tale denominatore, la sequenza è alternata di segno. Per esempio,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui la somma del primo n termini della progressione con aumento illimitato del numero n . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Per esempio,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmetica e progressione geometrica sono strettamente correlati. Consideriamo solo due esempi.
un 1 , un 2 , un 3 , . . . d , poi
b.a 1 , b.a 2 , b.a 3 , . . . b d .
Per esempio,
1, 3, 5, . . . — progressione aritmetica con differenza 2 e
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . è una progressione geometrica con un denominatore 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . è una progressione geometrica con un denominatore q , poi
logaritmo a b 1, logaritmo a b 2, logaritmo a b 3, . . . — progressione aritmetica con differenza log Aq .
Per esempio,
2, 12, 72, . . . è una progressione geometrica con un denominatore 6 e
LG 2, LG 12, LG 72, . . . — progressione aritmetica con differenza LG 6 . ◄
