Utasítás
Ha a Pitagorasz-tétel szerint kell számolnia, használja a következő algoritmust: - Határozza meg a háromszögben, hogy melyik oldalak a lábak, és melyek a hipotenusz! A kilencven fokos szöget bezáró két oldal a lábak, a fennmaradó harmad a hipotenusz. (cm) - Emelje fel a második hatványra ennek a háromszögnek minden lábát, azaz szorozza meg önmagával. 1. példa: Szükséges legyen a befogó kiszámítása, ha egy háromszögben az egyik láb 12 cm, a másik pedig 5 cm. Először is a lábak négyzetei: 12 * 12 = 144 cm és 5 * 5 = 25 cm. - Ezután határozza meg a lábak négyzeteinek összegét. Egy bizonyos szám az átfogó, meg kell szabadulnia a szám második hatványától, hogy megtalálja hossz a háromszög ezen oldala. Ehhez vegyük ki a négyzetgyök alól a lábak négyzeteinek összegének értékét. Példa 1. 144+25=169. A 169 négyzetgyöke 13 lesz. Ezért ennek a hossza átfogó egyenlő 13 cm-rel.
A hossz kiszámításának másik módja átfogó a háromszög szinuszának és szögeinek terminológiájában rejlik. Definíció szerint: a hipotenusszal szemközti láb alfa szögének szinusza. Vagyis, ha az ábrát nézzük, bűn a \u003d CB / AB. Ezért az AB \u003d CB / sin a. Példa 2. Legyen a szög 30 fok, és a szemközti láb - 4 cm. Meg kell találni a hipotenuszt. Megoldás: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Válasz: hossz átfogó egyenlő 8 cm-rel.
Hasonló módon lehet megtalálni átfogó szög koszinuszának definíciójából. A szög koszinusza a vele szomszédos szár aránya és átfogó. Vagyis cos a \u003d AC / AB, tehát AB \u003d AC / cos a. Példa 3. Az ABC háromszögben AB a befogó, a BAC szög 60 fok, az AC szár 2 cm. Keresse meg az AB-t.
Megoldás: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm. Válasz: a hypotenus 4 cm hosszú.
Egy szög szinuszának vagy koszinuszának értékének meghatározásához használja a szinuszok és koszinuszok táblázatát, vagy a Bradis táblát.
A befogót a derékszögű háromszög leghosszabb oldalának nevezik, így nem meglepő, hogy ezt a szót görögül „nyújtottnak” fordítják. Ez az oldal mindig a 90°-os szöggel szemben fekszik, és az ezt a szöget alkotó oldalakat lábaknak nevezzük. Ismerve ezen oldalak hosszát és a hegyesszögek nagyságát ezeknek az értékeknek a különböző kombinációiban, kiszámítható a hipotenúza hossza is.
Utasítás
Ha mindkét háromszög (A és B) hossza ismert, akkor használja a hipotenusz (C) hosszát, amely talán a legismertebb matematikai posztulátum - a Pitagorasz-tétel. Azt mondja, hogy a befogó hosszának négyzete a lábak hosszának négyzeteinek összege, amiből az következik, hogy ki kell számítani a két oldal négyzetes hosszának összegének gyökerét: C \u003d √ (A² + B²). Például, ha az egyik láb hossza 15 és -10 centiméter, akkor a hipotenusz hossza körülbelül 18,0277564 centiméter, mivel √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) √ (225 + 100) √ (225 + 100) √ 215 ∉ 740 \u003d . .
Ha egy derékszögű háromszögben csak az egyik lábnak (A) a hossza ismert, valamint a vele szemközti szög értéke (α), akkor a befogó (C) hosszát meg lehet adni valamelyik trigonometrikus függvények - a szinusz. Ehhez el kell osztani az ismert oldal hosszát az ismert szög szinuszával: C=A/sin(α). Például, ha az egyik láb hossza 15 centiméter, és a háromszög ellentétes csúcsánál bezárt szög 30 °, akkor a hipotenusz hossza 30 centiméter, mivel 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.
Ha egy derékszögű háromszögben ismert az egyik hegyesszög értéke (α) és a vele szomszédos szár hossza (B), akkor egy másikkal ki lehet számítani a befogó hosszát (C). trigonometrikus függvény- koszinusz. Az ismert láb hosszát el kell osztani az ismert szög koszinuszával: С=В/ cos(α). Például, ha ennek a lábnak a hossza 15 centiméter, és a mellette lévő hegyesszög értéke 30 °, akkor a hipotenusz hossza körülbelül 17,3205081 centiméter, mivel 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0,5 * √3)=30/√3≈17,3205081.
A hosszúság egy szakasz két pontja közötti távolság. Lehet egyenes, törött vagy zárt vonal. A hosszt meglehetősen egyszerűen kiszámíthatja, ha ismeri a szegmens egyéb mutatóit.
Utasítás
Ha meg kell találnia egy négyzet oldalának hosszát, akkor ez nem fog sikerülni, ha ismeri a területét S. Mivel a négyzet minden oldala
A kreativitás lehetőségét általában a bölcsészettudományoknak tulajdonítják, meghagyva a képletek és számok természettudományos elemzését, gyakorlatias megközelítését és száraz nyelvezetét. A matematika nem sorolható a humán tárgyak közé. De a "minden tudomány királynőjében" kreativitás nélkül nem megy messzire - az emberek ezt régóta tudják. Püthagorasz kora óta például.
Az iskolai tankönyvek sajnos általában nem magyarázzák el, hogy a matematikában nem csak tételek, axiómák és képletek zsúfolása fontos. Fontos megérteni és átérezni az alapvető elveit. És közben próbálja meg felszabadítani elméjét a kliséktől és az elemi igazságoktól – csak ilyen körülmények között születik minden nagy felfedezés.
Ilyen felfedezések közé tartozik az is, amelyet ma Pitagorasz-tételként ismerünk. Segítségével megpróbáljuk megmutatni, hogy a matematika nem csak tud, de szórakoztató is kell legyen. És hogy ez a kaland nem csak a vastag szemüveges nebulóknak szól, hanem mindenkinek, aki erős elmében és erős lélekben.
Szigorúan véve, bár a tételt "Pitagorasz-tételnek" nevezik, maga Pythagoras nem fedezte fel. A derékszögű háromszöget és speciális tulajdonságait már jóval előtte tanulmányozták. Ebben a kérdésben két sarkos nézőpont létezik. Az egyik változat szerint Pythagoras volt az első, aki teljes bizonyítást talált a tételre. Egy másik szerint a bizonyítás nem Püthagorasz szerzőségéhez tartozik.
Ma már nem tudod ellenőrizni, hogy kinek van igaza és kinek nincs igaza. Csak annyit tudunk, hogy Pythagoras bizonyítéka, ha valaha is létezett, nem maradt fenn. Vannak azonban olyan felvetések, hogy az Euklidész elemeiből származó híres bizonyíték Pythagorasé lehet, és Eukleidész csak feljegyezte.
Ma az is ismert, hogy a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák I. Amenemhet fáraó idejéből származó egyiptomi forrásokban, Hammurapi király uralkodása idejéből származó babiloni agyagtáblákon, a Sulva Sutra című ősi indiai értekezésben és a Zhou című ősi kínai műben találhatók. -bi suan jin.
Amint láthatja, a Pitagorasz-tétel ősidők óta foglalkoztatja a matematikusok elméjét. Körülbelül 367 különféle ma létező bizonyíték szolgál megerősítésként. Ebben a tekintetben semmilyen más tétel nem versenyezhet vele. A figyelemre méltó bizonyítékok szerzői többek között Leonardo da Vinci és az Egyesült Államok 20. elnöke, James Garfield. Mindez e tétel rendkívüli fontosságáról beszél a matematika számára: a geometria tételeinek többsége ebből származik, vagy így vagy úgy kapcsolódik hozzá.
Az iskolai tankönyvek többnyire algebrai bizonyítást adnak. De a tétel lényege a geometriában van, ezért először is vegyük figyelembe a híres tétel azon bizonyításait, amelyek ezen a tudományon alapulnak.
A Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögre vonatkozó legegyszerűbb bizonyításához ideális feltételeket kell felállítani: legyen a háromszög ne csak derékszögű, hanem egyenlő szárú is. Okkal feltételezhető, hogy az ókori matematikusok eredetileg egy ilyen háromszögnek számítottak.
Nyilatkozat "egy derékszögű háromszög befogójára épített négyzet egyenlő a lábaira épített négyzetek összegével." az alábbi rajzzal szemléltethető:
Nézze meg az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszöget: Az AC hipotenuzon négy háromszögből álló négyzetet építhet, amely megegyezik az eredeti ABC-vel. És a négyzetre épített AB és BC lábakon, amelyek mindegyike két hasonló háromszöget tartalmaz.
Ez a rajz egyébként számos anekdota és rajzfilm alapját képezte, amelyeket a Pitagorasz-tételnek szenteltek. Talán a leghíresebb az "A Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő":
Ez a módszer ötvözi az algebrát és a geometriát, és Bhaskari matematikus ősi indiai bizonyítékának egy változatának tekinthető.
Szerkesszünk derékszögű háromszöget oldalakkal a, b és c(1. ábra). Ezután építsünk két négyzetet, amelyek oldalai megegyeznek a két láb hosszának összegével - (a+b). Mindegyik négyzetben készítsen konstrukciókat a 2. és 3. ábrán látható módon.
Az első négyzetbe építsen négy ugyanolyan háromszöget, mint az 1. ábrán. Ennek eredményeként két négyzetet kapunk: az egyiknek a oldala, a másodiknak oldala b.
A második négyzetben négy hasonló háromszög alkot egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a befogóval c.
A 2. ábrán megszerkesztett négyzetek területeinek összege megegyezik a 3. ábrán a c oldallal megszerkesztett négyzet területével. Ez könnyen ellenőrizhető az ábra négyzeteinek területeinek kiszámításával. 2 a képlet szerint. A beírt négyzet területe pedig a 3. ábrán úgy, hogy a négyzetbe írt négy egyenlő derékszögű háromszög területét kivonjuk egy oldalsó nagy négyzet területéből. (a+b).
Mindezt leírva a következőket kapjuk: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Bontsa ki a zárójeleket, végezze el az összes szükséges algebrai számítást, és kapja meg azt a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ugyanakkor a 3. ábrán beírt terület területe. négyzet a hagyományos képlettel is kiszámítható S=c2. Azok. a2+b2=c2 Bebizonyítottad a Pitagorasz-tételt.
Ugyanezt az ősi indiai bizonyítékot írja le a 12. században „A tudás koronája” („Siddhanta Shiromani”) című értekezésben, és fő érvként a szerző a hallgatók matematikai tehetségére és megfigyelőképességére irányuló felhívást használ. követői: „Nézd!”.
De ezt a bizonyítékot részletesebben elemezzük:
A négyzet belsejében építs négy derékszögű háromszöget a rajz szerint. A nagy négyzet oldalát, amely egyben a befogó is, jelöljük Val vel. Nevezzük a háromszög lábait aés b. A rajz szerint a belső négyzet oldala az (a-b).
Használja a négyzetterület képletét S=c2 a külső négyzet területének kiszámításához. És ugyanakkor számítsa ki ugyanazt az értéket a belső négyzet területének és a négy derékszögű háromszög területének összeadásával: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Mindkét lehetőséget használhatja egy négyzet területének kiszámításához, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ugyanazt az eredményt adják. És ez jogot ad arra, hogy ezt leírd c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. A megoldás eredményeként megkapjuk a Pitagorasz-tétel képletét c2=a2+b2. A tétel bizonyítást nyert.
Ezt a különös ősi kínai bizonyítékot „menyasszonyi széknek” nevezték el – az összes építményből származó székszerű alak miatt:
A második próba során a 3. ábrán már látott rajzot használja. A c oldalú belső négyzet pedig ugyanúgy van megszerkesztve, mint a fentebb megadott ősi indiai bizonyításban.
Ha gondolatban levágott két zöld derékszögű háromszöget az 1. ábra rajzából, helyezze át őket ellentétes oldalak csatlakoztassunk egy c oldalú négyzetet az orgona háromszögek befogóihoz, kapunk egy „menyasszonyi szék” nevű figurát (2. ábra). Az egyértelműség kedvéért ugyanezt megteheti papír négyzetekkel és háromszögekkel. Látni fogja, hogy a "menyasszonyi szék" két négyzetből áll: kicsik, amelyeknek oldala van bés nagy oldalával a.
Ezek a konstrukciók lehetővé tették az ókori kínai matematikusok és az őket követők számára, hogy arra a következtetésre jutottak c2=a2+b2.
Ez egy másik módja annak, hogy geometrián alapuló megoldást találjunk a Pitagorasz-tételre. Ezt Garfield-módszernek hívják.
Szerkesszünk derékszögű háromszöget ABC. Ezt be kell bizonyítanunk BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Ehhez folytassa a lábát ACés építs fel egy szegmenst CD, ami egyenlő a lábbal AB. Alsó merőleges HIRDETÉS vonalszakasz ED. Szegmensek EDés AC egyenlőek. összekötni a pontokat Eés NÁL NÉL, szintén Eés TÓL TŐLés kap egy rajzot, mint az alábbi képen:
A torony bizonyításához ismét a már kipróbált módszerhez folyamodunk: kétféleképpen keressük meg a kapott figura területét, és egyenlővé tesszük a kifejezéseket.
Keresse meg egy sokszög területét EGY ÁGY megtehető az azt alkotó három háromszög területeinek összeadásával. És egyikük ERU, nemcsak téglalap alakú, hanem egyenlő szárú is. Ne feledkezzünk meg arról sem AB=CD, AC=EDés BC=CE- ez lehetővé teszi számunkra, hogy leegyszerűsítsük a felvételt, és ne terheljük túl. Így, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy EGY ÁGY egy trapéz. Ezért a területét a következő képlet segítségével számítjuk ki: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Számításainkhoz kényelmesebb és áttekinthetőbb a szegmens ábrázolása HIRDETÉS mint a szegmensek összege ACés CD.
Írjuk fel mindkét módszert az ábra területének kiszámítására úgy, hogy egyenlőségjelet teszünk közéjük: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Az egyszerűsítéshez a már általunk ismert és fentebb leírt szegmensek egyenlőségét használjuk jobb oldal bejegyzés: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. És most kinyitjuk a zárójeleket, és átalakítjuk az egyenlőséget: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Az összes átalakítás után pontosan azt kapjuk, amire szükségünk van: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. A tételt bebizonyítottuk.
Természetesen a bizonyítékok listája még korántsem teljes. A Pitagorasz-tétel vektorok segítségével is igazolható, komplex számok, differenciálegyenletek, sztereometria stb. És még a fizikusok is: ha például folyadékot öntünk a rajzokon láthatóhoz hasonló négyzet és háromszög alakú térfogatokba. Folyadék öntésével igazolható a területek egyenlősége és ennek eredményeként maga a tétel.
Ezt a kérdést az iskolai tanterv kevéssé vagy egyáltalán nem vizsgálja. Eközben nagyon érdekes és van nagyon fontos a geometriában. A Pitagorasz-hármasokat számos matematikai probléma megoldására használják. Ezek ötlete hasznos lehet a továbbképzésben.
Tehát mik azok a Pitagorasz-hármasok? Így hívják egész számok, hármasban gyűjtjük, amelyek közül kettő négyzeteinek összege egyenlő a négyzet harmadik számával.
A Pitagorasz-hármasok lehetnek:
Az ókori egyiptomiakat már korszakunk előtt is lenyűgözte a Pitagorasz-hármasok számmániája: a feladatokban egy derékszögű háromszöget vettek figyelembe, amelynek oldalai 3,4 és 5 egységnyiek. Egyébként minden olyan háromszög, amelynek oldalai megegyeznek a Pitagorasz-hármasból származó számokkal, alapértelmezés szerint téglalap alakú.
Példák a Pythagorean-hármasokra: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) stb.
A Pitagorasz-tétel nemcsak a matematikában, hanem az építészetben és az építőiparban, a csillagászatban, sőt az irodalomban is alkalmazható.
Először is a konstrukcióról: a Pitagorasz-tétel széleskörű alkalmazást talál benne problémákban különböző szinteken nehézségek. Például nézze meg a román stílusú ablakot:
Jelöljük az ablak szélességét mint b, akkor a nagy félkör sugarát így jelölhetjük Rés kifejezni keresztül b: R=b/2. A kisebb félkörök sugara kifejezhető kifejezésekkel is b: r=b/4. Ebben a feladatban minket az ablak belső körének sugara érdekel (nevezzük p).
A Pitagorasz-tétel csak jól jön a számításhoz R. Ehhez egy derékszögű háromszöget használunk, amelyet az ábrán pontozott vonal jelöl. A háromszög hipotenusza két sugárból áll: b/4+p. Az egyik láb egy sugár b/4, egy másik b/2-p. A Pitagorasz-tétel segítségével ezt írjuk: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Ezután kinyitjuk a zárójeleket, és megkapjuk b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Alakítsuk át ezt a kifejezést a következőre bp/2=b 2 /4-bp. És akkor felosztjuk az összes kifejezést b, hasonlókat adunk kapni 3/2*p=b/4. És a végén azt találjuk p=b/6- amire szükségünk volt.
A tétel segítségével kiszámíthatja a szarufák hosszát egy nyeregtetőhöz. Határozza meg a torony magasságát mobil kommunikáció szükséges a jel eléréséhez helység. És még stabilan is telepíthető karácsonyfa a város főterén. Mint látható, ez a tétel nemcsak a tankönyvek lapjain él, hanem gyakran hasznos is való élet.
Ami az irodalmat illeti, a Pitagorasz-tétel már az ókor óta ihlette az írókat, és így van ez ma is. Például a tizenkilencedik századi német írónőt, Adelbert von Chamissót ő ihlette meg egy szonett megírására:
Az igazság fénye nem oszlik el egyhamar,
De miután ragyogott, nem valószínű, hogy eloszlik
És mint több ezer évvel ezelőtt,
Nem okoz kétségeket és vitákat.
A legbölcsebb, ha megérinti a szemet
Az igazság fénye, hála az isteneknek;
És száz bika, leszúrva, hazudik -
A szerencsés Pythagoras viszonzási ajándéka.
Azóta a bikák kétségbeesetten üvöltenek:
Örökre felkeltette a bika törzset
itt említett esemény.
Azt hiszik, itt az ideje
És ismét feláldozzák őket
Valami nagyszerű tétel.
(fordította: Viktor Toporov)
A huszadik században pedig Jevgenyij Veltisztov szovjet író "Az elektronika kalandjai" című könyvében egy egész fejezetet szentelt a Pitagorasz-tétel bizonyításának. És egy fél fejezet a történetből a kétdimenziós világról, amely létezhetne, ha a Pitagorasz-tétel egyetlen világ alaptörvényévé, sőt vallásává válna. Sokkal könnyebb lenne benne élni, de sokkal unalmasabb is: ott például senki sem érti a „kerek” és a „bolyhos” szavak jelentését.
A „The Adventures of Electronics” című könyvben pedig a szerző Taratara matematikatanár száján keresztül ezt mondja: „A matematikában a legfontosabb a gondolatok mozgása, az új ötletek.” Ez a kreatív gondolatmenet generálja a Pitagorasz-tételt – nem hiába van annyi sokféle bizonyítéka. Segít túllépni a megszokotton, és új szemmel nézni az ismerős dolgokat.
Ezt a cikket azért hoztuk létre, hogy Ön tovább nézhessen iskolai tananyag matematikából, és nemcsak a Pitagorasz-tétel azon bizonyításait tanulja meg, amelyeket a „Geometria 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) és a „Geometry 7-11” (A.V. Pogorelov) tartalmaz, hanem és más érdekes bizonyítási módokat is. a híres tétel. És lásson példákat arra is, hogyan alkalmazható a Pitagorasz-tétel a mindennapi életben.
Először is, ez az információ lehetővé teszi, hogy magasabb pontszámokat szerezzen a matematika órákon – a témával kapcsolatos további forrásokból származó információkat mindig nagyra értékeljük.
Másodszor, segíteni akartunk Önnek abban, hogy átérezhesse a matematikát érdekes tudomány. Győződjön meg róla konkrét példák hogy mindig van hely a kreativitásnak. Reméljük, hogy a Pitagorasz-tétel és ez a cikk ösztönözni fogja Önt saját kutatásaira és izgalmas felfedezéseire a matematika és más tudományok területén.
Mondja el nekünk a megjegyzésekben, ha érdekesnek találta a cikkben bemutatott bizonyítékokat. Hasznosnak találta ezeket az információkat tanulmányai során? Ossza meg velünk, mit gondol a Pitagorasz-tételről és erről a cikkről – mindezt szívesen megbeszéljük Önnel.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A geometria nem könnyű tudomány. Hasznos lehet mind az iskolai tantervben, mind a való életben. Számos képlet és tétel ismerete leegyszerűsíti a geometriai számításokat. A geometriában az egyik legegyszerűbb alakzat a háromszög. A háromszögek egyik fajtája, az egyenlő oldalú, saját jellemzőkkel rendelkezik.
Definíció szerint a háromszög olyan poliéder, amelynek három szöge és három oldala van. Ez egy lapos kétdimenziós figura, tulajdonságait tanulmányozzák Gimnázium. A szög típusa szerint hegyesszögű, tompaszögű és derékszögű háromszögeket különböztetünk meg. A derékszögű háromszög olyan geometriai alakzat, amelyben az egyik szög 90º. Egy ilyen háromszögnek két lába van (derékszöget hoznak létre), és egy hipotenusza (szemben van). derékszög). Attól függően, hogy milyen mennyiségek ismertek, három van egyszerű módokon Számítsd ki egy derékszögű háromszög befogóját!
A Pitagorasz-tétel a legrégebbi módszer a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítására. Ez így hangzik: "Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével." Így a hipotenúza kiszámításához le kell vezetni Négyzetgyök egy négyzet két lábának összegéből. Az érthetőség kedvéért képleteket és diagramot adunk meg.
A derékszögű háromszög egyik tulajdonsága azt mondja, hogy a láb hosszának és a befogó hosszának aránya megegyezik a láb és a befogó közötti szög koszinuszával. Nevezzük az általunk ismert szöget α-nak. Most a jól ismert definíciónak köszönhetően könnyen megfogalmazhatunk egy képletet a hipotenúza kiszámításához: Hypotenuse = láb/cos(α)
Ha ismerjük az ellentétes szöget, akkor ismét használható a derékszögű háromszög tulajdonságai. A lábszár és a befogó hosszának aránya megegyezik az ellentétes szög szinuszával. Nevezzük újra az ismert szöget α-nak. Most a számításokhoz egy kissé eltérő képletet alkalmazunk:
Hipoténusz = láb/bűn (α)
Az egyes képletek mélyebb megértéséhez érdemes megfontolni szemléltető példák. Tehát tegyük fel, hogy adott egy derékszögű háromszög, ahol ilyen adatok vannak:
A Pitagorasz-tétel szerint: Hipoténusz \u003d négyzetgyök (36 + 64) \u003d 10 cm.
A láb mérete és a beépített szög szerint: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
A láb mérete és az ellenkező szög szerint: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
A képlet megértése után könnyen kiszámíthatja a hipotenuszt bármilyen adattal.
Videó: Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tétel bizonyításának különféle módjai
9. „A” osztályos tanuló
MOU középiskola №8
Tudományos tanácsadó:
matematika tanár,
MOU középiskola №8
Művészet. Új karácsony
Krasznodar terület.
Művészet. Új karácsony
MEGJEGYZÉS.
A Pitagorasz-tétel joggal tekinthető a geometria során a legfontosabbnak, és kiemelt figyelmet érdemel. Ez az alapja számos geometriai probléma megoldásának, alapja az elméleti ill gyakorlati tanfolyam geometria a jövőben. A tételt megjelenésével és bizonyítási módszereivel kapcsolatos leggazdagabb történeti anyag veszi körül. A geometria fejlődéstörténetének tanulmányozása megszeretteti ezt a tárgyat, hozzájárul a kognitív érdeklődés, az általános kultúra és a kreativitás fejlesztéséhez, valamint fejleszti a kutatási készségeket.
A kutatási tevékenység eredményeként megvalósult a munka célja, amely a Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó ismeretek pótlása, általánosítása. Sikerült megtalálni és áttekinteni különböző módokon tankönyvek lapjain túlmutató bizonyítékok és ismeretek elmélyítése a témában.
Az összegyűjtött anyag még inkább meggyőz arról, hogy a Pitagorasz-tétel a geometria nagy tétele, hatalmas elméleti ill. gyakorlati érték.
Bevezetés. Történeti hivatkozás 5 Főtörzs 8
3. 19. következtetés
4. Felhasznált irodalom 20
1. BEMUTATKOZÁS. TÖRTÉNETI HIVATKOZÁS.
Az igazság lényege, hogy nekünk örökre szól,
Amikor az ő belátásában legalább egyszer meglátjuk a fényt,
És a Pitagorasz-tétel annyi év után
Nekünk, mint neki, vitathatatlan, kifogástalan.
Az ünneplésre Pythagoras fogadalmat adott az isteneknek:
A végtelen bölcsesség megérintésére,
Száz bikát vágott le, hála az örökkévalóknak;
Utána imát és dicséretet mondott az áldozatnak.
Azóta a bikák, ha szagot éreznek, lökdösik,
Ami ismét az új igazsághoz vezeti az embereket,
Dühösen ordítanak, így nincs vizelet, amit hallgatni lehetne,
Az ilyen Pythagoras örökre rettegést keltett bennük.
Bikák, akik nem képesek ellenállni az új igazságnak,
Ami marad? - Csak csukd be a szemed, ordíts, remegj.
Nem ismert, hogy Pythagoras hogyan igazolta tételét. Annyi bizonyos, hogy az egyiptomi tudomány erős hatása alatt fedezte fel. különleges eset a Pitagorasz-tételt - a 3, 4 és 5 oldalú háromszög tulajdonságait - a piramisépítők már jóval Pitagorasz születése előtt ismerték, míg ő maga több mint 20 évig tanult egyiptomi papoknál. Van egy legenda, amely szerint Pythagoras, miután bebizonyította híres tételét, egy bikát áldozott fel az isteneknek, és más források szerint akár 100 bikát is. Ez azonban ellentmond a Pythagoras erkölcsi és vallási nézeteiről szóló információknak. Az irodalmi forrásokban az olvasható, hogy "még az állatok megölését is megtiltotta, és még inkább az etetést, mert az állatoknak is van lelke, mint nekünk". Pythagoras csak mézet, kenyeret, zöldségeket és néha halat evett. Mindezekkel kapcsolatban a következő szócikk tekinthető hihetőbbnek: "... és még amikor felfedezte, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó a lábaknak felel meg, búzatésztából készült bikát áldozott fel."
A Pitagorasz-tétel népszerűsége olyan nagy, hogy bizonyításai még a szépirodalomban is megtalálhatók, például a híres angol író, Huxley „Fiatal Archimedes” történetében. Ugyanezt a bizonyítást, de egy egyenlő szárú derékszögű háromszög sajátos esetére, Platón Meno dialógusa adja.
Mesebeli ház.
„Távol-messzi, ahol még repülők sem repülnek, a Geometria országa. Ebben a szokatlan országban volt egy csodálatos város - Teorem városa. Egy nap megérkeztem ebbe a városba gyönyörű lány Hypotenuse néven. Próbált szobát szerezni, de bárhová is jelentkezett, mindenhol elutasították. Végül a rozoga házhoz lépett, és bekopogott. Egy férfi nyitotta meg, aki Derékszögnek nevezte magát, és meghívta a Hypotenuszt, hogy éljen vele. A hypotenus abban a házban maradt, ahol Right Angle és két kisfia, Katet élt. Azóta az élet a Derékszögű Házban új módon változott. A hypotenus virágokat ültetett az ablakba, és vörös rózsákat terített az előkertbe. A ház derékszögű háromszög alakú volt. Mindkét lábának nagyon tetszett Hypotenuse, és arra kérte, maradjon örökre a házukban. Esténként ez a barátságos család összegyűlik a családi asztalnál. Néha Right Angle bújócskát játszik a gyerekeivel. Leggyakrabban meg kell néznie, és a hipoténusz olyan ügyesen bújik meg, hogy nagyon nehéz lehet megtalálni. Egyszer egy játék során Right Angle észrevett egy érdekes tulajdonságot: ha sikerül megtalálnia a lábakat, akkor nem nehéz megtalálni a hipotenuzát. Tehát a Right Angle ezt a mintát, azt kell mondanom, nagyon sikeresen használja. A Pitagorasz-tétel ennek a derékszögű háromszögnek a tulajdonságán alapul.
(A. Okunev „Köszönjük a leckét, gyerekek” című könyvéből).
A tétel játékos megfogalmazása:
Ha kapunk egy háromszöget
És ráadásul derékszöggel,
Ez a hipotenusz négyzete
Mindig könnyen megtaláljuk:
A lábakat négyzetbe építjük,
Megtaláljuk a fokok összegét -
És ilyen egyszerű módon
Az eredményre jövünk.
A 10. osztályban az algebrát, az elemzés és geometria kezdeteit tanulmányozva meggyőződtem arról, hogy a 8. osztályban vizsgált Pitagorasz-tétel bizonyítási módszere mellett más bizonyítási módok is léteznek. Megfontolásra ajánlom őket.
2. FŐ RÉSZ.
Tétel. Négyzet derékszögű háromszögben
A hipotenusz egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.
1 ÚT.
A sokszögek területének tulajdonságait felhasználva figyelemreméltó kapcsolatot állapítunk meg egy derékszögű háromszög befogója és lábai között.
Bizonyíték.
a, beés hypotenusa Val vel(1. ábra, a).
Bizonyítsuk be c²=a²+b².
Bizonyíték.
Egészítjük ki a háromszöget egy oldalsó négyzetté a + bábrán látható módon. 1b. Ennek a négyzetnek S területe (a + b)². Másrészt ez a négyzet négy egyenlő derékszögű háromszögből áll, amelyek mindegyikének területe ½ ó, és egy négyzet oldallal Val vel, szóval S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
Ily módon
(a + b)² = 2 av + s²,
c²=a²+b².
A tétel bizonyítást nyert.
2 ÚT.
A „Hasonló háromszögek” témakör tanulmányozása után rájöttem, hogy a háromszögek hasonlósága alkalmazható a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Nevezetesen azt az állítást használtam, hogy egy derékszögű háromszög szára a derékszög csúcsából húzott magasság és a szár közé zárt befogó és a befogószakasz közötti arányos átlag.
Tekintsünk egy C derékszögű derékszögű háromszöget, a CD a magasság (2. ábra). Bizonyítsuk be AC² + SW² = AB²
.
Bizonyíték.
A derékszögű háromszög lábára vonatkozó állítás alapján:
AC = , CB = .
Négyzetre emeljük és összeadjuk a kapott egyenlőségeket:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), ahol AD + DB = AB, akkor
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
A bizonyítás kész.
3 ÚT.
A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinuszának meghatározása alkalmazható a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Tekintsük a Fig. 3.
Bizonyíték:
Legyen ABC egy adott derékszögű C derékszögű háromszög. Rajzoljunk egy CD magasságú C-t a C derékszög csúcsából.
A szög koszinuszának meghatározása szerint:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Ezért AB * AD = AC²
Hasonlóképpen,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
Ezért AB * BD \u003d BC².
Ha a kapott egyenlőségeket tagonként összeadjuk, és észrevesszük, hogy AD + DВ = AB, kapjuk:
AC² + nap² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
A bizonyítás kész.
4 ÚT.
Az "Egy derékszögű háromszög oldalainak és szögeinek arányai" témakör tanulmányozása után úgy gondolom, hogy a Pitagorasz-tétel más módon is bizonyítható.
Tekintsünk egy derékszögű háromszöget lábakkal a, beés hypotenusa Val vel. (4. ábra).
Bizonyítsuk be c²=a²+b².
Bizonyíték.
bűn B= légkondicionálás ; kötözősaláta B= mint , majd a kapott egyenlőségeket négyzetre emelve kapjuk:
sin² B= in²/s²; cos² NÁL NÉL\u003d a² / s².
Ezeket összeadva a következőket kapjuk:
sin² NÁL NÉL+ cos² B= v² / s² + a² / s², ahol sin² NÁL NÉL+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², ezért
c² = a² + b².
A bizonyítás kész.
5 ÚT.
Ez a bizonyítás a lábakra épített négyzetek kivágásán (5. ábra) és a kapott részeknek a befogófelületre épített négyzetre való felrakásán alapul.
6 ÚT.
Bizonyítékra a katéton napépület BCD ABC(6. ábra). Tudjuk, hogy a hasonló ábrák területei a hasonló lineáris méretük négyzeteihez kapcsolódnak:
Az első egyenlőségből a másodikat kivonva azt kapjuk
c2 = a2 + b2.
A bizonyítás kész.
7 ÚT.
Adott(7. ábra):
ABS,= 90° , nap= a, AC=b, AB = c.
Bizonyít:c2 = a2 +b2.
Bizonyíték.
Hagyja a lábát b a. Folytassuk a szakaszt SW pontonként NÁL NÉLés építs egy háromszöget bmd hogy a pontok Més DE feküdt egy egyenes vonal egyik oldalán CDés emellett, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, akkor bmd= ABC két oldalon és a köztük lévő szögben. A pontok és M szegmensekkel összekötjük AM. Nekünk van MD CDés AC CD, egyenest jelent AC párhuzamos egyenessel MD. Mert MD< АС, majd egyenesen CDés AM nem párhuzamosak. Ezért, AMDC- téglalap alakú trapéz.
Az ABC derékszögű háromszögekben és bmd 1 + 2 = 90° és 3 + 4 = 90°, de mivel = =, akkor 3 + 2 = 90°; akkor AVM=180° - 90° = 90°. Kiderült, hogy a trapéz AMDC három nem átfedő derékszögű háromszögre osztva, majd a területaxiómákkal
(a+b)(a+b)
Az egyenlőtlenség összes tagját elosztva -vel, megkapjuk
ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
A bizonyítás kész.
8 ÚT.
Ez a módszer egy derékszögű háromszög befogóján és lábain alapul ABC. Megépíti a megfelelő négyzeteket, és bebizonyítja, hogy a hipotenuszra épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével (8. ábra).
Bizonyíték.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, eszközök, FBC= DBA.
Ily módon FBC=ABD(két oldalon és a köztük lévő szögben).
2) 
,
ahol AL DE, mivel a BD egy közös bázis, DL- teljes magasság.
3) 
, mivel az FB egy bázis, AB- teljes magasság.
4) 
5) Hasonlóképpen be lehet bizonyítani 
6) Termenként hozzáadva a következőket kapjuk:
, BC2
= AB2 + AC2
.
A bizonyítás kész.
9 ÚT.
Bizonyíték.
1) Hagyjuk ABDE- egy négyzet (9. ábra), amelynek oldala egyenlő egy derékszögű háromszög befogójával ABC (AB= c, BC = a, AC =b).
2) Hagyjuk DK időszámításunk előttés DK = nap, mivel 1 + 2 = 90° (mint egy derékszögű háromszög hegyesszögei), 3 + 2 = 90° (mint egy négyzet szöge), AB= BD(a tér oldalai).
Eszközök, ABC= BDK(hipotenúza és hegyesszög szerint).
3) Hagyjuk EL DC, AM EL. Könnyen bebizonyítható, hogy ABC = BDK = DEL = EAM (lábakkal aés b). Akkor KS= CM= ML= LK= a -b.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Val vel2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
A bizonyítás kész.
10 ÚT.
A bizonyítás elvégezhető egy figurán, amelyet tréfásan "Pitagorasz nadrágnak" hívnak (10. ábra). Az ötlet az, hogy a lábakra épített négyzeteket egyenlő háromszögekké alakítsák, amelyek együttesen alkotják a befogó négyzetét.
ABC eltolja, ahogy a nyíl mutatja, és felveszi a pozíciót KDN. Az ábra többi része AKDCB egyenlő egy négyzet területével AKDC- ez egy paralelogramma AKNB.
Paralelogramma modellt készített AKNB. A paralelogrammát a munka tartalmában vázolt módon eltoljuk. A paralelogramma egyenlő háromszöggé való átalakulásának bemutatásához a tanulók előtt levágunk egy háromszöget a modellen, és lefelé toljuk. Tehát a tér területe AKDC egyenlő a téglalap területével. Hasonlóképpen egy négyzet területét egy téglalap területére konvertáljuk.
Végezzünk transzformációt egy lábra épített négyzetre a(11. ábra, a):
a) a négyzetet egyenlő méretű paralelogrammává alakítjuk (11.6. ábra):
b) a paralelogramma egy negyed fordulatot elfordul (12. ábra):
c) a paralelogrammát egyenlő méretű téglalappá alakítjuk (13. ábra): 11 ÚT.
Bizonyíték:
PCL- egyenes (14. ábra);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
A bizonyítás vége .
12 ÚT.
Rizs. A 15. ábra a Pitagorasz-tétel egy másik eredeti bizonyítását szemlélteti.
Itt: ABC háromszög C derékszögű; vonalszakasz bf merőleges SWés ezzel egyenlő a szegmens LENNI merőleges ABés ezzel egyenlő a szegmens HIRDETÉS merőleges ACés egyenlő vele; pontokat F, C,D egy egyeneshez tartoznak; négyszögek ADFBés ACBE egyenlőek, mert ABF = EKB; háromszögek ADFés ÁSZ egyenlőek; mindkét egyenlő négyszögből kivonunk egy közös háromszöget ABC, kapunk
, c2 = a2 +
b2.
A bizonyítás kész.
13 ÚT.
Ennek a derékszögű háromszögnek a területe egyrészt egyenlő ,
másikkal, ,
3. KÖVETKEZTETÉS
A kutatási tevékenység eredményeként megvalósult a munka célja, amely a Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó ismeretek pótlása, általánosítása. A tankönyv lapjain túlmutató bizonyítási módokat, ismereteket elmélyítve lehetett találni és mérlegelni.
Az általam összegyűjtött anyag még meggyőzőbb, hogy a Pitagorasz-tétel a geometria nagy tétele, és nagy elméleti és gyakorlati jelentőséggel bír. Befejezésül szeretném elmondani: a hármasegy Pitagorasz-tételének népszerűségének oka a szépség, az egyszerűség és a jelentőség!
4. FELHASZNÁLT IRODALOM.
1. Szórakoztató algebra. . Moszkva "Nauka", 1978.
2. Heti oktatási és módszertani melléklet a „Szeptember elseje” című újság 24/2001.
3. Geometria 7-9. satöbbi.
4. Geometria 7-9. satöbbi.
A Pitagorasz-tétel animált bizonyítása az egyik alapvető Az euklideszi geometria tételei, a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolat megállapítása. Úgy gondolják, hogy ezt a görög matematikus, Pythagoras bizonyította be, akiről a nevét kapta (vannak más változatok is, különösen egy alternatív vélemény, hogy ez a tétel a Általános nézet Hippasus pitagoraszi matematikus fogalmazta meg).
A tétel ezt mondja:
Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével.
A háromszög befogójának hosszát jelöli c,és a lábak hossza mint aés b, a következő képletet kapjuk:
Így a Pitagorasz-tétel olyan összefüggést hoz létre, amely lehetővé teszi egy derékszögű háromszög oldalának meghatározását a másik kettő hosszának ismeretében. A Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esete, amely egy tetszőleges háromszög oldalai közötti kapcsolatot határozza meg.
A fordított állítás is bizonyításra kerül (más néven inverz Pitagorasz-tétel):
Bármely három olyan pozitív számra a, b és c, hogy a ? +b? = c ?, van egy derékszögű háromszög, amelynek a és b lábai és c hipotenusza.
A háromszög (3, 4, 5) vizuális bizonyítéka Chu Peiből Kr.e. 500-200. A tétel története négy részre osztható: Pitagorasz számok ismerete, derékszögű háromszög oldalarányának ismerete, szomszédos szögek arányának ismerete és a tétel bizonyítása.
Megalitikus építmények ie 2500 körül Egyiptomban és Észak-Európa, derékszögű háromszögeket tartalmaznak egész oldalakkal. Barthel Leendert van der Waerden sejtette, hogy akkoriban a Pitagorasz számokat algebrai úton találták meg.
2000 és 1876 között íródott papirusz Egyiptom Középső Királyságából Berlin 6619 olyan feladatot tartalmaz, amelynek megoldása a Pitagorasz-számok.
Nagy Hammurapi uralkodása alatt egy vibiloni tábla Plimpton 322, Kr.e. 1790 és 1750 között íródott sok bejegyzés található, amelyek szorosan kapcsolódnak a pitagoraszai számokhoz.
A Budhayana-szútrákban, amelyeket különböző változatok szerint az ie nyolcadik vagy második századra datálnak. Indiában algebrai úton levezetett Pitagorasz számokat, a Pitagorasz-tétel megfogalmazását és egy egyenlő szárú derékszögű háromszög geometriai bizonyítását tartalmazza.
Apastamba szútrái (i.e. 600 körül) tartalmazzák a Pitagorasz-tétel számszerű bizonyítását területszámítással. Van der Waerden úgy véli, hogy elődei hagyományain alapult. Albert Burko szerint ez a tétel eredeti bizonyítása, és azt sugallja, hogy Pythagoras meglátogatta Arakonit és lemásolta.
Pythagoras, akinek életéveit általában Kr. e. 569-475 között tüntetik fel. használ algebrai módszerek Pitagorasz számok kiszámítása Proklov Euklidészhez írt megjegyzései szerint. Proklosz azonban i.sz. 410 és 485 között élt. Thomas Giese szerint Pythagoras után öt évszázadon keresztül nincs utalás a tétel szerzőségére. Amikor azonban olyan szerzők, mint Plutarkhosz vagy Cicero a tételt Pythagorasnak tulajdonítják, úgy teszik, mintha a szerzőség széles körben ismert és biztos lenne.
Kr.e. 400 körül Proklosz szerint Platón módszert adott a Pitagorasz számok kiszámítására, az algebra és a geometria kombinálására. Kr.e. 300 körül, in Kezdetek Eukleidész, megvan a legrégebbi axiomatikus bizonyíték, amely a mai napig fennmaradt.
Valamikor ie 500 között íródott. és i.e. 200-ban, a "Chu Pei" (? ? ? ?) kínai matematikai könyv vizuálisan bizonyítja a Pitagorasz-tételt, amelyet Kínában gugu-tételnek (????) hívnak, egy oldalas háromszögre (3) , 4, 5). A Han-dinasztia uralkodása alatt, Kr.e. 202-től. i.sz. 220 előtt Pitagorasz számok szerepelnek a "Nine Sections of the Mathematical Art" című könyvben, a derékszögű háromszögek említésével együtt.
A tétel használatát először Kínában dokumentálják, ahol Gugu tételként (????) és Indiában, ahol Baskar tételeként ismerik.
Sokan azon vitatkoznak, hogy a Pitagorasz-tételt egyszer vagy többször fedezték fel. Boyer (1991) úgy véli, hogy a Shulba Szútrában található tudás mezopotámiai eredetű lehet.
Algebrai bizonyítás 
Négy derékszögű háromszögből négyzeteket alakítunk ki. A Pitagorasz-tétel száznál is több bizonyítása ismert. Itt a bizonyíték az ábra területére vonatkozó létezési tételen alapul:
Helyezzen el négy egyforma derékszögű háromszöget az ábrán látható módon.
Négyszög oldalakkal c négyzet, mivel két hegyesszög összege , a kiegyenesített szög pedig .
Az egész ábra területe egyrészt egyenlő az "a + b" oldalú négyzet területével, másrészt négy háromszög és a belső négyzet területeinek összegével .
Amit bizonyítani kell.
A háromszögek hasonlósága alapján 
Hasonló háromszögek használata. Hadd ABC egy derékszögű háromszög, amelyben a szög C egyenes, a képen látható módon. Rajzoljunk egy magasságot egy pontból c,és hívja H metszéspont egy oldallal AB. Háromszög alakult ki ACH mint egy háromszög ABC, mivel mindketten téglalap alakúak (a magasság definíciója szerint), és közös a szögük A, nyilván a harmadik szög is ugyanaz lesz ezekben a háromszögekben. Hasonlóképpen mirkuyuyuchy, háromszög CBH hasonló a háromszöghöz is ABC. A háromszögek hasonlóságából: Ha
Ezt így lehet írni
Ha ezt a két egyenlőséget összeadjuk, azt kapjuk
HB + c szor AH = c (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Más szóval a Pitagorasz-tétel:
Eukleidész bizonyítéka 
Euklidész bizonyítása az euklideszi "elvek"-ben, a paralelogrammák módszerével igazolt Pitagorasz-tételben. Hadd A, B, C derékszögű háromszög csúcsai, derékszöggel A. Dobj le egy merőlegest egy pontból A a befogóval ellentétes oldalra a befogóra épített négyzetben. A vonal a négyzetet két téglalapra osztja, amelyek mindegyikének területe megegyezik a lábakra épített négyzetekkel. fő gondolat a bizonyíték az, hogy a felső négyzetek azonos területű paralelogrammákká alakulnak, majd visszatérnek, és az alsó négyzetben téglalapokká alakulnak, és ismét azonos területűek.
Rajzoljunk szegmenseket CFés HIRDETÉS, háromszögeket kapunk BCFés BDA.
sarkok TAXIés TÁSKA- egyenes; pontokat C, Aés G kollineárisak. Ugyanilyen módon B, Aés H.
sarkok CBDés FBA- mindkettő egyenes, majd a szög ABD egyenlő a szöggel fbc, mivel mindkettő derékszög és szög összege ABC.
Háromszög ABDés FBC két oldal szintje és a köztük lévő szög.
Mert a pontok A, Kés L– kollineáris, a BDLK téglalap területe megegyezik a háromszög két területével ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Hasonlóképpen kapjuk CKLE = ACIH = AC 2
Az egyik oldalon a terület CBDE egyenlő a téglalapok területének összegével BDLKés CKLE, másrészt a tér területe BC2, vagy AB 2 + AC 2 = Kr.e. 2.
Differenciálok használata 
Differenciálok használata. A Pitagorasz-tételhez úgy juthatunk el, hogy megvizsgáljuk, hogyan befolyásolja egy oldal növekedése a befogó hosszát a jobb oldali ábra szerint, és egy kis számítást alkalmazunk.
Az oldal növekedése következtében a, hasonló háromszögekből végtelenül kicsi növekményre
Integrációt kapunk
Ha egy a= 0 akkor c = b, tehát az "állandó" az b 2. Akkor
Mint látható, a négyzetek a növekmények és az oldalak arányából származnak, míg az összeg az oldalak növekményeinek független hozzájárulásának eredménye, amely nem derül ki a geometriai bizonyítékokból. Ezekben az egyenletekben daés dc rendre az oldalak végtelen kis növekményei aés c. De helyettük mi használjuk? aés? c, akkor az arány határa, ha nullára hajlanak da / dc, származéka, és egyenlő is c / a, a háromszögek oldalhosszának arányát, eredményül kapjuk differenciálegyenlet.
Ortogonális vektorrendszer esetén egy egyenlőség lép fel, amelyet Pitagorasz-tételnek is neveznek:
Ha - Ezek egy vektor vetületei a koordináta tengelyekre, akkor ez a képlet egybeesik az euklideszi távolsággal, és azt jelenti, hogy a vektor hossza egyenlő az összetevői négyzetösszegének négyzetgyökével.
Ennek az egyenlőségnek analógját egy végtelen vektorrendszer esetén Parseval-egyenlőségnek nevezzük.
