Minden matematika vizsgára készülő diák számára hasznos lesz, ha megismétli a „Vonalok közötti szög keresése” témát. Amint a statisztikák azt mutatják, a tanúsítási teszt sikeres letételekor a sztereometria ezen szakaszában lévő feladatok nehézségeket okoznak egy nagy szám hallgatók. Ugyanakkor az egyenesek közötti szög megállapítását igénylő feladatok megtalálhatók az USE-ban alap- és profilszinten is. Ez azt jelenti, hogy ezeket mindenkinek meg kell tudnia oldani.
Az űrben 4 típus van relatív pozíció közvetlen. Egybeeshetnek, metszhetik egymást, lehetnek párhuzamosak vagy metszőek. A köztük lévő szög lehet hegyes vagy egyenes.
Az egységes államvizsgán vagy például a megoldásban a vonalak közötti szög megtalálásához a moszkvai és más városok iskolásai többféle módszert használhatnak a sztereometria ezen szakaszában a problémák megoldására. A feladatot klasszikus konstrukciókkal oldhatja meg. Ehhez érdemes elsajátítani a sztereometria alapvető axiómáit, tételeit. A tanulónak képesnek kell lennie logikus érvelés felépítésére és rajzok készítésére annak érdekében, hogy a feladatot egy planimetrikus feladathoz hozzák.
Alkalmazással is használhatja a vektor-koordináta módszert egyszerű képletek, szabályok és algoritmusok. Ebben az esetben a legfontosabb az összes számítás helyes végrehajtása. Fejlessze problémamegoldó készségeit a sztereometriában és más témákban iskolai tanfolyam segíteni fog neked oktatási projekt"Shkolkovo".
Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , akkor a vonalak közötti hegyesszöget a következőképpen határozzuk meg
Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 . Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2 .
Tétel. Az Ax + Vy + C \u003d 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB együtthatók arányosak. Ha С 1 = λС is, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.
Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete
Erre az egyenesre merőlegesen
Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:
Távolság ponttól vonalig
Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Vy + C \u003d 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:
.
Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:
(1)
Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:
A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,
majd megoldva a következőket kapjuk:
Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:
A tétel bizonyítást nyert.
Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.
Megoldás. Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.
Példa. Az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!
Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: 
; 4 x = 6 y-6;
2x – 3 év + 3 = 0;
A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: 
ahonnan b = 17. Összesen: . 
Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.
Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása
1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.
2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:
A két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg
3. Az egyenesek közötti szög Aés B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletek adnak meg
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg
Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első egyenes meredekségét le kell vonni a második egyenes meredekségéből.
Ha egy egyenes egyenleteit megadjuk Általános nézet
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
a köztük lévő szöget a képlet határozza meg
4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:
a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele a meredekségük egyenlősége:
k 1 = k 2 . (8)
b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordinátákon lévő együtthatók arányosak legyenek, azaz.
5. Két egyenes merőlegességének feltételei:
a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy meredekségeik reciprok nagyságúak és ellentétes előjelűek, azaz.
Ez a feltétel az űrlapba is beírható
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele az egyenlőség teljesülése
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást
1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!
Legyen két l és m egyenes egy derékszögű koordinátarendszerben az általános egyenletekkel: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
A normálvektorok ezekhez az egyenesekhez: = (A 1 , B 1) - az l egyeneshez,
= (A 2 , B 2) az m egyenesre.
Legyen j az l és m egyenesek közötti szög.
Mivel az egymásra merőleges oldalú szögek vagy egyenlőek, vagy összeadódnak p-vel, akkor 
, azaz cos j = .
Tehát bebizonyítottuk a következő tételt.
Tétel. Legyen j a síkban lévő két egyenes közötti szög, és ezeket az egyeneseket a derékszögű koordinátarendszerben az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + általános egyenletek adják meg. C 2 = 0. Ekkor cos j = 
.
Feladatok.
1) Készítsen képletet a vonalak közötti szög kiszámításához, ha:
(1) mindkét sor paraméteresen van megadva; (2) mindkét sor adott kanonikus egyenletek; (3) az egyik egyenest paraméteresen, a másikat az általános egyenlet adja meg; (4) mindkét egyenest a lejtőegyenlet adja.
2) Legyen j a síkban lévő két egyenes közötti szög, és ezeket az egyeneseket az y = k 1 x + b 1 és y =k 2 x + b 2 egyenletek adják a derékszögű koordinátarendszernek.
Ekkor tan j = .
3) Fedezze fel a derékszögű koordinátarendszerben az általános egyenletekkel megadott két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét, és töltse ki a táblázatot:
Egy pont és egy egyenes távolsága egy síkban.
Adjuk meg az l egyenest a Descartes-koordinátarendszerben az Ax + By + C = 0 általános egyenlettel. Határozzuk meg az M(x 0 , y 0) pont és az l egyenes távolságát!
Az M pont és az l egyenes távolsága a HM merőleges hossza (H н l, HM ^ l).
Az l egyeneshez tartozó vektor és normálvektor kollineáris, így | | = | | | | és | | = .
Legyenek a H pont koordinátái (x,y).
Mivel a H pont az l egyeneshez tartozik, akkor Ax + By + C = 0 (*).
A és a vektorok koordinátái: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - By , lásd (*))
Tétel. Adjuk meg az l egyenest a derékszögű koordinátarendszerben az Ax + By + C = 0 általános egyenlettel. Ekkor az M(x 0 , y 0) pont és az egyenes közötti távolságot a következő képlettel számítjuk ki: r (M; l) = .
Feladatok.
1) Készítsen képletet egy pont és az egyenes közötti távolság kiszámítására, ha: (1) az egyenes paraméteresen van megadva; (2) az egyenest a kanonikus egyenletek adják meg; (3) az egyenest a lejtőegyenlet adja meg.
2) Írja fel a Q(-2,4) középpontú 3x - y = 0 egyenest érintő kör egyenletét!
3) Írja fel a 2x + y - 1 = 0 és x + y + 1 = 0 egyenesek metszéspontja által alkotott szögeket felező egyenesek egyenleteit!
27. § A térbeli sík elemző meghatározása
Meghatározás. A sík normálvektora nem nulla vektort fogunk hívni, amelynek bármely képviselője merőleges az adott síkra.
Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy ha a vektor legalább egy képviselője merőleges a síkra, akkor a vektor összes többi képviselője merőleges erre a síkra.
Legyen adott egy derékszögű koordináta-rendszer a térben.
Legyen adott az a sík, = (A, B, C) – ennek a síknak a normálvektora, az M (x 0 , y 0 , z 0) pont az a síkhoz tartozik.
Az a sík bármely N(x, y, z) pontjára a és vektorok merőlegesek, azaz skaláris szorzat egyenlő nullával: = 0. Írjuk fel koordinátákban az utolsó egyenlőséget: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.
Legyen -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, akkor Ax + By + Cz + D = 0.
Vegyünk egy K (x, y) pontot úgy, hogy Ax + By + Cz + D \u003d 0. Mivel D \u003d -Ax 0 - 0 - Cz 0, akkor A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Mivel az irányított szakasz koordinátái = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy ^ , és ezért K н a.
Tehát bebizonyítottuk a következő tételt:
Tétel. A derékszögű koordinátarendszerben a tér bármely síkja definiálható az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) alakú egyenlettel, ahol (A, B, C) a a normálvektor koordinátáit erre a síkra.
Ennek a fordítottja is igaz.
Tétel. Bármely Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) formájú egyenlet a derékszögű koordinátarendszerben egy bizonyos síkot határoz meg, míg (A, B, C) a sík koordinátái. normálvektor erre a síkra.
Bizonyíték.
Vegyünk egy M pontot (x 0, y 0, z 0) úgy, hogy Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 és vektor = (A, B, C) ( ≠ q).
Egy sík (és csak egy) halad át a vektorra merőleges M ponton. Az előző tétel szerint ezt a síkot az Ax + By + Cz + D = 0 egyenlet adja.
Meghatározás. Az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) alakú egyenletet nevezzük. a sík általános egyenlete.
Példa.
Írjuk fel az M (0,2,4), N (1,-1,0) és K (-1,0,5) pontokon átmenő sík egyenletét!
1. Határozza meg a normálvektor koordinátáit a síkra (MNK)! Mivel a ´ vektorszorzat ortogonális a nem-kollineáris vektorokra és a vektorra, a vektor kollineáris a ´-ra.
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Tehát normálvektorként vegyük a = (-11, 3, -5) vektort.
2. Használjuk most az első tétel eredményeit:
ennek a síknak az egyenlete A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, ahol (A, B, C) a normálvektor koordinátái, (x 0) , y 0 , z 0) – a síkban elhelyezkedő pont koordinátái (például M pont).
11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0
11x + 3y - 5z + 14 = 0
Válasz: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Feladatok.
1) Írja fel a sík egyenletét, ha
(1) a sík az M (-2,3,0) ponton halad át párhuzamosan a 3x + y + z = 0 síkkal;
(2) a sík tartalmazza az (Ox) tengelyt, és merőleges az x + 2y – 5z + 7 = 0 síkra.
2) Írd fel egy három megadott ponton átmenő sík egyenletét!
28. § Féltér analitikai specifikációja*
Megjegyzés*. Valami síkot javítsanak ki. Alatt féltér egy adott sík egyik oldalán fekvő pontok halmazát fogjuk érteni, azaz két pont ugyanabban a féltérben van, ha az őket összekötő szakasz nem metszi az adott síkot. Ezt a síkot hívják ennek a féltérnek a határa. Adott sík és féltér unióját nevezzük zárt féltér.
Legyen egy derékszögű koordináta-rendszer rögzítve a térben.
Tétel. Adjuk meg az a síkot az Ax + By + Cz + D = 0 általános egyenlettel. Ekkor annak a két féltérnek az egyikét, amelyekre az a sík felosztja, az Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség adja meg. , a második félteret pedig az Ax + By + Cz + D egyenlőtlenség adja< 0.
Bizonyíték.
Ábrázoljuk az = (A, B, С) normálvektort az a síkra az ezen a síkon fekvő M (x 0, y 0, z 0) pontból: = , M н a, MN ^ a. A sík a teret két féltérre osztja: b 1 és b 2 . Nyilvánvaló, hogy az N pont e félterek egyikéhez tartozik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy N н b 1 .
Bizonyítsuk be, hogy a b 1 félteret az Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség határozza meg.
1) Vegyünk egy K(x,y,z) pontot a b 1 féltérben. Az Ð NMK szög a vektorok közötti szög és hegyes, ezért ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata pozitív: > 0. Írjuk fel ezt az egyenlőtlenséget koordinátákba: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, azaz Ax + By + Cy - Ax 0 - 0 - C z 0 > 0.
Mivel M н b 1, akkor Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, ezért -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Ezért az utolsó egyenlőtlenség a következőképpen írható fel: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Vegyünk egy L(x,y) pontot úgy, hogy Ax + By + Cz + D > 0.
Írjuk át az egyenlőtlenséget, D helyett (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (mivel M н b 1, akkor Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Az (x - x 0 ,y - y 0 , y - y 0 , z - z 0) koordinátákkal rendelkező vektor egy vektor , így az A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) kifejezés felfogható, mint a vektorok és a skaláris szorzata. Mivel a és vektorok skaláris szorzata pozitív, a köztük lévő szög hegyes és az L н b 1 pont.
Hasonlóképpen bebizonyítható, hogy a b 2 félteret az Ax + By + Cz + D egyenlőtlenség adja.< 0.
Megjegyzések.
1) Nyilvánvaló, hogy a fenti bizonyítás nem függ az a síkban lévő M pont megválasztásától.
2) Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a féltér különböző egyenlőtlenségekkel definiálható.
Ennek a fordítottja is igaz.
Tétel. Bármely Ax + By + Cz + D > 0 (vagy Ax + By + Cz + D) alakú lineáris egyenlőtlenség< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Bizonyíték.
Az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) egyenlet a térben egy a síkot határoz meg (lásd § ...). Ahogy az előző tételben bebizonyosodott, a két féltér közül az egyiket, amelyre a sík felosztja, az Ax Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség adja.
Megjegyzések.
1) Nyilvánvaló, hogy egy zárt féltér definiálható egy nem szigorú lineáris egyenlőtlenséggel, és bármely nem szigorú lineáris egyenlőtlenség a Descartes-koordináta-rendszerben egy zárt félteret határoz meg.
2) Bármely konvex poliéder definiálható zárt félterek metszéspontjaként (amelyek határai a poliéder lapjait tartalmazó síkok), vagyis analitikusan lineáris, nem szigorú egyenlőtlenségek rendszerével.
Feladatok.
1) Bizonyítsa be egy tetszőleges affin koordináta-rendszerre bemutatott két tételt!
2) Ennek fordítva igaz-e, hogy bármilyen rendszer nem szigorú lineáris egyenlőtlenségek konvex sokszöget határoz meg?
Egy gyakorlat.1) Fedezze fel két, általános egyenletekkel megadott sík egymáshoz viszonyított helyzetét a derékszögű koordinátarendszerben, és töltse ki a táblázatot!
Ó-ó-ó-ó-ó ... hát ócska, mintha magadban olvasnád a mondatot =) Viszont akkor a kikapcsolódás segít, főleg, hogy ma vettem megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, a cikk végére megőrizöm a vidám hangulatot.
Az az eset, amikor a terem kórusban énekel. Két sor lehet:
1) egyezés;
2) párhuzamos legyen: ;
3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .
Segítség a babáknak : emlékezzen a kereszteződés matematikai jelére, nagyon gyakran előfordul. A bejegyzés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.
Kezdjük az első esettel:
Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy ilyen "lambda" szám, hogy az egyenlőségek
Tekintsünk egyeneseket, és a megfelelő együtthatókból alkossunk három egyenletet: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.
Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója 
szorozzuk meg -1-gyel (az előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 
2-vel csökkentve ugyanazt az egyenletet kapjuk: .
A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:
Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: 
, de.
Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát: 
Az azonban világos, hogy.
És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:
Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, vagyis a "lambda"-nak NINCS olyan értéke, hogy az egyenlőségek teljesüljenek 
Tehát az egyenesekhez egy rendszert állítunk össze: 
Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , tehát a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.
Következtetés: a vonalak metszik egymást
Gyakorlati feladatokban az imént vizsgált megoldási séma használható. Egyébként nagyon hasonlít a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmushoz, amelyet a leckében megvizsgáltunk. A vektorok lineáris (nem) függésének fogalma. Vektoros alapon. De van egy civilizáltabb csomag is:
1. példa
Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét: 
Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:
a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: 
.
, tehát a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.
Minden esetre teszek egy követ mutatókkal a keresztútra:
A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kascsejhez, a Haláltalanhoz =)
b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait: 
A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy azonosak. Itt a determináns nem szükséges.
Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, míg .
Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség: 
Ily módon
c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait: 
Számítsuk ki a determinánst, amely ezen vektorok koordinátáiból áll: 
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.
A "lambda" arányossági tényező könnyen látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: 
.
Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:
A kapott érték kielégíti ezt az egyenletet (általában bármely szám kielégíti).
Így a vonalak egybeesnek.
Válasz:
Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta) szó szerint, pillanatok alatt megoldani a megfontolt problémát. Ebben a tekintetben nem látom okát, hogy felajánljak valamit egy önálló megoldásra, jobb, ha még egy fontos téglát rakunk a geometriai alapba:
Ennek tudatlanságáért a legegyszerűbb feladat szigorúan megbünteti a Rabló Csalogányt.
2. példa
Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!
Megoldás: Jelölje az ismeretlen sort betűvel. Mit mond erről a feltétel? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a "ce" egyenes irányítóvektora is alkalmas a "te" egyenes megszerkesztésére.
Kivesszük az irányvektort az egyenletből:
Válasz:
A példa geometriája egyszerűnek tűnik: 
Az analitikai ellenőrzés a következő lépésekből áll:
1) Ellenőrizzük, hogy az egyenesek azonos irányvektorral rendelkeznek-e (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).
2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.
Az analitikus ellenőrzés a legtöbb esetben könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan rájönnek, hogy a vonalak párhuzamosak rajz nélkül.
A mai önmegoldó példák kreatívak lesznek. Mert még mindig versenyezni kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle találós kérdés szerelmese.
3. példa
Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre
Van racionális és nem túl racionális megoldás is. A legrövidebb út a lecke végén van.
Dolgoztunk egy kicsit párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amely jól ismert az iskolai tantervből:
Ha egyenes 
pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek 
Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.
Itt van neked a kettős rendszer geometriai jelentése lineáris egyenletek két ismeretlennel két egymást metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.
4. példa
Keresse meg az egyenesek metszéspontját
Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.
A grafikus módszer az, hogy egyszerűen megrajzoljuk a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudjuk a metszéspontot: 
Íme a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit egy egyenes minden egyenletébe, oda és oda is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Valójában egy grafikus megoldást vettünk fontolóra lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.
A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy egy helyes és PONTOS rajz elkészítése időbe telik. Ráadásul néhány vonalat nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban lehet a notebook lapon kívül.
Ezért célszerűbb a metszéspontot keresni elemzési módszer. Oldjuk meg a rendszert: 
A rendszer megoldásához az egyenletek termikus összeadás módszerét alkalmaztuk. A megfelelő készségek fejlesztéséhez látogassa meg a leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?
Válasz:
Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.
5. példa
Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.
Ez egy „csináld magad” példa. A feladat kényelmesen több szakaszra osztható. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Írja fel az egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.
A cselekvési algoritmus kidolgozása számos geometriai feladatra jellemző, erre fogok ismételten összpontosítani.
Teljes megoldás és válasz az oktatóprogram végén:
Egy pár cipő még nem kopott el, hiszen a lecke második részéhez érkeztünk:
Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell a megadottal párhuzamos egyenest építeni, most pedig 90 fokkal elfordul a csirkecombokon lévő kunyhó:
6. példa
Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet egy ponton átmenő merőleges egyenesre!
Megoldás: Feltételezve ismert, hogy . Jó lenne megtalálni az egyenes irányvektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:
Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: , amely az egyenes irányítóvektora lesz.
Az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányítóvektorból állítjuk össze:
Válasz: 
Hajtsa ki a geometriai vázlatot:
Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.
Az oldat analitikai ellenőrzése:
1) Vonja ki az irányvektorokat az egyenletekből 
és a segítségével vektorok pontszorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .
Egyébként használhatsz normál vektorokat is, ez még egyszerűbb.
2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet 
.
Az ellenőrzést ismét könnyű verbálisan végrehajtani.
7. példa
Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! 
és pont.
Ez egy „csináld magad” példa. A feladatban több művelet is található, így kényelmes a megoldást pontról pontra rendezni.
A miénk mulatságos utazás folytatja:
Előttünk a folyó egy egyenes sávja, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton elérjük. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.
A távolságot a geometriában hagyományosan a görög "ro" betűvel jelölik, például: - az "em" pont és a "de" egyenes közötti távolság.
Távolság ponttól vonalig 
képlettel fejezzük ki
8. példa
Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát 
Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:
Válasz: 
Végezzük el a rajzot: 
A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. \u003d 1 cm (2 cella), akkor a távolság egy közönséges vonalzóval mérhető.
Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon rajz szerint:
A feladat annak a pontnak a koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest 
. Javaslom a műveletek önálló végrehajtását, azonban a megoldási algoritmust köztes eredményekkel vázolom:
1) Keress egy egyenest, amely merőleges egy egyenesre!
2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: 
.
Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.
3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által képletek a szakasz közepének koordinátáihoz megtalálja .
Nem lesz felesleges ellenőrizni, hogy a távolság is egyenlő-e 2,2 egység.
Számítási nehézségek adódhatnak, de a toronyban sokat segít a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a számolást közönséges törtek. Sokszor tanácsoltam és újra fogom ajánlani.
9. példa
Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között
Ez egy másik példa egy független megoldásra. Egy kis tipp: végtelenül sok megoldás létezik. Az óra végén kikérdezés, de jobb, ha saját maga próbálja kitalálni, azt hiszem, sikerült jól eloszlatnia a találékonyságát.
Bármi legyen is a sarok, akkor a jamb: 
A geometriában két egyenes közötti szöget vesszük a KISEBB szögnek, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szöget nem a metsző vonalak közötti szögnek tekintjük. És „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú karmazsin sarok.
Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike tekinthető köztük lévő szögnek.
Hogyan különböznek a szögek? Orientáció. Először is alapvetően fontos a sarok "görgetésének" iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .
Miért mondtam ezt? Úgy tűnik, meg lehet boldogulni a szög szokásos fogalmával. Az a helyzet, hogy azokban a képletekben, amelyekkel megtaláljuk a szögeket, könnyen negatív eredményt kaphatunk, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A negatív szög rajzán feltétlenül jelezni kell a tájolását (óramutató járásával megegyező irányba) nyíllal.
Hogyan lehet megtalálni a szöget két vonal között? Két munkaképlet létezik:
10. példa
Keresse meg a vonalak közötti szöget
Megoldásés 1. módszer
Tekintsünk két egyenest általános formában egyenletekkel: 
Ha egyenes nem merőleges, akkor orientált a köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki: 
Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányvektorai:
Ha , akkor a képlet nevezője eltűnik, és a vektorok merőlegesek lesznek, az egyenesek pedig merőlegesek. Éppen ezért a megfogalmazásban a vonalak nem merőlegessége miatt fenntartással éltek.
A fentiek alapján a megoldás kényelmesen két lépésben formalizálható:
1) Számítsa ki az egyenesek irányítóvektorainak skaláris szorzatát:
tehát a vonalak nem merőlegesek.
2) A vonalak közötti szöget a következő képlettel találjuk meg:
Használva inverz függvény könnyen megtalálhatja magát a sarkot. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd az ábrát). Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):
Válasz: 
A válaszban jelezze pontos érték, valamint egy számológép segítségével kiszámított hozzávetőleges érték (lehetőleg fokban és radiánban egyaránt).
Hát mínusz, tehát mínusz, rendben van. Íme egy geometriai ábra: 
Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladat feltételében az első szám egy egyenes, és a szög „csavarása” pontosan ebből indult ki.
Ha valóban pozitív szöget akarunk elérni, akkor az egyeneseket fel kell cserélni, azaz a második egyenletből kell átvenni az együtthatókat 
, és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie 
.
Ezt az anyagot egy olyan koncepciónak szentelték, mint a két egymást metsző egyenes közötti szög. Az első bekezdésben elmagyarázzuk, mi ez, és illusztrációkon mutatjuk be. Ezután elemezzük, hogyan találhatja meg ennek a szögnek a szinuszát, koszinuszát és magát a szöget (külön megvizsgáljuk a sík és a háromdimenziós tér eseteit), megadjuk a szükséges képleteket, és példákkal bemutatjuk, hogyan alkalmazzák őket pontosan. gyakorlatban.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ahhoz, hogy megértsük, mi a két egyenes metszéspontjában kialakult szög, fel kell idéznünk a szög, a merőlegesség és a metszéspont definícióját.
1. definíció
Két egyenest metszőnek nevezünk, ha van egy közös pont. Ezt a pontot a két egyenes metszéspontjának nevezzük.
Az egyes egyeneseket a metszéspont sugarakra osztja. Ebben az esetben mindkét vonal 4 szöget alkot, amelyek közül kettő függőleges, kettő pedig szomszédos. Ha ismerjük az egyik mértékét, akkor meg tudjuk határozni a többit is.
Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy az egyik szög egyenlő α-val. Ebben az esetben a vele függőleges szög is egyenlő lesz α-val. A fennmaradó szögek meghatározásához ki kell számítanunk a 180 ° - α különbséget. Ha α egyenlő 90 fokkal, akkor minden szög megfelelő lesz. A derékszögben metsző egyeneseket merőlegesnek nevezzük (a merőlegesség fogalmának külön cikket szentelünk).
Vessen egy pillantást a képre:
Folytassuk a fő definíció megfogalmazásával.
2. definíció
A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a két egyenest alkotó négy szög közül a kisebbik mértéke.
A definícióból le kell vonni egy fontos következtetést: a szög nagyságát ebben az esetben bármelyikkel fejezzük ki valós szám a (0 , 90 ] intervallumban. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a köztük lévő szög mindenképpen egyenlő 90 fokkal.
Az a képesség, hogy megtaláljuk a két metsző egyenes közötti szög mértékét, számos gyakorlati probléma megoldásához hasznos. A megoldási mód több lehetőség közül választható.
Kezdetnek vegyünk geometriai módszereket. Ha tudunk valamit a további szögekről, akkor az egyenlő vagy hasonló alakzatok tulajdonságait felhasználva a szükséges szöghez kapcsolhatjuk őket. Például, ha ismerjük egy háromszög oldalait, és ki kell számítanunk azon egyenesek közötti szöget, amelyeken ezek az oldalak találhatók, akkor a koszinusztétel alkalmas a megoldásra. Ha a feltételben derékszögű háromszögünk van, akkor a számításokhoz ismernünk kell a szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét is.
A koordináta-módszer nagyon kényelmes az ilyen típusú problémák megoldására is. Elmagyarázzuk, hogyan kell helyesen használni.
Van egy derékszögű (derékszögű) O x y koordinátarendszerünk két egyenessel. Jelöljük őket a és b betűkkel. Ebben az esetben az egyenesek bármilyen egyenlettel leírhatók. Az eredeti egyeneseknek van egy M metszéspontja. Hogyan határozzuk meg a kívánt szöget (jelöljük α-val) ezen vonalak között?
Kezdjük a szögkeresés alapelvének megfogalmazásával adott feltételek mellett.
Tudjuk, hogy az olyan fogalmak, mint az irányító és a normálvektor, szorosan kapcsolódnak az egyenes fogalmához. Ha megvan valamilyen egyenes egyenlete, akkor abból kivehetjük ezeknek a vektoroknak a koordinátáit. Ezt egyszerre két metsző egyenesre is megtehetjük.
A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a következőképpen határozható meg:
Most nézzük meg az egyes módszereket külön-külön.
1. Tegyük fel, hogy van egy a egyenes a → = (a x , a y) irányvektorral és egy b egyenes b → (b x , b y) irányvektorral. Most tegyünk félre két a → és b → vektort a metszéspontból. Ezek után látni fogjuk, hogy mindegyik a saját vonalán fog elhelyezkedni. Ezután négy lehetőségünk van a relatív helyzetükre. Lásd az illusztrációt:
Ha két vektor közötti szög nem tompa, akkor ez lesz az a szög, amelyre szükségünk van az a és b metsző egyenesek között. Ha tompaszögű, akkor a kívánt szög egyenlő lesz az a → , b → ^ szöggel szomszédos szöggel. Így α = a → , b → ^, ha a → , b → ^ ≤ 90 ° , és α = 180 ° - a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90 ° .
Abból kiindulva, hogy egyenlő szögek koszinuszai egyenlők, a kapott egyenlőségeket a következőképpen írhatjuk át: cos α = cos a → , b → ^ ha a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90° .
A második esetben redukciós képleteket használtunk. Ily módon
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Írjuk le az utolsó képletet szavakkal:
3. definíció
A két egymást metsző egyenes által alkotott szög koszinusza egyenlő lesz az irányvektorai közötti szög koszinuszának modulusával.
A két a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) vektor közötti szög koszinuszának képlete a következőképpen néz ki:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ebből származtathatjuk a két adott egyenes közötti szög koszinuszának képletét:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ezután magát a szöget a következő képlet segítségével találhatja meg:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Itt a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az adott egyenesek irányvektorai.
Mutassunk példát a probléma megoldására.
1. példa
Egy téglalap alakú koordinátarendszerben a síkon két egymást metsző a és b egyenes adott. Leírhatók az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R és x 5 = y - 6 - 3 paraméteres egyenletekkel . Számítsa ki e vonalak közötti szöget!
Megoldás
A feltételben van egy paraméteres egyenletünk, ami azt jelenti, hogy erre az egyenesre azonnal felírhatjuk irányvektorának koordinátáit. Ehhez meg kell vennünk az együtthatók értékeit a paraméternél, pl. az x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R egyenesnek a → = (4 , 1) irányvektora lesz.
A második egyenest az x 5 = y-6-3 kanonikus egyenlet segítségével írjuk le. Itt vehetjük át a koordinátákat a nevezőkből. Így ennek az egyenesnek van egy irányvektora b → = (5 , - 3) .
Ezután közvetlenül folytatjuk a szög meghatározását. Ehhez egyszerűen helyettesítse be a két vektor elérhető koordinátáit a fenti képletbe: α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . A következőket kapjuk:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Válasz: Ezek a vonalak 45 fokos szöget zárnak be.
Hasonló problémát megoldhatunk, ha megtaláljuk a normálvektorok közötti szöget. Ha van egy egyenesünk a normálvektorral n a → = (n a x, n a y) és egy b egyenesünk n b → = (n b x , n b y) normálvektorral, akkor a köztük lévő szög egyenlő lesz n a → és n b → vagy az a szög, amely n a → , n b → ^ szomszédos lesz. Ez a módszer a képen látható:
A metsző egyenesek és magának a szögnek a koszinuszának kiszámítására szolgáló képletek a normálvektorok koordinátái segítségével a következőképpen néznek ki:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Itt n a → és n b → két adott egyenes normálvektorát jelöli.
2. példa
Két egyenest adunk meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben a 3 x + 5 y - 30 = 0 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletekkel . Keresse meg a köztük lévő szög szinuszát, koszinuszát és magának a szögnek a nagyságát.
Megoldás
Az eredeti egyeneseket az A x + B y + C = 0 alakú normál egyenes egyenletek segítségével adjuk meg. Jelölje az n → = (A , B) normálvektort. Keressük meg az első normálvektor koordinátáit egy egyenesre, és írjuk fel: n a → = (3 , 5) . Az x + 4 y - 17 = 0 második egyenesre a normálvektor koordinátái n b → = (1 , 4) . Most adja hozzá a kapott értékeket a képlethez, és számítsa ki az összeget:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ha ismerjük egy szög koszinuszát, akkor a szinuszát az alap segítségével számíthatjuk ki trigonometrikus azonosság. Mivel az egyenesek által alkotott α szög nem tompa, akkor sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
Ebben az esetben α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Válasz: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Elemezzük az utolsó esetet - a vonalak közötti szög megállapítását, ha ismerjük az egyik egyenes irányítóvektorának és a másik normálvektorának koordinátáit.
Tegyük fel, hogy az a egyenesnek van egy irányvektora a → = (a x , a y) , és a b egyenesnek van egy normálvektora n b → = (n b x , n b y) . Ezeket a vektorokat el kell halasztanunk a metszésponttól, és meg kell fontolnunk az összes lehetőséget a relatív helyzetükhöz. Lásd a képen:
Ha az adott vektorok közötti szög nem nagyobb, mint 90 fok, akkor kiderül, hogy az a és b közötti szöget derékszögre egészíti ki.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , ha a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ha 90 foknál kisebb, akkor a következőket kapjuk:
a → , n b → ^ > 90 ° , majd a → , n b → ^ = 90 ° + α
Az egyenlő szögű koszinuszok egyenlőségének szabályával ezt írjuk:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° esetén.
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° - nál .
Ily módon
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Fogalmazzuk meg a következtetést.
4. definíció
A síkban metsző két egyenes közötti szög szinuszának meghatározásához ki kell számítanunk az első egyenes irányvektora és a második normálvektora közötti szög koszinuszának modulusát.
Írjuk fel a szükséges képleteket. Egy szög szinuszának megtalálása:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Maga a sarok megkeresése:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Itt a → az első sor irányvektora, és n b → a második sor normálvektora.
3. példa
Két egymást metsző egyenest az x - 5 = y - 6 3 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletek adnak meg . Keresse meg a metszésszöget.
Megoldás
A megadott egyenletekből vesszük az irányító és normálvektor koordinátáit. Kiderül, hogy a → = (- 5, 3) és n → b = (1, 4) . Vegyük az α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 képletet, és vegyük figyelembe:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Vegyük észre, hogy az előző feladatból vett egyenleteket pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de más módon.
Válasz:α = a r c sin 7 2 34
Itt van egy másik módszer a kívánt szög meghatározására az adott vonalak meredekségi együtthatói segítségével.
Van egy a egyenes, amelyet téglalap alakú koordinátarendszerben definiálunk az y = k 1 · x + b 1 egyenlet segítségével, és egy b egyenes, amelyet y = k 2 · x + b 2 definícióval definiálunk. Ezek meredekségű egyenesek egyenletei. A metszésszög meghatározásához használja a következő képletet:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , ahol k 1 és k 2 lejtési tényezők adott sorokat. Ennek a rekordnak a megszerzéséhez képleteket használtunk a szög meghatározására a normálvektorok koordinátáin keresztül.
4. példa
A síkban két egyenes metszi egymást, amelyeket az y = - 3 5 x + 6 és y = - 1 4 x + 17 4 egyenletek adnak meg. Számítsa ki a metszésszöget!
Megoldás
Egyeneseink meredeksége egyenlő k 1 = - 3 5 és k 2 = - 1 4 . Adjuk hozzá őket az α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 képlethez, és számítsuk ki:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Válasz:α = a r c cos 23 2 34
A bekezdés következtetéseiben meg kell jegyezni, hogy az itt megadott szögkereső képleteket nem kell fejből megtanulni. Ehhez elegendő ismerni az adott egyenesek vezetőinek és/vagy normálvektorainak koordinátáit, és ezek alapján meghatározni. különböző típusok egyenletek. De a szög koszinuszának kiszámítására szolgáló képleteket jobb megjegyezni vagy leírni.
Egy ilyen szög kiszámítása az irányvektorok koordinátáinak kiszámítására és az ezen vektorok által alkotott szög nagyságának meghatározására redukálható. Az ilyen példákhoz ugyanazt az érvelést használjuk, mint korábban.
Mondjuk van téglalap alakú rendszer helyen található koordináták háromdimenziós tér. Két a és b egyenest tartalmaz az M metszésponttal. Az irányvektorok koordinátáinak kiszámításához ismernünk kell ezen egyenesek egyenleteit. Jelölje az a → = (a x, a y, a z) és a b → = (b x, b y, b z) irányvektorokat. A köztük lévő szög koszinuszának kiszámításához a következő képletet használjuk:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
A szög meghatározásához a következő képletre van szükségünk:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5. példa
Van egy egyenes 3D térben az x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 egyenlet segítségével . Ismeretes, hogy az O z tengellyel metszi. Számítsa ki a metszésszöget és ennek a szögnek a koszinuszát!
Megoldás
Jelöljük α betűvel a kiszámítandó szöget. Írjuk fel az első egyenes irányvektorának koordinátáit - a → = (1 , - 3 , - 2) . Az applikációs tengelyhez a k → = (0 , 0 , 1) koordinátavektort vehetjük útmutatónak. Megkaptuk a szükséges adatokat, és hozzáadhatjuk a kívánt képlethez:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Ennek eredményeként azt kaptuk, hogy a szükséges szög egyenlő lesz a r c cos 1 2 = 45 °-kal.
Válasz: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
