A cikk részletezi az alapvető trigonometrikus azonosságokat, amelyek kapcsolatot teremtenek a sin , cos , t g , c t g között adott szög. Ha egy függvény ismert, azon keresztül egy másik is megtalálható.
Trigonometrikus azonosságok, amelyeket ebben a cikkben érdemes figyelembe venni. Az alábbiakban ezek származtatására mutatunk példát magyarázattal.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α g , 1 + α α 1 2 α c
Yandex.RTB R-A-339285-1
Beszéljünk egy fontos trigonometrikus azonosságról, amelyet a trigonometria alapjainak tekintenek.
sin 2 α + cos 2 α = 1
A megadott t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α egyenlőségeket a főből úgy vezetjük le, hogy mindkét részt elosztjuk sin 2 α-val és cos 2 α-val. Ekkor t g α \u003d sin α cos α, c t g α \u003d cos α sin α és t g α · c t g α \u003d 1 - ez a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióinak következménye.
A sin 2 α + cos 2 α = 1 egyenlőség a fő trigonometrikus azonosság. Ennek bizonyításához egységkörrel kell rátérni a témára.
Legyenek adottak az A pont koordinátái (1, 0), amely az α szöget átforgatva A 1 ponttá válik. Definíció szerint a sin és cos A 1 pont koordinátákat kap (cos α , sin α) . Mivel A 1 az egységkörön belül van, ezért a koordinátáknak ki kell elégíteniük ennek a körnek az x 2 + y 2 = 1 feltételét. A cos 2 α + sin 2 α = 1 kifejezésnek érvényesnek kell lennie. Ehhez minden α elforgatási szögre be kell bizonyítani az alapvető trigonometrikus azonosságot.
A trigonometriában a sin 2 α + cos 2 α = 1 kifejezést Pitagorasz-tételként használják a trigonometriában. Ehhez vegye figyelembe a részletes bizonyítékot.
Az egységkör segítségével az A pontot (1, 0) koordinátákkal az O középpont körül α szöggel elforgatjuk. Az elforgatás után a pont megváltoztatja a koordinátákat, és egyenlővé válik A 1 (x, y) értékkel. Az A 1 H merőleges egyenest az A 1 pontból O x-re engedjük le.
Az ábrán jól látható, hogy egy O A 1 H derékszögű háromszög alakult ki. Modulo az O A 1 H és az O H láb egyenlő, a rekord a következő formában lesz: | A 1 H | = | at | , | O N | = | x | . Az O A 1 hipotenusz értéke megegyezik az egységkör sugarával, | Körülbelül A 1 | = 1. Ezzel a kifejezéssel felírhatjuk az egyenlőséget a Pitagorasz-tétel szerint: | A 1 H | 2 + | O N | 2 = | Körülbelül A 1 | 2. Ezt az egyenlőséget úgy írjuk, hogy | y | 2 + | x | 2 = 1 2, ami azt jelenti, hogy y 2 + x 2 = 1.
A sin α = y és cos α = x definícióját felhasználva a pontok koordinátái helyett a szögadatokat helyettesítjük, és továbblépünk a sin 2 α + cos 2 α = 1 egyenlőtlenséghez.
A fő kapcsolat egy szög sin és cos között ezen a trigonometrikus azonosságon keresztül lehetséges. Így egy ismert cos-szal rendelkező szög bűnének tekinthető és fordítva. Ehhez fel kell oldani a sin 2 α + cos 2 \u003d 1 sin és cos függvényt, majd megkapjuk a sin α \u003d ± 1 - cos 2 α és cos α \u003d ± 1 - formájú kifejezéseket. sin 2 α, ill. Az α szög értéke határozza meg a kifejezés gyöke előtti előjelet. A részletes tisztázás érdekében olvassa el a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens kiszámításáról szóló részt. trigonometrikus képletek.
Leggyakrabban a fő képletet a trigonometrikus kifejezések átalakítására vagy egyszerűsítésére használják. A szinusz és a koszinusz négyzetösszegét 1-gyel helyettesíthetjük. Az identitáshelyettesítés lehet közvetlen és fordított sorrendben: az egység helyébe a szinusz és a koszinusz négyzetösszegének kifejezése lép.
A koszinusz és a szinusz, az érintő és a kotangens definíciójából látható, hogy ezek egymással összefüggenek, ami lehetővé teszi a szükséges mennyiségek külön-külön történő átszámítását.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
A definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz pedig az x abszcissza. Az érintő az ordináta és az abszcissza aránya. Így rendelkezünk:
t g α = y x = sin α cos α , és a kotangens kifejezés ellenkező jelentésű, azaz
c t g α = x y = cos α sin α .
Ebből következik, hogy a kapott t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α azonosságok sin és cos szögek felhasználásával vannak megadva. Az érintőt a szinusz és a köztük lévő szög koszinuszának arányának tekintjük, a kotangensnek pedig fordítva.
Vegye figyelembe, hogy t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α igaz minden olyan α szögre, amelynek értékei a tartományban vannak. A t g α \u003d sin α cos α képletből az α szög értéke különbözik π 2 + π · z-től, és c t g α \u003d cos α sin α veszi az α szög értékét, amely különbözik π · z-től. , z bármely egész szám értékét veszi fel.
Van egy képlet, amely megmutatja a szögek közötti kapcsolatot az érintőn és a kotangensen keresztül. Ez a trigonometrikus azonosság fontos a trigonometriában, és t g α · c t g α = 1-ként jelöljük. Értelmes α-nak bármilyen π 2 · z értéktől eltérő értéke, különben a függvények definiálatlanok lesznek.
A t g α · c t g α = 1 képletnek megvannak a maga sajátosságai a bizonyításban. A definícióból azt kapjuk, hogy t g α = y x és c t g α = x y , így t g α · c t g α = y x · x y = 1 . A kifejezést átalakítva és behelyettesítve t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .
Ekkor az érintő és a kotangens kifejezésének akkor van értelme, ha kölcsönösen reciprok számokat kapunk.
Az alapazonosságokat átalakítva arra a következtetésre jutunk, hogy az érintő a koszinuszon, a kotangens pedig a szinuszon keresztül kapcsolódik össze. Ez látható a t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α képletekből.
A definíció így hangzik: a szög érintőjének négyzetének és az 1-nek az összege egy törtnek felel meg, ahol a számlálóban van 1, a nevezőben pedig az adott szög koszinuszának négyzete, és az összeg a szög kotangensének négyzete fordítva. A sin 2 α + cos 2 α = 1 trigonometrikus azonosságnak köszönhetően a megfelelő oldalakat eloszthatjuk cos 2 α-val, és t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α kapjuk, ahol a cos 2 α értéke nem lehet nulla. A sin 2 α-val osztva az 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α azonosságot kapjuk, ahol a sin 2 α értéke nem lehet egyenlő nullával.
A fenti kifejezésekből azt kaptuk, hogy a t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α azonosság igaz az α szög minden olyan értékére, amely nem tartozik a π 2 + π z-hez, és 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α azokra az α értékekre, amelyek nem tartoznak a π · z intervallumhoz.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Lehet rendelni részletes megoldás a te feladatod!!!
Egy trigonometrikus függvény (`sin x, cos x, tg x` vagy `ctg x`) előjele alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőséget trigonometrikus egyenletnek nevezünk, és a képleteiket a továbbiakban megvizsgáljuk.
A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.
1. `sin x=a` egyenlet.
Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.
`|a|-val A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.
Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. "cos x=a" egyenlet
Amikor `|a|>1` - mint a szinusz esetén, megoldások között valós számok nem rendelkezik.
`|a|-val A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.
Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban. 
3. "tg x=a" egyenlet
Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.
Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. `ctg x=a` egyenlet
Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.
Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Szinusz esetén: 
A koszinuszhoz: 
Érintő és kotangens esetén: 
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:
Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két szakaszból áll:
Tekintsük a fő megoldási módszereket példákon keresztül.
Ebben a módszerben egy változó cseréje és egyenlőségre való behelyettesítése történik.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,
megtaláljuk a gyökereket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.
Megoldás. Mozgassa balra az egyenlőség minden tagját: `sin x+cos x-1=0`. Használatával a bal oldalt transzformáljuk és faktorizáljuk:
"sin x - 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",
Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Először is ezt a trigonometrikus egyenletet két alak egyikére kell hoznia:
"a sin x+b cos x=0" ( homogén egyenlet elsőfokú) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).
Ezután ossza fel mindkét részt `cos x \ne 0` az első esetben, és `cos^2 x \ne 0` a második esetben. `tg x` egyenleteket kapunk: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Megoldás. Írjuk fel jobb oldal, például `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Ez egy homogén, másodfokú trigonometrikus egyenlet, amelynek bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
"tg^2 x+tg x - 2=0". Vezessük be a `tg x=t` helyettesítést, ennek eredményeként `t^2 + t - 2=0`. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:
Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Megoldás. A kettős szögképleteket alkalmazva az eredmény: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
"4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0".
A fentiek alkalmazása algebrai módszer, kapunk:
Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Az `a sin x + b cos x =c` trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig változó, mindkét részt elosztjuk `sqrt (a^2+b^2)-vel:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".
A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzetük összege 1, modulusuk pedig nem nagyobb 1-nél. Jelölje őket a következőképpen: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, akkor:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Nézzük meg közelebbről a következő példát:
Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.
Megoldás. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, a következőt kapjuk:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".
Jelölje `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, a `\varphi=arcsin 4/5`-t vesszük segédszögnek. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:
"sin(x+\varphi)=2/5",
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ezek tört egyenlőségek, amelyek számlálóiban és nevezőiben trigonometrikus függvények találhatók.
Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlet jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
"\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0".
Tekintettel arra, hogy a nevező nem lehet nulla, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Egyenlítse a tört számlálóját nullával: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.
Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
A trigonometriát és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, mindig vannak feladatok a vizsgára, ezért próbálja meg emlékezni az összes képletre trigonometrikus egyenletek- biztosan jól jönnek!
Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg, hogy megértsük a lényeget, és tudjunk következtetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg Ön is a videó megtekintésével.
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.
Ez az okfejtés mindenki számára logikai sokkot okozott. a következő generációk. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösségnek még nem sikerült közös véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett a probléma általánosan elfogadott megoldása..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.
A matematika szempontjából Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.
Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani: "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát."
Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:
Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.
Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.
Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:
A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.
Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden pillanatban a tér különböző pontjain nyugszik, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Mire szeretnék fókuszálni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert különböző lehetőségeket adnak a felfedezésre.
A halmaz és a multihalmaz közötti különbségeket nagyon jól leírja a Wikipédia. Nézzük.
Mint látható, "a halmaznak nem lehet két egyforma eleme", de ha a halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt "multisetnek" nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az abszurditás ilyen logikáját. Ez a beszélő papagájok és kiképzett majmok szintje, ahol az elme hiányzik a „teljesen” szóból. A matematikusok hétköznapi oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.
Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban ültek a híd alatt a híd tesztelése közben. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.
Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.
Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és fizetünk. Itt egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. A teljes összeget megszámoljuk neki, és az asztalunkra rakjuk különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a "matematikai fizetési készletét". Magyarázzuk el a matematikát, hogy a többi számlát csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.
Először is működni fog a képviselői logika: "másokra alkalmazhatod, de rám nem!" Továbbá megkezdődik annak biztosítása, hogy az azonos címletű bankjegyeken különböző bankjegyszámok szerepelnek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Nos, a fizetést érmében számoljuk – az érméken nincsenek számok. Itt a matematikus görcsösen felidézi a fizikát: különböző érméken van különböző mennyiségben minden érme szennyeződése, kristályszerkezete és atomi elrendezése egyedi...
És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl egy multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik - mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt még csak közel sem.
Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területe azonos, ami azt jelenti, hogy van egy multikészletünk. De ha figyelembe vesszük az azonos stadionok nevét, akkor sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet egyszerre halmaz és multihalmaz is. Mennyire helyes? És itt a matematikus-sámán-shuller elővesz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk egy halmazról vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.
Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ők azért sámánok, hogy megtanítsák a leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.
Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a „Számjegyek összege” oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: "Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét." A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok alapvetően meg tudják oldani.
Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tegyük fel, hogy az 12345-ös számunk van. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.
1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot számgrafikus szimbólummá alakítottuk. Ez nem matematikai művelet.
2. Egy kapott képet több, külön számokat tartalmazó képre vágtunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.
3. Alakítsa át az egyes grafikus karaktereket számokká. Ez nem matematikai művelet.
4. Adja össze a kapott számokat. Ez most a matematika.
Az 12345-ös szám számjegyeinek összege 15. Ezek a matematikusok által használt "szabás- és varrótanfolyamok" a sámánoktól. De ez még nem minden.
A matematika szempontjából nem mindegy, hogy milyen számrendszerbe írjuk a számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. TÓL TŐL egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, vegye figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem fogunk minden lépést mikroszkóp alatt megvizsgálni, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.
Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez olyan, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben találná meg, teljesen más eredményt adna.
A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy . Kérdés a matematikusokhoz: hogyan jelölik a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül más nem létezik? A sámánoknak ezt megengedhetem, de a tudósoknak nem. A valóság nem csak a számokból áll.
A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel ahhoz vezetnek különböző eredményeketösszehasonlításuk után, akkor ennek semmi köze a matematikához.
Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám értékétől, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.
Jaj! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek határtalan szentségének tanulmányozására a mennybemenetelkor! Nimbus felül és nyíl felfelé. Milyen másik wc?
Nő... Egy halo a tetején és egy nyíl lefelé férfi.
Ha naponta többször felvillan a szemed előtt egy ilyen dizájnművészeti alkotás,
Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:
Én személy szerint arra törekszem, hogy mínusz négy fokot lássak egy kakiló emberben (egy kép) (több kép összeállítása: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És ezt a lányt nem tartom bolondnak, aki nem ismeri a fizikát. Csak egy íves sztereotípiája van a grafikus képek felfogásáról. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.
Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám a hexadecimális számrendszerben. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, a számot és a betűt automatikusan egyetlen grafikus szimbólumként érzékelik.
Trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát és fordítva. .
A trigonometrikus kifejezések konvertálásakor nagyon gyakran használják ezt az azonosságot, amely lehetővé teszi egy szög koszinuszának és szinuszának négyzetösszegének eggyel helyettesítését, valamint a csereművelet fordított sorrendben történő végrehajtását.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból alakulnak ki. Hiszen ha megnézed, akkor definíció szerint y ordinátája a szinusz, x abszcisszája pedig a koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz.
Hozzátesszük, hogy az azonosságok csak olyan \alpha szögeknél történnek, amelyeknél a benne foglalt trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám.
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra.
A fenti pontok alapján azt kapjuk tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Ebből következik tehát tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így az egyik szög érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen reciprok számok.
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és a \alpha szög kotangensének négyzete megegyezik az adott szög szinuszának inverz négyzetével. Ez az azonosság a \pi z kivételével bármely \alfára érvényes.
Keresse meg a \sin \alpha és a tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Megoldás megjelenítése
Megoldás
A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ennek az egyenletnek 2 megoldása van:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
A tg \alpha megtalálásához a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Megoldás megjelenítése
Megoldás
Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 feltételes szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
