A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket általában képletekkel oldják meg. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a következő trigonometrikus egyenleteket nevezzük a legegyszerűbbnek:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x a keresendő szög,
a tetszőleges szám.
És itt vannak azok a képletek, amelyekkel azonnal felírhatod ezeknek a legegyszerűbb egyenleteknek a megoldásait.
Szinusz esetén:
A koszinuszhoz:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Érintőhöz:
x = arctg a + π n, n ∈ Z
A kotangenshez:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Valójában ez a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának elméleti része. És az egész!) Egyáltalán semmit. Az ebben a témában előforduló hibák száma azonban csak tovább emelkedik. Főleg, ha a példa kissé eltér a sablontól. Miért?
Igen, mert sokan leírják ezeket a leveleket, anélkül, hogy megértené a jelentésüket! Félve ír le, bármi történjék is...) Ezzel foglalkozni kell. Trigonometria az embereknek, vagy emberek a trigonometria számára!?)
Találjuk ki?
Egy szög egyenlő lesz arccos a, második: -arccos a.
És ez mindig így fog működni. Bármilyen a.
Ha nem hiszi, vigye az egeret a kép fölé, vagy érintse meg a képet a táblagépen.) Megváltoztattam a számot a valamilyen negatívnak. Mindenesetre megvan az egyik sarkunk arccos a, második: -arccos a.
Ezért a válasz mindig két gyöksorozatként írható fel:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ezt a két sorozatot egyesítjük egybe:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
És minden. Kaptunk egy általános képletet a legegyszerűbb koszinuszos trigonometrikus egyenlet megoldására.
Ha megérted, hogy ez nem valamiféle szupertudományos bölcsesség, hanem csak egy rövidített rekord két válaszsorozatból, te és a feladatok "C" lesz a vállán. Egyenlőtlenségekkel, adott intervallum gyökeinek kiválasztásával... Ott a plusz/mínuszos válasz nem gördül. Ha pedig üzletszerűen kezeli a választ, és két külön válaszra bontja, akkor minden eldől.) Tulajdonképpen ezt megértjük. Mit, hogyan és hol.
A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletben
sinx = a
két gyökérsorozatot is kap. Mindig. És ezt a két sorozatot fel is lehet venni egy sor. Csak ez a sor lesz okosabb:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
De a lényeg ugyanaz marad. A matematikusok egyszerűen összeállítottak egy képletet, hogy a gyöksorozatok két rekordja helyett egyet készítsenek. És ez az!
Ellenőrizzük a matematikusokat? És ez nem elég...)
Az előző leckében részletesen elemeztük a trigonometrikus egyenlet szinuszos megoldását (képletek nélkül):
A válasz két gyökérsorozat volt:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ha ugyanazt az egyenletet a képlet segítségével oldjuk meg, a választ kapjuk:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Valójában ez egy félkész válasz.) A tanulónak tudnia kell ezt arcsin 0,5 = π /6. A teljes válasz a következő lenne:
x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z
Itt felvetődik egy érdekes kérdés. Válasz ezen keresztül x 1; x 2 (ez a helyes válasz!) és a magányoson keresztül x (és ez a helyes válasz!) - ugyanaz, vagy nem? Most megtudjuk.)
Helyettesítse válaszként a következővel: x 1 értékeket n =0; egy; 2; stb., figyelembe vesszük, egy sor gyökérsorozatot kapunk:
x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 stb.
Ugyanazzal a helyettesítéssel válaszul x 2 , kapunk:
x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 stb.
És most helyettesítjük az értékeket n (0; 1; 2; 3; 4...) a magányos általános képletébe x . Vagyis a mínusz egyest a nulla hatványra emeljük, majd az elsőre, a másodikra stb. És természetesen behelyettesítjük a 0-t a második tagba; egy; 2 3; 4 stb. És azt gondoljuk. Kapunk egy sorozatot:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 stb.
Csak ennyit láthat.) Az általános képlet azt adja nekünk pontosan ugyanazok az eredmények amely a két válasz külön-külön. Egyszerre, sorrendben. A matematikusok nem csaltak.)
A trigonometrikus egyenletek érintővel és kotangenssel történő megoldására szolgáló képletek is ellenőrizhetők. De ne tegyük.) Olyan igénytelenek.
Mindezt a helyettesítést és ellenőrzést szándékosan festettem le. Itt fontos megérteni egyet egyszerű dolog: vannak képletek az elemi trigonometrikus egyenletek megoldására, csak a válaszok összefoglalása. Ehhez a rövidséghez a koszinusz-oldatba plusz/mínusz, a szinusz-oldatba pedig (-1) n-t kellett beszúrnom.
Ezek a betétek semmilyen módon nem zavarnak olyan feladatokat, ahol csak egy elemi egyenletre kell felírni a választ. De ha meg kell oldania egy egyenlőtlenséget, vagy tennie kell valamit a válasszal: válasszon ki gyököket egy intervallumon, ellenőrizze az ODZ-t stb., ezek a betétek könnyen elbizonytalaníthatják az embert.
És mit kell tenni? Igen, vagy fesse le a választ két sorozatban, vagy oldja meg az egyenletet / egyenlőtlenséget egy trigonometrikus körben. Aztán ezek a betétek eltűnnek, és az élet könnyebbé válik.)
Összegezheted.
A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására kész válaszképletek állnak rendelkezésre. Négy darab. Arra jók, hogy azonnal felírjuk a megoldást egy egyenletbe. Például meg kell oldania a következő egyenleteket:
sinx = 0,3
Könnyen: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nincs mit: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Könnyen: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Egy maradt: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ha tudástól ragyogva, azonnal írd meg a választ:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
akkor már ragyogsz, ez a ... az ... egy tócsából.) A helyes válasz: nincsenek megoldások. Nem értem miért? Olvassa el, mi az arccosine. Ezenkívül, ha az eredeti egyenlet jobb oldalán szinusz, koszinusz, érintő, kotangens táblázatos értékei vannak, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 stb. - a válasz az íveken keresztül befejezetlen lesz. Az íveket radiánra kell konvertálni.
És ha már egy egyenlőtlenséggel találkozol, pl
akkor a válasz:
x πn, n ∈ Z
van egy ritka hülyeség, igen...) Itt kell dönteni egy trigonometrikus körről. Mit fogunk tenni a megfelelő témában.
Azoknak, akik hősiesen elolvassák ezeket a sorokat. Nem tudom nem értékelni a titáni erőfeszítéseidet. bónuszt kapsz.)
Bónusz:
Amikor egy szorongó harci helyzetben képleteket írunk, még a megedzett nebulók is gyakran összezavarodnak, hogy hol pn, És hol 2πn. Íme egy egyszerű trükk az Ön számára. Ban ben összes képletek pn. Kivéve az egyetlen képletet, amelynek ív koszinusza van. Ott áll 2πn. Két pien. Kulcsszó - két. Ugyanabban az egyetlen képletben vannak két jele az elején. Plusz és mínusz. Itt-ott - két.
Szóval ha írtál két jel az ív koszinusz előtt, könnyebben megjegyezhető, mi fog történni a végén két pien. És fordítva történik. Hagyd ki a férfi jelet ± , menj a végére, írj helyesen két pien, igen, és fogd meg. Valami előtt két jel! Az ember visszatér az elejére, de kijavítja a hibát! Mint ez.)
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)
függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.
Az ismeretek komplex alkalmazásának lecke.
Óracélok.
Felszerelés: vászon, projektor, referenciaanyag.
Az órák alatt
Bemutatkozó beszélgetés.
A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módja a legegyszerűbb redukció. Ennek során jelentkezzen hagyományos módokon, például a faktorizációk, valamint a csak trigonometrikus egyenletek megoldására használt technikák. Elég sok ilyen trükk létezik, például különféle trigonometrikus helyettesítések, szögtranszformációk, trigonometrikus függvények transzformációi. A trigonometrikus transzformációk válogatás nélküli alkalmazása általában nem egyszerűsíti le az egyenletet, hanem katasztrofálisan bonyolítja. Bent edzeni általánosságban Tervezze meg az egyenlet megoldását, vázolja fel az egyenlet legegyszerűbbre csökkentésének módját, először elemeznie kell a szögeket - az egyenletben szereplő trigonometrikus függvények argumentumait.
Ma a trigonometrikus egyenletek megoldásának módszereiről fogunk beszélni. A helyesen megválasztott módszer gyakran lehetővé teszi a megoldás jelentős egyszerűsítését, ezért az általunk vizsgált módszereket mindig figyelmünk körében kell tartani, hogy a trigonometrikus egyenleteket a legmegfelelőbb módon oldhassuk meg.
II. (Projektor segítségével megismételjük az egyenletek megoldásának módszereit.)
1. Eljárás trigonometrikus egyenlet algebraivá redukálására.
Minden trigonometrikus függvényt egyen keresztül, ugyanazzal az argumentummal kell kifejezni. Ez megtehető az alapvető trigonometrikus azonosság és annak következményei segítségével. Egy trigonometrikus függvényt tartalmazó egyenletet kapunk. Új ismeretlennek tekintve algebrai egyenletet kapunk. Megtaláljuk a gyökereit, és visszatérünk a régi ismeretlenhez, megoldva a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket.
2. A faktorizálás módja.
A szögek megváltoztatásához gyakran hasznosak az argumentumok redukciójára, összegére és különbségére vonatkozó képletek, valamint a trigonometrikus függvények összegének (különbségének) szorzattá konvertálására szolgáló képletek és fordítva.
sinx + sin3x = sin2x + sin4x
3. További szög bevezetésének módja.
4. Az univerzális helyettesítés alkalmazásának módja.
Az F(sinx, cosx, tgx) = 0 alakú egyenleteket az univerzális trigonometrikus helyettesítés segítségével algebrai egyenletekre redukáljuk
A szinusz, koszinusz és érintő kifejezése a félszög érintőjével. Ez a trükk magasabb rendű egyenlethez vezethet. Aminek a döntése nehéz.
A trigonometrikus egyenletek megoldásának fogalma.
Trigonometrikus alapegyenletek megoldása.
A trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformációk.
Szögek keresése a függvények ismert értékeiből.
Tegye félre az oldatot az egységkörön.
Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.
Sok megoldásánál matematikai feladatok, különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen feladatok közé tartozik például a lineáris ill másodfokú egyenletek, lineáris és négyzetes egyenlőtlenségek, törtegyenletek és másodfokú egyenletekre redukáló egyenletek. Az egyes említett feladatok sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy a megoldandó probléma milyen típushoz tartozik, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményhez vezet, pl. válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.
Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás valamennyi szakaszának sorrendjét. Természetesen ebben az esetben azonos átalakítások és számítások elvégzéséhez szükséges készségekre van szükség.
Más helyzet fordul elő a trigonometrikus egyenletek. Nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.
Által megjelenés egyenletek néha nehéz meghatározni a típusát. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.
A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:
1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";
2. hozza az egyenletet "ugyanolyan függvényekre";
3. faktorizálja az egyenlet bal oldalát stb.
Fontolgat trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.
I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre
Megoldási séma
1. lépés. Fejezd ki a trigonometrikus függvényt ismert komponensekkel!
2. lépés Keresse meg a függvény argumentumát képletekkel:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. lépés Keressen egy ismeretlen változót.
Példa.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Megoldás.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Változó helyettesítés
Megoldási séma
1. lépés. Hozd az egyenletet egy algebrai alakba az egyik trigonometrikus függvényhez képest.
2. lépés Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).
3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!
4. lépés Végezzen fordított cserét.
5. lépés Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!
Példa.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Megoldás.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vagy e = -3/2 nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Egyenletsorredukciós módszer
Megoldási séma
1. lépés. Cserélje le ezt az egyenletet egy lineárisra a teljesítménycsökkentési képletekkel:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!
Példa.
cos2x + cos2x = 5/4.
Megoldás.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogén egyenletek
Megoldási séma
1. lépés. Hozd ezt az egyenletet a formába
a) a sin x + b cos x = 0 ( homogén egyenlet első fokozat)
vagy a kilátáshoz
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).
2. lépés Oszd el az egyenlet mindkét oldalát
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
és kapjuk meg a tg x egyenletet:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Megoldás.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Legyen tg x = t, akkor
t2 + 3t-4 = 0;
t = 1 vagy t = -4, tehát
tg x = 1 vagy tg x = -4.
Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel
Megoldási séma
1. lépés. Mindenféle trigonometrikus képlet segítségével hozza ezt az egyenletet egy I., II., III., IV. módszerrel megoldható egyenletté.
2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!
Példa.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Megoldás.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;
Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.
Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ennek eredményeként x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Válasz: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon 
Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel mind a tanuló, mind a tanár részéről.
A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik, ezek megoldásának folyamata mintegy magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során elsajátított ismeretek és készségek nagy részét.
A trigonometrikus egyenletek fontos helyet foglalnak el a matematika és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.
Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A "Get an A" videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amely a sikeres sikerhez szükséges a vizsga letétele matematikából 60-65 pontért. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.
Minden szükséges elmélet. Gyors módok a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Vizuális magyarázat összetett fogalmak. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.
