A cikk részletezi az alapvető trigonometrikus azonosságokat, amelyek kapcsolatot teremtenek a sin , cos , t g , c t g között adott szög. Ha egy függvény ismert, azon keresztül egy másik is megtalálható.
Trigonometrikus azonosságok, amelyeket ebben a cikkben érdemes figyelembe venni. Az alábbiakban ezek származtatására mutatunk példát magyarázattal.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α g, 1 + α α 1 2 α c
Yandex.RTB R-A-339285-1
Beszéljünk egy fontos trigonometrikus azonosságról, amelyet a trigonometria alapjainak tekintenek.
sin 2 α + cos 2 α = 1
A megadott t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α egyenlőségeket a főből úgy vezetjük le, hogy mindkét részt elosztjuk sin 2 α-val és cos 2 α-val. Ezután megkapjuk a t g α \u003d sin α cos α, c t g α \u003d cos α sin α és t g α · c t g α \u003d 1 - ez a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójának következménye.
A sin 2 α + cos 2 α = 1 egyenlőség a fő trigonometrikus azonosság. Ennek bizonyításához egységkörrel kell rátérni a témára.
Legyenek adottak az A pont koordinátái (1, 0), amely az α szöget átforgatva A 1 ponttá válik. Definíció szerint a sin és cos A 1 pont koordinátákat kap (cos α , sin α) . Mivel A 1 az egységkörön belül van, ezért a koordinátáknak ki kell elégíteniük ennek a körnek az x 2 + y 2 = 1 feltételét. A cos 2 α + sin 2 α = 1 kifejezésnek érvényesnek kell lennie. Ehhez minden α elforgatási szögre be kell bizonyítani az alapvető trigonometrikus azonosságot.
A trigonometriában a sin 2 α + cos 2 α = 1 kifejezést Pitagorasz-tételként használják a trigonometriában. Ehhez vegye figyelembe a részletes bizonyítékot.
Az egységkör segítségével az A pontot (1, 0) koordinátákkal az O középpont körül α szöggel elforgatjuk. Az elforgatás után a pont megváltoztatja a koordinátákat, és egyenlővé válik A 1 (x, y) értékkel. Az A 1 H merőleges egyenest az A 1 pontból O x-re engedjük le.
Az ábrán jól látható, hogy egy O A 1 H derékszögű háromszög alakult ki. Modulo az O A 1 H és az O H láb egyenlő, a rekord a következő formában lesz: | A 1 H | = | at | , | O N | = | x | . Az O A 1 hipotenusz értéke megegyezik az egységkör sugarával, | Körülbelül A 1 | = 1. Ezzel a kifejezéssel felírhatjuk az egyenlőséget a Pitagorasz-tétel szerint: | A 1 H | 2 + | O N | 2 = | Körülbelül A 1 | 2. Ezt az egyenlőséget úgy írjuk, hogy | y | 2 + | x | 2 = 1 2, ami azt jelenti, hogy y 2 + x 2 = 1.
A sin α = y és cos α = x definícióját felhasználva a pontok koordinátái helyett a szögadatokat helyettesítjük, és továbblépünk a sin 2 α + cos 2 α = 1 egyenlőtlenséghez.
A fő kapcsolat egy szög sin és cos között ezen a trigonometrikus azonosságon keresztül lehetséges. Így egy ismert cos-szal rendelkező szög bűnének tekinthető és fordítva. Ehhez fel kell oldani a sin 2 α + cos 2 \u003d 1 sin és cos függvényt, majd megkapjuk a sin α \u003d ± 1 - cos 2 α és cos α \u003d ± 1 - formájú kifejezéseket. sin 2 α, ill. Az α szög értéke határozza meg a kifejezés gyöke előtti előjelet. A részletes tisztázás érdekében el kell olvasnia a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus képletekkel történő kiszámításáról szóló részt.
Leggyakrabban a fő képletet a trigonometrikus kifejezések átalakítására vagy egyszerűsítésére használják. A szinusz és a koszinusz négyzetösszegét 1-gyel helyettesíthetjük. Az identitáshelyettesítés lehet közvetlen és fordított sorrendben: az egység helyébe a szinusz és a koszinusz négyzetösszegének kifejezése lép.
A koszinusz és a szinusz, az érintő és a kotangens definíciójából látható, hogy ezek egymással összefüggenek, ami lehetővé teszi a szükséges mennyiségek külön-külön történő átszámítását.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
A definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz pedig az x abszcissza. Az érintő az ordináta és az abszcissza aránya. Így rendelkezünk:
t g α = y x = sin α cos α , és a kotangens kifejezés ellenkező jelentésű, azaz
c t g α = x y = cos α sin α .
Ebből következik, hogy a kapott t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α azonosságok sin és cos szögek felhasználásával vannak megadva. Az érintőt a szinusz és a köztük lévő szög koszinuszának arányának tekintjük, a kotangensnek pedig fordítva.
Vegye figyelembe, hogy t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α igaz minden olyan α szögre, amelynek értékei a tartományban vannak. A t g α \u003d sin α cos α képletből az α szög értéke különbözik π 2 + π · z-től, és c t g α \u003d cos α sin α veszi az α szög értékét, amely különbözik π · z-től. , z bármely egész szám értékét veszi fel.
Van egy képlet, amely megmutatja a szögek közötti kapcsolatot az érintőn és a kotangensen keresztül. Ez a trigonometrikus azonosság fontos a trigonometriában, és t g α · c t g α = 1-ként jelöljük. Értelmes α-nak bármilyen π 2 · z értéktől eltérő értéke, különben a függvények definiálatlanok lesznek.
A t g α · c t g α = 1 képletnek megvannak a maga sajátosságai a bizonyításban. A definícióból azt kapjuk, hogy t g α = y x és c t g α = x y , így t g α · c t g α = y x · x y = 1 . A kifejezést átalakítva és behelyettesítve t g α = sin α cos α és c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .
Ekkor az érintő és a kotangens kifejezésének akkor van értelme, ha kölcsönösen reciprok számokat kapunk.
Az alapazonosságokat átalakítva arra a következtetésre jutunk, hogy az érintő a koszinuszon, a kotangens pedig a szinuszon keresztül kapcsolódik össze. Ez látható a t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α képletekből.
A definíció így hangzik: a szög érintőjének négyzetének és az 1-nek az összege egy törtnek felel meg, ahol a számlálóban van 1, a nevezőben pedig az adott szög koszinuszának négyzete, és az összeg a szög kotangensének négyzete fordítva. A sin 2 α + cos 2 α = 1 trigonometrikus azonosságnak köszönhetően a megfelelő oldalakat eloszthatjuk cos 2 α-val, és t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α kapjuk, ahol a cos 2 α értéke nem lehet nulla. A sin 2 α-val osztva az 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α azonosságot kapjuk, ahol a sin 2 α értéke nem lehet egyenlő nullával.
A fenti kifejezésekből azt kaptuk, hogy a t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α azonosság igaz az α szög minden olyan értékére, amely nem tartozik a π 2 + π z-hez, és 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α azokra az α értékekre, amelyek nem tartoznak a π · z intervallumhoz.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
A cikk legelején megvitattuk a koncepciót trigonometrikus függvények. Céljuk fő célja a trigonometria alapjainak tanulmányozása és a periodikus folyamatok tanulmányozása. És nem hiába rajzoltuk meg a trigonometrikus kört, mert a legtöbb esetben a trigonometrikus függvényeket úgy definiáljuk, mint egy háromszög oldalainak vagy egyes szakaszainak arányát egy egységkörben. Említettem a trigonometria tagadhatatlanul nagy jelentőségét is modern élet. De a tudomány nem áll meg, ennek eredményeként jelentősen kibővíthetjük a trigonometria hatókörét, és átvihetjük rendelkezéseit valós, néha pedig komplex számokra.
Trigonometriai képletek több típusa van. Tekintsük őket sorrendben.
Itt jutunk el egy olyan fogalom megfontolásához, mint alapvető trigonometrikus azonosságok.
A trigonometrikus azonosság olyan egyenlőség, amely trigonometrikus relációkból áll, és amely a benne szereplő szögek minden értékére igaz.
Tekintsük a legfontosabb trigonometrikus azonosságokat és azok bizonyítását:
Az első azonosság az érintő definíciójából következik.
Vegyünk egy x hegyesszögű derékszögű háromszöget az A csúcsban.
Az azonosságok bizonyításához a Pitagorasz-tételt kell használni:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Most elosztjuk (AB) 2-vel az egyenlőség mindkét részét, és emlékezve a szög sin és cos definícióira, megkapjuk a második azonosságot:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sin 2 x + cos 2 x = 1
A harmadik és negyedik azonosság bizonyítására az előző bizonyítást használjuk.
Ehhez a második azonosság mindkét részét elosztjuk cos 2 x-szel:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Az első tg x \u003d sin x / cos x azonosság alapján megkapjuk a harmadikat:
1 + tg2x = 1/cos2x
Most a második azonosságot elosztjuk sin 2x-el:
sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x nem más, mint 1/tg 2 x, így megkapjuk a negyedik azonosságot:
1 + 1/tg2x = 1/sin2x
Ideje emlékezni a háromszög belső szögeinek összegére vonatkozó tételre, amely azt mondja, hogy a háromszög szögeinek összege \u003d 180 0. Kiderül, hogy a háromszög B csúcsánál van egy szög, amelynek értéke 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.
Idézzük fel újra a bűn és a cos definícióit, és megkapjuk az ötödik és hatodik azonosságot:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sin x
Most tegyük a következőket:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = cos x
Mint látható, itt minden elemi.
Vannak más identitások is, amelyeket a matematikai identitások megoldására használnak, ezeket egyszerűen formában adom meg háttér-információ, mert mindegyik a fentiekből fakad.
(a gyökér előtti jel kiválasztását az határozza meg, hogy a kör melyik negyedében található a sarok?)
Megjegyzem, mindegyik az előző képletekből következik.
sin 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3x) /(1 - 3tg 2x)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3 tg 2 x - 1)
Alapvető trigonometrikus azonosságok.
secα így olvasható: "secant alfa". Ez a koszinusz alfa reciproka.
cosecα így olvasható: "alfa cosecant". Ez az alfa szinuszának reciproka.
Példák. Egyszerűsítse a kifejezést:
a) 1 - sin 2 α; b) cos2α – 1; ban ben)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin2αcosα - cosα; e) sin2α+1+cos2α;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; és) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 α cos 2 α – ctg 2 α; és) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
a) 1 - sin 2 α \u003d cos 2 α a képlet szerint 1) ;
b) cos 2 α - 1 \u003d - (1 - cos 2 α) \u003d -sin 2 α szintén alkalmazta a képletet 1) ;
ban ben)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Először a képletet alkalmaztuk két kifejezés négyzeteinek különbségére: (a - b) (a + b) \u003d a 2 - b 2, majd a képletet 1) ;
G) sin 2 αcosα - cosα. Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből.
sin 2 αcosα - cosα \u003d cosα (sin 2 α - 1) \u003d -cosα (1 - sin 2 α) \u003d -cosα ∙ cos 2 α \u003d -cos 3 α. Természetesen már észrevette, hogy mivel 1 - sin 2 α \u003d cos 2 α, akkor sin 2 α - 1 \u003d -cos 2 α. Hasonlóképpen, ha 1 - cos 2 α \u003d sin 2 α, akkor cos 2 α - 1 \u003d -sin 2 α.
d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Megvan: a sin 2 α kifejezés négyzete plusz sin 2 α kétszeres szorzata cos 2 α-val és plusz a cos 2 α második kifejezés négyzete. Alkalmazzuk a képletet két kifejezés összegének négyzetére: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Ezután alkalmazza a képletet 1) . Kapjuk: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
és) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α \u003d tg 2 α (1 - sin 2 α) \u003d tg 2 α ∙ cos 2 α \u003d sin 2 α. Alkalmaztuk a képletet 1) , majd a képlet 2) .
Emlékezik: tgα ∙ kötözősalátaα = bűnα.
Hasonlóképpen a képlet használatával 3) elérhető: ctgα ∙ bűnα = kötözősalátaα. Emlékezik!
h) ctg 2 αcos 2 α - ctg 2 α \u003d ctg 2 α (cos 2 α - 1) \u003d ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
és) cos 2 α + tg 2 α cos 2 α = cos 2 α (1 + tg 2 α) = 1. Először a zárójelből vettük ki a közös tényezőt, és a zárójelek tartalmát a képlettel egyszerűsítettük 7).
Kifejezés konvertálása:
Alkalmaztuk a képletet 7) és megkapta két kifejezés összegének szorzatát e kifejezések különbségének hiányos négyzetével - a két kifejezés kockáinak összegének képletével.
Trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát, és fordítva. .
A trigonometrikus kifejezések konvertálásakor nagyon gyakran használják ezt az azonosságot, amely lehetővé teszi, hogy az egy szög koszinusza és szinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítse, és fordított sorrendben hajtsa végre a helyettesítési műveletet.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból alakulnak ki. Hiszen ha megnézed, akkor definíció szerint y ordinátája a szinusz, x abszcisszája pedig a koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz.
Hozzátesszük, hogy az azonosságok csak olyan \alpha szögeknél történnek, amelyeknél a benne foglalt trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám.
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra.
A fenti pontok alapján azt kapjuk tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Ebből következik tehát tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így az egyik szög érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen reciprok számok.
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és a \alpha szög kotangensének négyzete megegyezik az adott szög szinuszának inverz négyzetével. Ez az azonosság a \pi z kivételével bármely \alfára érvényes.
Keresse meg a \sin \alpha és a tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Megoldás megjelenítése
Megoldás
A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ennek az egyenletnek 2 megoldása van:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
A tg \alpha megtalálásához a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Megoldás megjelenítése
Megoldás
Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 feltételes szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
A fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti arányok megadva. trigonometrikus képletek. És mivel a trigonometrikus függvények között elég sok kapcsolat van, ez is megmagyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek összekapcsolják az azonos szög trigonometrikus függvényeit, mások - a többszörös szög függvényei, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, a negyedik - az összes függvény kifejezését a félszög érintőjén keresztül stb.
Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében céljuk szerint csoportosítjuk, és táblázatokba foglaljuk őket.
Oldalnavigáció.
Alapvető trigonometrikus azonosságokállítsa be az összefüggést egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másikon keresztül.
Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példáit a cikkben találja.
Öntött képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel történő munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.
Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.
Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.
Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei hogyan működnek. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.
Több részletes információk a cikkben összegyűjtött képletek a dupla, tripla stb. szög .
Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei egy egész szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.
Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.
Trigonometrikus képletek a csökkenő fokokhozÚgy tervezték, hogy megkönnyítsék az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra elsőfokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.
fő célállomás trigonometrikus függvények összeg- és különbségképletei a függvények szorzatára való átállásból áll, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorálását.
A trigonometrikus függvények szorzatáról az összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszenkénti szorzat képletein keresztül történik.
Okos diákok szerzői joga
Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a külső megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásos engedélye nélkül.
