Tipos de equações diferenciais, métodos de solução. Equações diferenciais não homogêneas de segunda ordem

Equação diferencial linear de segunda ordem chamada de equação da forma

sim"" + p(x)sim" + q(x)sim = f(x) ,

Onde simé a função a ser encontrada, e p(x) , q(x) E f(x) - funções contínuas em um determinado intervalo ( um, b) .

Se parte direita equação é zero ( f(x) = 0), então a equação é chamada equação linear homogênea . A parte prática desta lição será dedicada principalmente a tais equações. Se o lado direito da equação não for igual a zero ( f(x) ≠ 0), então a equação é chamada .

Nos problemas, somos obrigados a resolver a equação para sim"" :

sim"" = −p(x)sim" − q(x)sim + f(x) .

Linear equações diferenciais segunda ordem tem uma solução única Problemas de Cauchy .

Equação diferencial homogênea linear de segunda ordem e sua solução

Considere uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem:

sim"" + p(x)sim" + q(x)sim = 0 .

Se sim1 (x) E sim2 (x) são soluções particulares desta equação, então as seguintes afirmações são verdadeiras:

1) sim1 (x) + sim 2 (x) - também é uma solução para esta equação;

2) Cy1 (x) , Onde C- uma constante arbitrária (constante), também é uma solução para esta equação.

Destas duas afirmações segue-se que a função

C1 sim 1 (x) + C 2 sim 2 (x)

também é uma solução para esta equação.

Surge uma pergunta justa: esta solução é solução geral de uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem , isto é, uma solução em que, para valores diferentes C1 E C2 É possível obter todas as soluções possíveis para a equação?

A resposta a esta pergunta é: talvez, mas sob certas condições. Esse condição sobre quais propriedades soluções específicas devem ter sim1 (x) E sim2 (x) .

E esta condição é chamada de condição de independência linear de soluções parciais.

Teorema. Função C1 sim 1 (x) + C 2 sim 2 (x) é uma solução geral para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem se as funções sim1 (x) E sim2 (x) Linearmente independente.

Definição. Funções sim1 (x) E sim2 (x) são chamados linearmente independentes se sua razão for uma constante diferente de zero:

sim1 (x)/sim 2 (x) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

No entanto, determinar por definição se estas funções são linearmente independentes é muitas vezes muito trabalhoso. Existe uma maneira de estabelecer independência linear usando o determinante de Wronski C(x) :

Se o determinante de Wronski não for igual a zero, então as soluções são linearmente independentes . Se o determinante de Wronski for zero, então as soluções são linearmente dependentes.

Exemplo 1. Encontrar decisão comum equação diferencial homogênea linear.

Solução. Integramos duas vezes e, como é fácil de ver, para que a diferença entre a segunda derivada de uma função e a própria função seja igual a zero, as soluções devem estar associadas a uma exponencial cuja derivada seja igual a ela mesma. Ou seja, as soluções parciais são e.

Como o determinante de Wronski

não é igual a zero, então essas soluções são linearmente independentes. Portanto, a solução geral desta equação pode ser escrita como

Equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes: teoria e prática

Equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes chamada de equação da forma

sim"" + py" + qq = 0 ,

Onde p E q- valores constantes.

O fato de se tratar de uma equação de segunda ordem é indicado pela presença da segunda derivada da função desejada, e sua homogeneidade é indicada por zero no lado direito. Os valores já mencionados acima são chamados de coeficientes constantes.

Para resolver uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes , você deve primeiro resolver a chamada equação característica da forma

k² + pq + q = 0 ,

que, como pode ser visto, é uma equação quadrática ordinária.

Dependendo da solução da equação característica, três opções diferentes são possíveis soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes , que analisaremos agora. Para uma definição completa, assumiremos que todas as soluções particulares foram testadas pelo determinante de Wronski e não é igual a zero em todos os casos. Os que duvidam, no entanto, podem verificar isso sozinhos.

As raízes da equação característica são reais e distintas

Em outras palavras, . Neste caso, a solução para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma

Exemplo 2. Resolva uma equação diferencial homogênea linear

Exemplo 3. Resolva uma equação diferencial homogênea linear

Solução. A equação característica tem a forma , suas raízes e são reais e distintas. As soluções parciais correspondentes da equação são: e . A solução geral desta equação diferencial tem a forma

As raízes da equação característica são reais e iguais

Aquilo é, . Neste caso, a solução para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma

Exemplo 4. Resolva uma equação diferencial homogênea linear

Solução. Equação característica tem raízes iguais. As soluções parciais correspondentes da equação são: e . A solução geral desta equação diferencial tem a forma

Exemplo 5. Resolva uma equação diferencial homogênea linear

Solução. A equação característica tem raízes iguais. As soluções parciais correspondentes da equação são: e . A solução geral desta equação diferencial tem a forma

Considere uma equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes:
(1) .
Sua solução pode ser obtida seguindo o método de redução de ordem geral.

No entanto, é mais fácil obter imediatamente o sistema fundamental n soluções linearmente independentes e com base nelas criam uma solução geral. Neste caso, todo o procedimento de solução se resume às etapas a seguir.

Estamos procurando uma solução para a equação (1) na forma. Nós temos equação característica:
(2) .
Tem n raízes. Resolvemos a equação (2) e encontramos suas raízes. Então a equação característica (2) pode ser representada da seguinte forma:
(3) .
Cada raiz corresponde a uma das soluções linearmente independentes do sistema fundamental de soluções da equação (1). Então a solução geral da equação original (1) tem a forma:
(4) .

Raízes reais

Vamos considerar raízes reais. Deixe a raiz ser única. Ou seja, o fator entra na equação característica (3) apenas uma vez. Então esta raiz corresponde à solução
.

Seja uma raiz múltipla da multiplicidade p. Aquilo é
. Neste caso, o multiplicador é p vezes:
.
Essas raízes múltiplas (iguais) correspondem a p soluções linearmente independentes da equação original (1):
; ; ; ...; .

Raízes complexas

Considere raízes complexas. Expressemos a raiz complexa em termos das partes real e imaginária:
.
Como os coeficientes do original são reais, além da raiz existe uma raiz conjugada complexa
.

Deixe a raiz complexa ser múltipla. Então um par de raízes corresponde a duas soluções linearmente independentes:
; .

Seja uma raiz complexa múltipla de multiplicidade p. Então o valor conjugado complexo também é a raiz da equação característica da multiplicidade p e o multiplicador entra p vezes:
.
Esse 2 horas raízes correspondem 2 horas soluções linearmente independentes:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Depois de encontrado o sistema fundamental de soluções linearmente independentes, obtemos a solução geral.

Exemplos de soluções de problemas

Exemplo 1

Resolva a equação:
.

Solução

.
Vamos transformá-lo:
;
;
.

Vejamos as raízes desta equação. Temos quatro raízes complexas de multiplicidade 2:
; .
Eles correspondem a quatro soluções linearmente independentes da equação original:
; ; ; .

Também temos três raízes reais do múltiplo de 3:
.
Elas correspondem a três soluções linearmente independentes:
; ; .

A solução geral da equação original tem a forma:
.

Responder

Exemplo 2

Resolva a equação

Solução

Estamos procurando uma solução no formato . Compomos a equação característica:
.
Resolvendo uma equação quadrática.
.

Temos duas raízes complexas:
.
Eles correspondem a duas soluções linearmente independentes:
.
Solução geral para a equação:
.

Este parágrafo discutirá caso especial equações lineares de segunda ordem, quando os coeficientes da equação são constantes, ou seja, são números. Tais equações são chamadas de equações com coeficientes constantes. Este tipo de equações encontra aplicação particularmente ampla.

1. Equações diferenciais homogêneas lineares

segunda ordem com coeficientes constantes

Considere a equação

em que os coeficientes são constantes. Supondo que dividindo todos os termos da equação por e denotando

Vamos escrever esta equação na forma

Como se sabe, para encontrar uma solução geral para uma equação linear homogênea de segunda ordem, basta conhecer seu sistema fundamental de soluções parciais. Vamos mostrar como encontrar um sistema fundamental de soluções parciais para uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Procuraremos uma solução particular para esta equação na forma

Diferenciando esta função duas vezes e substituindo as expressões na equação (59), obtemos

Desde então, reduzindo por obtemos a equação

A partir desta equação, são determinados os valores de k para os quais a função será uma solução para a equação (59).

A equação algébrica (61) para determinação do coeficiente k é chamada de equação característica desta equação diferencial (59).

A equação característica é uma equação de segundo grau e, portanto, possui duas raízes. Essas raízes podem ser reais distintas, reais e iguais ou conjugadas complexas.

Consideremos qual é a forma do sistema fundamental de soluções particulares em cada um desses casos.

1. As raízes da equação característica são reais e diferentes: . Neste caso, utilizando a fórmula (60) encontramos duas soluções parciais:

Estas duas soluções particulares formam um sistema fundamental de soluções em todo o eixo numérico, uma vez que o determinante de Wronski não desaparece em lugar nenhum:

Consequentemente, a solução geral da equação de acordo com a fórmula (48) tem a forma

2. As raízes da equação característica são iguais: . Neste caso, ambas as raízes serão reais. Usando a fórmula (60), obtemos apenas uma solução particular

Mostremos que a segunda solução particular, que juntamente com a primeira forma um sistema fundamental, tem a forma

Primeiramente, vamos verificar se a função é uma solução da equação (59). Realmente,

Mas, como existe uma raiz da equação característica (61). Além disso, de acordo com o teorema de Vieta, Portanto. Consequentemente, , ou seja, a função é de fato uma solução para a equação (59).

Mostremos agora que as soluções parciais encontradas formam um sistema fundamental de soluções. Realmente,

Assim, neste caso a solução geral da equação linear homogênea tem a forma

3. As raízes da equação característica são complexas. Como se sabe, as raízes complexas de uma equação quadrática com coeficientes reais são conjugadas números complexos, ou seja, eles se parecem com: . Neste caso, as soluções parciais da equação (59), conforme fórmula (60), terão a forma:

Usando as fórmulas de Euler (ver Capítulo XI, § 5, parágrafo 3), as expressões para podem ser escritas como:

Essas soluções são abrangentes. Para obter soluções válidas, considere as novas funções

São combinações lineares de soluções e, portanto, são elas próprias soluções da equação (59) (ver § 3, item 2, Teorema 1).

É fácil mostrar que o determinante de Wronski para estas soluções é diferente de zero e, portanto, as soluções formam um sistema fundamental de soluções.

Assim, a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea no caso de raízes complexas da equação característica tem a forma

Concluindo, apresentamos uma tabela de fórmulas para a solução geral da equação (59) dependendo do tipo de raízes da equação característica.

Em alguns problemas de física, não é possível estabelecer uma relação direta entre as grandezas que descrevem o processo. Mas é possível obter uma igualdade contendo as derivadas das funções em estudo. É assim que surgem as equações diferenciais e a necessidade de resolvê-las para encontrar uma função desconhecida.

Este artigo é destinado a quem se depara com o problema de resolver uma equação diferencial em que a função desconhecida é função de uma variável. A teoria está estruturada de tal forma que, com zero conhecimento de equações diferenciais, você pode dar conta de sua tarefa.

Cada tipo de equação diferencial está associado a um método de solução com explicações detalhadas e soluções para exemplos e problemas típicos. Tudo o que você precisa fazer é determinar o tipo de equação diferencial do seu problema, encontrar um exemplo analisado semelhante e realizar ações semelhantes.

Para resolver equações diferenciais com sucesso, você também precisará ser capaz de encontrar conjuntos de antiderivadas (integrais indefinidas). várias funções. Se necessário, recomendamos que você consulte a seção.

Primeiro, consideraremos os tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas em relação à derivada, depois passaremos para as EDOs de segunda ordem, depois nos deteremos nas equações de ordem superior e terminaremos com sistemas de equações diferenciais.

Lembre-se de que se y é uma função do argumento x.

Equações diferenciais de primeira ordem.

As equações diferenciais de primeira ordem mais simples da forma.

Vamos anotar alguns exemplos desse tipo de controle remoto .

Equações diferenciais pode ser resolvido em relação à derivada dividindo ambos os lados da igualdade por f(x) . Neste caso, chegamos a uma equação que será equivalente à original para f(x) ≠ 0. Exemplos de tais EDOs são.

Se houver valores do argumento x nos quais as funções f(x) e g(x) desaparecem simultaneamente, então aparecem soluções adicionais. Soluções adicionais para a equação dados x são quaisquer funções definidas para esses valores de argumento. Exemplos de tais equações diferenciais incluem:

Equações diferenciais de segunda ordem.

Equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

LDE com coeficientes constantes é um tipo muito comum de equação diferencial. A solução deles não é particularmente difícil. Primeiro, as raízes da equação característica são encontradas . Para p e q diferentes, três casos são possíveis: as raízes da equação característica podem ser reais e diferentes, reais e coincidentes ou conjugados complexos. Dependendo dos valores das raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é escrita como , ou , ou respectivamente.

Por exemplo, considere uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. As raízes de sua equação característica são k 1 = -3 e k 2 = 0. As raízes são reais e diferentes, portanto, a solução geral do LODE com coeficientes constantes tem a forma

Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

A solução geral de um LDDE de segunda ordem com coeficientes constantes y é procurada na forma da soma da solução geral do LDDE correspondente e uma solução particular para o original equação não homogênea, aquilo é, . O parágrafo anterior é dedicado a encontrar uma solução geral para uma equação diferencial homogênea com coeficientes constantes. E uma solução particular é determinada pelo método dos coeficientes indefinidos para uma certa forma da função f(x) no lado direito da equação original, ou pelo método da variação de constantes arbitrárias.

Como exemplos de LDDEs de segunda ordem com coeficientes constantes, damos

Entenda a teoria e familiarize-se com soluções detalhadas Oferecemos exemplos na página de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Equações diferenciais homogêneas lineares (LODE) e equações diferenciais lineares não homogêneas (LNDEs) de segunda ordem.

Um caso especial de equações diferenciais deste tipo são LODE e LDDE com coeficientes constantes.

A solução geral do LODE em um determinado segmento é representada por uma combinação linear de duas soluções parciais linearmente independentes y 1 e y 2 desta equação, ou seja, .

A principal dificuldade reside justamente em encontrar soluções parciais linearmente independentes para uma equação diferencial deste tipo. Normalmente, soluções específicas são selecionadas a partir dos seguintes sistemas de funções linearmente independentes:

Contudo, soluções específicas nem sempre são apresentadas desta forma.

Um exemplo de LOD é .

A solução geral do LDDE é procurada na forma, onde é a solução geral do LDDE correspondente, e é a solução particular da equação diferencial original. Acabamos de falar sobre como encontrá-lo, mas ele pode ser determinado usando o método de variação de constantes arbitrárias.

Um exemplo de LNDU pode ser dado .

Equações diferenciais de ordens superiores.

Equações diferenciais que permitem uma redução na ordem.

Ordem da equação diferencial , que não contém a função desejada e suas derivadas até a ordem k-1, pode ser reduzido a nk substituindo.

Neste caso, a equação diferencial original será reduzida a. Depois de encontrar sua solução p(x), resta retornar à substituição e determinar a função desconhecida y.

Por exemplo, a equação diferencial após a substituição, ela se tornará uma equação com variáveis separáveis, e sua ordem será reduzida da terceira para a primeira.

Equações diferenciais de segunda ordem e ordens superiores.
Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Exemplos de soluções.

Vamos considerar equações diferenciais de segunda ordem e equações diferenciais de ordem superior. Se você tem uma vaga ideia do que é uma equação diferencial (ou não entende o que é), recomendo começar com a lição Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de soluções. Muitos princípios de solução e conceitos básicos de difusas de primeira ordem se estendem automaticamente a equações diferenciais de ordem superior, portanto é muito importante primeiro entender as equações de primeira ordem.

Muitos leitores podem ter o preconceito de que o controle remoto de 2ª, 3ª e outras ordens é algo muito difícil e inacessível de dominar. Isto está errado . Aprender a resolver difusos de ordem superior dificilmente é mais difícil do que DEs “comuns” de 1ª ordem. E em alguns lugares é ainda mais simples, pois as soluções utilizam ativamente materiais do currículo escolar.

Mais popular equações diferenciais de segunda ordem. Para uma equação diferencial de segunda ordem Necessariamente inclui a segunda derivada e não incluso

Deve-se notar que alguns dos bebês (e até todos ao mesmo tempo) podem estar faltando na equação; é importante que o pai esteja em casa. A equação diferencial de segunda ordem mais primitiva é assim:

Equações diferenciais de terceira ordem em tarefas práticas são muito menos comuns, de acordo com minhas observações subjetivas em Duma estadual eles obteriam cerca de 3-4% dos votos.

Para uma equação diferencial de terceira ordem Necessariamente inclui a terceira derivada e não incluso derivadas de ordens superiores:

A equação diferencial de terceira ordem mais simples é assim: – o pai está em casa, todos os filhos saíram para passear.

De forma semelhante, você pode definir equações diferenciais de 4ª, 5ª e ordens superiores. Em problemas práticos, tais sistemas de controle raramente falham, porém tentarei dar exemplos relevantes.

As equações diferenciais de ordem superior, propostas em problemas práticos, podem ser divididas em dois grupos principais.

1) O primeiro grupo - os chamados equações que podem ser reduzidas em ordem. Vamos!

2) Segundo grupo – equações lineares ordens superiores com coeficientes constantes. Que começaremos a examinar agora.

Equações diferenciais lineares de segunda ordem
com coeficientes constantes

Na teoria e na prática, dois tipos de tais equações são distinguidos: equação homogênea E equação não homogênea.

DE de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes tem o seguinte formato:
, onde e são constantes (números), e no lado direito – estritamente zero.

Como você pode ver, não há dificuldades particulares com equações homogêneas, o principal é decidir corretamente Equação quadrática .

Às vezes, existem equações homogêneas não padronizadas, por exemplo, uma equação na forma , onde na segunda derivada existe alguma constante diferente da unidade (e, naturalmente, diferente de zero). O algoritmo de solução não muda em nada, você deve compor com calma uma equação característica e encontrar suas raízes. Se a equação característica terá duas raízes reais diferentes, por exemplo: , então a solução geral será escrita de acordo com o esquema usual: .

Em alguns casos, devido a um erro de digitação na condição, podem resultar raízes “ruins”, algo como . O que fazer, a resposta terá que ser escrita assim:

Com raízes complexas conjugadas “ruins” como também não há problema, solução geral:

Aquilo é, existe uma solução geral de qualquer maneira. Porque qualquer equação quadrática tem duas raízes.

No parágrafo final, como prometi, consideraremos brevemente:

Equações lineares homogêneas de ordens superiores

Tudo é muito, muito parecido.

Uma equação linear homogênea de terceira ordem tem a seguinte forma:
, onde estão constantes.
Para esta equação, você também precisa criar uma equação característica e encontrar suas raízes. A equação característica, como muitos adivinharam, é assim:
, e isso De qualquer forma Tem exatamente três raiz

Sejam, por exemplo, todas as raízes reais e distintas: , então a solução geral será escrita da seguinte forma:

Se uma raiz for real e as outras duas forem complexas conjugadas, então escrevemos a solução geral da seguinte forma:

Um caso especial, quando todas as três raízes são múltiplas (iguais). Consideremos o DE homogêneo mais simples de 3ª ordem com pai solitário: . A equação característica tem três raízes zero coincidentes. Escrevemos a solução geral da seguinte forma:

Se a equação característica tem, por exemplo, três raízes múltiplas, então a solução geral, respectivamente, é a seguinte: