) são números com sinal positivo ou negativo (inteiro e fracionário) e zero. Um conceito mais preciso de números racionais soa assim:
número racionalé o número que está sendo representado fração ordinária m/n, onde o numerador m são números inteiros e o denominador n — inteiros, por exemplo 2/3.
As frações não periódicas infinitas NÃO estão incluídas no conjunto dos números racionais.
a/b, Onde uma∈ Z (uma pertence a inteiros) b∈ N (b pertence aos números naturais).
NO Vida real o conjunto de números racionais é usado para contar as partes de alguns objetos inteiros divisíveis, por exemplo, bolos ou outros alimentos que são cortados em pedaços antes do consumo, ou para uma estimativa aproximada das relações espaciais de objetos extensos.
Propriedades básicas dos números racionais.
1. ordem uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles 1-mas e apenas uma das 3 relações: “<», «>" ou "=". Esta regra é - regra de pedido e formule assim:
∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. operação de adição. Para todos os números racionais uma e b há regra de soma, o que os coloca em correspondência com um certo número racional c. No entanto, o próprio número c- isto é soma números uma e b e é referido como (a+b) soma.
regra de soma parece com isso:
m a/n a + m b/nb =(m a⋅ nb+mb⋅ n / D)/(n / D⋅ nb).
∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. operação de multiplicação. Para todos os números racionais uma e b há regra de multiplicação, associa-os a um certo número racional c. O número c é chamado trabalhar números uma e b e denotar (a⋅b), e o processo de encontrar esse número é chamado multiplicação.
regra de multiplicação parece com isso: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitividade da relação de ordem. Para quaisquer três números racionais uma, b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c.
∀ abc∈ Q(a ∧ b ⇒ uma ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Comutatividade da adição. De uma mudança nos lugares dos termos racionais, a soma não muda.
∀ a,b∈ Qa+b=b+a
6. Associatividade de adição. A ordem de adição de 3 números racionais não afeta o resultado.
∀ abc∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Presença de zero. Existe um número racional 0, ele preserva todos os outros números racionais quando adicionado.
∃ 0 ∈ Q∀ uma∈ Qa+0=a
8. Presença de números opostos. Todo número racional tem um número racional oposto, somando-os resulta em 0.
∀ uma∈ Q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0
9. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
∀ a,b∈ controle de qualidade⋅ b=b⋅ uma
10. Associatividade da multiplicação. A ordem de multiplicação de 3 números racionais não afeta o resultado.
∀ abc∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Disponibilidade de uma unidade. Existe um número racional 1, ele preserva todos os outros números racionais no processo de multiplicação.
∃ 1 ∈ Q∀ uma∈ controle de qualidade⋅ 1=a
12. Presença de recíprocos. Qualquer número racional diferente de zero tem um número racional inverso, multiplicando pelo qual obtemos 1 .
∀ uma∈ Q∃ a-1∈ controle de qualidade⋅ a−1=1
13. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação está relacionada à adição usando a lei de distribuição:
∀ abc∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Conexão da relação de ordem com a operação de adição. para a esquerda e partes certas desigualdades racionais adicionam o mesmo número racional.
∀ abc∈ controle de qualidade ⇒ a+c
15. Conexão da relação de ordem com a operação de multiplicação. Os lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional podem ser multiplicados pelo mesmo número racional não negativo.
∀ abc∈ Qc>0∧ uma ⇒ uma⋅ c ⋅ c
16. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, é fácil pegar tantas unidades que sua soma será maior uma.
Número- o conceito matemático mais importante que mudou ao longo dos séculos.
As primeiras ideias sobre o número surgiram da contagem de pessoas, animais, frutas, diversos produtos, etc. O resultado são os números naturais: 1, 2, 3, 4, ...
Historicamente, a primeira extensão do conceito de número é a adição de números fracionários a um número natural.
Tomada chamado de parte (ação) de uma unidade ou várias partes iguais dela.
Designado: , onde m,n- números inteiros;
Frações com denominador 10 n, Onde né um número inteiro, eles são chamados decimal: .
Entre as frações decimais, um lugar especial é ocupado por frações periódicas: 
- fração periódica pura, 
- fração periódica mista.
A expansão adicional do conceito de número já é causada pelo desenvolvimento da própria matemática (álgebra). Descartes no século XVII apresenta o conceito número negativo.
Números inteiros (positivos e negativos), fracionários (positivos e negativos) e zero são chamados números racionais. Qualquer número racional pode ser escrito como uma fração finita e periódica.
Para estudar variáveis que mudam continuamente, tornou-se necessário expandir o conceito de número - a introdução de números reais (reais) - adicionando números irracionais a números racionais: números irracionais são frações não periódicas decimais infinitas.
Números irracionais apareceram ao medir segmentos incomensuráveis (lado e diagonal de um quadrado), em álgebra - ao extrair raízes, um exemplo de número irracional transcendental é π, e .
Números natural(1, 2, 3,...), todo(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racional(representado como uma fração) e irracional(não representável como uma fração ) formar um conjunto real (real) números.
Separadamente na matemática, os números complexos são distinguidos.
Números complexos surgem em conexão com o problema de resolver quadrados para o caso D< 0 (здесь Dé o discriminante da equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram uso físico, por isso foram chamados de números "imaginários". No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física e da tecnologia: engenharia elétrica, hidro e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.
Números complexos são escritas como: z= uma+ bi. Aqui uma e b – numeros reais, uma eu – unidade imaginária.e. eu 2 = -1. Número uma chamado abscissa, uma b-ordenar número complexo uma+ bi. Dois números complexos uma+ bi e a-bi chamado conjugado números complexos.
Propriedades:
1. Número real uma também pode ser escrito como um número complexo: uma+ 0eu ou uma - 0eu. Por exemplo 5 + 0 eu e 5 - 0 eu significa o mesmo número 5 .
2. Número complexo 0 + bi chamado puramente imaginário número. Gravação bi significa o mesmo que 0 + bi.
3. Dois números complexos uma+ bi e c+ di são considerados iguais se uma= c e b= d. Por outro lado números complexos não igual.
Ações:
Adição. A soma dos números complexos uma+ bi e c+ dié chamado de número complexo ( uma+ c) + (b+ d)eu. Nesse caminho, ao adicionar números complexos, suas abscissas e ordenadas são adicionadas separadamente.
Subtração. A diferença entre dois números complexos uma+ bi(reduzido) e c+ di(subtraído) é chamado de número complexo ( a-c) + (b-d)eu. Nesse caminho, ao subtrair dois números complexos, suas abscissas e ordenadas são subtraídas separadamente.
Multiplicação. O produto de números complexos uma+ bi e c+ dié chamado de número complexo.
(ac-bd) + (de Anúncios+ bc)eu. Esta definição decorre de dois requisitos:
1) números uma+ bi e c+ di deve multiplicar como binômios algébricos,
2) número eu tem como propriedade principal: eu 2 = –1.
EXEMPLO ( a + bi)(a-bi)= um 2 +b 2 . Consequentemente, trabalharde dois números complexos conjugados é igual a um número real positivo.
Divisão. Dividir um número complexo uma+ bi(divisível) para outro c+ di (divisor) - significa encontrar o terceiro número e+ fi(chat), que, quando multiplicado por um divisor c+ di, o que resulta no dividendo uma+ bi. Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.
EXEMPLO Encontrar (8+ eu) : (2 – 3eu) .
Solução. Vamos reescrever essa proporção como uma fração:
Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3 eu e fazendo todas as transformações, obtemos:
Tarefa 1: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir z 1 para z 2
Extraindo a raiz quadrada: Resolva a equação x 2 = -uma. Para resolver esta equação somos forçados a usar um novo tipo de número - números imaginários . Nesse caminho, imaginário o número é chamado cuja segunda potência é um número negativo. De acordo com esta definição de números imaginários, podemos definir e imaginário unidade:
Então para a equação x 2 = - 25 temos dois imaginário raiz:
Tarefa 2: Resolva a equação:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:
Aqui está o ponto UMA significa número -3, ponto Bé o número 2, e O-zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para isso, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexo uma+ bi será representado por um ponto P com abcissauma e ordenarb. Este sistema de coordenadas é chamado plano complexo .
módulo número complexo é chamado de comprimento do vetor OP, representando um número complexo na coordenada ( integrado) avião. Módulo de número complexo uma+ bi denotado por | uma+ bi| ou) carta r e é igual a:
Os números complexos conjugados têm o mesmo módulo.
As regras para traçar um desenho são quase as mesmas de um desenho em um sistema de coordenadas cartesianas. Ao longo dos eixos, você precisa definir a dimensão, observe:
e 
unidade ao longo do eixo real; Rez
unidade imaginária ao longo do eixo imaginário. eu sou z
Tarefa 3. Construa os seguintes números complexos no plano complexo: , , , , , , ,
1. Os números são exatos e aproximados. Os números que encontramos na prática são de dois tipos. Alguns dão o valor real da quantidade, outros apenas aproximam. O primeiro é chamado exato, o segundo - aproximado. Na maioria das vezes, é conveniente usar um número aproximado em vez de um número exato, especialmente porque em muitos casos o número exato não pode ser encontrado.
Então, se eles dizem que há 29 alunos na classe, então o número 29 é exato. Se dizem que a distância de Moscou a Kyiv é de 960 km, então aqui o número 960 é aproximado, pois, por um lado, nossos instrumentos de medição não são absolutamente precisos, por outro, as próprias cidades têm alguma extensão.
O resultado de operações com números aproximados também é um número aproximado. Ao realizar algumas operações em números exatos (dividir, extrair a raiz), você também pode obter números aproximados.
A teoria dos cálculos aproximados permite:
1) conhecendo o grau de precisão dos dados, avalie o grau de precisão dos resultados;
2) obter dados com um grau de precisão apropriado, suficiente para garantir a precisão exigida do resultado;
3) racionalizar o processo de cálculo, liberando-o daqueles cálculos que não afetarão a precisão do resultado.
2. Arredondamento. Uma fonte de números aproximados é o arredondamento. Arredonde os números aproximados e exatos.
Arredondar um determinado número para alguns de seus dígitos é a substituição dele por um novo número, que é obtido a partir do dado descartando todos os seus dígitos escritos à direita do dígito desse dígito, ou substituindo-os por zeros. Esses zeros geralmente são sublinhados ou escritos em tamanho menor. Para garantir a maior proximidade do número arredondado para o arredondado, as seguintes regras devem ser utilizadas: para arredondar o número para um de determinado dígito, você deve descartar todos os dígitos após o dígito desse dígito e substituí-los com zeros no número inteiro. Isso leva em consideração o seguinte:
1) se o primeiro (à esquerda) dos dígitos descartados for menor que 5, então o último dígito restante não é alterado (arredondado para baixo);
2) se o primeiro dígito descartado for maior que 5 ou igual a 5, então o último dígito restante é aumentado em um (arredondamento para cima).
Vamos mostrar isso com exemplos. Arredondar para cima:
a) até às décimas de 12.34;
b) até centésimos de 3,2465; 1038.785;
c) até milésimos de 3,4335.
d) até 12375 milhares; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Erros absolutos e relativos. A diferença entre o número exato e seu valor aproximado é chamada de erro absoluto do número aproximado. Por exemplo, se o número exato 1,214 for arredondado para décimos, obtemos um número aproximado de 1,2. NO este caso o erro absoluto do número aproximado 1,2 é 1,214 - 1,2, ou seja, 0,014.
Mas na maioria dos casos valor exato valor considerado é desconhecido, mas apenas aproximado. Então o erro absoluto também é desconhecido. Nestes casos, indique o limite que não ultrapassa. Este número é chamado de erro absoluto marginal. Eles dizem que o valor exato de um número é igual ao seu valor aproximado com um erro menor que o erro de limite. Por exemplo, o número 23,71 é o valor aproximado do número 23,7125 com precisão de 0,01, pois o erro de aproximação absoluto é 0,0025 e menor que 0,01. Aqui, o erro absoluto do limite é igual a 0,01 * .
Erro absoluto de limite do número aproximado uma denotado pelo símbolo Δ uma. Gravação
x≈uma(±Δ uma)
deve ser entendido da seguinte forma: o valor exato da quantidade x está no meio uma– Δ uma e uma+ Δ uma, que são chamados de limites inferior e superior, respectivamente. x e denotar NG x VG x.
Por exemplo, se x≈ 2,3 (±0,1), então 2,2<x< 2,4.
Por outro lado, se 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). O erro absoluto absoluto ou marginal não caracteriza a qualidade da medição. O mesmo erro absoluto pode ser considerado significativo e insignificante, dependendo do número que expressa o valor medido. Por exemplo, se medirmos a distância entre duas cidades com precisão de um quilômetro, essa precisão é suficiente para essa mudança, enquanto, ao mesmo tempo, ao medir a distância entre duas casas na mesma rua, essa precisão será inaceitável. Portanto, a precisão do valor aproximado de uma grandeza depende não apenas da magnitude do erro absoluto, mas também do valor da grandeza medida. Portanto, a medida de precisão é o erro relativo.
O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor do número aproximado. A razão entre o erro absoluto do limite e o número aproximado é chamada de erro relativo do limite; denotar assim: Os erros relativos relativos e de limite são geralmente expressos como uma porcentagem. Por exemplo, se as medições mostrarem que a distância x entre dois pontos é superior a 12,3 km, mas inferior a 12,7 km, então a média aritmética desses dois números é tomada como um valor aproximado, ou seja, sua meia-soma, então o erro absoluto de limite é igual à meia-diferença desses números. Nesse caso x≈ 12,5 (±0,2). Aqui, o erro absoluto do limite é de 0,2 km e o relativo do limite
Nesta subseção, damos várias definições de números racionais. Apesar das diferenças de redação, todas essas definições têm o mesmo significado: números racionais combinam números inteiros e fracionários, assim como números inteiros combinam números naturais, seus números opostos e o número zero. Em outras palavras, os números racionais generalizam números inteiros e fracionários.
Vamos começar com definições de números racionais que é percebido como o mais natural.
Definição.
Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração comum positiva, uma fração comum negativa ou o número zero.
Da definição soada, segue-se que um número racional é:
qualquer número natural n. De fato, qualquer número natural pode ser representado como uma fração ordinária, por exemplo, 3=3/1 .
· Qualquer número inteiro, em particular, o número zero. De fato, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração comum positiva, como uma fração comum negativa ou como zero. Por exemplo, 26=26/1 , .
Qualquer fração ordinária (positiva ou negativa). Isso é afirmado diretamente pela definição dada de números racionais.
· Qualquer número misto. De fato, é sempre possível representar um número misto como uma fração comum imprópria. Por exemplo, e.
· Qualquer fração decimal finita ou fração periódica infinita. Isso ocorre porque as frações decimais especificadas são convertidas em frações comuns. Por exemplo, um 0,(3)=1/3 .
Também está claro que qualquer decimal infinito não periódico NÃO é um número racional, pois não pode ser representado como uma fração comum.
Agora podemos facilmente trazer exemplos de números racionais. Números 4 ,903 , 100 321 são números racionais, pois são números naturais. Números inteiros 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 também são exemplos de números racionais. Frações comuns 4/9 , 99/3 , também são exemplos de números racionais. Números racionais também são números.
Os exemplos acima mostram que existem números racionais positivos e negativos, e o número racional zero não é nem positivo nem negativo.
A definição acima de números racionais pode ser formulada de uma forma mais curta.
Definição.
Números racionais nomeie um número que pode ser escrito como uma fração z/n, Onde zé um número inteiro e n- número natural.
Provemos que esta definição de números racionais é equivalente à definição anterior. Sabemos que podemos considerar a barra de uma fração como um sinal de divisão, então, a partir das propriedades da divisão de inteiros e das regras para dividir inteiros, segue-se a validade das seguintes igualdades e. Então essa é a prova.
Damos exemplos de números racionais com base nessa definição. Números −5 , 0 , 3 , e são números racionais, pois podem ser escritos como frações com um numerador inteiro e um denominador natural da forma e respectivamente.
A definição de números racionais também pode ser dada na seguinte formulação.
Definição.
Números racionais são números que podem ser escritos como uma fração decimal periódica finita ou infinita.
Esta definição também é equivalente à primeira definição, pois qualquer fração ordinária corresponde a uma fração decimal finita ou periódica e vice-versa, e qualquer número inteiro pode ser associado a uma fração decimal com zeros após a vírgula.
Por exemplo, números 5 , 0 , −13 , são exemplos de números racionais, pois podem ser escritos como as seguintes frações decimais 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 e −7,(18) .
Terminamos a teoria desta seção com as seguintes afirmações:
números inteiros e fracionários (positivos e negativos) compõem o conjunto dos números racionais;
Todo número racional pode ser representado como uma fração com um numerador inteiro e um denominador natural, e cada uma dessas frações é um número racional;
Todo número racional pode ser representado como uma fração decimal periódica finita ou infinita, e cada uma dessas frações representa algum número racional.
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A adição de números racionais positivos é comutativa e associativa,
("a, b í Q +) a + b= b + a;
("a, b, c í Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)
Antes de formular a definição de multiplicação de números racionais positivos, considere o seguinte problema: sabe-se que o comprimento do segmento X é expresso como uma fração no comprimento unitário E, e o comprimento do segmento unitário é medido usando a unidade E 1 e é expresso como uma fração. Como encontrar o número que representará o comprimento do segmento X, se você o medir usando a unidade de comprimento E 1?
Como X=E, então nX=mE, e do fato de que E =E 1 segue que qE=pE 1 . Multiplicamos a primeira igualdade obtida por q, e a segunda por m. Então (nq)X \u003d (mq)E e (mq)E \u003d (mp)E 1, de onde (nq)X \u003d (mp)E 1. Essa igualdade mostra que o comprimento do segmento x no comprimento da unidade é expresso como uma fração e, portanto, , =, ou seja a multiplicação de frações está associada à transição de uma unidade de comprimento para outra ao medir o comprimento do mesmo segmento.
Definição: Se um número positivo a é representado por uma fração, e um número racional positivo b é uma fração, então o produto deles é o número a b, que é representado por uma fração.
Multiplicação de números racionais positivos comutativo, associativo e distributivo em relação à adição e subtração. A prova dessas propriedades é baseada na definição de multiplicação e adição de números racionais positivos, bem como nas correspondentes propriedades de adição e multiplicação de números naturais.
46. Como você sabe subtraçãoé o oposto de adição.
Se um uma e b - números positivos, então subtrair o número b do número a significa encontrar um número c que, quando adicionado ao número b, dá o número a.
a - b = c ou c + b = a
A definição de subtração vale para todos os números racionais. Ou seja, a subtração de números positivos e negativos pode ser substituída pela adição.
Para subtrair outro de um número, você precisa adicionar o número oposto ao minuendo.
Ou, de outra forma, podemos dizer que a subtração do número b é a mesma adição, mas com o número oposto ao número b.
a - b = a + (- b)
Exemplo.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Exemplo.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vale lembrar as expressões abaixo.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0
Regras para subtrair números negativos
A subtração do número b é a adição com o número oposto ao número b.
Essa regra é preservada não apenas ao subtrair um número menor de um número maior, mas também permite subtrair um número maior de um número menor, ou seja, você sempre pode encontrar a diferença entre dois números.
A diferença pode ser um número positivo, um número negativo ou zero.
Exemplos de subtração de números negativos e positivos.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
É conveniente lembrar a regra dos sinais, que permite reduzir o número de parênteses.
O sinal de adição não altera o sinal do número, portanto, se houver um sinal de adição na frente do colchete, o sinal entre colchetes não será alterado.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
O sinal de menos na frente dos colchetes inverte o sinal do número entre os colchetes.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Pode-se ver pelas igualdades que, se houver sinais idênticos antes e dentro dos colchetes, obtemos “+” e, se os sinais forem diferentes, obtemos “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
A regra dos sinais também é preservada se não houver um número entre colchetes, mas uma soma algébrica de números.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Observe que, se houver vários números entre colchetes e houver um sinal de menos na frente dos colchetes, os sinais na frente de todos os números nesses colchetes devem mudar.
Para lembrar a regra dos sinais, você pode fazer uma tabela para determinar os sinais de um número.
Regra de sinais para números + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ou aprenda uma regra simples.
Dois negativos fazem uma afirmativa,
Mais vezes menos é igual a menos.
Regras para divisão de números negativos.
Para encontrar o módulo do quociente, você precisa dividir o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
Então, para dividir dois números com os mesmos sinais, você precisa:
Divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor;
Coloque um sinal "+" antes do resultado.
Exemplos de divisão de números com sinais diferentes:
Você também pode usar a tabela a seguir para determinar o sinal de quociente.
A regra dos sinais ao dividir
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -
Ao calcular expressões "longas", nas quais aparecem apenas a multiplicação e a divisão, é muito conveniente usar a regra dos sinais. Por exemplo, para calcular uma fração
Você pode prestar atenção que no numerador existem 2 sinais de "menos", que, quando multiplicados, darão um "mais". Existem também três sinais de menos no denominador, que, quando multiplicados, darão um sinal de menos. Portanto, no final, o resultado ficará com um sinal de menos.
A redução da fração (outras ações com módulos de números) é realizada da mesma forma que antes:
O quociente da divisão de zero por um número diferente de zero é zero.
0: a = 0, a ≠ 0
NÃO divida por zero!
Todas as regras previamente conhecidas para divisão por um também se aplicam ao conjunto dos números racionais.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, onde a é qualquer número racional.
As dependências entre os resultados da multiplicação e divisão, que são conhecidas para números positivos, também são preservadas para todos os números racionais (exceto para o número zero):
se a × b = c; a = c: b; b = c: a;
se a: b = c; a = c × b; b=a:c
Essas dependências são usadas para encontrar o fator desconhecido, dividendo e divisor (ao resolver equações), bem como para verificar os resultados da multiplicação e divisão.
Um exemplo de encontrar o desconhecido.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2
Informações semelhantes.
Como vimos, o conjunto dos números naturais
é fechado sob adição e multiplicação, e o conjunto de inteiros
fechado sob adição, multiplicação e subtração. No entanto, nenhum desses conjuntos é fechado sob divisão, pois a divisão de números inteiros pode levar a frações, como nos casos de 4/3, 7/6, -2/5 e assim por diante. O conjunto de todas essas frações forma o conjunto dos números racionais. Assim, um número racional (fração racional) é um número que pode ser representado como , onde a e d são inteiros e d não é igual a zero. Façamos algumas observações sobre essa definição.
1) Exigimos que d seja diferente de zero. Esse requisito (escrito matematicamente como desigualdade ) é necessário porque aqui d é um divisor. Considere os seguintes exemplos:
Caso 1. .
Caso 2. .
No caso 1, d é um divisor no sentido do capítulo anterior, ou seja, 7 é um divisor exato de 21. No caso 2, d ainda é um divisor, mas em um sentido diferente, pois 7 não é um divisor exato de 25.
Se 25 é chamado de divisível e 7 de divisor, obtemos o quociente 3 e o restante 4. Portanto, a palavra divisor é usada aqui em um sentido mais geral e se aplica a mais casos do que no cap. I. No entanto, em casos como o Caso 1, o conceito de divisor introduzido no cap. EU; portanto, é necessário, como no cap. I, excluo a possibilidade d = 0.
2) Observe que, embora as expressões número racional e fração racional sejam sinônimas, a própria palavra fração é usada para se referir a qualquer expressão algébrica composta por um numerador e um denominador, como, por exemplo,
3) A definição de número racional inclui a expressão “um número que pode ser representado como , onde a e d são inteiros e . Por que não pode ser substituído pela expressão “um número da forma em que a e d são inteiros e A razão para isso é o fato de que existem infinitas maneiras de expressar a mesma fração (por exemplo, 2/3 também pode ser escrito como 4/6, 6/9, ou ou 213/33, ou etc.), e é desejável para nós que nossa definição de um número racional não dependa de uma maneira particular de expressá-lo.
Uma fração é definida de tal forma que seu valor não muda quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número. No entanto, nem sempre é possível dizer apenas olhando para uma determinada fração se ela é racional ou não. Considere, por exemplo, os números
Nenhum deles na notação que escolhemos tem a forma , onde a e d são inteiros.
Podemos, no entanto, realizar uma série de transformações aritméticas na primeira fração e obter
Assim, chegamos a uma fração igual à fração original para a qual . O número é, portanto, racional, mas não seria racional se a definição de um número racional exigisse que o número fosse da forma a/b, onde a e b são inteiros. No caso de uma fração de conversão
levar a um número. Em capítulos posteriores, aprenderemos que um número não pode ser representado como uma razão entre dois números inteiros e, portanto, não é racional, ou é considerado irracional.
4) Observe que todo inteiro é racional. Como acabamos de ver, isso é verdade no caso do número 2. No caso geral de números inteiros arbitrários, pode-se atribuir de forma semelhante um denominador 1 a cada um deles e obter sua representação como frações racionais.
