Ao estudar álgebra em escola de educação geral(9º ano) um dos tópicos importantesé o estudo de sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, vamos considerar uma progressão aritmética e exemplos com soluções.
Para entender isso, é necessário dar uma definição da progressão em consideração, bem como dar as fórmulas básicas que serão posteriormente utilizadas na resolução de problemas.
Aritmética ou é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro dos quais difere do anterior por algum valor constante. Esse valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.
Vamos dar um exemplo. A próxima sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto dos números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão considerado, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Agora damos as principais fórmulas que serão necessárias para resolver problemas usando progressão aritmética. Denote pelo símbolo a n enésimo membro sequências onde n é um número inteiro. A diferença é denotada pela letra latina d. Então as seguintes expressões são verdadeiras:
Para entender quaisquer exemplos de progressão aritmética com solução no 9º ano, basta lembrar essas duas fórmulas, pois quaisquer problemas do tipo em questão são construídos com base em seu uso. Além disso, não esqueça que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1 .
Damos um exemplo simples de uma progressão aritmética e as fórmulas que devem ser usadas para resolvê-la.
Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., é necessário encontrar cinco termos nela.
Já decorre das condições do problema que os 4 primeiros termos são conhecidos. A quinta pode ser definida de duas maneiras:
Como você pode ver, ambas as soluções levam ao mesmo resultado. Note que neste exemplo a diferença d da progressão é negativa. Tais sequências são chamadas decrescentes porque cada termo sucessivo é menor que o anterior.
Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética.
Sabe-se que em alguma progressão algébrica o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar esta sequência para o 7º termo.
Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números 1 e 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode facilmente calcular a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.
Para restaurar uma sequência de até 7 termos, deve-se usar a definição progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e assim por diante. Como resultado, restauramos toda a sequência: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.
Vamos tornar mais difícil condição mais forte tarefas. Agora você precisa responder à questão de como encontrar uma progressão aritmética. Podemos dar o seguinte exemplo: são dados dois números, por exemplo, 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que caibam mais três termos entre estes.
Antes de começar a resolver esse problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Aqui não recebemos um valor inteiro da diferença, mas é número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.
Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.
Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de tipo diferente: sejam dados dois números, onde 15 = 50 e 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.
As fórmulas usadas até agora assumem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada termo sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações nas quais existem 2 quantidades desconhecidas (a 1 e d). Isso significa que o problema se reduz à resolução de um sistema de equações lineares.
O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, daí a diferença d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (apenas 3 casas decimais são dadas).
Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificar, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, que é especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de que o arredondamento para milésimos foi usado nos cálculos.
Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.
Seja dada uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?
Graças ao desenvolvimento da informática, esse problema pode ser resolvido, ou seja, somar sequencialmente todos os números, o que o computador fará assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você observar que a série de números apresentada é uma progressão algébrica e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, obtemos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
É curioso notar que este problema é chamado de "Gaussiano", já que no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula da soma de uma progressão algébrica, mas notou que se somarmos pares de números localizados nas arestas da sequência, obtemos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100/2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.
Outro exemplo típico da soma de uma progressão aritmética é o seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus termos de 8 a 14.
O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.
A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são números inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:
Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui a primeira. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então obtemos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
A fórmula resultante é um tanto complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.
Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e na fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.
Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você consegue responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, então é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e dividir tarefa comum em subtarefas separadas (em este caso primeiro encontre os termos a n e a m).
Se houver dúvidas sobre o resultado obtido, é recomendável verificá-lo, como foi feito em alguns dos exemplos dados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.
Progressões aritméticas e geométricas
Informações teóricas
Informações teóricas
Progressão aritmética |
Progressão geométrica |
|
Definição |
Progressão aritmética um uma sequência é chamada, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao membro anterior, adicionado com o mesmo número d (d- diferença de progressão) |
progressão geométrica b n uma sequência de números diferentes de zero é chamada, cada termo da qual, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número q (q- denominador de progressão) |
fórmula recorrente |
Para qualquer natural n |
Para qualquer natural n |
fórmula do enésimo termo |
a n = a 1 + d (n-1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| propriedade característica |  |
|
| Soma dos primeiros n termos |  |
 |
Exemplos de tarefas com comentários
Exercício 1
Em progressão aritmética ( um) um 1 = -6, um 2
Pela fórmula do enésimo termo:
um 22 = um 1+ d (22 - 1) = um 1+ 21d
Por condição:
um 1= -6, então um 22= -6 + 21d.
É necessário encontrar a diferença de progressões:
d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
um 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Responda : um 22 = -48.
Tarefa 2
Encontre o quinto termo da progressão geométrica: -3; 6;....
1ª maneira (usando a fórmula de n termos)
De acordo com a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão geométrica:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Porque b 1 = -3,
2ª via (usando fórmula recursiva)
Como o denominador da progressão é -2 (q = -2), então:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Responda : b 5 = -48.
Tarefa 3
Em progressão aritmética ( um n) um 74 = 34; um 76= 156. Encontre o septuagésimo quinto termo dessa progressão.
Para uma progressão aritmética, a propriedade característica tem a forma 
.
Portanto:
.
Substitua os dados na fórmula:
Resposta: 95.
Tarefa 4
Em progressão aritmética ( a n) a n= 3n - 4. Encontre a soma dos primeiros dezessete termos.
Para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética, duas fórmulas são usadas:
.
Qual deles é mais conveniente de aplicar neste caso?
Por condição, a fórmula do enésimo membro da progressão original é conhecida ( um) um= 3n - 4. Pode ser encontrado imediatamente e um 1, e um 16 sem encontrar d. Portanto, usamos a primeira fórmula.
Resposta: 368.
Tarefa 5
Em progressão aritmética um) um 1 = -6; um 2= -8. Encontre o vigésimo segundo termo da progressão.
Pela fórmula do enésimo termo:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = um 1+ 21d.
Por condição, se um 1= -6, então um 22= -6 + 21d. É necessário encontrar a diferença de progressões:
d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
um 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Responda : um 22 = -48.
Tarefa 6
Vários termos consecutivos de uma progressão geométrica são registrados:
Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.
Ao resolver, usamos a fórmula para o enésimo termo b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 para progressões geométricas. O primeiro membro da progressão. Para encontrar o denominador da progressão q, você precisa pegar qualquer um desses termos da progressão e dividir pelo anterior. No nosso exemplo, você pode pegar e dividir por. Obtemos q \u003d 3. Em vez de n, substituímos 3 na fórmula, pois é necessário encontrar o terceiro termo de uma determinada progressão geométrica.
Substituindo os valores encontrados na fórmula, obtemos:
.
Responda : .
Tarefa 7
Das progressões aritméticas dadas pela fórmula do enésimo termo, escolha aquela para a qual a condição é satisfeita um 27 > 9:
Como a condição especificada deve ser satisfeita para o 27º termo da progressão, substituímos 27 em vez de n em cada uma das quatro progressões. Na 4ª progressão obtemos:
.
Resposta: 4.
Tarefa 8
Em progressão aritmética um 1= 3, d = -1,5. Especificamos valor mais alto n , para o qual a desigualdade um > -6.
Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :) Bem, amigos, se você está lendo este texto, então a evidência cap interna me diz que você ainda não sabe o que é uma progressão aritmética, mas você realmente (não, assim: MUUUITO!) quer saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e vou imediatamente começar a trabalhar.
Para começar, alguns exemplos. Considere vários conjuntos de números:
O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.
Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto é apenas números consecutivos, cada um a mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é igual a cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes em geral. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, enquanto $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, nesse caso, cada próximo elemento simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não se assuste porque esse número é irracional).
Então: todas essas sequências são chamadas apenas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:
Definição. Uma sequência de números em que cada próximo difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. A própria quantidade pela qual os números diferem é chamada de diferença de progressão e geralmente é indicada pela letra $d$.
Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a própria progressão, $d$ é sua diferença.
E apenas algumas observações importantes. Primeiro, a progressão é considerada apenas ordenadamente seqüência de números: eles podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Você não pode reorganizar ou trocar números.
Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo como (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após o quatro, por assim dizer, indicam que muitos números vão além. Infinitamente muitos, por exemplo. :)
Também gostaria de observar que as progressões estão aumentando e diminuindo. Já vimos crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:
Ok, ok: o último exemplo pode parecer excessivamente complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:
Definição. Uma progressão aritmética é chamada de:
- aumentando se cada próximo elemento for maior que o anterior;
- diminuindo, se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.
Além disso, existem as chamadas sequências "estacionárias" - elas consistem no mesmo número repetido. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).
Resta apenas uma pergunta: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:
Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes acima. Para fazer isso, basta pegar quaisquer dois elementos adjacentes (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair do número à direita, o número à esquerda. Isso parecerá assim:
Como você pode ver, nos três casos a diferença realmente acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas possuem.
Como os elementos de nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \certo\)\]
Elementos individuais desse conjunto são chamados de membros da progressão. Eles são indicados dessa maneira com a ajuda de um número: o primeiro membro, o segundo membro e assim por diante.
Além disso, como já sabemos, os membros vizinhos da progressão são relacionados pela fórmula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Resumindo, para encontrar o $n$ésimo termo da progressão, você precisa saber o $n-1$ésimo termo e a diferença $d$. Essa fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você pode encontrar qualquer número, conhecendo apenas o anterior (e, de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz qualquer cálculo ao primeiro termo e à diferença:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Você provavelmente já se deparou com esta fórmula antes. Eles gostam de dar em todos os tipos de livros de referência e reshebniks. E em qualquer livro sensato de matemática, é um dos primeiros.
No entanto, sugiro que você pratique um pouco.
Tarefa número 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Solução. Assim, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença de progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula dada e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Resposta: (8; 3; -2)
Isso é tudo! Observe que nossa progressão está diminuindo.
Claro, $n=1$ não poderia ter sido substituído - já conhecemos o primeiro termo. No entanto, ao substituir a unidade, garantimos que, mesmo para o primeiro termo, nossa fórmula funcione. Em outros casos, tudo se resumia à aritmética banal.
Tarefa número 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se seu sétimo termo for −40 e seu décimo sétimo termo for −50.
Solução. Escrevemos a condição do problema nos termos usuais:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]
Eu coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. E agora notamos que se subtrairmos a primeira equação da segunda equação (temos o direito de fazer isso, porque temos um sistema), obtemos o seguinte:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Assim, encontramos a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:
\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]
Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Preparar! Problema resolvido.
Resposta: (-34; -35; -36)
Observe uma propriedade curiosa da progressão que descobrimos: se pegarmos os termos $n$th e $m$th e subtraí-los um do outro, obtemos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Simples mas muito propriedade útil, que você definitivamente precisa saber - com sua ajuda, você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas nas progressões. Aqui está um excelente exemplo disso:
Tarefa número 3. O quinto termo da progressão aritmética é 8,4 e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo dessa progressão.
Solução. Como $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, observamos o seguinte:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, então $5d=6$, de onde temos:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Resposta: 20.4
Isso é tudo! Não precisamos compor nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi decidido em apenas algumas linhas.
Agora vamos considerar outro tipo de problema - a busca por membros negativos e positivos da progressão. Não é segredo que, se a progressão aumentar, enquanto seu primeiro termo for negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão termos positivos nela. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente mais cedo ou mais tarde se tornarão negativos.
Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “na testa”, classificando sequencialmente os elementos. Freqüentemente, os problemas são projetados de forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas - simplesmente adormecíamos até encontrar a resposta. Portanto, tentaremos resolver esses problemas de maneira mais rápida.
Tarefa número 4. Quantos termos negativos em uma progressão aritmética -38,5; -35,8; …?
Solução. Assim, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, a partir do qual encontramos imediatamente a diferença:
Note que a diferença é positiva, então a progressão é crescente. O primeiro termo é negativo, portanto, em algum momento, tropeçaremos em números positivos. A única questão é quando isso vai acontecer.
Vamos tentar descobrir: por quanto tempo (ou seja, até que número natural $n$) a negatividade dos termos é preservada:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\esquerda(n-1 \direita)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \esquerda| \cdot 10 \certo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
A última linha precisa de esclarecimento. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, apenas valores inteiros do número nos servirão (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16.
Tarefa número 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo dessa progressão.
Este seria exatamente o mesmo problema do anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:
Além disso, vamos tentar expressar o quinto termo em termos do primeiro e da diferença usando a fórmula padrão:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Agora procedemos por analogia com o problema anterior. Descobrimos em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Seta para a direita ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
A solução inteira mínima dessa desigualdade é o número 56.
Observe que na última tarefa tudo foi reduzido à desigualdade estrita, portanto a opção $n=55$ não nos convém.
Agora que aprendemos a resolver problemas simples, vamos passar para os mais complexos. Mas primeiro, vamos aprender outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro. :)
Considere vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los em uma linha numérica:
Membros de progressão aritmética na reta numéricaObservei especificamente os membros arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não qualquer $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Porque a regra, que vou contar agora, funciona da mesma forma para quaisquer "segmentos".
E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recursiva e escrevê-la para todos os membros marcados:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de forma diferente:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Bem, e daí? Mas o fato de que os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estão à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também foram removidos de $((a)_(n) )$ pela mesma distância igual a $2d$. Você pode continuar indefinidamente, mas a imagem ilustra bem o significado
Os membros da progressão estão à mesma distância do centro O que isso significa para nós? Isso significa que você pode encontrar $((a)_(n))$ se os números vizinhos forem conhecidos:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Deduzimos uma afirmação magnífica: cada membro de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos membros vizinhos! Além disso, podemos nos desviar de nosso $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não em um passo, mas em $k$ passos — e ainda assim a fórmula estará correta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Aqueles. podemos facilmente encontrar algum $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que esse fato não nos traz nada de útil. Porém, na prática, muitas tarefas são especialmente "afiadas" para o uso da média aritmética. Dê uma olhada:
Tarefa número 6. Encontre todos os valores de $x$ tais que os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sejam membros consecutivos de uma progressão aritmética (na ordem especificada).
Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição de média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Ficou clássico Equação quadrática. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.
Resposta: -3; 2.
Tarefa número 7. Encontre os valores de $$ de modo que os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formem uma progressão aritmética (nessa ordem).
Solução. Novamente, expressamos o termo médio em termos da média aritmética dos termos vizinhos:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\direita.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Outra equação quadrática. E novamente duas raízes: $x=6$ e $x=1$.
Resposta 1; 6.
Se no processo de resolução de um problema você obtiver alguns números brutais, ou não tiver certeza absoluta da exatidão das respostas encontradas, existe um truque maravilhoso que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?
Digamos que no problema 6 obtivemos as respostas -3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas conectá-los à condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Substitua $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fim(alinhar)\]
Temos os números -54; −2; 50 que diferem por 52 é, sem dúvida, uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fim(alinhar)\]
Novamente uma progressão, mas com uma diferença de 27. Assim, o problema é resolvido corretamente. Quem quiser pode verificar a segunda tarefa por conta própria, mas direi desde já: está tudo correto aí também.
Em geral, ao resolver as últimas tarefas, nos deparamos com outra fato interessante, que também precisa ser lembrado:
Se três números são tais que o segundo é a média do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.
No futuro, a compreensão dessa afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base na condição do problema. Mas antes de nos envolvermos em tal "construção", devemos prestar atenção a mais um fato, que segue diretamente do que já foi considerado.
Vamos voltar para a reta numérica novamente. Notamos ali vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale a pena muitos outros membros:
6 elementos marcados na reta numéricaVamos tentar expressar a "cauda esquerda" em termos de $((a)_(n))$ e $d$, e a "cauda direita" em termos de $((a)_(k))$ e $ d$. É muito simples:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Agora observe que as seguintes somas são iguais:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fim(alinhar)\]
Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a passar desses elementos para lados opostos(um em direção ao outro ou vice-versa para remover), então as somas dos elementos que encontraremos também serão iguais$S$. Isso pode ser melhor representado graficamente:
Travessões iguais dão somas iguais Compreensão este fato nos permitirá resolver problemas fundamentalmente mais alto nível complexidade do que os discutidos acima. Por exemplo, estes:
Tarefa número 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética na qual o primeiro termo é 66 e o produto do segundo e do décimo segundo termos é o menor possível.
Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fim(alinhar)\]
Então, não sabemos a diferença da progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, pois o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fim(alinhar)\]
Para aqueles que estão no tanque: tirei o fator comum 11 do segundo colchete. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramos para cima, pois abrindo os parênteses, obtemos:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Como você pode ver, o coeficiente com o termo mais alto é 11 - este é um número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramos para cima:
cronograma função quadrática- parábola
Observe: esta parábola tem seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular esta abcissa usando esquema padrão(existe uma fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável observar que o vértice desejado está no eixo de simetria do parábola, então o ponto $((d) _(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Por isso não tive pressa em abrir os parênteses: na forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
O que nos dá o número descoberto? Com ele, o produto necessário assume o menor valor (aliás, não calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, esse número é a diferença da progressão inicial, ou seja, encontramos a resposta. :)
Resposta: -36
Tarefa número 9. Insira três números entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ de modo que junto com os números dados formem uma progressão aritmética.
Solução. Na verdade, precisamos fazer uma sequência de cinco números, sendo o primeiro e o último já conhecidos. Denote os números que faltam pelas variáveis $x$, $y$ e $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Note que o número $y$ é o "meio" da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dos números $x$ e $z$ estivermos em este momento não podemos obter $y$, então a situação é diferente com os fins da progressão. Lembre-se da média aritmética:
Agora, sabendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ recém-encontrados. É por isso
Argumentando de forma semelhante, encontramos o número restante:
Preparar! Encontramos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.
Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tarefa número 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, juntamente com os números dados, formem uma progressão aritmética, se souber que a soma do primeiro, segundo e último dos números inseridos é 56.
Solução. Uma tarefa ainda mais difícil, que, no entanto, é resolvida da mesma forma que as anteriores - pela média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números inserir. Portanto, para definitividade, assumimos que após a inserção haverá exatamente $n$ números, sendo que o primeiro deles é 2 e o último é 42. Nesse caso, a progressão aritmética desejada pode ser representada como:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Observe, no entanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos dos números 2 e 42 que estão nas bordas um passo em direção ao outro , ou seja . ao centro da sequência. E isso significa que
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Mas então a expressão acima pode ser reescrita assim:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\esquerda(3-1 \direita)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Seta para a direita d=5. \\ \end(align)\]
Resta apenas encontrar os membros restantes:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, apenas 7 números tiveram que ser inseridos: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Em conclusão, gostaria de considerar alguns tarefas simples. Bem, como simples: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, essas tarefas podem parecer um gesto. No entanto, são precisamente essas tarefas que aparecem no OGE e no USE em matemática, por isso recomendo que você se familiarize com elas.
Tarefa número 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, a cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais do que no anterior. Quantas peças a brigada produziu em novembro?
Solução. Obviamente, o número de peças, pintadas por mês, será uma progressão aritmética crescente. E:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Assim, 202 peças serão fabricadas em novembro.
Tarefa número 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro e, a cada mês, encadernou 4 livros a mais do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?
Solução. Tudo o mesmo:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Esta é a resposta - 260 livros serão encadernados em dezembro.
Bem, se você leu até aqui, apresso-me em parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso de jovem lutador” em progressões aritméticas. Podemos passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como consequências importantes e muito úteis dela.
Alguém trata a palavra "progressão" com cautela, como um termo muito complexo das seções matemática superior. Enquanto isso, a progressão aritmética mais simples é o trabalho do contador de táxi (onde ainda permanecem). E entender a essência (e na matemática não há nada mais importante do que “entender a essência”) de uma sequência aritmética não é tão difícil, tendo analisado alguns conceitos elementares.
Costuma-se chamar uma sequência numérica de uma série de números, cada um com seu próprio número.
e 1 é o primeiro membro da sequência;
e 2 é o segundo membro da sequência;
e 7 é o sétimo membro da sequência;
e n é o enésimo membro da sequência;
No entanto, nenhum conjunto arbitrário de figuras e números nos interessa. Concentraremos nossa atenção em uma sequência numérica na qual o valor do n-ésimo membro está relacionado ao seu número ordinal por uma dependência que pode ser claramente formulada matematicamente. Em outras palavras: o valor numérico do n-ésimo número é alguma função de n.
a - valor de um membro da sequência numérica;
n é o seu número de série;
f(n) é uma função em que o ordinal na sequência numérica n é o argumento.
Uma progressão aritmética é geralmente chamada de sequência numérica na qual cada termo subseqüente é maior (menor) que o anterior pelo mesmo número. A fórmula para o n-ésimo membro de uma sequência aritmética é a seguinte:
a n - o valor do membro atual da progressão aritmética;
a n+1 - a fórmula do próximo número;
d - diferença (um certo número).
É fácil determinar que se a diferença for positiva (d>0), então cada membro subseqüente da série considerada será maior que o anterior, e tal progressão aritmética será crescente.
No gráfico abaixo, é fácil ver por que a sequência numérica é chamada de "crescente".
Nos casos em que a diferença é negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Algumas vezes é necessário determinar o valor de algum termo arbitrário de uma progressão aritmética. Você pode fazer isso calculando sucessivamente os valores de todos os membros da progressão aritmética, do primeiro ao desejado. Porém, esse caminho nem sempre é aceitável se, por exemplo, for necessário encontrar o valor do quinto milésimo ou do oitavo milionésimo termo. O cálculo tradicional levará muito tempo. No entanto, uma progressão aritmética específica pode ser investigada usando certas fórmulas. Existe também uma fórmula para o enésimo termo: o valor de qualquer membro de uma progressão aritmética pode ser determinado como a soma do primeiro membro da progressão com a diferença da progressão, multiplicado pelo número do membro desejado, menos um .
A fórmula é universal para aumentar e diminuir a progressão.
Vamos resolver o seguinte problema de encontrar o valor do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.
Condição: existe uma progressão aritmética com parâmetros:
O primeiro membro da sequência é 3;
A diferença na série numérica é 1,2.
Tarefa: é necessário encontrar o valor de 214 termos
Solução: para determinar o valor de um determinado membro, usamos a fórmula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Substituindo os dados do enunciado do problema na expressão, temos:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Resposta: O 214º membro da sequência é igual a 258,6.
As vantagens desse método de cálculo são óbvias - toda a solução não leva mais de 2 linhas.
Muitas vezes, em uma determinada série aritmética, é necessário determinar a soma dos valores de alguns de seus segmentos. Também não precisa calcular os valores de cada termo e depois somar. Este método é aplicável se o número de termos cuja soma deve ser encontrada for pequeno. Em outros casos, é mais conveniente usar a seguinte fórmula.
A soma dos membros de uma progressão aritmética de 1 a n é igual à soma do primeiro e enésimo membros, multiplicado pelo número do membro n e dividido por dois. Se na fórmula o valor do n-ésimo membro for substituído pela expressão do parágrafo anterior do artigo, obtemos:
Por exemplo, vamos resolver um problema com as seguintes condições:
O primeiro termo da sequência é zero;
A diferença é de 0,5.
No problema, é necessário determinar a soma dos termos da série de 56 a 101.
Solução. Vamos usar a fórmula para determinar a soma da progressão:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Primeiro, determinamos a soma dos valores de 101 membros da progressão substituindo as condições dadas do nosso problema na fórmula:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Obviamente, para saber a soma dos termos da progressão do 56º ao 101º, é necessário subtrair S 55 de S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Portanto, a soma da progressão aritmética para este exemplo é:
s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5
No final do artigo, voltemos ao exemplo da sequência aritmética dada no primeiro parágrafo - um taxímetro (medidor de táxi). Vamos considerar tal exemplo.
Entrar em um táxi (que inclui 3 km) custa 50 rublos. Cada quilômetro subsequente é pago à taxa de 22 rublos / km. Distância de viagem 30 km. Calcule o custo da viagem.
1. Vamos descartar os primeiros 3 km, cujo preço está incluído no custo do pouso.
30 - 3 = 27 km.
2. O cálculo posterior nada mais é do que a análise de uma série de números aritméticos.
O número do membro é o número de quilômetros percorridos (menos os três primeiros).
O valor do membro é a soma.
O primeiro termo neste problema será igual a 1 = 50 rublos.
Diferença de progressão d = 22 p.
o número que nos interessa - o valor do (27 + 1)º membro da progressão aritmética - a leitura do medidor no final do quilômetro 27 - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Os cálculos dos dados do calendário para um período arbitrariamente longo são baseados em fórmulas que descrevem certas sequências numéricas. Em astronomia, o comprimento da órbita é geometricamente dependente da distância do corpo celeste ao luminar. Além disso, várias séries numéricas são usadas com sucesso em estatística e outros ramos aplicados da matemática.
Uma progressão geométrica é caracterizada por uma taxa de mudança grande, comparada com uma taxa aritmética. Não é por acaso que na política, na sociologia, na medicina, muitas vezes, para mostrar a alta velocidade de propagação de um determinado fenômeno, por exemplo, uma doença durante uma epidemia, dizem que o processo se desenvolve exponencialmente.
O N-ésimo membro da série de números geométricos difere do anterior porque é multiplicado por algum número constante - o denominador, por exemplo, o primeiro membro é 1, o denominador é 2, respectivamente, então:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - o valor do membro atual da progressão geométrica;
b n+1 - a fórmula do próximo membro da progressão geométrica;
q é o denominador de uma progressão geométrica (número constante).
Se o gráfico de uma progressão aritmética é uma linha reta, então a geométrica desenha uma imagem ligeiramente diferente:
Como no caso da aritmética, uma progressão geométrica tem uma fórmula para o valor de um membro arbitrário. Qualquer n-ésimo termo de uma progressão geométrica é igual ao produto do primeiro termo e o denominador da progressão à potência de n reduzido por um:
Exemplo. Temos uma progressão geométrica com o primeiro termo igual a 3 e o denominador da progressão igual a 1,5. Encontre o 5º termo da progressão
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
A soma de um determinado número de membros também é calculada usando uma fórmula especial. A soma dos primeiros n membros de uma progressão geométrica é igual à diferença entre o produto do enésimo membro da progressão e seu denominador e o primeiro membro da progressão, dividido pelo denominador reduzido por um:
Se b n for substituído usando a fórmula discutida acima, o valor da soma dos primeiros n membros da série numérica considerada assumirá a forma:
Exemplo. A progressão geométrica começa com o primeiro termo igual a 1. O denominador é igual a 3. Vamos encontrar a soma dos oito primeiros termos.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Este programa matemático encontra \(a_1\) de uma progressão aritmética com base nos números especificados pelo usuário \(a_n, d \) e \(n \).
Os números \(a_n\) e \(d \) podem ser especificados não apenas como inteiros, mas também como frações. Além disso, um número fracionário pode ser inserido como uma fração decimal (\(2,5 \)) e como uma fração comum (\(-5\frac(2)(7) \)).
O programa não apenas dá a resposta para o problema, mas também mostra o processo de busca de uma solução.
Esta calculadora online pode ser útil para alunos do ensino médio na preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado e para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de casa de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.
Desta forma, você pode conduzir seu próprio treinamento e/ou o treinamento de seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto o nível de educação no campo das tarefas a serem resolvidas é aumentado.
Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir números, recomendamos que você se familiarize com elas.
Regras para inserir números
Os números \(a_n\) e \(d \) podem ser especificados não apenas como inteiros, mas também como frações.
O número \(n\) só pode ser um número inteiro positivo.
Regras para inserir frações decimais.
As partes inteiras e fracionárias em frações decimais podem ser separadas por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como 2,5 ou 2,5
Regras para inserir frações ordinárias.
Somente um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
Entrada:
Resultado: \(-\frac(2)(3) \)
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada:
Resultado: \(-1\frac(2)(3) \)
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Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
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Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.
Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:
Na prática cotidiana, a numeração de vários objetos costuma ser usada para indicar a ordem em que estão localizados. Por exemplo, as casas em cada rua são numeradas. Na biblioteca, as assinaturas dos leitores são numeradas e depois organizadas na ordem dos números atribuídos em arquivos especiais.
Em uma caixa econômica, pelo número da conta pessoal do depositante, você encontra facilmente essa conta e vê que tipo de depósito ela possui. Que haja um depósito de a1 rublos na conta nº 1, um depósito de a2 rublos na conta nº 2, etc. sequência numérica
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
onde N é o número de todas as contas. Aqui, cada número natural n de 1 a N recebe um número a n .
A matemática também estuda sequências numéricas infinitas:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
O número a 1 é chamado o primeiro membro da sequência, número a 2 - o segundo membro da sequência, número a 3 - o terceiro membro da sequência etc.
O número a n é chamado enésimo (enésimo) membro da sequência, e o número natural n é o seu número.
Por exemplo, em uma sequência de quadrados números naturais 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... e 1 = 1 é o primeiro membro da sequência; e n = n 2 é o enésimo membro da sequência; a n+1 = (n + 1) 2 é o (n + 1)º (en mais o primeiro) membro da sequência. Freqüentemente, uma sequência pode ser especificada pela fórmula de seu enésimo termo. Por exemplo, a fórmula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) dá a sequência \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
A duração de um ano é de aproximadamente 365 dias. Um valor mais preciso é \(365\frac(1)(4) \) dias, portanto, a cada quatro anos, acumula-se um erro de um dia.
Para explicar esse erro, um dia é adicionado a cada quatro anos, e o ano alongado é chamado de ano bissexto.
Por exemplo, no terceiro milênio, os anos bissextos são 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Nessa sequência, cada membro, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com o mesmo número 4. Essas sequências são chamadas progressões aritméticas.
Definição.
A sequência numérica a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... é chamada progressão aritmética, se para todo natural n a igualdade
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
onde d é algum número.
Segue-se desta fórmula que a n+1 - a n = d. O número d é chamado de diferença progressão aritmética.
Pela definição de progressão aritmética, temos:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Onde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), onde \(n>1 \)
Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos dois membros adjacentes a ele. Isso explica o nome progressão "aritmética".
Observe que se a 1 e d forem fornecidos, os termos restantes da progressão aritmética podem ser calculados usando a fórmula recursiva a n+1 = a n + d. Dessa forma, não é difícil calcular os primeiros termos da progressão, porém, por exemplo, para um 100, muitos cálculos já serão necessários. Normalmente, a fórmula do enésimo termo é usada para isso. De acordo com a definição de progressão aritmética
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
Geralmente,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
já que o enésimo membro de uma progressão aritmética é obtido do primeiro membro adicionando (n-1) vezes o número d.
Esta fórmula é chamada fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética.
Vamos encontrar a soma de todos os números naturais de 1 a 100.
Escrevemos esta soma de duas maneiras:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Adicionamos essas igualdades termo a termo:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Existem 100 termos nesta soma.
Portanto, 2S = 101 * 100, onde S = 101 * 50 = 5050.
Considere agora uma progressão aritmética arbitrária
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Seja S n a soma dos primeiros n termos desta progressão:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Então a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Como \(a_n=a_1+(n-1)d \), substituindo um n nesta fórmula, obtemos outra fórmula para encontrar as somas dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
