Definizione 7.1. L'insieme di tutti i punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2 ha un valore costante dato si chiama ellisse.
La definizione di ellisse dà modo successivo la sua struttura geometrica. Fissiamo due punti F 1 e F 2 sul piano e denotiamo un valore costante non negativo con 2a. Sia 2c la distanza tra i punti F 1 e F 2. Immaginiamo che un filo inestensibile di lunghezza 2a sia fissato nei punti F 1 e F 2, ad esempio, utilizzando due aghi. È chiaro che ciò è possibile solo per a ≥ c. Dopo aver tirato il filo con una matita, traccia una linea, che sarà un'ellisse (Fig. 7.1).
Quindi l'insieme descritto non è vuoto se a ≥ c. Quando a = c, l'ellisse è un segmento con gli estremi F 1 e F 2, e quando c = 0, cioè Se i punti fissi specificati nella definizione di ellisse coincidono, si tratta di un cerchio di raggio a. Scartando questi casi degeneri, assumeremo inoltre, di regola, che a > c > 0.
I punti fissi F 1 e F 2 nella definizione 7.1 dell'ellisse (vedi Fig. 7.1) sono chiamati fuochi dell'ellisse, la distanza tra loro, indicata con 2c, - lunghezza focale, e i segmenti F 1 M e F 2 M che collegano un punto arbitrario M sull'ellisse con i suoi fuochi sono raggi focali.
La forma dell'ellisse è completamente determinata dalla lunghezza focale |F 1 F 2 | = 2c e parametro a, e la sua posizione sul piano - una coppia di punti F 1 e F 2.
Dalla definizione di ellisse segue che essa è simmetrica rispetto alla retta passante per i fuochi F 1 e F 2, nonché rispetto alla retta che divide a metà il segmento F 1 F 2 ed è ad essa perpendicolare (Fig. 7.2, a). Queste linee sono chiamate assi dell'ellisse. Il punto O della loro intersezione è il centro di simmetria dell'ellisse e si chiama il centro dell'ellisse e i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi di simmetria (punti A, B, C e D in Fig. 7.2, a) - vertici dell'ellisse.
Viene chiamato il numero a semiasse maggiore dell'ellisse, e b = √(a 2 - c 2) - its asse minore. È facile vedere che per c > 0 il semiasse maggiore a è uguale alla distanza dal centro dell'ellisse a quelli dei suoi vertici che sono in asse con i fuochi dell'ellisse (vertici A e B in Fig. 7.2, a), e il semiasse minore b è uguale alla distanza dal centro dell'ellisse ai suoi altri due vertici (vertici C e D in Fig. 7.2, a).
Equazione dell'ellisse. Consideriamo un'ellisse del piano con i fuochi nei punti F 1 e F 2, asse maggiore 2a. Sia 2c la lunghezza focale, 2c = |F 1 F 2 |
Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare Oxy sul piano in modo che la sua origine coincida con il centro dell'ellisse e i suoi fuochi siano su asse x(Fig. 7.2, b). Un tale sistema di coordinate viene chiamato canonico per l'ellisse in questione e le variabili corrispondenti lo sono canonico.
Nel sistema di coordinate selezionato, i fuochi hanno coordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Utilizzando la formula per la distanza tra i punti, scriviamo la condizione |F 1 M| + |F 2 M| = 2a nelle coordinate:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Questa equazione è scomoda perché contiene due radicali quadrati. Quindi trasformiamolo. Spostiamo il secondo radicale nell'equazione (7.2) in lato destro e quadrarlo:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Dopo aver aperto le parentesi e introdotto termini simili, otteniamo
√((x + c)2 + y2) = a + εx
dove ε = c/a. Ripetiamo l'operazione di quadratura per eliminare il secondo radicale: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, oppure, tenendo conto del valore del parametro inserito ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / un 2 + y 2 = un 2 - c 2 . Poiché a 2 - c 2 = b 2 > 0, allora
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
L'equazione (7.4) è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti che giacciono sull'ellisse. Ma nel derivare questa equazione, sono state utilizzate trasformazioni non equivalenti dell'equazione originale (7.2): due squadrature che rimuovono i radicali quadrati. La quadratura di un'equazione è una trasformazione equivalente se entrambi i membri hanno quantità con lo stesso segno, ma non lo abbiamo verificato nelle nostre trasformazioni.
Possiamo evitare di verificare l'equivalenza delle trasformazioni se teniamo conto di quanto segue. Una coppia di punti F 1 e F 2, |F 1 F 2 | = 2c, sul piano definisce una famiglia di ellissi con fuochi in questi punti. Ogni punto del piano, ad eccezione dei punti del segmento F 1 F 2, appartiene a qualche ellisse della famiglia indicata. In questo caso non si intersecano due ellissi, poiché la somma dei raggi focali determina in modo univoco un'ellisse specifica. Quindi, la famiglia descritta di ellissi senza intersezioni copre l'intero piano, ad eccezione dei punti del segmento F 1 F 2. Consideriamo un insieme di punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (7.4) con un dato valore del parametro a. Questo insieme può essere distribuito su più ellissi? Alcuni punti dell'insieme appartengono ad un'ellisse con semiasse maggiore a. Sia un punto di questo insieme che giace su un'ellisse con semiasse maggiore a. Quindi le coordinate di questo punto obbediscono all'equazione
quelli. le equazioni (7.4) e (7.5) hanno soluzioni generali. Tuttavia, è facile verificare che il sistema
per ã ≠ a non ha soluzioni. Per fare ciò è sufficiente escludere, ad esempio, x dalla prima equazione:
che dopo le trasformazioni porta all'equazione
che non ha soluzioni per ã ≠ a, poiché . Allora la (7.4) è l'equazione di un'ellisse con semiasse maggiore a > 0 e semiasse minore b =√(a 2 - c 2) > 0. Si chiama Equazione canonica dell'ellisse.
Vista ellittica. Il metodo geometrico per costruire un'ellisse discusso sopra dà un'idea sufficiente di aspetto ellisse. Ma la forma dell'ellisse può essere studiata anche utilizzando la sua equazione canonica (7.4). Ad esempio, puoi, assumendo y ≥ 0, esprimere y tramite x: y = b√(1 - x 2 /a 2) e, dopo aver studiato questa funzione, costruire il suo grafico. C'è un altro modo per costruire un'ellisse. Una circonferenza di raggio a con centro nell'origine del sistema di coordinate canoniche dell'ellisse (7.4) è descritta dall'equazione x 2 + y 2 = a 2. Se è compresso con un coefficiente a/b > 1 lungo asse y, allora ottieni una curva che è descritta dall'equazione x 2 + (ya/b) 2 = a 2, cioè un'ellisse.
Osservazione 7.1. Se lo stesso cerchio viene compresso con un coefficiente a/b
Eccentricità dell'ellisse. Viene chiamato il rapporto tra la lunghezza focale di un'ellisse e il suo asse maggiore eccentricità dell'ellisse e indicato con ε. Per un'ellisse data
equazione canonica (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Se nella (7.4) i parametri a e b sono legati dalla disuguaglianza a
Quando c = 0, quando l'ellisse diventa un cerchio e ε = 0. In altri casi, 0
L'equazione (7.3) è equivalente all'equazione (7.4), poiché le equazioni (7.4) e (7.2) sono equivalenti. Pertanto anche l'equazione dell'ellisse è (7.3). Inoltre, la relazione (7.3) è interessante perché fornisce una formula semplice e priva di radicali per la lunghezza |F 2 M| uno dei raggi focali del punto M(x; y) dell'ellisse: |F 2 M| = a + εx.
Una formula simile per il secondo raggio focale può essere ottenuta da considerazioni di simmetria o ripetendo calcoli in cui, prima della quadratura dell'equazione (7.2), si trasferisce a destra il primo radicale e non il secondo. Quindi, per qualsiasi punto M(x; y) sull'ellisse (vedi Fig. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
e ciascuna di queste equazioni è un'equazione di un'ellisse.
Esempio 7.1. Troviamo l'equazione canonica di un'ellisse con semiasse maggiore 5 ed eccentricità 0,8 e costruiamola.
Conoscendo il semiasse maggiore dell'ellisse a = 5 e l'eccentricità ε = 0,8, troveremo il suo semiasse minore b. Poiché b = √(a 2 - c 2), e c = εa = 4, allora b = √(5 2 - 4 2) = 3. Quindi l'equazione canonica ha la forma x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Per costruire un'ellisse conviene disegnare un rettangolo con centro nell'origine del sistema di coordinate canoniche, i cui lati sono paralleli agli assi di simmetria dell'ellisse e uguali ai suoi assi corrispondenti (Fig. 7.4). Questo rettangolo si interseca con
gli assi dell'ellisse ai suoi vertici A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), e l'ellisse stessa è inscritta in esso. Nella fig. 7.4 mostra anche i fuochi F 1.2 (±4; 0) dell'ellisse.
Proprietà geometriche dell'ellisse. Riscriviamo la prima equazione della (7.6) come |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Si noti che il valore a/ε - x per a > c è positivo, poiché il fuoco F 1 non appartiene all'ellisse. Questo valore rappresenta la distanza dalla linea verticale d: x = a/ε dal punto M(x; y) situato a sinistra di questa linea. L'equazione dell'ellisse può essere scritta come
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Ciò significa che questa ellisse è costituita da quei punti M(x; y) del piano per i quali il rapporto tra la lunghezza del raggio focale F 1 M e la distanza dalla retta d è un valore costante pari a ε (Fig. 7.5).
La retta d ha un "doppio": la retta verticale d, simmetrica a d rispetto al centro dell'ellisse, che è data dall'equazione x = -a/ε. Rispetto a d, l'ellisse è descritta in allo stesso modo di quanto fatto rispetto al d. Vengono chiamate entrambe le linee d e d". direttrici dell'ellisse. Le direttrici dell'ellisse sono perpendicolari all'asse di simmetria dell'ellisse su cui si trovano i suoi fuochi, e sono distanziate dal centro dell'ellisse ad una distanza a/ε = a 2 /c (vedi Fig. 7.5).
Si chiama la distanza p dalla direttrice al fuoco ad essa più vicino parametro focale dell'ellisse. Questo parametro è uguale a
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
L'ellisse ha un'altra importante proprietà geometrica: i raggi focali F 1 M e F 2 M formano angoli uguali con la tangente all'ellisse nel punto M (Fig. 7.6).
Questa proprietà ha una chiara significato fisico. Se una sorgente luminosa è posta nel fuoco F 1, il raggio che emerge da questo fuoco, dopo la riflessione dall'ellisse, percorrerà il secondo raggio focale, poiché dopo la riflessione sarà allo stesso angolo rispetto alla curva di prima della riflessione. Pertanto, tutti i raggi che escono dal fuoco F 1 si concentreranno nel secondo fuoco F 2, e viceversa. Sulla base di questa interpretazione, questa proprietà viene chiamata proprietà ottica dell'ellisse.
Definizione. Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti su un piano, la somma delle distanze di ciascuno dei quali da due punti dati di questo piano, chiamati fuochi, è un valore costante (a condizione che questo valore sia maggiore della distanza tra i fuochi) .
Indichiamo i fuochi attraverso la distanza tra loro - attraverso , e un valore costante, pari all'importo distanze da ciascun punto dell'ellisse ai fuochi, attraverso (a seconda delle condizioni).
Costruiamo un sistema di coordinate cartesiane in modo che i fuochi siano sull'asse delle ascisse e l'origine delle coordinate coincida con il centro del segmento (Fig. 44). Quindi i fuochi avranno le seguenti coordinate: fuoco sinistro e fuoco destro. Deriviamo l'equazione dell'ellisse nel sistema di coordinate che abbiamo scelto. A questo scopo, consideriamo un punto arbitrario dell'ellisse. Per definizione di ellisse, la somma delle distanze da questo punto ai fuochi è uguale a:
Utilizzando la formula per la distanza tra due punti, otteniamo quindi
Per semplificare questa equazione, la scriviamo nella forma
Quindi elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione, otteniamo
oppure, dopo ovvie semplificazioni:
Ora eleviamo nuovamente al quadrato entrambi i lati dell'equazione, dopodiché abbiamo:
oppure, dopo identiche trasformazioni:
Poiché, secondo la condizione nella definizione di ellisse, il numero è positivo. Introduciamo la notazione
Quindi l’equazione assumerà la seguente forma:
Per la definizione di ellisse, le coordinate di uno qualsiasi dei suoi punti soddisfano l'equazione (26). Ma l'equazione (29) è una conseguenza dell'equazione (26). Di conseguenza è soddisfatto anche dalle coordinate di un punto qualsiasi dell'ellisse.
Si può dimostrare che le coordinate dei punti che non giacciono sull'ellisse non soddisfano l'equazione (29). Pertanto, l'equazione (29) è l'equazione di un'ellisse. Si chiama equazione canonica dell'ellisse.
Stabiliamo la forma dell'ellisse utilizzando la sua equazione canonica.
Prima di tutto prestiamo attenzione al fatto che questa equazione contiene solo potenze pari di xey. Ciò significa che se un punto appartiene a un'ellisse, allora contiene anche un punto simmetrico al punto relativo all'asse delle ascisse e un punto simmetrico al punto rispetto all'asse delle ordinate. Pertanto, l'ellisse ha due assi di simmetria reciprocamente perpendicolari, che nel nostro sistema di coordinate scelto coincidono con gli assi delle coordinate. D'ora in poi chiameremo assi dell'ellisse gli assi di simmetria dell'ellisse, e centro dell'ellisse il punto della loro intersezione. L'asse su cui si trovano i fuochi dell'ellisse (in in questo caso asse x) è chiamato asse focale.
Determiniamo innanzitutto la forma dell'ellisse nel primo quarto. Per fare ciò, risolviamo l’equazione (28) per y:
È ovvio che qui , poiché y assume valori immaginari. Aumentando da 0 ad a, y diminuisce da b a 0. La parte dell'ellisse che giace nel primo quarto sarà un arco delimitato dai punti B (0; b) e giacente sugli assi delle coordinate (Fig. 45). Utilizzando ora la simmetria dell'ellisse, arriviamo alla conclusione che l'ellisse ha la forma mostrata in Fig. 45.
I punti di intersezione dell'ellisse con gli assi si chiamano vertici dell'ellisse. Dalla simmetria dell'ellisse ne consegue che, oltre ai vertici, l'ellisse ha altri due vertici (vedi Fig. 45).
I segmenti e i vertici opposti che collegano l'ellisse, così come le loro lunghezze, sono chiamati rispettivamente asse maggiore e minore dell'ellisse. I numeri a e b sono chiamati rispettivamente semiasse maggiore e minore dell'ellisse.
Il rapporto tra metà della distanza tra i fuochi e il semiasse maggiore dell'ellisse è chiamato eccentricità dell'ellisse ed è solitamente indicato con la lettera:
Poiché , l'eccentricità dell'ellisse è inferiore all'unità: L'eccentricità caratterizza la forma dell'ellisse. Infatti, dalla formula (28) segue che quanto minore è l'eccentricità dell'ellisse, tanto meno il suo semiasse minore b differisce dal semiasse maggiore a, cioè meno allungata è l'ellisse (lungo l'asse focale).
Nel caso limite, il risultato è un cerchio di raggio a: , o . Allo stesso tempo, i fuochi dell'ellisse sembrano fondersi in un punto: il centro del cerchio. L'eccentricità del cerchio è zero:
Il collegamento tra l'ellisse e il cerchio può essere stabilito da un altro punto di vista. Mostriamo che un'ellisse di semiassi a e b può essere considerata come una proiezione di un cerchio di raggio a.
Consideriamo due piani P e Q, che formano tra loro un tale angolo a, per il quale (Fig. 46). Costruiamo un sistema di coordinate nel piano P, e nel piano Q un sistema Oxy con origine comune O e asse delle ascisse comune coincidente con la linea di intersezione dei piani. Consideriamo una circonferenza nel piano P
con centro nell'origine e raggio pari ad a. Sia un punto scelto arbitrariamente sul cerchio, sia la sua proiezione sul piano Q, e sia la proiezione del punto M sull'asse del Bue. Mostriamo che il punto giace su un'ellisse di semiassi a e b.
Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti su un piano, la somma delle distanze da ciascuno dei quali a due punti dati F_1 e F_2 è un valore costante (2a), maggiore della distanza (2c) tra questi punti dati (Fig 3.36, a). Questa definizione geometrica esprime Proprietà focale di un'ellisse.
I punti F_1 e F_2 sono chiamati fuochi dell'ellisse, la distanza tra loro 2c=F_1F_2 è la lunghezza focale, la O centrale del segmento F_1F_2 è il centro dell'ellisse, il numero 2a è la lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse ellisse (di conseguenza, il numero a è il semiasse maggiore dell'ellisse). I segmenti F_1M e F_2M che connettono un punto arbitrario M dell'ellisse con i suoi fuochi si chiamano raggi focali del punto M. Il segmento che collega due punti di un'ellisse si chiama corda dell'ellisse.
Il rapporto e=\frac(c)(a) è chiamato eccentricità dell'ellisse. Dalla definizione (2a>2c) segue che 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definizione geometrica di ellisse, esprimendo la sua proprietà focale, equivale alla sua definizione analitica - la linea data dall'equazione canonica dell'ellisse:
Introduciamo infatti un sistema di coordinate rettangolare (Fig. 3.36c). Prendiamo il centro O dell'ellisse come origine del sistema di coordinate; prendiamo come asse delle ascisse la retta passante per i fuochi (asse focale o primo asse dell'ellisse) (la direzione positiva su di essa va dal punto F_1 al punto F_2); prendiamo come asse delle ordinate una retta perpendicolare all'asse focale e passante per il centro dell'ellisse (il secondo asse dell'ellisse) (la direzione sull'asse delle ordinate è scelta in modo che sistema rettangolare le coordinate Oxy si sono rivelate giuste).
Creiamo un'equazione per l'ellisse utilizzando la sua definizione geometrica, che esprime la proprietà focale. Nel sistema di coordinate selezionato, determiniamo le coordinate dei fuochi F_1(-c,0),~F_2(c,0). Per un punto arbitrario M(x,y) appartenente all'ellisse, abbiamo:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Scrivendo questa uguaglianza in forma di coordinate, otteniamo:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Spostiamo il secondo radicale a destra, eleviamo entrambi i lati dell'equazione al quadrato e portiamo termini simili:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dividendo per 4, eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Avendo designato b=\sqrt(a^2-c^2)>0, noi abbiamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividendo entrambi i membri per a^2b^2\ne0 , arriviamo a equazione canonica ellisse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Pertanto, il sistema di coordinate scelto è canonico.
Se i fuochi dell'ellisse coincidono, allora l'ellisse è un cerchio (Fig. 3.36,6), poiché a=b. In questo caso, qualsiasi sistema di coordinate rettangolari con origine nel punto sarà canonico O\equiv F_1\equiv F_2, e l'equazione x^2+y^2=a^2 è l'equazione di una circonferenza con centro nel punto O e raggio uguale ad a.
Ragionando ordine inverso, si può dimostrare che tutti i punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (3.49), e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti chiamato ellisse. In altre parole, la definizione analitica di ellisse equivale alla sua definizione geometrica, che esprime la proprietà focale dell'ellisse.
Le direttrici di un'ellisse sono due rette parallele all'asse delle ordinate del sistema di coordinate canoniche, alla stessa distanza \frac(a^2)(c) da esso. In c=0, quando l'ellisse è un cerchio, non ci sono direttrici (possiamo supporre che le direttrici siano all'infinito).
Ellisse con eccentricità 0
Infatti, ad esempio, per il fuoco F_2 e la direttrice d_2 (Fig. 3.37,6) la condizione \frac(r_2)(\rho_2)=e può essere scritto in forma coordinata:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Liberarsi dell'irrazionalità e sostituire e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, arriviamo all'equazione canonica dell'ellisse (3.49). Un ragionamento simile può essere effettuato per il focus F_1 e il direttore d_1\due punti\frac(r_1)(\rho_1)=e.
L'equazione dell'ellisse nel sistema di coordinate polari F_1r\varphi (Fig. 3.37, c e 3.37 (2)) ha la forma
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
dove p=\frac(b^2)(a) è il parametro focale dell'ellisse.
Scegliamo infatti il fuoco sinistro F_1 dell'ellisse come polo del sistema di coordinate polari e il raggio F_1F_2 come asse polare (Fig. 3.37, c). Allora per un punto arbitrario M(r,\varphi), secondo la definizione geometrica (proprietà focale) di un'ellisse, abbiamo r+MF_2=2a. Esprimiamo la distanza tra i punti M(r,\varphi) e F_2(2c,0) (vedi paragrafo 2 della nota 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(allineato)
Pertanto, in forma di coordinate, l'equazione dell'ellisse F_1M+F_2M=2a ha la forma
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Isoliamo il radicale, eleviamo entrambi i lati dell'equazione, dividiamo per 4 e presentiamo termini simili:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\destra)\!\cdot r=a^2-c^2.
Esprimi il raggio polare r ed effettua la sostituzione e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Troviamo i punti di intersezione dell'ellisse (vedi Fig. 3.37a) con gli assi delle coordinate (vertici dell'ellisse). Sostituendo y=0 nell'equazione, troviamo i punti di intersezione dell'ellisse con l'asse delle ascisse (con l'asse focale): x=\pm a. Pertanto la lunghezza del segmento dell'asse focale contenuto all'interno dell'ellisse è pari a 2a. Questo segmento, come notato sopra, è chiamato asse maggiore dell'ellisse e il numero a è il semiasse maggiore dell'ellisse. Sostituendo x=0, otteniamo y=\pm b. Pertanto la lunghezza del segmento del secondo asse dell'ellisse contenuto all'interno dell'ellisse è pari a 2b. Questo segmento è chiamato asse minore dell'ellisse e il numero b è il semiasse minore dell'ellisse.
Veramente, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, e l'uguaglianza b=a si ottiene solo nel caso c=0, quando l'ellisse è un cerchio. Atteggiamento k=\frac(b)(a)\leqslant1è chiamato rapporto di compressione dell'ellisse.
Note 3.9
1. Le linee rette x=\pm a,~y=\pm b delimitano il rettangolo principale sul piano delle coordinate, all'interno del quale si trova un'ellisse (vedi Fig. 3.37, a).
2. Un'ellisse può essere definita come il luogo dei punti ottenuto comprimendo un cerchio al suo diametro.
Infatti, sia x^2+y^2=a^2 l'equazione di una circonferenza nel sistema di coordinate rettangolari Oxy. Quando compresso sull'asse x con un coefficiente pari a 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Sostituendo i cerchi x=x" e y=\frac(1)(k)y" nell'equazione, otteniamo l'equazione per le coordinate dell'immagine M"(x",y") del punto M(x,y ): (x")^2+(\sinistra(\frac(1)(k)\cdot y"\destra)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} poiché b=k\cdot a . Questa è l'equazione canonica dell'ellisse. 3. Gli assi delle coordinate (del sistema di coordinate canonico) sono gli assi di simmetria dell'ellisse (chiamati assi principali dell'ellisse), e il suo centro è il centro di simmetria. Infatti, se il punto M(x,y) appartiene all'ellisse . allora appartengono alla stessa ellisse anche i punti M"(x,-y) e M""(-x,y), simmetrici al punto M rispetto agli assi coordinati. 4. Dall'equazione dell'ellisse nel sistema di coordinate polari r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vedi Fig. 3.37, c), viene chiarito il significato geometrico del parametro focale: questa è la metà della lunghezza della corda dell'ellisse che passa attraverso il suo fuoco perpendicolare all'asse focale ( r = p a \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. L'eccentricità e caratterizza la forma dell'ellisse, cioè la differenza tra l'ellisse e il cerchio. Quanto più grande è, tanto più allungata è l'ellisse, e quanto più e è vicino a zero, tanto più vicina è l'ellisse a un cerchio (Fig. 3.38a). Infatti, tenendo conto che e=\frac(c)(a) e c^2=a^2-b^2 , otteniamo E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} dove k è il rapporto di compressione dell'ellisse, 0 6. Equazione \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 all'a
7. Equazione \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definisce un'ellisse con centro nel punto O"(x_0,y_0), i cui assi sono paralleli agli assi delle coordinate (Fig. 3.38, c). Questa equazione si riduce a quella canonica utilizzando la traslazione parallela (3.36). Quando a=b=R l'equazione (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descrive una circonferenza di raggio R con centro nel punto O"(x_0,y_0) . Equazione parametrica dell'ellisse nel sistema di coordinate canoniche ha la forma \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Infatti, sostituendo queste espressioni nell'equazione (3.49), arriviamo all'identità trigonometrica principale \cos^2t+\sin^2t=1 . Esempio 3.20. Disegna un'ellisse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 nel sistema di coordinate canoniche Oxy. Trova i semiassi, la lunghezza focale, l'eccentricità, il rapporto di compressione, il parametro focale, le equazioni della direttrice. Soluzione. Confrontando l'equazione data con quella canonica, determiniamo i semiassi: a=2 - semiasse maggiore, b=1 - semiasse minore dell'ellisse. Costruiamo il rettangolo principale con i lati 2a=4,~2b=2 con il centro nell'origine (Fig. 3.39). Considerando la simmetria dell'ellisse, la adattiamo al rettangolo principale. Se necessario, determinare le coordinate di alcuni punti dell'ellisse. Ad esempio, sostituendo x=1 nell'equazione dell'ellisse, otteniamo: \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Quindi punti con coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- appartengono all'ellisse. Calcolo del rapporto di compressione k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); lunghezza focale 2c=2\quadrato(a^2-b^2)=2\quadrato(2^2-1^2)=2\quadrato(3); eccentricità e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametro focale p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Componiamo le equazioni delle direttrici: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Equazione parametrica dell'ellisse
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