) sono numeri con segno positivo o negativo (interi e frazionari) e zero. Un concetto più preciso di numeri razionali suona così:
numero razionaleè il numero che viene rappresentato frazione ordinaria m/n, dove il numeratore m sono numeri interi e il denominatore n — interi, ad esempio 2/3.
Le frazioni infinite non periodiche NON sono incluse nell'insieme dei numeri razionali.
a/b, dove un∈ z (un appartiene a numeri interi) b∈ N (b appartiene ai numeri naturali).
A vita reale l'insieme dei numeri razionali viene utilizzato per contare le parti di alcuni oggetti interi divisibili, Per esempio, torte o altri alimenti che vengono tagliati a pezzi prima del consumo, o per una stima approssimativa delle relazioni spaziali di oggetti estesi.
Proprietà fondamentali dei numeri razionali.
1. ordine un e b esiste una regola che permette di identificare univocamente tra loro 1-ma e solo una delle 3 relazioni: “<», «>" o "=". Questa regola è - regola di ordinamento e formularlo così:
∀ un, b∈ D(a ∨ a> b∨ un=b)
2. Operazione di addizione. Per tutti i numeri razionali un e b c'è regola di sommatoria, che li mette in corrispondenza con un certo numero razionale c. Tuttavia, il numero stesso c- questo è somma numeri un e b ed è indicato come (a+b) somma.
Regola di sommatoria sembra così:
ma/n la + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n / a)/(n / a⋅ NB).
∀ un, b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. operazione di moltiplicazione. Per tutti i numeri razionali un e b c'è regola di moltiplicazione, li associa a un certo numero razionale c. Il numero c è chiamato opera numeri un e b e denotare (a⋅b) e viene chiamato il processo di ricerca di questo numero moltiplicazione.
regola di moltiplicazione sembra così: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ NB.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Transitività della relazione d'ordine. Per ogni tre numeri razionali un, b e c Se un meno b e b meno c, poi un meno c, cosa succede se unè uguale a b e bè uguale a c, poi unè uguale a c.
∀ a,b,c∈ D(a ∧ b ⇒ un ∧ (a=b∧ b=c⇒ un = c)
5. Commutatività dell'addizione. Da un cambiamento nei luoghi dei termini razionali, la somma non cambia.
∀ un, b∈ Qa+b=b+a
6. Associatività dell'addizione. L'ordine di addizione di 3 numeri razionali non influisce sul risultato.
∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Presenza di zero. C'è un numero razionale 0, conserva ogni altro numero razionale quando aggiunto.
∃ 0 ∈ Q∀ un∈ Qa+0=a
8. Presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto, sommandoli si ottiene 0.
∀ un∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0
9. Commutatività della moltiplicazione. Cambiando i luoghi dei fattori razionali, il prodotto non cambia.
∀ un, b∈ Domanda⋅ b=b⋅ un
10. Associatività della moltiplicazione. L'ordine di moltiplicazione di 3 numeri razionali non influisce sul risultato.
∀ a,b,c∈ D(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Disponibilità di un'unità. C'è un numero razionale 1, conserva ogni altro numero razionale nel processo di moltiplicazione.
∃ 1 ∈ Q∀ un∈ Domanda⋅ 1=a
12. Presenza di reciproci. Qualsiasi numero razionale diverso da zero ha un numero razionale inverso, moltiplicando per il quale otteniamo 1 .
∀ un∈ Q∃ a−1∈ Domanda⋅ a−1=1
13. Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. L'operazione di moltiplicazione è correlata all'addizione utilizzando la legge di distribuzione:
∀ a,b,c∈ D(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Collegamento della relazione d'ordine con l'operazione di addizione. a sinistra e parti giuste le disuguaglianze razionali sommano lo stesso numero razionale.
∀ a,b,c∈ Domanda ⇒ a+c
15. Collegamento della relazione d'ordine con l'operazione di moltiplicazione. I lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale possono essere moltiplicati per lo stesso numero razionale non negativo.
∀ a,b,c∈ Cq>0∧ un ⇒ un⋅ c ⋅ c
16. Assioma di Archimede. Qualunque sia il numero razionale un, è facile prendere così tante unità che la loro somma sarà maggiore un.
Numero- il concetto matematico più importante che è cambiato nel corso dei secoli.
Le prime idee sul numero sono nate dal conteggio di persone, animali, frutta, prodotti vari, ecc. Il risultato sono numeri naturali: 1, 2, 3, 4, ...
Storicamente, la prima estensione del concetto di numero è l'aggiunta di numeri frazionari a un numero naturale.
Sparo chiamato parte (quota) di un'unità o più parti uguali di essa.
Designato: , dove m,n- numeri interi;
Frazioni con denominatore 10 n, dove nè un numero intero, vengono chiamati decimale: .
Tra le frazioni decimali, un posto speciale è occupato da frazioni periodiche: 
- frazione periodica pura, 
- frazione periodica mista.
L'ulteriore espansione del concetto di numero è già causata dallo sviluppo della matematica stessa (algebra). Cartesio nel XVII secolo introduce il concetto numero negativo.
Vengono chiamati numeri interi (positivi e negativi), frazionari (positivi e negativi) e zero numeri razionali. Qualsiasi numero razionale può essere scritto come frazione finita e periodica.
Per studiare variabili in continua evoluzione, si è rivelato necessario espandere il concetto di numero - l'introduzione di numeri reali (reali) - aggiungendo numeri irrazionali a numeri razionali: numeri irrazionali sono infinite frazioni decimali non periodiche.
I numeri irrazionali sono apparsi quando si misurano segmenti incommensurabili (lato e diagonale di un quadrato), in algebra - quando si estraggono radici, un esempio di numero trascendente e irrazionale è π, e .
Numeri naturale(1, 2, 3,...), totale(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), razionale(rappresentato come frazione) e irrazionale(non rappresentabile come frazione ) formare un insieme reale (reale) numeri.
Separatamente in matematica, si distinguono i numeri complessi.
Numeri complessi sorgono in relazione al problema di risolvere quadrati per il caso D< 0 (здесь Dè il discriminante dell'equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato utilità fisica, motivo per cui sono stati chiamati numeri "immaginari". Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica e della tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.
Numeri complessi sono scritti come: z= un+ bi. Qui un e b – numeri reali, un io – unità immaginaria.e. io 2 = -uno. Numero un chiamato ascissa, un b-ordinato numero complesso un+ bi. Due numeri complessi un+ bi e a-bi chiamato coniugare numeri complessi.
Proprietà:
1. Numero reale un può anche essere scritto come un numero complesso: un+ 0io o un - 0io. Ad esempio 5 + 0 io e 5 - 0 io significa lo stesso numero 5 .
2. Numero complesso 0 + bi chiamato puramente immaginario numero. Registrazione bi significa uguale a 0 + bi.
3. Due numeri complessi un+ bi e c+ di sono considerati uguali se un= c e b= d. Altrimenti numeri complessi non uguale.
Azioni:
Aggiunta. La somma dei numeri complessi un+ bi e c+ diè detto numero complesso ( un+ c) + (b+ d)io. In questo modo, quando si aggiungono numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.
Sottrazione. La differenza tra due numeri complessi un+ bi(ridotto) e c+ di(sottratto) è chiamato un numero complesso ( corrente alternata) + (b-d)io. In questo modo, quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.
Moltiplicazione. Il prodotto di numeri complessi un+ bi e c+ diè detto numero complesso.
(ac-bd) + (anno Domini+ avanti Cristo)io. Questa definizione nasce da due esigenze:
1) numeri un+ bi e c+ di deve moltiplicarsi come binomi algebrici,
2) numero io ha la proprietà principale: io 2 = –1.
ESEMPIO ( a+bi)(a-bi)= un 2 + b 2 . Di conseguenza, operadi due numeri complessi coniugati è uguale a un numero reale positivo.
Divisione. Dividere un numero complesso un+ bi(divisibile) ad un altro c+ di (divisore) - significa trovare il terzo numero e+ fi(chat), che, moltiplicato per un divisore c+ di, che si traduce nel dividendo un+ bi. Se il divisore non è zero, la divisione è sempre possibile.
ESEMPIO Trova (8+ io) : (2 – 3io) .
Soluzione Riscriviamo questo rapporto come frazione:
Moltiplicando il suo numeratore e denominatore per 2 + 3 io e facendo tutte le trasformazioni otteniamo:
Compito 1: Somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione z 1 a z 2
Estrazione della radice quadrata: Risolvi l'equazione X 2 = -un. Per risolvere questa equazione siamo costretti a usare un nuovo tipo di numeri - numeri immaginari . In questo modo, immaginario il numero è chiamato la cui seconda potenza è un numero negativo. Secondo questa definizione di numeri immaginari, possiamo definire e immaginario unità:
Quindi per l'equazione X 2 = - 25 otteniamo due immaginario radice:
Compito 2: Risolvi l'equazione:
1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:
Ecco il punto UN significa numero -3, punto Bè il numero 2, e O-zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. Per questo, scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Poi il numero complesso un+ bi sarà rappresentato da un punto P con ascissaun e ordinatab. Questo sistema di coordinate è chiamato piano complesso .
modulo numero complesso si dice lunghezza del vettore OPERAZIONE, raffigurante un numero complesso sulla coordinata ( comprensivo) aereo. Modulo dei numeri complessi un+ bi indicato con | un+ bi| o) lettera r ed è uguale a:
I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo.
Le regole per disegnare un disegno sono quasi le stesse di un disegno in un sistema di coordinate cartesiane... Lungo gli assi è necessario impostare la dimensione, notare:
e 
unità lungo l'asse reale; Riz
unità immaginaria lungo l'asse immaginario. sono z
Attività 3. Costruisci i seguenti numeri complessi sul piano complesso: , , , , , , ,
1. I numeri sono esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo nella pratica sono di due tipi. Alcuni danno il vero valore della quantità, altri solo approssimativo. Il primo si chiama esatto, il secondo - approssimativo. Molto spesso è conveniente utilizzare un numero approssimativo invece di un numero esatto, soprattutto perché in molti casi il numero esatto non può essere trovato affatto.
Quindi, se dicono che ci sono 29 studenti in classe, allora il numero 29 è esatto. Se dicono che la distanza da Mosca a Kiev è di 960 km, allora qui il numero 960 è approssimativo, poiché, da un lato, i nostri strumenti di misura non sono assolutamente precisi, dall'altro le città stesse hanno una certa estensione.
Anche il risultato di operazioni con numeri approssimativi è un numero approssimativo. Eseguendo alcune operazioni sui numeri esatti (dividendo, estraendo la radice), si possono ottenere anche numeri approssimati.
La teoria dei calcoli approssimati consente:
1) conoscere il grado di accuratezza dei dati, valutare il grado di accuratezza dei risultati;
2) prendere i dati con un adeguato grado di accuratezza, sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato;
3) razionalizzare il processo di calcolo, liberandolo da quei calcoli che non influiranno sull'accuratezza del risultato.
2. Arrotondamento. Una fonte di numeri approssimativi è l'arrotondamento. Arrotonda sia i numeri approssimativi che quelli esatti.
L'arrotondamento di un dato numero ad alcune delle sue cifre è la sua sostituzione con un nuovo numero, che si ottiene da quello dato scartando tutte le sue cifre scritte a destra della cifra di questa cifra, o sostituendole con zeri. Questi zeri sono solitamente sottolineati o scritti più piccoli. Per garantire la massima vicinanza del numero arrotondato a quello arrotondato, è necessario utilizzare le seguenti regole: per arrotondare il numero a una di una determinata cifra, è necessario scartare tutte le cifre dopo la cifra di questa cifra e sostituirle con zeri nel numero intero. Ciò tiene conto di quanto segue:
1) se la prima (a sinistra) delle cifre scartate è inferiore a 5, l'ultima cifra rimanente non viene modificata (arrotondamento per difetto);
2) se la prima cifra scartata è maggiore di 5 o uguale a 5, allora l'ultima cifra rimanente viene aumentata di uno (arrotondamento per eccesso).
Dimostriamolo con degli esempi. Arrotondare:
a) fino ai decimi di 12,34;
b) fino ai centesimi di 3,2465; 1038.785;
c) fino a millesimi di 3,4335.
d) fino a 12375 migliaia; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Errori assoluti e relativi. La differenza tra il numero esatto e il suo valore approssimativo è chiamata errore assoluto del numero approssimativo. Ad esempio, se il numero esatto 1,214 viene arrotondato ai decimi, otteniamo un numero approssimativo di 1,2. A questo caso l'errore assoluto del numero approssimativo 1.2 è 1.214 - 1.2, cioè 0,014.
Ma nella maggior parte dei casi valore esatto il valore considerato è sconosciuto, ma solo approssimativo. Quindi anche l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi, indicare il limite che non supera. Questo numero è chiamato errore assoluto marginale. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore limite. Ad esempio, il numero 23,71 è il valore approssimativo del numero 23,7125 con una precisione di 0,01, poiché l'errore di approssimazione assoluto è 0,0025 e inferiore a 0,01. Qui l'errore assoluto al contorno è pari a 0,01 * .
Errore assoluto al contorno del numero approssimativo un indicato con il simbolo Δ un. Registrazione
X≈un(±Δ un)
va inteso come segue: il valore esatto della quantità X sta nel mezzo un– Δ un e un+ Δ un, che sono chiamati rispettivamente limite inferiore e limite superiore. X e indichiamo NG X VG X.
Ad esempio, se X≈ 2,3 (±0,1), quindi 2,2<X< 2,4.
Al contrario, se 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). L'errore assoluto assoluto o marginale non caratterizza la qualità della misurazione. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e non significativo, a seconda del numero che esprime il valore misurato. Ad esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, tale precisione è abbastanza sufficiente per questo cambiamento, mentre allo stesso tempo, misurando la distanza tra due case sulla stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile. Pertanto, l'accuratezza del valore approssimato di una grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Pertanto, la misura dell'accuratezza è l'errore relativo.
L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimativo. Il rapporto tra l'errore assoluto al bordo e il numero approssimativo è chiamato errore relativo al bordo; denotalo così: Gli errori relativi e al contorno sono generalmente espressi in percentuale. Ad esempio, se le misurazioni mostrano che la distanza X tra due punti è superiore a 12,3 km, ma inferiore a 12,7 km, quindi la media aritmetica di questi due numeri viene presa come valore approssimativo, ad es. la loro semisomma, allora l'errore assoluto al contorno è uguale alla semidifferenza di questi numeri. In questo caso X≈ 12,5 (±0,2). Qui, l'errore assoluto del confine è di 0,2 km e il relativo relativo
In questa sottosezione diamo diverse definizioni di numeri razionali. Nonostante le differenze di formulazione, tutte queste definizioni hanno lo stesso significato: i numeri razionali combinano numeri interi e numeri frazionari, proprio come i numeri interi combinano numeri naturali, i loro numeri opposti e il numero zero. In altre parole, i numeri razionali generalizzano numeri interi e frazionari.
Iniziamo con definizioni di numeri razionali che è percepito come il più naturale.
Definizione.
Numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come una frazione comune positiva, una frazione comune negativa o il numero zero.
Dalla definizione suonata segue che un numero razionale è:
qualsiasi numero naturale n. Infatti, qualsiasi numero naturale può essere rappresentato come una frazione ordinaria, ad esempio, 3=3/1 .
· Qualsiasi numero intero, in particolare il numero zero. Infatti, qualsiasi numero intero può essere scritto sia come frazione comune positiva, sia come frazione comune negativa, o come zero. Per esempio, 26=26/1 , .
Qualsiasi frazione ordinaria (positiva o negativa). Ciò è direttamente affermato dalla definizione data di numeri razionali.
· Qualsiasi numero misto. Infatti, è sempre possibile rappresentare un numero misto come una frazione comune impropria. Ad esempio, e.
· Qualsiasi frazione decimale finita o frazione periodica infinita. Questo perché le frazioni decimali specificate vengono convertite in frazioni ordinarie. Ad esempio, A 0,(3)=1/3 .
È anche chiaro che qualsiasi decimale infinito non ripetitivo NON è un numero razionale, poiché non può essere rappresentato come una frazione comune.
Ora possiamo facilmente portare Esempi di numeri razionali. Numeri 4 ,903 , 100 321 sono numeri razionali, poiché sono numeri naturali. Numeri interi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sono anche esempi di numeri razionali. Frazioni comuni 4/9 , 99/3 , sono anche esempi di numeri razionali. Anche i numeri razionali sono numeri.
Gli esempi precedenti mostrano che esistono numeri razionali sia positivi che negativi e che il numero razionale zero non è né positivo né negativo.
La precedente definizione di numeri razionali può essere formulata in una forma più breve.
Definizione.
Numeri razionali nominare un numero che può essere scritto come frazione z/n, dove z.zè un numero intero e n- numero naturale.
Dimostriamo che questa definizione di numeri razionali è equivalente alla definizione precedente. Sappiamo che possiamo considerare la barra di una frazione come un segno di divisione, quindi dalle proprietà della divisione degli interi e dalle regole per dividere gli interi segue la validità delle seguenti uguaglianze e. Quindi questa è la prova.
Diamo esempi di numeri razionali basati su questa definizione. Numeri −5 , 0 , 3 , e sono numeri razionali, poiché possono essere scritti come frazioni con un numeratore intero e un denominatore naturale della forma e rispettivamente.
La definizione di numeri razionali può essere data anche nella seguente formulazione.
Definizione.
Numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come frazione decimale periodica finita o infinita.
Anche questa definizione è equivalente alla prima definizione, poiché ogni frazione ordinaria corrisponde a una frazione decimale finita o periodica e viceversa, e ogni numero intero può essere associato a una frazione decimale con zeri dopo la virgola.
Ad esempio, i numeri 5 , 0 , −13 , sono esempi di numeri razionali, poiché possono essere scritti come le seguenti frazioni decimali 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 e −7,(18) .
Concludiamo la teoria di questa sezione con le seguenti affermazioni:
i numeri interi e frazionari (positivi e negativi) costituiscono l'insieme dei numeri razionali;
Ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione con un numeratore intero e un denominatore naturale, e ciascuna di queste frazioni è un numero razionale;
Ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione decimale periodica finita o infinita, e ciascuna di queste frazioni rappresenta un numero razionale.
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L'addizione di numeri razionali positivi è commutativa e associativa,
("a, b í Q +) a + b= b + a;
("a, b, c í Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)
Prima di formulare la definizione di moltiplicazione di numeri razionali positivi, si consideri il seguente problema: è noto che la lunghezza del segmento X è espressa come frazione all'unità di lunghezza E, e la lunghezza del segmento unitario è misurata utilizzando l'unità E 1 ed è espresso come frazione. Come trovare il numero che rappresenterà la lunghezza del segmento X, se lo misuri usando l'unità di lunghezza E 1?
Poiché X=E, allora nX=mE, e dal fatto che E =E 1 segue che qE=pE 1 . Moltiplichiamo la prima uguaglianza ottenuta per q, e la seconda per m. Quindi (nq)X \u003d (mq)E e (mq)E \u003d (mp)E 1, da cui (nq)X \u003d (mp)E 1. Questa uguaglianza mostra che la lunghezza del segmento x alla lunghezza unitaria è espresso come frazione, e quindi , =, cioè la moltiplicazione delle frazioni è associata alla transizione da un'unità di lunghezza all'altra quando si misura la lunghezza dello stesso segmento.
Definizione Se un numero positivo a è rappresentato da una frazione, e un numero razionale positivo b è una frazione, allora il loro prodotto è il numero a b, che è rappresentato da una frazione.
Moltiplicazione di numeri razionali positivi commutativo, associativo e distributivo rispetto ad addizione e sottrazione. La dimostrazione di queste proprietà si basa sulla definizione di moltiplicazione e addizione di numeri razionali positivi, nonché sulle corrispondenti proprietà di addizione e moltiplicazione di numeri naturali.
46. Come sai sottrazioneè l'opposto di addizione.
Se una un e b - numeri positivi, quindi sottrarre il numero b dal numero a significa trovare un numero c che, sommato al numero b, dia il numero a.
a - b = c o c + b = a
La definizione di sottrazione vale per tutti i numeri razionali. Cioè, la sottrazione di numeri positivi e negativi può essere sostituita dall'addizione.
Per sottrarre un altro da un numero, devi aggiungere il numero opposto al minuendo.
Oppure, in altro modo, possiamo dire che la sottrazione del numero b è la stessa addizione, ma con il numero opposto al numero b.
a - b = a + (- b)
Esempio.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Esempio.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vale la pena ricordare le seguenti espressioni.
0 - un = - un
un - 0 = un
a - a = 0
Regole per la sottrazione di numeri negativi
La sottrazione del numero b è l'addizione con il numero opposto al numero b.
Questa regola viene preservata non solo quando si sottrae un numero più piccolo da un numero più grande, ma consente anche di sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, ovvero è sempre possibile trovare la differenza tra due numeri.
La differenza può essere un numero positivo, un numero negativo o zero.
Esempi di sottrazione di numeri negativi e positivi.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
È conveniente ricordare la regola del segno, che consente di ridurre il numero di parentesi.
Il segno più non cambia il segno del numero, quindi se c'è un segno più davanti alla parentesi, il segno tra parentesi non cambia.
+ (+ a) = + a
+ (-a) = -a
Il segno meno davanti alle parentesi inverte il segno del numero tra parentesi.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Si può vedere dalle uguaglianze che se ci sono segni identici prima e all'interno delle parentesi, allora otteniamo "+", e se i segni sono diversi, allora otteniamo "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
La regola dei segni viene preservata anche se non c'è un numero tra parentesi, ma una somma algebrica di numeri.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Si prega di notare che se ci sono più numeri tra parentesi e c'è un segno meno davanti alle parentesi, allora i segni davanti a tutti i numeri in queste parentesi devono cambiare.
Per ricordare la regola dei segni, puoi creare una tabella per determinare i segni di un numero.
Regola dei segni per i numeri + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Oppure impara una semplice regola.
Due negativi fanno un affermativo,
Più volte meno è uguale a meno.
Regole per dividere i numeri negativi.
Per trovare il modulo del quoziente, devi dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore.
Quindi, per dividere due numeri con lo stesso segno, hai bisogno di:
Dividi il modulo del dividendo per il modulo del divisore;
Metti un segno "+" davanti al risultato.
Esempi di numeri di divisione con segni diversi:
È inoltre possibile utilizzare la seguente tabella per determinare il segno del quoziente.
La regola dei segni quando si divide
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -
Quando si calcolano espressioni "lunghe", in cui compaiono solo la moltiplicazione e la divisione, è molto comodo utilizzare la regola del segno. Ad esempio, per calcolare una frazione
Puoi prestare attenzione che nel numeratore ci sono 2 segni "meno" che, moltiplicati, daranno un "più". Ci sono anche tre segni meno nel denominatore, che, una volta moltiplicati, daranno un segno meno. Pertanto, alla fine, il risultato sarà con un segno meno.
La riduzione della frazione (ulteriori azioni con moduli di numeri) viene eseguita come prima:
Il quoziente di divisione di zero per un numero diverso da zero è zero.
0: a = 0, a ≠ 0
NON dividere per zero!
Tutte le regole precedentemente note per dividere per uno si applicano anche all'insieme dei numeri razionali.
un: 1 = un
a: (- 1) = - a
a: a = 1, dove a è un qualsiasi numero razionale.
Le dipendenze tra i risultati della moltiplicazione e della divisione, note per i numeri positivi, sono conservate anche per tutti i numeri razionali (tranne il numero zero):
se a × b = c; a = c: b; b = c: un;
se a: b = c; un = c × b; b=a:c
Queste dipendenze vengono utilizzate per trovare il fattore sconosciuto, il dividendo e il divisore (quando si risolvono le equazioni), nonché per verificare i risultati della moltiplicazione e della divisione.
Un esempio di ricerca dell'ignoto.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2
Informazioni simili.
Come abbiamo visto, l'insieme dei numeri naturali
è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, e l'insieme degli interi
chiuso rispetto addizione, moltiplicazione e sottrazione. Tuttavia, nessuno di questi insiemi è chiuso rispetto alla divisione, poiché la divisione di numeri interi può portare a frazioni, come nei casi di 4/3, 7/6, -2/5 e così via. L'insieme di tutte queste frazioni forma l'insieme dei numeri razionali. Pertanto, un numero razionale (frazione razionale) è un numero che può essere rappresentato come , dove a e d sono numeri interi e d non è uguale a zero. Facciamo alcune osservazioni su questa definizione.
1) Abbiamo richiesto che d fosse diverso da zero. Questo requisito (scritto matematicamente come disuguaglianza ) è necessario perché qui d è un divisore. Considera i seguenti esempi:
Caso 1. .
Caso 2. .
Nel caso 1, d è un divisore nel senso del capitolo precedente, cioè 7 è un esatto divisore di 21. Nel caso 2, d è ancora un divisore, ma in un senso diverso, poiché 7 non è un esatto divisore di 25.
Se 25 è chiamato un divisibile e 7 un divisore, otteniamo il quoziente 3 e il resto 4. Quindi, la parola divisore è usata qui in un senso più generale e si applica a più casi che nel cap. I. Tuttavia, in casi come il caso 1, il concetto di divisore introdotto nel cap. IO; quindi è necessario, come nel cap. I, escludo la possibilità d = 0.
2) Si noti che, mentre le espressioni numero razionale e frazione razionale sono sinonimi, la parola frazione stessa è usata per riferirsi a qualsiasi espressione algebrica composta da un numeratore e da un denominatore, come, ad esempio,
3) La definizione di numero razionale include l'espressione “un numero che può essere rappresentato come , dove a e d sono numeri interi e . Perché non può essere sostituito dall'espressione “un numero della forma dove a e d sono numeri interi e La ragione di questo è il fatto che ci sono infiniti modi per esprimere la stessa frazione (ad esempio, 2/3 può anche essere scritto come 4/6, 6/9, o 213/33, o ecc.), ed è desiderabile per noi che la nostra definizione di un numero razionale non dipenda da un particolare modo di esprimerlo.
Una frazione è definita in modo tale che il suo valore non cambi quando il numeratore e il denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero. Tuttavia, non è sempre possibile dire semplicemente osservando una data frazione se sia razionale o meno. Consideriamo, ad esempio, i numeri
Nessuno di essi nella notazione che abbiamo scelto ha la forma , dove a e d sono numeri interi.
Possiamo però eseguire una serie di trasformazioni aritmetiche sulla prima frazione e ottenere
Quindi, arriviamo a una frazione uguale alla frazione originale per la quale . Il numero è quindi razionale, ma non lo sarebbe se la definizione di un numero razionale richiedesse che il numero fosse della forma a/b, dove aeb sono numeri interi. Nel caso di una frazione di conversione
portare a un numero. Nei capitoli successivi impareremo che un numero non può essere rappresentato come un rapporto di due numeri interi, e quindi non è razionale, o si dice che sia irrazionale.
4) Si noti che ogni numero intero è razionale. Come abbiamo appena visto, questo è vero nel caso del numero 2. Nel caso generale di numeri interi arbitrari, si può analogamente assegnare a ciascuno di essi un denominatore 1 e ottenerne la rappresentazione come frazioni razionali.
