La matrice A -1 è chiamata matrice inversa rispetto alla matrice A, se A * A -1 \u003d E, dove E è la matrice identità dell'ennesimo ordine. La matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.
Assegnazione del servizio. Utilizzando questo servizio online, puoi trovare addizioni algebriche, matrice trasposta A T , matrice unione e matrice inversa. La soluzione si effettua direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo sono presentati in un report in formato Word e in formato Excel (ovvero è possibile verificare la soluzione). vedi esempio di progettazione.
Istruzione. Per ottenere una soluzione, è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, nella nuova finestra di dialogo, compilare la matrice A .
Vedi anche Matrice inversa con il metodo Jordan-Gauss
Esempio 1. Scriviamo la matrice nella forma:
| LA 1.1 = (-1) 1+1 |
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| LA 1,2 = (-1) 1+2 |
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| LA 1.3 = (-1) 1+3 |
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| LA 2.1 = (-1) 2+1 |
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| LA 2.2 = (-1) 2+2 |
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| LA 2.3 = (-1) 2+3 |
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| LA 3.1 = (-1) 3+1 |
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| LA 3,2 = (-1) 3+2 |
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| LA 3,3 = (-1) 3+3 |
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| LA -1 = 1/10 |
|
| LA -1 = |
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Un caso speciale: L'inversa, rispetto alla matrice identità E , è la matrice identità E .
Una matrice inversa per una data è tale matrice, moltiplicazione di quella originaria per la quale si ottiene una matrice identità: Condizione obbligatoria e sufficiente per la presenza di una matrice inversa è la disuguaglianza del determinante di quella originaria (che a sua volta implica che la matrice deve essere quadrata). Se il determinante di una matrice è uguale a zero, allora si chiama degenere e tale matrice non ha inverso. In matematica superiore, le matrici inverse hanno importanza e sono usati per risolvere una serie di problemi. Ad esempio, su trovare la matrice inversa costruito metodo matriciale soluzioni di sistemi di equazioni. Il nostro sito di servizio lo consente calcolare la matrice inversa online due metodi: il metodo di Gauss-Jordan e l'utilizzo della matrice delle addizioni algebriche. Il primo implica un gran numero di trasformazioni elementari all'interno della matrice, il secondo - il calcolo delle aggiunte determinanti e algebriche a tutti gli elementi. Per calcolare il determinante di una matrice online, puoi utilizzare il nostro altro servizio - Calcolo del determinante di una matrice online
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La matrice $A^(-1)$ è detta l'inversa della matrice quadrata $A$ se $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, dove $E $ è la matrice identità, il cui ordine è uguale all'ordine della matrice $A$.
Una matrice non singolare è una matrice il cui determinante non è uguale a zero. Di conseguenza, una matrice degenere è quella il cui determinante è uguale a zero.
La matrice inversa $A^(-1)$ esiste se e solo se la matrice $A$ è non singolare. Se la matrice inversa $A^(-1)$ esiste, allora è unica.
Esistono diversi modi per trovare l'inverso di una matrice e ne esamineremo due. Questa pagina coprirà il metodo della matrice aggiunta, che è considerato standard nella maggior parte dei corsi. matematica superiore. Il secondo modo per trovare la matrice inversa (metodo delle trasformazioni elementari), che prevede l'utilizzo del metodo di Gauss o del metodo di Gauss-Jordan, è considerato nella seconda parte.
Sia data la matrice $A_(n\times n)$. Per trovare la matrice inversa $A^(-1)$, sono necessari tre passaggi:
La matrice $(A^(*))^T$ è spesso indicata come matrice aggiunta (reciproca, alleata) di $A$.
Se la decisione viene presa manualmente, il primo metodo è valido solo per matrici di ordini relativamente piccoli: secondo (), terzo (), quarto (). Per trovare la matrice inversa per una matrice di ordine superiore, vengono utilizzati altri metodi. Ad esempio, il metodo Gauss, discusso nella seconda parte.
Esempio 1
Trova matrice inversa alla matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Poiché tutti gli elementi della quarta colonna sono uguali a zero, allora $\Delta A=0$ (ovvero la matrice $A$ è degenere). Poiché $\Delta A=0$, non esiste una matrice inversa a $A$.
Esempio #2
Trova la matrice inversa alla matrice $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Usiamo il metodo della matrice aggiunta. Per prima cosa, troviamo il determinante della data matrice $A$:
$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Poiché $\Delta A \neq 0$, allora esiste la matrice inversa, quindi continuiamo la soluzione. Trovare complementi algebrici
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)
Comporre una matrice di complementi algebrici: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Trasponi la matrice risultante: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (la matrice risultante la matrice è spesso indicata come affiliata o matrice alleata alla matrice $A$). Usando la formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, abbiamo:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Quindi si trova la matrice inversa: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \destra) $. Per verificare la veridicità del risultato è sufficiente verificare la verità di una delle uguaglianze: $A^(-1)\cdot A=E$ oppure $A\cdot A^(-1)=E$. Controlliamo l'uguaglianza $A^(-1)\cdot A=E$. Per lavorare meno con le frazioni, sostituiremo la matrice $A^(-1)$ non nella forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ma come $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\destra)$:
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Esempio #3
Trova l'inverso della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Iniziamo calcolando il determinante della matrice $A$. Quindi, il determinante della matrice $A$ è:
$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Poiché $\Delta A\neq 0$, allora esiste la matrice inversa, quindi continuiamo la soluzione. Troviamo i complementi algebrici di ogni elemento della matrice data:
Componiamo una matrice di addizioni algebriche e la trasponiamo:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Usando la formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, otteniamo:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Quindi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Per verificare la veridicità del risultato è sufficiente verificare la verità di una delle uguaglianze: $A^(-1)\cdot A=E$ oppure $A\cdot A^(-1)=E$. Controlliamo l'uguaglianza $A\cdot A^(-1)=E$. Per lavorare meno con le frazioni, sostituiremo la matrice $A^(-1)$ non nella forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, ma come $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Il controllo è andato a buon fine, la matrice inversa $A^(-1)$ è stata trovata correttamente.
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Esempio #4
Trova matrice inversa di $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Per una matrice del quarto ordine, trovare la matrice inversa usando addizioni algebriche è alquanto difficile. Tuttavia, tali esempi lavoro di controllo incontrare.
Per trovare la matrice inversa, devi prima calcolare il determinante della matrice $A$. Il modo migliore per farlo in questa situazione è espandere il determinante in una riga (colonna). Selezioniamo qualsiasi riga o colonna e troviamo il complemento algebrico di ciascun elemento della riga o colonna selezionata.
Definizione 1: Una matrice si dice degenere se il suo determinante è zero.
Definizione 2: Una matrice si dice non singolare se il suo determinante non è uguale a zero.
Viene chiamata la matrice "A". matrice inversa, se la condizione A*A-1 = A-1 *A = E (matrice identità) è soddisfatta.
Una matrice quadrata è invertibile solo se è non singolare.
Schema per il calcolo della matrice inversa:
1) Calcolare il determinante della matrice "A" if ∆ A = 0, allora la matrice inversa non esiste.
2) Trova tutti i complementi algebrici della matrice "A".
3) Comporre una matrice di addizioni algebriche (Aij )
4) Trasporre la matrice dei complementi algebrici (Aij )T
5) Moltiplicare la matrice trasposta per il reciproco del determinante di questa matrice.
6) Esegui un controllo:
A prima vista può sembrare difficile, ma in realtà è tutto molto semplice. Tutte le soluzioni si basano su semplici operazioni aritmetiche, l'importante quando si risolve non è confondersi con i segni "-" e "+" e non perderli.
E ora risolviamo insieme a te un compito pratico calcolando la matrice inversa.
Compito: trova la matrice inversa "A", mostrata nell'immagine qui sotto:
1. La prima cosa da fare è trovare il determinante della matrice "A":
Spiegazione:
Abbiamo semplificato il nostro determinante utilizzando le sue funzioni principali. Per prima cosa, abbiamo aggiunto alla 2a e 3a riga gli elementi della prima riga, moltiplicati per un numero.
In secondo luogo, abbiamo cambiato la 2a e la 3a colonna del determinante e, in base alle sue proprietà, abbiamo cambiato il segno davanti ad essa.
In terzo luogo, abbiamo tolto il fattore comune (-1) della seconda riga, cambiando di nuovo il segno, ed è diventato positivo. Abbiamo anche semplificato la riga 3 allo stesso modo dell'inizio dell'esempio.
Abbiamo un determinante triangolare, in cui gli elementi sotto la diagonale sono uguali a zero, e per la proprietà 7 è uguale al prodotto degli elementi della diagonale. Di conseguenza, abbiamo ottenuto ∆ A = 26, quindi esiste la matrice inversa.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Il passaggio successivo consiste nel compilare una matrice dalle addizioni risultanti:
5. Moltiplichiamo questa matrice per il reciproco del determinante, cioè per 1/26:
6. Bene, ora dobbiamo solo controllare:
Durante la verifica, abbiamo ricevuto una matrice di identità, quindi la decisione è stata presa in modo assolutamente corretto.
2 modi per calcolare la matrice inversa.
1. Trasformazione elementare di matrici
2. Matrice inversa tramite un convertitore elementare.
La trasformazione elementare della matrice include:
1. Moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero.
2. Aggiunta a qualsiasi riga di un'altra riga, moltiplicata per un numero.
3. Scambiare le righe della matrice.
4. Applicando una catena di trasformazioni elementari, otteniamo un'altra matrice.
MA -1 = ?
1. (LA|MI) ~ (MI|LA -1 )
2. A -1*LA=MI
Consideralo acceso esempio pratico con numeri reali.
Esercizio: Trova la matrice inversa.
Soluzione:
Controlliamo:
Un piccolo chiarimento sulla soluzione:
Abbiamo prima scambiato le righe 1 e 2 della matrice, poi abbiamo moltiplicato la prima riga per (-1).
Successivamente, la prima riga è stata moltiplicata per (-2) e aggiunta alla seconda riga della matrice. Quindi abbiamo moltiplicato la seconda riga per 1/4.
La fase finale della trasformazione è stata la moltiplicazione della seconda riga per 2 e l'addizione dalla prima. Di conseguenza, abbiamo una matrice identità a sinistra, quindi la matrice inversa è la matrice a destra.
Dopo aver verificato, eravamo convinti della correttezza della soluzione.
Come puoi vedere, calcolare la matrice inversa è molto semplice.
Nel concludere questa lezione, vorrei dedicare un po' di tempo anche alle proprietà di una tale matrice.
Si consideri il problema di definire l'operazione inversa alla moltiplicazione di matrici.
Sia A una matrice quadrata di ordine n. Matrice A^(-1) , che insieme alla data matrice A soddisfa le seguenti uguaglianze:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
Segue dalla definizione che se esiste una matrice inversa A^(-1), allora è quadrata dello stesso ordine di A . Tuttavia, non tutte le matrici quadrate hanno un'inversa. Se il determinante della matrice A è uguale a zero (\det(A)=0) , allora non esiste un inverso per esso. Infatti, applicando il teorema del determinante del prodotto matriciale per matrice identità E=A^(-1)A otteniamo una contraddizione
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
Teorema 4.1 sull'esistenza e unicità della matrice inversa. matrice quadrata A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), il cui determinante è diverso da zero, ha una matrice inversa e, inoltre, una sola:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
dove A^(+) è la matrice trasposta per la matrice composta dai complementi algebrici degli elementi della matrice A .
Viene chiamata la matrice A^(+). matrice allegata rispetto alla matrice A .
Infatti, la matrice \frac(1)(\det(A))\,A^(+) esiste nella condizione \det(A)\ne0 . Dobbiamo mostrare che è inverso ad A , cioè soddisfa due condizioni:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Dimostriamo la prima uguaglianza. Secondo il punto 4 delle Osservazioni 2.3, dalle proprietà del determinante segue che AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ecco perchè
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
che doveva essere mostrato. Analogamente si dimostra la seconda uguaglianza. Pertanto, sotto la condizione \det(A)\ne0, la matrice A ha un'inversa
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Dimostriamo l'unicità della matrice inversa per assurdo. Sia che oltre alla matrice A^(-1) esista un'altra matrice inversa B\,(B\ne A^(-1)) tale che AB=E . Moltiplicando entrambi i lati di questa uguaglianza a sinistra per la matrice A^(-1) , otteniamo \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Quindi B=A^(-1) , che contraddice l'ipotesi B\ne A^(-1) . Pertanto, la matrice inversa è unica.
Osservazioni 4.1
1. Dalla definizione segue che le matrici A e A^(-1) sono permutabili.
2. Anche la matrice inversa a una diagonale non degenere è diagonale:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. La matrice inversa a una matrice triangolare inferiore (superiore) non degenerata è triangolare inferiore (superiore).
4. Le matrici elementari hanno inverse, anch'esse elementari (vedi punto 1 delle Osservazioni 1.11).
L'operazione di inversione di matrice ha le seguenti proprietà:
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=SI^(-1)LA^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (LA^T)^(-1)=(LA^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(allineato)
Dimostriamo la proprietà 2: se il prodotto AB di matrici quadrate non singolari dello stesso ordine ha una matrice inversa, allora (AB)^(-1)=SI^(-1)LA^(-1).
Infatti, il determinante del prodotto delle matrici AB non è uguale a zero, poiché
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), dove \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Pertanto, la matrice inversa (AB)^(-1) esiste ed è unica. Mostriamo per definizione che la matrice B^(-1)A^(-1) è inversa rispetto alla matrice AB . Veramente.
