A bemutatott oktatóvideóban részletesen megvizsgáljuk a polinomok bármely olyan kifejezéssel való szorzását, amely megfelel a "mono" vagy monomiális definíciónak. A monom bármilyen szabad numerikus érték lehet, amelyet képvisel természetes szám(bármilyen mértékben, bármilyen előjellel) vagy valamilyen változóval (hasonló attribútumokkal). Érdemes megjegyezni, hogy a polinom algebrai elemek halmaza, amelyeket egy polinom tagjainak neveznek. Néha egyes kifejezések hasonlósággal és rövidítéssel adhatók meg. A szorzási művelet után erősen ajánlott a hasonló tagok kicsinyítési eljárását elvégezni. A végső válasz ebben az esetben a polinom standardizált formája lesz.
Videónkból az következik, hogy a monom és a polinom szorzásának folyamata két oldalról tekinthető meg: lineáris algebra és geometria. Tekintsük egy-egy polinom mindkét oldali szorzásának műveletét – ez hozzájárul a szabályok alkalmazásának egyetemességéhez, különösen összetett problémák esetén.
Algebrai értelemben a polinom monomimmal való szorzása az összeggel való szorzás szokásos szabályát követi: az összeg minden elemét meg kell szorozni egy adott értékkel, és a kapott értéket algebrailag össze kell adni. Meg kell érteni, hogy bármely polinom kiterjesztett algebrai összeg. Miután a polinom minden tagját megszorozzuk egy bizonyos értékkel, egy új algebrai összeget kapunk, amit általában, ha lehet, szabványos alakra redukálunk.
Tekintsük egy polinom beszorzását ez az eset:
3a * (2a 2 + 3c - 3)
Könnyen érthető, hogy itt a (2a 2 + 3c - 3) kifejezés egy polinom, a 3a pedig egy szabad tényező. Ennek a kifejezésnek a megoldásához elegendő a polinom mindhárom tagját megszorozni 3a-val:
Érdemes megjegyezni, hogy a jel a jobb oldali változó fontos attribútuma, és nem lehet elveszíteni. A "+" jelet általában nem írják ki, ha a kifejezés ezzel kezdődik. A numerikus betűs kifejezések szorzásakor a változók összes együtthatója elemi szorzásra kerül. Ugyanezek a változók növelik a fokozatot. A különböző változók változatlanok maradnak, és egy elembe íródnak: a*c = ac. Ezen egyszerű összeadási szabályok ismerete hozzájárul az ilyen gyakorlatok helyes és gyors megoldásához.
Három értéket kaptunk, amelyek valójában a végső polinom tagjai, ami a példa válasza. Csak ezeket az értékeket kell algebrailag hozzáadni:
6a 3 + 9ac + (-9a) \u003d 6a 3 + 9ac - 9a
Kinyitjuk a zárójeleket, megőrizve az előjeleket, mivel ez algebrai összeadás, és értelemszerűen plusz jel van a monomiumok között. Az így kapott polinom standard alakja a helyes válasz a bemutatott példára.
A polinom monomimmal való szorzásának geometriai nézete a téglalap területének megtalálásának folyamata. Tegyük fel, hogy van egy téglalapunk, amelynek oldalai a és c. Az ábrát két szegmens három különböző területű téglalapra osztja úgy, hogy a c oldal közös legyen, vagy ugyanaz. És az a1, a2 és a3 oldalak összeadják a kezdeti a-t. Amint az a téglalap területének axiomatikus meghatározásából ismeretes, ennek a paraméternek a megtalálásához meg kell szorozni az oldalakat: S = a*c. Vagy S = (a1 + a2 + a3) * s. A (kisebb téglalapok oldalaiból képzett) polinomot megszorozzuk a monomimmal - az ábra fő oldalával, és S-re egy kifejezést kapunk: a1 * c + a2 * c + a3 * c. De ha alaposan megnézzük, láthatjuk, hogy ez a polinom három kisebb téglalap területének összege, amelyek a kezdeti ábrát alkotják. Valóban, az első téglalap esetében S = a1c (az axióma szerint), és így tovább. Algebrailag az érvelés helyességét polinom összeadásakor lineáris algebrai számítások igazolják. És geometriailag - a területek hozzáadásának szabályai egyetlen egyszerű ábrán.
A polinom monomimmal való szorzásával végzett manipulációk során emlékezni kell arra, hogy ebben az esetben a monom és a polinom (általános) foka összeadódik - és a kapott érték az új polinom (válasz) foka. .
A fenti szabályok mindegyike az alapokkal együtt algebrai összeadás A kifejezések legegyszerűbb egyszerűsítésének példáiban használatosak, ahol a hasonló kifejezéseket redukálják, és az elemeket szorozzák a teljes polinom egyszerűsítése érdekében.
>>Matek: Polinom szorzása monommal
Polinom szorzása monommal
Talán észrevetted, hogy a 4. fejezet eddig a 3. fejezethez hasonló terv szerint épült fel. Mindkét fejezetben először az alapfogalmak kerültek bevezetésre: a 3. fejezetben ezek voltak a monom, a monom standard formája, az együttható a monomiális; a 4. fejezetben - polinom, a polinom standard alakja. Majd a 3. fejezetben megnéztük a monomok összeadását és kivonását; hasonlóképpen a 4. fejezetben - polinomok összeadása és kivonása.
Mi történt ezután a 3. fejezetben? Aztán a monomok szorzásáról beszéltünk. Tehát analógiával miről beszéljünk most? A polinomok szorzásáról. De itt lassan kell haladnunk: először (ebben a bekezdésben) egy polinom szorzását vesszük figyelembe egytagú(vagy egy monom egy polinommal, nem számít), majd (a következő bekezdésben) - bármilyen polinom szorzata. Amikor általános iskolában megtanultad a számok szorzását, akkor is fokozatosan cselekedtél: először egy többjegyű számot tanultál meg szorozni egyjegyű számmal és csak azután szoroztál meg egy többjegyű számot egy többjegyűvel.
(a + b)c \u003d ac + bc.
1. példa Hajtsa végre a szorzást 2a 2 - Zab) (-5a).
Megoldás. Vezessünk be új változókat:
x \u003d 2a 2, y \u003d Zab, z = 5a.
Ekkor ez a szorzat (x + y)z alakban lesz átírva, ami az eloszlási törvény szerint egyenlő xr + yz-zel. Most térjünk vissza a régi változókhoz:
xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a).
Már csak az marad, hogy megtaláljuk a monomiális termékek termékeit. Kapunk:
- 10a 3 + 15a 2 b
Röviden leírjuk a megoldást (így írjuk a jövőben új változók bevezetése nélkül):
(2a 2 - Zab) (- 5a) \u003d 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) \u003d -10a 3 + 15a 2 b.
Most meg tudjuk fogalmazni a megfelelő szabályt egy polinom monomimmal való szorzására.
Ugyanez a szabály érvényes egy monom és egy polinom szorzásakor is:
- 5a (2a 2 - Zab) \u003d (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) \u003d 10a 3 + 15a 2 b
(az 1. példát vettük, de a tényezőket felcseréltük).
2. példa Adjunk meg egy polinomot egy polinom és egy monom szorzataként, ha:
a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;
b) p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zu 2.
Megoldás.
a) Vegye figyelembe, hogy 2x 2 y \u003d 2x xy és 4a: \u003d 2x 2.
2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x
b) Az a) példában a p 1 (x, y) \u003d 2x 2 y + 4a polinom minden tagjának összetételét sikerült elérni: 2x válasszuk ki ugyanazt a részt (ugyanazt a tényezőt). Itt nincs ilyen közös rész. Ez azt jelenti, hogy a p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zy 2 polinom nem ábrázolható polinom és monom szorzataként.
Valójában a p 2 (x, y) polinom szorzatként is ábrázolható, például így:
x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) 0,5
vagy így:
x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- egy szám szorzata egy polinommal, de ez mesterséges transzformáció, és nem használatos nagy szükség nélkül.
Egyébként a matematikában eléggé elterjedt az a követelmény, hogy egy adott polinomot egy monom és egy polinom szorzataként kell ábrázolni, ezért ez az eljárás külön nevet kapott: a közös tényezőt zárójelből kivenni.
Az a feladat, hogy a közös tényezőt kivesszük a zárójelekből, lehet helyes (mint a 2a. példában), vagy lehet, hogy nem teljesen helyes (mint a 26. példában). A következő fejezetben kifejezetten ezzel a kérdéssel fogunk foglalkozni.
A rész végén olyan problémákat oldunk meg, amelyek megmutatják, hogyan kell a gyakorlatban dolgozni matematikai modellek Valós helyzetekben meg kell alkotni a polinomok algebrai összegét, és meg kell szorozni egy polinomot egy monommal. Tehát nem hiába tanulmányozzuk ezeket a műveleteket.
3. példa Az A, B és C pontok az autópályán találhatók, ahogy a 3. ábra mutatja. A és B távolsága 16 km. Egy gyalogos elhagyta a B-t C felé. 2 órával később egy kerékpáros elhagyta az A-t C irányába, akinek a sebessége 6 km/h nagyobb sebesség gyalogos. 4 órával indulása után a kerékpáros utolérte a gyalogost a C pontban. Mekkora a távolság B-től C-ig?
Megoldás.
Első fázis. Tervezés matematikai modell. Legyen x km/h a gyalogos sebessége, majd (x + 6) km/h a kerékpáros sebessége.
A kerékpáros A-tól C-ig 4 óra alatt tette meg a távolságot, ami azt jelenti, hogy ezt a távolságot a 4 (x + 6) km képlet fejezi ki; más szavakkal, AC = 4 (x + 6).
A B-től C-ig tartó távolságot a gyalogos 6 óra alatt tette meg (elvégre a kerékpáros indulása előtt már 2 órája volt úton), ezért ezt a távolságot a 6x km képlet fejezi ki; más szóval, BC = 6x
És most figyeljen a 3. ábrára: AC - BC = AB, azaz AC - BC = 16. Ez az alapja a probléma matematikai modelljének összeállításához. Emlékezzünk vissza, hogy AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; Következésképpen,
4(x + 6) -6x = 16.
A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára
Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék1.1. Fenntartása érdekében üzleti hírnévés a szövetségi jogszabályoknak való megfelelés biztosítása Az FGAU GNII ITT „Informika” (a továbbiakban: Társaság) a legfontosabb feladatának tekinti az alanyok személyes adatai kezelésének jogszerűségének és biztonságának biztosítását a Társaság üzleti folyamataiban.
1.2. A probléma megoldására a Társaság bevezette, működteti és időszakos felülvizsgálaton (ellenőrzésen) esik át a személyes adatok védelmi rendszerén.
1.3. A Társaságnál a személyes adatok kezelése az alábbi elveken alapul:
A személyes adatok kezelésének céljainak és módszereinek jogszerűsége, valamint a jóhiszeműség;
A személyes adatok kezelésének céljainak megfelelése a személyes adatok gyűjtése során előre meghatározott és bejelentett céloknak, valamint a Társaság hatásköreinek;
A kezelt személyes adatok mennyiségének és jellegének, a személyes adatok kezelésének módjainak megfelelése a személyes adatok kezelésének céljainak;
A személyes adatok megbízhatósága, relevanciája és elégségessége az adatkezelés céljai szempontjából, a személyes adatok gyűjtésének céljaihoz képest túlzott adatkezelés megengedhetetlensége;
A személyes adatok biztonságát biztosító szervezési és technikai intézkedések legitimitása;
A Társaság munkatársai tudásszintjének folyamatos fejlesztése a személyes adatok biztonságának biztosítása terén azok feldolgozása során;
Törekszik a személyes adatvédelmi rendszer folyamatos fejlesztésére.
2. A személyes adatok kezelésének céljai
2.1. A személyes adatok kezelésének elveivel összhangban a Társaság meghatározza az adatkezelés összetételét és céljait.
A személyes adatok kezelésének céljai:
Következtetés, karbantartás, változtatás, felmondás munkaszerződések, amelyek a Társaság és alkalmazottai közötti munkaviszony létrejöttének vagy megszűnésének alapját képezik;
Portál biztosítása, szolgáltatások személyes fiók diákoknak, szülőknek és tanároknak;
Tanulási eredmények tárolása;
A szövetségi jogszabályokban és más szabályozó jogszabályokban előírt kötelezettségek teljesítése;
3. A személyes adatok kezelésének szabályai
3.1. A Társaság csak azokat a személyes adatokat kezeli, amelyeket az FSAI GNII ITT „Informika” által kezelt személyes adatok jóváhagyott listája tartalmaz.
3.2. A Társaság nem engedélyezi az alábbi kategóriájú személyes adatok feldolgozását:
Verseny;
Filozófiai hiedelmek;
Az egészségi állapotról;
Állapot intim élet;
Állampolgárság;
Vallásos hiedelmek.
3.3. A Társaság nem kezel biometrikus személyes adatokat (élettani ill biológiai jellemzők személy, amely alapján személyazonossága megállapítható).
3.4. A Társaság a személyes adatok határokon átnyúló továbbítását (személyes adatok területre történő továbbítását) nem végez idegen ország idegen állam hatósága, külföldi egy egyénnek vagy külföldi jogi személy).
3.5. A Társaság megtiltja, hogy az érintettekkel kapcsolatos döntéseket kizárólag személyes adataik automatizált feldolgozása alapján hozzanak.
3.6. A Társaság az alanyok büntetett előéletére vonatkozó adatokat nem kezel.
3.7. A Társaság az érintett személyes adatait előzetes hozzájárulása nélkül nem helyezi el nyilvános forrásokban.
4. Bevezetett követelmények a személyes adatok biztonságának biztosítására
4.1. A személyes adatok biztonságának biztosítása érdekében azok feldolgozása során a Társaság végrehajtja az Orosz Föderáció alábbi szabályozó dokumentumainak követelményeit a személyes adatok feldolgozása és biztonságának biztosítása terén:
a szövetségi törvény 2006. július 27-én kelt 152-FZ „A személyes adatokról”;
kormányrendelet Orosz Föderáció 2012. november 1-jén kelt N 1119 „A személyes adatok feldolgozása során történő védelmére vonatkozó követelmények jóváhagyásáról információs rendszerek személyes adatok";
Az Orosz Föderáció kormányának 2008. szeptember 15-i 687. számú rendelete „A személyes adatok automatizálási eszközök használata nélkül történő feldolgozásának sajátosságairól szóló szabályzat jóváhagyásáról”;
Az oroszországi FSTEC 2013. február 18-i N 21-es rendelete „A személyes adatok biztonságát biztosító szervezési és technikai intézkedések összetételének és tartalmának jóváhagyásáról a személyes adatok információs rendszerekben történő feldolgozása során”;
A személyes adatok biztonságát fenyegető veszélyek alapmodellje a személyes adatok információs rendszerekben történő feldolgozása során (jóváhagyta az oroszországi FSTEC igazgatóhelyettese 2008. február 15-én);
A személyes adatok biztonságát fenyegető tényleges veszélyek meghatározásának módszertana a személyes adatok információs rendszerekben történő feldolgozása során (jóváhagyta az oroszországi FSTEC igazgatóhelyettese 2008. február 14-én).
4.2. A Társaság felméri a személyes adatok alanyainak esetlegesen okozott károkat, és meghatározza a személyes adatok biztonságát fenyegető veszélyeket. A Társaság a feltárt tényleges veszélyeknek megfelelően megteszi a szükséges és elégséges szervezési és technikai intézkedéseket, beleértve az információbiztonsági eszközök alkalmazását, a jogosulatlan hozzáférés felderítését, a személyes adatok helyreállítását, a személyes adatokhoz való hozzáférés szabályainak megállapítását, valamint a megtett intézkedések hatékonyságának nyomon követése és értékelése.
4.3. A Társaság a személyes adatok kezelésének megszervezéséért és biztonságának biztosításáért felelős személyeket jelölt ki.
4.4. A Társaság vezetése tudatában van annak szükségességének és érdekelt abban, hogy mind az Orosz Föderáció szabályozási dokumentumainak követelményei, mind pedig az üzleti kockázatok értékelése szempontjából indokolt legyen a kezelt személyes adatok biztonsági szintje. A cég alaptevékenysége.
Ha a számokat különböző betűk jelölik, akkor csak a termékből lehet kijelölni; szorozzuk meg például az a számot b számmal, - ezt jelölhetjük akár a ∙ b-vel, akár ab-vel, de szó sem lehet arról, hogy ezt a szorzást valahogyan elvégezzük. Ha azonban monomokról van szó, akkor 1) az együtthatók jelenléte és 2) az a tény, hogy ezek a monomiumok tartalmazhatnak ugyanazokkal a betűkkel jelölt tényezőket, beszélhetünk monomiális szorzásról; ez a lehetőség még szélesebb polinomoknál. Elemezzünk számos olyan esetet, amikor lehetséges a szorzás, a legegyszerűbbtől kezdve.
1. Hatványok szorzása ugyanazzal az alappal. Legyen például egy 3 ∙ a 5 szükséges. Írjuk le ugyanezt, ismerve a hatalommá emelés jelentését, részletesebben:
a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a
Ha ezt a részletes bejegyzést nézzük, azt látjuk, hogy 8-szoros szorzót írtunk, vagy röviden 8-at. Tehát a 3 ∙ a 5 = a 8 .
Legyen b 42 ∙ b 28 szükséges. Először a b faktort kellene felírnunk 42-szer, majd ismét a b faktort 28-szor - általában azt kapnánk, hogy b faktort 70-szer veszi fel. azaz b 70 . Tehát b 42 ∙ b 28 \u003d b 70. Ebből már látszik, hogy a hatványok azonos bázisokkal való szorzásakor a fokszám alapja változatlan marad, és a kitevők összeadódnak. Ha van egy 8 ∙ a, akkor szem előtt kell tartanunk, hogy az a tényező 1 kitevőjét jelenti („a az első hatványhoz”), ezért a 8 ∙ a = a 9 .
Példák: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 stb.
Néha olyan fokokkal kell foglalkozni, amelyek kitevőit betűk jelölik, például xn (x n hatványára). Meg kell szokni ezeket a kifejezéseket. Íme néhány példa:
Magyarázzunk meg néhány példát a következők közül: b n - 3 ∙ b 5 változatlanul kell hagynia a b alapot, és hozzá kell adnia a mutatókat, azaz (n - 3) + (+5) \u003d n - 3 + 5 \u003d n + 2 Természetesen az ilyen kiegészítéseket meg kell tanulni, hogy az elmében gyorsan végrehajtsák.
Egy másik példa: x n + 2 ∙ x n - 2, - x alapját változatlanul kell hagyni, és hozzá kell adni a mutatót, azaz (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n .
A fentebb talált sorrendet, hogy a hatványok szorzását hogyan kell elvégezni azonos alapokon, most az egyenlőséggel lehet kifejezni:
a m ∙ a n = a m + n
2. Egy monomiális szorzása egy monomimmal. Legyen például szükséges a 3a²b³c ∙ 4ab²d². Látjuk, hogy itt egy szorzást egy pont jelzi, de tudjuk, hogy ugyanaz a szorzási jel van 3 és a² között, a² és b³ között, b³ és c között, 4 és a között, a és b² között, b² és b² között. d². Ezért itt 8 faktor szorzatát láthatjuk, és ezeket tetszőleges csoportokkal tetszőleges sorrendben megszorozhatjuk. Rendezzük át őket úgy, hogy az azonos bázisú együtthatók és hatványok közel legyenek, pl.
3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².
Ekkor megszorozhatjuk 1) együtthatókat és 2) hatványokat ugyanazzal az alappal, és 12a³b5cd²-t kapunk.
Tehát egy monomiális szorozásakor az együtthatókat és a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozhatjuk, és a fennmaradó tényezőket változtatás nélkül át kell írni.
További példák:
3. Polinom szorzása monommal. Tegyük fel, hogy először meg kell szoroznunk valamilyen polinomot, például a - b - c + d pozitív egész számmal, például +3-mal. Mivel a pozitív számokat az aritmetikával azonosnak tekintjük, ez ugyanaz, mint (a - b - c + d) ∙ 3, azaz vegyük a - b - c + d összegzést 3-szor, ill.
(a - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,
azaz ennek eredményeként a polinom minden tagját meg kellett szorozni 3-mal (vagy +3-mal).
Ebből következik:
(a - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,
azaz a polinom minden tagját el kellett osztani (+3-mal). Továbbá összefoglalva a következőket kapjuk:
stb.
Most meg kell szorozni (a - b - c + d) egy pozitív törttel, például +. Ez olyan, mintha egy aritmetikai törttel szoroznánk, ami azt jelenti, hogy részeket veszünk ki (a - b - c + d). Könnyű kivenni ennek a polinomnak az egyötödét: el kell osztani (a - b - c + d) 5-tel, és már tudjuk, hogyan kell ezt csinálni - kapjuk 
. Továbbra is meg kell ismételni a kapott eredményt háromszor, vagy meg kell szorozni 3-mal, azaz.
Ennek eredményeként azt látjuk, hogy a polinom minden tagját meg kellett szoroznunk +-val vagy +-val.
Legyen most meg kell szorozni (a - b - c + d) egy negatív számmal, egész számmal vagy törttel,
azaz ebben az esetben a polinom minden tagját meg kellett szorozni -val.
Így, bármilyen legyen is az m szám, mindig (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm.
Mivel minden monom egy szám, itt egy jelzést látunk arra vonatkozóan, hogyan kell egy polinomot megszorozni egy monommal – a polinom minden tagját meg kell szorozni ezzel a monommal.
4. Polinom szorzása polinommal. Legyen (a + b + c) ∙ (d + e). Mivel d és e számokat jelent, akkor (d + e) bármely számot kifejez.
(a + b + c) ∙ (d + e) = a (d + e) + b (d + e) + c (d + e)
(ezt így magyarázhatjuk: jogunk van átmenetileg d + e-t venni egy monomnál).
Ad + ae + bd + be + cd + ce
Ennek eredményeként módosíthatja a tagok sorrendjét.
(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,
azaz egy polinom polinommal való megszorzásához az egyik polinom minden tagját meg kell szorozni a másik polinom minden tagjával. Célszerű (ehhez a kapott tagok sorrendjét fent megváltoztattuk), ha az első polinom minden tagját először a második első tagjával (+ d-vel), majd a második második tagjával (+-val) megszorozzuk. e), akkor, ha lenne, a harmadikkal stb. d.; ezt követően csökkentenie kell a hasonló tagokat.
Ezekben a példákban a binomiálist megszorozzuk a binomiálissal; minden binomiálisban a kifejezések mindkét binomiális betű csökkenő hatványaiba vannak rendezve. Az ilyen szorzásokat könnyű fejben végrehajtani, és azonnal megírni a végeredményt.
Ha megszorozzuk az első binomiális szenior tagot a második szenior tagjával, azaz a 4x²-et 3x-mal, akkor 12x³-ot kapunk a szorzat szenior tagjánál - nyilván nem lesz hasonló. Ezután megkeressük azokat a tagokat, amelyek szorzásából az x betű hatványa 1-gyel kisebb, azaz x²-el lesz. Könnyen belátható, hogy ezeket a kifejezéseket úgy kapjuk meg, hogy az első tényező 2. tagját megszorozzuk a második 1. tagjával, és az első tényező 1. tagját megszorozzuk a második 2. tagjával (a zárójelek alul a példa ezt jelzi). Ezeket a szorzásokat fejben megcsinálni, és ennek a két hasonló tagnak a redukcióját is elvégezni (ami után megkapjuk a -19x² tagot) nem nehéz. Ekkor észrevesszük, hogy a következő tagot, amely az x betűt az 1-gyel kevesebb, azaz az x-et az 1. hatványhoz tartalmazza, csak úgy kapjuk meg, hogy a második tagot megszorozzuk a másodikkal, és nem lesznek hasonlók.
Egy másik példa: (x² + 3x)(2x - 7) = 2x³ - x² - 21x.
Könnyű mentálisan végrehajtani az alábbi példákat is:
A szenior távot úgy kapjuk meg, hogy a szenior ciklust megszorozzuk a rangidővel, nem lesz rá hasonló kifejezés, és ez = 2a³. Ezután megkeressük, hogy mely szorzásokból kapjuk meg az a²-es tagokat - az 1. tag (a²) szorzatából a 2. taggal (-5) és a második tag (-3a) 1.-vel (2a) való szorzásából. - ez alább, zárójelben van feltüntetve; ezeknek a szorzásoknak a végrehajtása és a kapott tagok egyesítése után -11a²-t kapunk. Ezután megkeressük, hogy mely szorzások lesznek az első fokon a-val jelölt kifejezések – ezeket a szorzásokat felülről zárójelek jelölik. Ezek kitöltése és a kapott tagok eggyé kombinálása után + 11a-t kapunk. Végül észrevesszük, hogy az a-t egyáltalán nem tartalmazó szorzat alacsony tagját (+10) úgy kapjuk meg, hogy az egyik polinom alacsony tagját (–2) megszorozzuk egy másik polinom alacsony tagjával (–5).
Egy másik példa: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) \u003d 12a 5 - 11a 4 - 21a 3 + 10a 2.
Az összes korábbi példából azt is kapjuk összesített eredmény: a szorzat legmagasabb tagját mindig a tényezők legmagasabb tagjának szorzatából kapjuk, és ehhez hasonló tagok nem lehetnek; továbbá a szorzat legalacsonyabb tagját a tényezők legalacsonyabb tagjának szorzásával kapjuk, és nem is lehet hasonló tag.
Egy polinom polinommal való szorzásával kapott többi tag hasonló lehet, sőt az is előfordulhat, hogy ezek a tagok kioltják egymást, és csak az idősebb és a fiatalabb marad.
Íme néhány példa:
(a² + ab + b²) (a - b) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(a² - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (csak az eredményt írjuk)
(x 4 - x³ + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 stb.
Ezek az eredmények figyelemre méltóak és hasznosak megjegyezni.
A szorzás következő esete különösen fontos:
(a + b) (a - b) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
vagy (x + y) (x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
vagy (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 stb.
Mindezen példákban az aritmetikára alkalmazva két szám összegének és azok különbségének szorzata van, és az eredmény e számok négyzeteinek különbsége.
Ha ilyen esetet látunk, akkor nem kell részletesen elvégezni a szorzást, ahogy fentebb, hanem azonnal megírhatjuk az eredményt.
Például (3a + 1) ∙ (3a – 1). Itt az első tényező aritmetikai szempontból két szám összege: az első szám 3a, a második 1, a második tényező pedig ugyanazon számok különbsége; ezért az eredménynek a következőnek kell lennie: az első szám négyzete (azaz 3a ∙ 3a = 9a²) mínusz a második szám négyzete (1 ∙ 1 = 1), azaz.
(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1.
Is 
(ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25 stb.
Tehát emlékezzünk
(a + b) (a - b) = a² - b²
azaz két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő e számok négyzeteinek különbségével.
A polinom polinommal való szorzásának speciális esete a polinom monomimmal való szorzása. Ebben a cikkben megfogalmazzuk a művelet végrehajtásának szabályát, és gyakorlati példákkal elemezzük az elméletet.
Nézzük meg, mi az alapja a polinomnak a monomimmal való szorzásának. Ez a művelet az összeadáshoz viszonyított szorzás elosztó tulajdonságán alapul. Szó szerint ezt a tulajdonságot a következőképpen írjuk: (a + b) c \u003d a c + b c (a, b és c néhány szám). Ebben a bejegyzésben a kifejezés (a + b) c csak az (a + b) polinom és a monom szorzata c. Az egyenlőség jobb oldala a c + b c a monomok szorzatainak összege aés b monomiálissá c.
A fenti érvelés lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a polinom monomimmal való szorzásának szabályát:
1. definíció
A polinom monomimmal való szorzásának műveletéhez a következőket kell tennie:
Magyarázzuk tovább a fenti algoritmust.
Egy polinom szorzatának monomimmal való összeállításához az eredeti polinomot zárójelek közé kell tenni; továbbá egy szorzójel kerül közé és az adott monom közé. Abban az esetben, ha a monom bevitele mínuszjellel kezdődik, akkor azt is zárójelbe kell tenni. Például egy polinom szorzata − 4 x 2 + x − 2és monomiális 7 évírd mint (− 4 x 2 + x − 2) 7 év, és a polinom szorzata a 5 b − 6 a bés monomiális − 3 és 2összeállítás a következő formában: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).
Az algoritmus következő lépése a polinom minden tagjának megszorzása egy adott monommal. A polinom összetevői monomiumok, azaz. valójában egy monomiális szorzást kell végrehajtanunk egy monomimmal. Tegyük fel, hogy az algoritmus első lépése után megkaptuk a kifejezést (2 x 2 + x + 3) 5 x, akkor a második lépés a polinom minden tagjának szorzása 2 x 2 + x + 3 monomimmal 5 x, így kapjuk: 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 és 3 5 x = 15 x. Az eredmény a monomok 10 x 3, 5 x 2 és 15 x.
Az utolsó művelet a szabály szerint a kapott termékek hozzáadása. A javasolt példából az algoritmus ezen lépésének befejezése után a következőket kapjuk: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Alapértelmezés szerint az összes lépés egyenlőségek láncaként van megírva. Például egy polinom szorzatának megtalálása 2 x 2 + x + 3és monomiális 5 xírjuk így: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x . A második lépés közbenső számítását kiküszöbölve egy rövid megoldás fogalmazható meg a következőképpen: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
A figyelembe vett példák lehetővé teszik az észrevételt fontos árnyalat: egy polinom és egy monom szorzásának eredményeként polinomot kapunk. Ez az állítás igaz minden szorzó polinomra és monomióra.
Analógia szerint egy monomot megszorozunk egy polinommal: egy adott monomot megszorozunk a polinom minden tagjával, és a kapott szorzatokat összeadjuk.
Meg kell találni a terméket: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .
Megoldás
A szabály első lépése már megtörtént - a munka rögzítésre került. Most végezzük el a következő lépést, a polinom minden tagját megszorozzuk az adott monommal. Ebben az esetben célszerű először a tizedes törteket közönséges törtekké fordítani. Akkor kapjuk:
1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 y - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y
Válasz: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y .
Tisztázzuk, hogy ha az eredeti polinomot és/vagy monomit nem szabványos formában adjuk meg, akkor a szorzatuk megtalálása előtt célszerű ezeket a szabványos alakra redukálni.
2. példa
Adott egy polinom 3 + a - 2 a 2 + 3 a - 2és monomiális − 0 , 5 a b (− 2) a. Meg kell találni a munkájukat.
Megoldás
Látjuk, hogy a kezdeti adatokat nem szabványos formában adják meg, ezért a további számítások megkönnyítése érdekében szabványos formában tesszük őket:
− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0, 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 a) − 2 a 2 = 1 + 4 a − 2 a 2
Most végezzük el a monomiális szorzatát a 2 b a polinom minden tagjára 1 + 4 a − 2 a2
a 2 b (1 + 4 a - 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (- 2 a 2) = = a 2 b + 4 a 3 b - 2 a 4 b
A kiindulási adatokat nem tudtuk a szabványos formába hozni: akkor a megoldás körülményesebbnek bizonyulna. Ebben az esetben az utolsó lépés a hasonló kifejezések csökkentése lenne. A megértés érdekében itt van egy megoldás a következő séma szerint:
− 0 .5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = = − 0. 5 a b (− 2) a 3 − 0. 5 a b (− 2) a a − 0. 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0. 5 a b (− 2) a 3 a − 0, 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 a 4 b + 3 a 3 b − 2 a 2 b = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b
Válasz: − 0 , 5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
