Minden nem szinguláris A mátrixhoz létezik egy egyedi A -1 mátrix, amelyre
A*A -1 =A -1 *A = E,
ahol E az A-val azonos rendű identitásmátrix. Az A -1 mátrixot az A mátrix inverzének nevezzük.
Ha valaki elfelejtette, az identitásmátrixban, az egyesekkel kitöltött átló kivételével, minden más pozíció nullával van kitöltve, egy példa az identitásmátrixra:
inverz mátrix képlet határozza meg:
ahol A ij - elemek a ij.
Azok. Az inverz mátrix kiszámításához ki kell számítani ennek a mátrixnak a determinánsát. Ezután keresse meg az összes elem algebrai komplementereit, és alkosson belőlük egy új mátrixot. Ezután ezt a mátrixot kell szállítani. És osszuk el az új mátrix minden elemét az eredeti mátrix determinánsával.
Nézzünk néhány példát.
Keresse meg az A -1 mátrixot
Megoldás: Keressük meg A -1-et az adjungált mátrix módszerrel. Det A = 2. Keressük meg az A mátrix elemeinek algebrai komplementereit. ebben az esetben A mátrixelemek algebrai komplementerei magának a mátrixnak a megfelelő elemei lesznek, a képletnek megfelelő előjellel
Van A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Megalkotjuk az adjunkt mátrixot
Az A* mátrixot szállítjuk:
Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
Kapunk:
Adjungált mátrix módszerrel keressük meg az A -1 ha
Megoldás: Először is kiszámítjuk ennek a mátrixnak a definícióját, hogy ellenőrizzük az inverz mátrix létezését. Nekünk van
Itt a második sor elemeihez hozzáadtuk a harmadik sor elemeit, amelyeket előzőleg (-1) szoroztunk, majd kibővítettük a második sor determinánsát. Mivel ennek a mátrixnak a definíciója nem nulla, létezik inverz mátrixa. Az adjungált mátrix megalkotásához megkeressük ennek a mátrixnak az elemeinek algebrai komplementereit. Nekünk van
A képlet szerint
A* szállítási mátrix:
Majd a képlet szerint
A képletből következő inverz mátrix megtalálási módszere mellett (adjungált mátrix módszer) létezik az inverz mátrix megtalálásának módszere, az elemi transzformációk módszere.
A következő transzformációkat elemi mátrix transzformációknak nevezzük:
1) sorok (oszlopok) átrendezése;
2) egy sor (oszlop) szorzata nullától eltérő számmal;
3) egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, előzőleg megszorozva egy bizonyos számmal.
Az A -1 mátrix megtalálásához készítünk egy B = (A|E) téglalap alakú mátrixot (n; 2n) rendűek, hozzáadva a jobb oldali A mátrixhoz identitásmátrix E az elválasztó vonalon keresztül:
Nézzünk egy példát.
Az elemi transzformációk módszerével keressük meg az A -1 ha
Megoldás: B mátrixot alkotunk:
Jelöljük a B mátrix sorait α 1, α 2, α 3-al. Végezzük el a következő transzformációkat a B mátrix sorain.
Ez a téma az egyik leggyűlöltebb a diákok körében. Valószínűleg még rosszabbak a selejtezők.
A trükk az, hogy maga az inverz elem fogalma (és nem csak a mátrixokról beszélek) a szorzás műveletére utal. Még be is iskolai tananyag szorzás számít összetett működés, a mátrixszorzás pedig teljesen külön téma, aminek egy egész bekezdést és videós oktatóanyagot szenteltem.
Ma nem megyünk bele a mátrixszámítások részleteibe. Emlékezzünk csak: hogyan jelöljük ki a mátrixokat, hogyan szorozzuk őket, és mi következik ebből.
Először is állapodjunk meg a jelölésben. A $\left[ m\times n \right]$ méretű $A$ mátrix egyszerűen egy számtáblázat pontosan $m$ sorral és $n$ oszloppal:
\=\zárójel(\left[ \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(mátrix) \jobbra])_(n)\]
A sorok és oszlopok véletlen összekeverésének elkerülése érdekében (hidd el, egy vizsgán összekeverhetsz egyet a kettővel, nemhogy néhány sort), csak nézd meg a képet:
Mátrixsejtek indexeinek meghatározása Mi történik? Ha az $OXY$ szabványos koordinátarendszert a bal felső sarokba helyezi, és a tengelyeket úgy irányítja, hogy azok lefedjék a teljes mátrixot, akkor ennek a mátrixnak minden cellája egyedileg társítható a $\left(x;y \right)$ koordinátákkal. - ez lesz a sorszám és az oszlopszám.
Miért van a koordinátarendszer a bal felső sarokban? Igen, mert onnan kezdünk el olvasni bármilyen szöveget. Nagyon könnyű megjegyezni.
Miért van a $x$ tengely lefelé, és miért nem jobbra? Megint egyszerű: vegyünk egy szabványos koordináta-rendszert (az $x$ tengely jobbra, a $y$ tengely felfelé megy), és forgassuk el úgy, hogy lefedje a mátrixot. Ez az óramutató járásával megegyező 90 fokos forgatás – az eredményt a képen látjuk.
Általában kitaláltuk, hogyan határozzuk meg a mátrixelemek indexeit. Most nézzük a szorzást.
Meghatározás. A $A=\left[ m\times n \right]$ és a $B=\left[ n\times k \right]$ mátrixok, ha az első oszlopok száma egybeesik a második sorainak számával következetesnek nevezik.
Pontosan ebben a sorrendben. Megzavarodhatunk, és azt mondhatjuk, hogy a $A$ és a $B$ mátrixok egy $\left(A;B \right)$ rendezett párt alkotnak: ha ebben a sorrendben konzisztensek, akkor egyáltalán nem szükséges, hogy $B $ és $A$ azok. a $\left(B;A \right)$ pár is konzisztens.
Csak az illesztett mátrixok szorozhatók.
Meghatározás. A $A=\left[ m\times n \right]$ és a $B=\left[ n\times k \right]$ illesztett mátrixok szorzata az új $C=\left[ m\times k \right mátrix ]$ , melynek $((c)_(ij))$ elemeit a következő képlet szerint számítjuk ki:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Más szavakkal: ahhoz, hogy megkapjuk a $C=A\cdot B$ mátrix $((c)_(ij))$ elemét, az első mátrix $i$-sorát kell venni, a $j$ a második mátrix -edik oszlopát, majd szorozzuk meg párban az ebből a sorból és oszlopból származó elemeket. Adja össze az eredményeket.
Igen, ez nagyon kemény meghatározás. Ebből azonnal több tény is következik:
A szorzás eloszlását pontosan a szorzási művelet kommutativatlansága miatt kellett külön leírni a bal és a jobb összegző tényezőre.
Ha kiderül, hogy $A\cdot B=B\cdot A$, az ilyen mátrixokat kommutatívnak nevezzük.
Az összes mátrix között, amelyek megszorozódnak valamivel, vannak speciálisak – azok, amelyek bármely $A$ mátrixszal megszorozva ismét $A$-t adnak:
Meghatározás. A $E$ mátrixot azonosságnak nevezzük, ha $A\cdot E=A$ vagy $E\cdot A=A$. $A$ négyzetmátrix esetén ezt írhatjuk:
Az identitásmátrix gyakori vendég a megoldásban mátrixegyenletek. És általában gyakori vendég a mátrixok világában. :)
És emiatt a $E$ miatt valaki kitalálta azt a sok hülyeséget, amit ezután írnak.
Mivel a mátrixszorzás nagyon munkaigényes művelet (egy csomó sort és oszlopot kell szorozni), az inverz mátrix fogalma sem a legtriviálisabb. És némi magyarázatot igényel.
Nos, ideje megtudni az igazságot.
Meghatározás. A $B$ mátrixot egy $A$ mátrix inverzének nevezzük, ha
Az inverz mátrixot $((A)^(-1))$ jelöli (nem tévesztendő össze a fokozattal!), így a definíció a következőképpen írható át:
Úgy tűnik, hogy minden rendkívül egyszerű és világos. De ennek a definíciónak az elemzésekor több kérdés is azonnal felmerül:
Ami a számítási algoritmusokat illeti, erről egy kicsit később fogunk beszélni. De a többi kérdésre most válaszolunk. Fogalmazzuk meg ezeket külön állítások-lemmák formájában.
Kezdjük azzal, hogy elvileg hogyan kell kinéznie a $A$ mátrixnak ahhoz, hogy $((A)^(-1))$ létezzen számára. Most megbizonyosodunk arról, hogy mindkét mátrixnak négyzet alakúnak és azonos méretűnek kell lennie: $\left[ n\times n \right]$.
1. lemma. Adott egy $A$ mátrix és annak inverze $((A)^(-1))$. Ekkor mindkét mátrix négyzet alakú, és azonos nagyságrendű $n$.
Bizonyíték. Ez egyszerű. Legyen a $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ mátrix. Mivel a $A\cdot ((A)^(-1))=E$ szorzat definíció szerint létezik, a $A$ és $((A)^(-1))$ mátrixok konzisztensek a bemutatott sorrendben:
\[\begin(igazítás) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( igazítsa)\]
Ez egyenes következménye a mátrixszorzó algoritmusnak: az $n$ és $a$ együtthatók „tranzit” és egyenlőnek kell lenniük.
Ugyanakkor az inverz szorzás is definiálva van: $((A)^(-1))\cdot A=E$, ezért a $((A)^(-1))$ és $A$ mátrixok konzisztens is a megadott sorrendben:
\[\begin(igazítás) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( igazítsa)\]
Így az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. A $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ definíciója szerint azonban a mátrixok mérete szigorúan egybeesik:
\[\begin(igazítás) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(igazítás)\]
Így kiderül, hogy mindhárom mátrix - $A$, $((A)^(-1))$ és $E$ - $\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrix. A lemma bevált.
Hát ez már jó. Látjuk, hogy csak a négyzetmátrixok invertálhatók. Most győződjünk meg arról, hogy az inverz mátrix mindig ugyanaz.
2. lemma. Adott egy $A$ mátrix és annak inverze $((A)^(-1))$. Akkor ez az inverz mátrix az egyetlen.
Bizonyíték. Nézzük meg az ellentmondást: legyen a $A$ mátrixnak legalább két inverze - $B$ és $C$. Ekkor a definíció szerint a következő egyenlőségek igazak:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(igazítás)\]
Az 1. lemmából arra a következtetésre jutunk, hogy mind a négy mátrix - $A$, $B$, $C$ és $E$ - azonos sorrendű négyzetek: $\left[ n\times n \right]$. Ezért a termék meghatározása:
Mivel a mátrixszorzás asszociatív (de nem kommutatív!), ezt írhatjuk:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Jobbra B=C. \\ \end(igazítás)\]
Az egyetlen lehetséges opciót kaptuk: az inverz mátrix két másolata egyenlő. A lemma bevált.
A fenti érvek szinte szó szerint megismétlik az inverz elem mindenkire vonatkozó egyediségének bizonyítását valós számok$b\ne 0$. Az egyetlen jelentős kiegészítés a mátrixok dimenziójának figyelembevétele.
Azonban még mindig nem tudunk semmit arról, hogy minden négyzetmátrix megfordítható-e. Itt jön segítségünkre a meghatározó – ez mindenki számára kulcsfontosságú jellemző négyzetes mátrixok.
3. lemma. Adott egy $A$ mátrix. Ha létezik a $((A)^(-1))$ inverz mátrixa, akkor az eredeti mátrix determinánsa nem nulla:
\[\bal| A\right|\ne 0\]
Bizonyíték. Azt már tudjuk, hogy a $A$ és a $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrixok. Ezért mindegyikre kiszámolhatjuk a determinánst: $\left| A\right|$ és $\left| ((A)^(-1)) \jobbra|$. Egy szorzat determinánsa azonban egyenlő a determinánsok szorzatával:
\[\bal| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \jobbra|\Jobbra \balra| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \jobbra|\]
De a definíció szerint $A\cdot ((A)^(-1))=E$, és $E$ determinánsa mindig egyenlő 1-gyel, tehát
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\jobbra|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \jobbra|=1. \\ \end(igazítás)\]
Két szám szorzata csak akkor egyenlő eggyel, ha ezen számok mindegyike nem nulla:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \jobbra|\ne 0.\]
Így kiderül, hogy $\left| A \right|\ne 0$. A lemma bevált.
Valójában ez a követelmény teljesen logikus. Most elemezzük az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát - és teljesen világossá válik, hogy nulla determináns mellett elvileg miért nem létezhet inverz mátrix.
De először fogalmazzunk meg egy „kiegészítő” definíciót:
Meghatározás. Egy szinguláris mátrix egy $\left[ n\x n \right]$ méretű négyzetmátrix, amelynek determinánsa nulla.
Így azt állíthatjuk, hogy minden invertálható mátrix nem szinguláris.
Most megvizsgálunk egy univerzális algoritmust az inverz mátrixok megtalálására. Általában két általánosan elfogadott algoritmus létezik, és ma a másodikkal is foglalkozunk.
A most tárgyalandó nagyon hatásos a $\left[ 2\x 2 \right]$ és - részben - a $\left[ 3\x 3 \right]$ méretű mátrixokra. De a $\left[ 4\x 4 \right]$ mérettől kezdve jobb, ha nem használod. Miért - most mindent magad fogsz megérteni.
Készülj fel. Most fájdalom lesz. Nem, ne aggódj: egy gyönyörű nővér szoknyában, csipkés harisnyában nem jön be, és nem ad be injekciót a fenékbe. Minden sokkal prózaibb: az algebrai kiegészítések és Őfelsége, az „Uniómátrix” jönnek Önhöz.
Kezdjük a fő dologgal. Legyen egy $A=\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrix, melynek elemeit $((a)_(ij))$-nak nevezzük. Ezután minden ilyen elemhez definiálhatunk egy algebrai komplementet:
Meghatározás. A $((A)_(ij))$ algebrai komplementer a $((a)_(ij))$ elemhez, amely a $i$. sorában és a $j$. oszlopában található a $A=\left[ mátrixban Az n \times n \right]$ az űrlap konstrukciója
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Ahol $M_(ij)^(*)$ az eredeti $A$-ból ugyanazon $i$. sor és $j$. oszlop törlésével kapott mátrix determinánsa.
Újra. A $\left(i;j \right)$ koordinátákkal rendelkező mátrixelem algebrai kiegészítését $((A)_(ij))$-ként jelöljük, és a következő séma szerint számítjuk ki:
Magát a $M_(ij)^(*)$ mátrixot a $((a)_(ij))$ elem további minorjának nevezzük. És ebben az értelemben az algebrai komplementer fenti definíciója egy több speciális esete összetett meghatározás- amit a determinánsról szóló leckében megnéztünk.
Fontos jegyzet. Valójában a „felnőtt” matematikában az algebrai összeadásokat a következőképpen határozzák meg:
- Négyzetmátrixban $k$ sorokat és $k$ oszlopokat veszünk. A metszéspontjukban egy $\left[ k\x k \right]$ méretű mátrixot kapunk - determinánsát $k$ rendű minornak nevezzük, és $((M)_(k))$ jelöléssel.
- Ezután áthúzzuk ezeket a „kiválasztott” $k$ sorokat és $k$ oszlopokat. Ismét egy négyzetes mátrixot kapunk - a determinánsát további minornak nevezzük, és $M_(k)^(*)$-nak jelöljük.
- Szorozzuk meg $M_(k)^(*)$ értékét $((\left(-1 \right))^(t))$-val, ahol $t$ (figyelem!) az összes kijelölt sor számának összege és oszlopok . Ez lesz az algebrai összeadás.
Nézze meg a harmadik lépést: valójában 2 000 dolláros kifejezések összege van! A másik dolog az, hogy $k=1$ esetén csak 2 tagot kapunk - ezek ugyanazok a $i+j$ - a $((a)_(ij))$ elem „koordinátái”, amelyre mi vagyunk. algebrai kiegészítést keres.
Tehát ma egy kissé leegyszerűsített definíciót használunk. De mint később látni fogjuk, ez bőven elég lesz. A következő dolog sokkal fontosabb:
Meghatározás. A $S$ szövetséges mátrix a $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrixhoz egy új $\left[ n\times n \right]$ méretű mátrix, amelyet $A$-ból kapunk. a $(( a)_(ij))$ helyére a $((A)_(ij))$ algebrai összeadásokkal:
\\Jobbra S=\left[ \begin(mátrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(mátrix) \jobbra]\]
A meghatározás felismerésének pillanatában az első gondolat, hogy „mennyit kell majd számolni!” Nyugi: számolnod kell, de nem annyira. :)
Nos, ez mind nagyon szép, de miért van erre szükség? De miért.
Menjünk vissza egy kicsit. Ne feledjük, a 3. lemmában azt mondták, hogy az $A$ invertálható mátrix mindig nem szinguláris (vagyis a determinánsa nem nulla: $\left| A \right|\ne 0$).
Tehát az ellenkezője is igaz: ha az $A$ mátrix nem szinguláris, akkor mindig invertálható. És még a $((A)^(-1))$ keresési séma is létezik. Nézd meg:
Inverz mátrix tétel. Legyen adott egy $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrix, amelynek determinánsa nem nulla: $\left| A \right|\ne 0$. Ekkor létezik a $((A)^(-1))$ inverz mátrix, és a következő képlettel számítjuk ki:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
És most - minden ugyanaz, de jól olvasható kézírással. Az inverz mátrix megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
Ez minden! A $((A)^(-1))$ inverz mátrixot megtaláltuk. Nézzünk példákat:
\[\left[ \begin(mátrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(mátrix) \right]\]
Megoldás. Ellenőrizzük a megfordíthatóságot. Számítsuk ki a determinánst:
\[\bal| A\right|=\left| \begin(mátrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(mátrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
A determináns különbözik a nullától. Ez azt jelenti, hogy a mátrix invertálható. Hozzunk létre egy szakszervezeti mátrixot:
Számítsuk ki az algebrai összeadásokat:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \jobbra|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \jobbra|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \jobbra|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]
Figyelem: a |2|, |5|, |1| determinánsok és |3| a $\left[ 1\x 1 \right]$ méretű mátrixok meghatározói, nem pedig a modulok. Azok. Ha negatív számok voltak a determinánsokban, akkor nem kell eltávolítani a „mínuszt”.
Összességében a szakszervezeti mátrixunk így néz ki:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tömb)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(tömb) \jobbra]\]
Rendben, most mindennek vége. A probléma megoldódott.
Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Megoldás. Ismét kiszámítjuk a determinánst:
\[\begin(align) & \left| \begin(tömb)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \right|=\begin(mátrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\bal (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(mátrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
A determináns nem nulla – a mátrix invertálható. De most nagyon nehéz lesz: 9 (kilenc, kurva!) algebrai összeadást kell megszámolnunk. És mindegyik tartalmazza a $\left[ 2\x 2 \right]$ determinánst. Repült:
\[\begin(mátrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(mátrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(mátrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(mátrix) \right|=2; \\ \end(mátrix)\]
Röviden, a szakszervezeti mátrix így fog kinézni:
Ezért az inverz mátrix a következő lesz:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(mátrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(mátrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Ez az. Itt a válasz.
Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Mint látható, minden példa végén ellenőrzést végeztünk. Ezzel kapcsolatban egy fontos megjegyzés:
Ne légy lusta ellenőrizni. Szorozzuk meg az eredeti mátrixot a talált inverz mátrixszal - $E$-t kell kapnia.
Ennek az ellenőrzésnek az elvégzése sokkal egyszerűbb és gyorsabb, mint a hiba keresése a további számításoknál, amikor például egy mátrixegyenletet old meg.
Mint mondtam, az inverz mátrixtétel nagyszerűen működik a $\left[ 2\x 2 \right]$ és a $\left[ 3\x 3 \right]$ méreteknél (az utóbbi esetben ez nem olyan „nagyszerű” ), hanem a mátrixokhoz nagy méretek kezdődik a szomorúság.
De ne aggódj: van egy alternatív algoritmus, amellyel nyugodtan megtalálhatod az inverzt még a $\left[ 10\x 10 \right]$ mátrixra is. De ahogy ez gyakran megesik, ennek az algoritmusnak a figyelembe vételéhez szükségünk van egy kis elméleti bevezetésre.
Az összes lehetséges mátrixtranszformáció között több speciális is található – ezeket eleminek nevezzük. Pontosan három ilyen átalakulás létezik:
Miért nevezik ezeket a transzformációkat eleminek (nagy mátrixoknál nem tűnnek olyan eleminek), és miért csak három van belőlük - ezek a kérdések túlmutatnak a mai lecke keretein. Ezért nem megyünk bele a részletekbe.
Egy másik fontos dolog: mindezeket a perverziókat az adjunkt mátrixon kell végrehajtanunk. Igen, igen: jól hallottad. Most lesz még egy meghatározás – a mai leckében az utolsó.
Bizonyára az iskolában egyenletrendszereket oldottatok meg az összeadás módszerével. Nos, vonjon ki egy másikat egy sorból, szorozzon meg egy sort egy számmal - ez minden.
Tehát: most minden a régiben lesz, de „felnőtt” módon. Kész?
Meghatározás. Adjunk meg egy $A=\left[ n\times n \right]$ mátrixot és egy $n$ azonos méretű $E$ azonosságmátrixot. Ezután az adjunkt mátrix $\left[ A\left| E\jobbra. A \right]$ egy új $\left[ n\times 2n \right]$ méretű mátrix, amely így néz ki:
\[\left[ A\left| E\jobbra. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\]
Röviden: vesszük az $A$ mátrixot, jobb oldalon hozzárendeljük a kívánt méretű $E$ identitásmátrixot, a szépség kedvéért függőleges sávval választjuk el őket - itt van az adjunkció. :)
Mi a fogás? Íme:
Tétel. Legyen az $A$ mátrix invertálható. Tekintsük a $\left[ A\left| adjungált mátrixot E\jobbra. \jobbra]$. Ha használ elemi karakterlánc-konverziók hozza a $\left[ E\left| alakba Fényes. \right]$, azaz a sorok szorzásával, kivonásával és átrendezésével $A$-ból megkapjuk a jobb oldali $E$ mátrixot, majd a bal oldalon kapott $B$ mátrix a $A$ inverze:
\[\left[ A\left| E\jobbra. \jobbra]\balra[ E\left| Fényes. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Ez ennyire egyszerű! Röviden, az inverz mátrix megtalálásának algoritmusa így néz ki:
Persze ezt sokkal könnyebb mondani, mint megtenni. Lássunk tehát néhány példát: a $\left[ 3\x 3 \right]$ és a $\left[ 4\x 4 \right]$ méreteknél.
Feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Megoldás. Létrehozzuk az adjunkt mátrixot:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 és 1 \\\end(tömb) \jobbra]\]
Mivel az eredeti mátrix utolsó oszlopa egyesekkel van kitöltve, vonja ki az első sort a többiből:
\[\begin(igazítás) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(mátrix)\to \\ & \to \balra [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra] \\ \end(igazítás)\]
Nincs több egység, kivéve az első sort. De nem nyúlunk hozzá, különben az újonnan eltávolított egységek elkezdenek „szaporodni” a harmadik oszlopban.
De a második sort kétszer is kivonhatjuk az utolsóból - kapunk egyet a bal alsó sarokban:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(mátrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra] \\ \end(igazítás)\]
Most kivonhatjuk az utolsó sort az elsőből és kétszer a másodikból - így „nullázzuk” az első oszlopot:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(mátrix)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Szorozzuk meg a második sort -1-gyel, majd vonjuk ki 6-szor az elsőből, és adjunk 1-szer az utolsóhoz:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -6 \\ \felfelé nyíl \\ +1 \\\end (mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Már csak az 1. és 3. sor felcserélése van hátra:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]
Kész! A jobb oldalon található a szükséges inverz mátrix.
Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:
\[\left[ \begin(mátrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(mátrix) \jobbra]\]
Megoldás. Újra összeállítjuk az adjunktot:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Sírjunk egy kicsit, legyünk szomorúak, hogy most mennyit kell számolnunk... és kezdjünk el számolni. Először „nullázzuk ki” az első oszlopot úgy, hogy kivonjuk az 1. sort a 2. és 3. sorból:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Túl sok „hátrányt” látunk a 2-4. sorban. Szorozzuk meg mindhárom sort -1-gyel, majd égessük ki a harmadik oszlopot úgy, hogy a 3. sort kivonjuk a többiből:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -2 \\ -1 \\ \felfelé nyíl \\ -2 \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(tömb)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Itt az ideje, hogy „sütjük” az eredeti mátrix utolsó oszlopát: vonjuk ki a 4. sort a többiből:
\[\begin(igazítás) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(tömb ) \jobbra]\begin(mátrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Utolsó dobás: „égessük ki” a második oszlopot úgy, hogy kivonjuk a 2. sort az 1. és 3. sorból:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( tömb) \jobbra]\begin(mátrix) 6 \\ \felfelé nyíl \\ -5 \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
És ismét az identitásmátrix a bal oldalon, ami azt jelenti, hogy az inverz a jobb oldalon. :)
Válasz. $\left[ \begin(mátrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(mátrix) \jobbra]$
Az inverz mátrix megtalálásának módszerei,. Tekintsünk egy négyzetmátrixot
Jelöljük Δ =det A-t.
Az A négyzetmátrixot ún nem degenerált, vagy nem különleges, ha a determinánsa nem nulla, és elfajzott, vagy különleges, HaΔ = 0.
A B négyzetmátrix egy azonos rendű A négyzetmátrixra vonatkozik, ha szorzatuk A B = B A = E, ahol E az A és B mátrixokkal azonos rendű azonosságmátrix.
Tétel . Ahhoz, hogy az A mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen.
Az A mátrix inverz mátrixa, amelyet A-val jelölünk- 1, tehát B = A - 1 és a képlet alapján számítják ki
, (1)
ahol A i j az A mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei.
Az A -1 kiszámítása az (1) képlet segítségével magas rendű mátrixokra nagyon munkaigényes, ezért a gyakorlatban célszerű megtalálni az A -1-et az elemi transzformációk (ET) módszerével. Bármely nem szinguláris A mátrix redukálható az E identitásmátrixra, ha csak az oszlopokat (vagy csak a sorokat) alkalmazzuk az identitásmátrixra. Ha az A mátrixon tökéletes transzformációkat ugyanabban a sorrendben alkalmazzuk az E identitásmátrixra, az eredmény egy inverz mátrix lesz. Kényelmes az EP-t az A és E mátrixokon egyszerre végrehajtani, mindkét mátrixot egymás mellé írva egy vonalon keresztül. Még egyszer jegyezzük meg, hogy egy mátrix kanonikus formájának keresésekor sorok és oszlopok transzformációit használhatja annak megtalálásához. Ha meg kell találnia egy mátrix inverzét, akkor az átalakítási folyamat során csak sorokat vagy csak oszlopokat használjon.
2.10. példa. Mátrixhoz 
találd meg az A -1-et.
Megoldás.Először megtaláljuk az A mátrix determinánsát 
Ez azt jelenti, hogy létezik az inverz mátrix, és a képlet segítségével találhatjuk meg: 
, ahol A i j (i,j=1,2,3) az eredeti mátrix a i j elemeinek algebrai összeadásai. 
Ahol 
.
Példa 2.11. Az elemi transzformációk módszerével keressük meg a mátrixnak A -1-et: A = .
Megoldás.A jobb oldali eredeti mátrixhoz egy azonos sorrendű identitásmátrixot rendelünk: 
. Az oszlopok elemi transzformációi segítségével a bal oldali „felet” az azonosságra redukáljuk, egyidejűleg pontosan ugyanazokat a transzformációkat hajtjuk végre a jobb oldali mátrixon.
Ehhez cserélje fel az első és a második oszlopot: 
~
. A harmadik oszlophoz hozzáadjuk az elsőt, a másodikhoz pedig az elsőt, megszorozva -2-vel: 
. Az első oszlopból kivonjuk a második kétszeresét, a harmadikból pedig a másodikat 6-tal szorozva; 
. Adjuk hozzá a harmadik oszlopot az elsőhöz és a másodikhoz: 
. Szorozzuk meg az utolsó oszlopot -1-gyel: 
. A függőleges sávtól jobbra kapott négyzetmátrix az adott A mátrix inverz mátrixa.
.
inverz mátrix
Inverz mátrix egy olyan mátrix, amelyet a jobb és a bal oldalon is megszorozva egy adott mátrixszal megkapjuk az azonosságmátrixot.
Jelöljük a mátrix inverz mátrixát A keresztül, akkor a definíció szerint a következőket kapjuk:
Ahol E– identitásmátrix.
Négyzetes mátrix hívott nem különleges (nem degenerált), ha a determinánsa nem nulla. Különben úgy hívják különleges (elfajzott) vagy egyedülálló.
A tétel így áll: Minden nem szinguláris mátrixnak van inverz mátrixa.
Az inverz mátrix megtalálásának műveletét nevezzük fellebbezés mátrixok. Tekintsük a mátrix inverziós algoritmust. Legyen adott egy nem szinguláris mátrix n- sorrend:
ahol Δ = det A ≠ 0.
Egy elem algebrai összeadása mátrixok n-edik sorrend A egy bizonyos előjellel vett mátrix determinánsának nevezzük ( n–1) törléssel kapott végzés én-edik sor és j mátrixoszlop A:
Alkossuk meg az ún csatolt mátrix:
ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementerei A.
Vegye figyelembe, hogy a mátrix sorelemeinek algebrai összeadása A a mátrix megfelelő oszlopaiba kerülnek Ã
, vagyis a mátrix egyidejűleg transzponálódik.
A mátrix összes elemének elosztásával Ã
Δ-vel – a mátrixdetermináns értéke A, az inverz mátrixot kapjuk eredményül:
Vegyük észre az inverz mátrix néhány speciális tulajdonságát:
1) adott mátrixra A annak inverz mátrixa
az egyetlen;
2) ha van inverz mátrix, akkor jobbra fordítottÉs bal fordított a mátrixok egybeesnek vele;
3) egy szinguláris (szinguláris) négyzetmátrixnak nincs inverz mátrixa.
Az inverz mátrix alapvető tulajdonságai:
1) az inverz mátrix determinánsa és az eredeti mátrix determinánsa reciprok;
2) a négyzetmátrixok szorzatának inverz mátrixa egyenlő a tényezők inverz mátrixának szorzatával, fordított sorrendben:
3) a transzponált inverz mátrix egyenlő az adott transzponált mátrix inverz mátrixával:
PÉLDA Számítsa ki az adott mátrix inverzét!
Az adott mátrix inverz mátrixa egy olyan mátrix, amely az eredetit megszorozva adja az identitásmátrixot: Az inverz mátrix jelenlétének kötelező és elégséges feltétele, hogy az eredeti mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (ami viszont azt jelenti, hogy a mátrixnak négyzetesnek kell lennie). Ha egy mátrix determinánsa egyenlő nullával, akkor szingulárisnak nevezzük, és egy ilyen mátrixnak nincs inverze. BAN BEN felsőbb matematika az inverz mátrixok rendelkeznek fontosés számos probléma megoldására használják. Például on az inverz mátrix megtalálása egyenletrendszerek megoldására mátrixos módszert készítettek. Szervizoldalunk lehetővé teszi inverz mátrix kiszámítása online két módszer: a Gauss-Jordan módszer és az algebrai összeadások mátrixának használata. A megszakítás azt jelenti nagyszámú a mátrixon belüli elemi transzformációkat, a második a determináns és az összes elem algebrai összeadásának kiszámítása. Egy mátrix determinánsának online kiszámításához használhatja másik szolgáltatásunkat - Mátrix determinánsának számítása online
.weboldal lehetővé teszi, hogy megtalálja inverz mátrix online gyors és ingyenes. Az oldalon a számításokat szervizünk végzi, és az eredményt megjeleníti részletes megoldás megtalálásával inverz mátrix. A szerver mindig csak pontos és helyes választ ad. Feladatokban definíció szerint inverz mátrix online, szükséges, hogy a determináns mátrixok egyébként nem nulla volt weboldal jelenteni fogja az inverz mátrix megtalálásának lehetetlenségét, mivel az eredeti mátrix determinánsa egyenlő nullával. A megtalálás feladata inverz mátrix a matematika számos ágában megtalálható, az algebra egyik legalapvetőbb fogalma és matematikai eszköz az alkalmazott problémák megoldásában. Független inverz mátrix meghatározása jelentős erőfeszítést, sok időt, számításokat és nagy körültekintést igényel, hogy elkerülje a gépelési hibákat vagy a kisebb számítási hibákat. Ezért a mi szolgáltatásunk az inverz mátrix megtalálása online nagyban megkönnyíti a feladatát, és nélkülözhetetlen eszköze lesz a matematikai feladatok megoldásának. Még ha te keresse meg az inverz mátrixot saját magának, javasoljuk, hogy ellenőrizze a megoldást a szerverünkön. Adja meg eredeti mátrixát weboldalunkon. Számítsa ki az inverz mátrixot online, és ellenőrizze a választ. Rendszerünk soha nem hibázik és nem talál inverz mátrix adott dimenzió módban online azonnal! Az oldalon weboldal karakter bejegyzések megengedettek az elemekben mátrixok, ebben az esetben inverz mátrix onlineáltalános szimbolikus formában kerül bemutatásra.
