Hogyan néz ki az y sin x 3 grafikonja? Matek óra. Téma: "Y=sin x függvény, tulajdonságai és grafikonja"

Óra és előadás a témában: "Y=sin(x) függvény. Definíciók és tulajdonságok"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Kézikönyvek és szimulátorok az Integral online áruházban 10. osztályhoz az 1C-től
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív építési feladatok 7-10
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Amit tanulmányozni fogunk:

• Az Y=sin(X) függvény tulajdonságai.
• Függvénygrafikon.
• Hogyan készítsünk grafikont és léptékét.
• Példák.

A szinusz tulajdonságai. Y=sin(X)

Srácok, már megismerkedtünk egy numerikus argumentum trigonometrikus függvényeivel. Emlékszel rájuk?

Nézzük meg közelebbről az Y=sin(X) függvényt

Írjuk fel ennek a függvénynek néhány tulajdonságát:
1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza.
2) A függvény páratlan. Emlékezzünk a páratlan függvény definíciójára. Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség teljesül: y(-x)=-y(x). Ahogy a szellemképletekből emlékszünk: sin(-x)=-sin(x). A definíció teljesül, ami azt jelenti, hogy Y=sin(X) páratlan függvény.
3) Az Y=sin(X) függvény növekszik a szakaszon, és csökken a [π/2; π]. Amikor az első negyedben haladunk (az óramutató járásával ellentétes irányban), az ordináta növekszik, a második negyedben pedig csökken.

4) Az Y=sin(X) függvény alulról és felülről korlátozott. Ez az ingatlan abból következik, hogy
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) A függvény legkisebb értéke -1 (x = - π/2+ πk-nél). A függvény legnagyobb értéke 1 (x = π/2+ πk-nál).

Használjuk az 1-5 tulajdonságokat az Y=sin(X) függvény ábrázolására. A gráfunkat szekvenciálisan készítjük el, tulajdonságainkat alkalmazva. Kezdjük a grafikon felépítését a szegmensen.

Speciális figyelemÉrdemes odafigyelni a méretarányra. Az ordináta tengelyen célszerűbb egy 2 cellával egyenlő egységszegmenst venni, az abszcissza tengelyen pedig egy π/3-mal egyenlő egységszegmenst (két cellát) (lásd az ábrát).

Az x szinuszfüggvény ábrázolása, y=sin(x)

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmensünkön:

Készítsünk grafikont pontjaink felhasználásával, figyelembe véve a harmadik tulajdonságot.

Átalakító táblázat szellemképletekhez

Használjuk a második tulajdonságot, amely szerint a függvényünk páratlan, ami azt jelenti, hogy szimmetrikusan tükrözhető az origóhoz képest:

Tudjuk, hogy sin(x+ 2π) = sin(x). Ez azt jelenti, hogy a [- π; π] a gráf ugyanúgy néz ki, mint a [π; 3π] vagy vagy [-3π; - π] és így tovább. Nincs más dolgunk, mint gondosan átrajzolni az előző ábrán látható grafikont a teljes x tengely mentén.

Az Y=sin(X) függvény grafikonját szinuszosnak nevezzük.

Írjunk még néhány tulajdonságot a felépített gráf szerint:
6) Az Y=sin(X) függvény bármely alakú szegmensén növekszik: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k egész szám, és a következő alak bármely szegmensén csökken: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – egész szám.
7) Az Y=sin(X) függvény folytonos függvény. Nézzük meg a függvény grafikonját, és győződjünk meg arról, hogy a függvényünkben nincs törés, ez folytonosságot jelent.
8) Értéktartomány: szegmens [- 1; 1]. Ez jól látható a függvény grafikonján is.
9) Y=sin(X) függvény – periodikus függvény. Nézzük meg újra a grafikont, és nézzük meg, hogy a függvény bizonyos időközönként ugyanazokat az értékeket veszi fel.

Példák a szinuszos problémákra

1. Oldja meg a sin(x)= x-π egyenletet!

Megoldás: Készítsünk 2 grafikont a függvényből: y=sin(x) és y=x-π (lásd az ábrát).
Grafikonjaink egy A(π;0) pontban metszik egymást, ez a válasz: x = π

2. Ábrázolja az y=sin(π/6+x)-1 függvényt

Megoldás: A kívánt grafikont úgy kapjuk meg, hogy az y=sin(x) függvény grafikonját π/6 egységgel balra és 1 egységgel lefelé mozgatjuk.

Megoldás: Ábrázoljuk a függvényt, és tekintsük a [π/2; 5π/4].
A függvény grafikonja azt mutatja, hogy a legnagyobb és a legkisebb értékeket a szakasz végén, a π/2 és 5π/4 pontokban érjük el.
Válasz: sin(π/2) = 1 – a legnagyobb érték, sin(5π/4) = a legkisebb érték.

Szinuszfeladatok a független megoldáshoz

• Oldja meg az egyenletet: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Ábrázolja az y=sin(π/3+x)-2 függvényt
• Ábrázolja az y=sin(-2π/3+x)+1 függvényt
• Keresse meg az y=sin(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szakaszon!
• Határozzuk meg az y=sin(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [- π/3; 5π/6]

>>Matematika: y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik

Az y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik

Ebben a részben az y = függvények néhány tulajdonságát tárgyaljuk sin x,y= cos x és készítse el a grafikonjaikat.

1. Függvény y = sin X.

Fent, a 20. §-ban megfogalmaztunk egy olyan szabályt, amely lehetővé teszi, hogy minden t számhoz egy cos t szám társuljon, pl. jellemezte az y = sin t függvényt. Nézzünk meg néhány tulajdonságát.

Az u = sin t függvény tulajdonságai.

A definíciós tartomány a valós számok K halmaza.
Ez abból következik, hogy bármely 2-es szám megfelel egy M(1) pontnak a számkörön, amelynek jól meghatározott ordinátája van; ez az ordináta a cos t.

u = sin t páratlan függvény.

Ez abból következik, hogy a 19. §-ban bebizonyosodott, hogy bármely t az egyenlőség
Ez azt jelenti, hogy az u = sin t függvény grafikonja, mint bármely páratlan függvény grafikonja, szimmetrikus a koordináták origójához képest téglalap alakú rendszer koordináták tOi.

Az u = sin t függvény az intervallumon növekszik
Ez abból következik, hogy amikor egy pont a számkör első negyede mentén mozog, az ordináta fokozatosan növekszik (0-ról 1-re - lásd 115. ábra), és amikor a pont a számkör második negyede mentén mozog, a ordináta fokozatosan csökken (1-ről 0-ra – lásd 116. ábra).

Az u = sint függvény alul és felül is korlátos. Ez abból a tényből következik, hogy amint azt a 19. §-ban láttuk, minden t esetében fennáll az egyenlőtlenség

(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket (a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket
A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük a számunkra érdekes függvény grafikonját. De (figyelem!) az u - sin t helyett y = sin x-et fogunk írni (végül is inkább y = f(x), és nem u = f(t)-t szoktunk írni). Ez azt jelenti, hogy egy gráfot a szokásos xOy koordinátarendszerben fogunk felépíteni (és nem tOy).

Készítsünk egy táblázatot az y - sin x függvény értékeiről:

Megjegyzés.

Adjuk meg a „sine” kifejezés eredetének egyik változatát. Latinul a sinus azt jelenti, hajlítás (íjhúr).

A felépített gráf bizonyos mértékig igazolja ezt a terminológiát.

Az y = sin x függvény grafikonjaként szolgáló egyenest szinuszhullámnak nevezzük. A szinusz azon része, amely az ábrán látható. A 118 vagy 119 szinuszhullámnak nevezzük, és a szinuszhullámnak azt a részét, amely az ábrán látható. 117, félhullámnak vagy szinuszhullám ívének nevezik.

2. Függvény y = cos x.

Az y = cos x függvény vizsgálata megközelítőleg ugyanazon séma szerint végezhető el, mint amit fentebb az y = sin x függvénynél használtunk. De azt az utat választjuk, amely gyorsabban vezet a célhoz. Először két olyan képletet fogunk bebizonyítani, amelyek önmagukban is fontosak (ezt látni fogjátok a gimnáziumban), de egyelőre csak kisegítő jelentőséggel bírnak céljaink szempontjából.

t bármely értékére a következő egyenlőségek érvényesek:

Bizonyíték. A t szám feleljen meg az n numerikus kör M pontjának, a * + - szám pedig P pontnak (124. ábra; az egyszerűség kedvéért az első negyedben vettük az M pontot). Az AM és BP ívek egyenlőek, az OKM és OLBP derékszögű háromszögek pedig ennek megfelelően egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy O K = Ob, MK = Pb. Ezekből az egyenlőségekből, valamint az OCM és OBP háromszögek koordinátarendszerben való elhelyezkedéséből két következtetést vonunk le:

1) a P pont ordinátája abszolút értékben és előjelben egybeesik az M pont abszcisszájával; ez azt jelenti

2) a P pont abszcisszája abszolút értékben egyenlő az M pont ordinátájával, de előjelben különbözik tőle; ez azt jelenti

Körülbelül ugyanezt az érvelést hajtjuk végre azokban az esetekben, amikor az M pont nem tartozik az első negyedévhez.
Használjuk a képletet (ez a fent bizonyított képlet, de a t változó helyett az x változót használjuk). Mit ad nekünk ez a képlet? Lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy a funkciók

azonosak, ami azt jelenti, hogy grafikonjaik egybeesnek.
Ábrázoljuk a függvényt Ehhez menjünk tovább segédrendszer koordináták az origóval a pontban (a szaggatott vonal a 125. ábrán látható). Társítsuk az y = sin x függvényt új rendszer koordináták - ez lesz a függvény grafikonja (125. ábra), i.e. az y - cos x függvény grafikonja. Ezt, akárcsak az y = sin x függvény grafikonját, szinuszhullámnak nevezzük (ami teljesen természetes).

Az y = cos x függvény tulajdonságai.

y = cos x páros függvény.

Az építési szakaszok az ábrán láthatók. 126:

1) készítsük el az y = cos x függvény grafikonját (pontosabban egy félhullámot);
2) a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 0,5-ös tényezővel megnyújtva megkapjuk a kívánt gráf egy félhullámát;
3) a kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük az y = 0,5 cos x függvény teljes grafikonját.

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsi kiságyak tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék

Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .

Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.

Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;

A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk

A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékeket tartalmazó táblázatot kellene összeállítani y = sin x .

1. Oszd fel az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre A kör osztópontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.

2.A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk fel 8 egyenlő részre.

3. Rajzoljunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket! x, és az osztási pontokból merőlegeseket építünk, amíg nem metszik egymást vízszintes vonalakkal.

4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.

Most nézzük az intervallumot π / 2 < x < π .
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható

x = π / 2 + φ

Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint

bűn ( π / 2 + φ ) = cos φ = sin( π / 2 - φ ).

Tengelypontok x abszcisszákkal π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi, hogy megkapjuk a függvény grafikonját y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .

Most használja az ingatlant páratlan paritásfüggvény y = sin x,

bűn(- x) = - bűn x,

ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].

Az y = sin x függvény 2π periódusú periodikus ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának elkészítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .

Az így kapott görbét ún szinuszos . A függvény grafikonját ábrázolja y = sin x.

Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amit korábban már bebizonyítottunk. Emlékezzünk vissza ezekre a tulajdonságokra.

1) Funkció y = sin x minden értékre definiálva x , tehát a tartománya az összes valós szám halmaza.

2) Funkció y = sin x korlátozott. Az általa elfogadott összes érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Következésképpen ennek a függvénynek a változási tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π függvény veszi legmagasabb értékeket, egyenlő 1-gyel, és ha x = - π / 2 + 2k π - a legkisebb értékek egyenlőek -1-gyel.

3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóra).

4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .

5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k-nél π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) függvényeket nulláknak nevezzük y = sin x

6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.

Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében x = 0 .

Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy az x bármely értékéhez

| bűn x| < | x | . (1)

Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a / AOB = x.

Aztán bűn x= AC. De AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0-nál< x < π / 2

bűn x< х.

Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0

| bűn x| < | x | .

Végül, mikor x = 0

| sin x | = | x |.

Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodott. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | bűn x | < 1, a π / 2 > 1

Feladatok

1.A függvény grafikonja szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).

2.A függvénygrafikon szerint y = sin x határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π / 2 , π / 2 ] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.

3. A függvény grafikonja szerint y = sin x határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2.

4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

A vas rozsdásodik anélkül, hogy hasznot találna,
az álló víz megrohad vagy megfagy a hidegben,
és az ember elméje, nem találva magának hasznot, elsorvad.
Leonardo da Vinci

Alkalmazott technológiák: probléma alapú tanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.

Célok:

• A tanulás iránti kognitív érdeklődés fejlesztése.
• Az y = sin x függvény tulajdonságainak tanulmányozása.
• Gyakorlati készségek kialakítása az y = sin x függvény grafikonjának megalkotásában a tanulmányozott elméleti anyag alapján.

Feladatok:

1. Használja ki az y = sin x függvény tulajdonságairól meglévő tudásban rejlő lehetőségeket adott helyzetekben.

2. Alkalmazza az y = sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti összefüggések tudatos felépítését.

Fejleszteni kell a kezdeményezőkészséget, bizonyos hajlandóságot és érdeklődést a megoldás keresésében; döntéshozatal képessége, ne álljon meg itt, és megvédje álláspontját.

Elősegíti a tanulókban a kognitív tevékenységet, a felelősségérzetet, az egymás iránti tiszteletet, a kölcsönös megértést, a kölcsönös támogatást és az önbizalmat; kommunikációs kultúra.

Az órák alatt

1. szakasz. Alapismeretek felfrissítése, új tananyag tanulásának motiválása

– Belépés a leckébe.

A táblára három állítás van felírva:

1. A sin t = a trigonometrikus egyenletnek mindig vannak megoldásai.
2. Egy páratlan függvény grafikonja az Oy tengely körüli szimmetriatranszformációval szerkeszthető meg.
3. Menetrend trigonometrikus függvény egy fő félhullám felhasználásával megépíthető.

A tanulók párban megbeszélik: igazak az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményei (igen, nem) ezután bekerülnek a táblázatba az „Előtte” oszlopban.

A tanár határozza meg az óra céljait és célkitűzéseit.

2. Az ismeretek frissítése (frontálisan egy trigonometrikus kör modelljén).

Az s = sin t függvénnyel már megismerkedtünk.

1) Milyen értékeket vehet fel a t változó? Mi ennek a funkciónak a hatóköre?

2) Milyen intervallumban találhatók a sin t kifejezés értékei? Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!

4) Mi történik egy pont ordinátájával, amikor az az első negyedben mozog? (az ordináta nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordináta fokozatosan csökken). Hogyan kapcsolódik ez a függvény monotonitásához? (az s = sin t függvény a szakaszon növekszik, a szakaszon csökken).

5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a számunkra ismerős y = sin x formában (a szokásos xOy koordinátarendszerben fogjuk megszerkeszteni), és állítsuk össze a függvény értékeinek táblázatát.

x	0
nál nél	0			1			0

2. szakasz. Érzékelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás

4. szakasz. Az ismeretek és a tevékenységi módszerek elsődleges rendszerezése, átadása és alkalmazása új helyzetekben

6. No. 10.18 (b,c)

5. szakasz. Végső ellenőrzés, javítás, értékelés és önértékelés

7. Visszatérünk az állításokhoz (az óra eleje), megbeszéljük az y = sin x trigonometrikus függvény tulajdonságait, és kitöltjük a táblázat „Utána” oszlopát.

8. D/z: 10. záradék, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

Nyilvánvaló tulajdonságok következnek a szinusz definíciójából.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén ábrázoljuk valós számok vagy szögek radiánban, a tengely mentén a megfelelő függvényértékek.

Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás hatálya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Intervallumok, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkciók:

13) Maximális pontszám:

14) Maximális funkciók:

Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és számítás a 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M.: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Oktatási portál vizsgákra készülni ().