No tutorial em vídeo apresentado, consideraremos em detalhes a questão da multiplicação de um polinômio por qualquer expressão que atenda à definição de "mono" ou monômio. Um monômio pode ser qualquer valor numérico livre representado por número natural(em qualquer grau, com qualquer sinal) ou alguma variável (com atributos semelhantes). Vale lembrar que um polinômio é um conjunto de elementos algébricos chamados membros de um polinômio. Às vezes, alguns termos podem ser dados com semelhança e abreviados. É altamente recomendável realizar o procedimento de redução de termos semelhantes após a operação de multiplicação. A resposta final, neste caso, será a forma padronizada do polinômio.
Como segue nosso vídeo, o processo de multiplicar um monômio por um polinômio pode ser considerado a partir de duas posições: álgebra linear e geometria. Considere a operação de multiplicar um polinômio de cada lado - isso contribui para a universalidade da aplicação das regras, principalmente no caso de problemas complexos.
Falando algebricamente, multiplicar um polinômio por um monômio segue a regra padrão para multiplicar por uma soma: cada elemento da soma deve ser multiplicado por um determinado valor e o valor resultante deve ser somado algebricamente. Deve ser entendido que qualquer polinômio é uma soma algébrica expandida. Depois de multiplicar cada membro do polinômio por um determinado valor, obtemos uma nova soma algébrica, que geralmente é reduzida a uma forma padrão, se possível, é claro.
Considere a multiplicação de um polinômio em este caso:
3a * (2a 2 + 3c - 3)
É fácil entender que aqui a expressão (2a 2 + 3c - 3) é um polinômio e 3a é um fator livre. Para resolver esta expressão, basta multiplicar cada um dos três termos do polinômio por 3a:
Vale lembrar que o sinal é um atributo importante da variável da direita, e não pode ser perdido. O sinal "+", via de regra, não é escrito se a expressão começar com ele. Ao multiplicar expressões de letras numéricas, todos os coeficientes para variáveis são multiplicados elementarmente. As mesmas variáveis aumentam o grau. Diferentes variáveis permanecem inalteradas e são escritas em um elemento: a*c = ac. O conhecimento dessas regras simples de adição contribui para a resolução correta e rápida de tais exercícios.
Obtivemos três valores, que são, de fato, membros do polinômio final, que é a resposta do exemplo. Só é necessário somar algebricamente estes valores:
6a 3 + 9ac + (- 9a) \u003d 6a 3 + 9ac - 9a
Abrimos os parênteses, preservando os sinais, pois se trata de adição algébrica, e por definição existe um sinal de mais entre os monômios. A forma padrão resultante do polinômio é a resposta correta para o exemplo apresentado.
A visão geométrica de multiplicar um polinômio por um monômio é o processo de encontrar a área de um retângulo. Suponha que temos um retângulo com lados a e c. A figura é dividida por dois segmentos em três retângulos de áreas diferentes, de modo que o lado c seja comum a todos, ou o mesmo. E os lados a1, a2 e a3 somam o a inicial. Como se sabe pela definição axiomática da área de um retângulo, para encontrar esse parâmetro é necessário multiplicar os lados: S = a*c. Ou, S = (a1 + a2 + a3) * s. Multiplicaremos o polinômio (formado pelos lados de retângulos menores) pelo monômio - o lado principal da figura, e obteremos uma expressão para S: a1 * c + a2 * c + a3 * c. Mas se você olhar bem, verá que esse polinômio é a soma das áreas de três retângulos menores, que compõem a figura inicial. De fato, para o primeiro retângulo S = a1c (de acordo com o axioma), e assim por diante. Algebricamente, a correção do raciocínio ao adicionar um polinômio é confirmada por cálculos de álgebra linear. E geometricamente - as regras para adicionar áreas em uma única figura simples.
Ao realizar manipulações com a multiplicação de um polinômio por um monômio, deve-se lembrar que neste caso os graus do monômio e do polinômio (geral) são adicionados - e o valor resultante é o grau do novo polinômio (resposta) .
Todas as regras acima, juntamente com o básico adição algébrica são usados em exemplos da simplificação mais simples de expressões, onde os termos semelhantes são reduzidos e os elementos são multiplicados para simplificar todo o polinômio.
>>Matemática: Multiplicação de um polinômio por um monômio
Multiplicação de um polinômio por um monômio
Você deve ter notado que até agora o Capítulo 4 foi estruturado de acordo com o mesmo plano do Capítulo 3. Em ambos os capítulos, os conceitos básicos foram introduzidos pela primeira vez: no Capítulo 3, estes foram o monômio, a forma padrão do monômio, o coeficiente do monômio; no capítulo 4 - polinomial, a forma padrão de um polinômio. Então, no Capítulo 3, examinamos a adição e a subtração de monômios; da mesma forma, no capítulo 4 - adição e subtração de polinômios.
O que aconteceu a seguir no capítulo 3? Então falamos sobre a multiplicação de monômios. Então, por analogia, sobre o que devemos falar agora? Sobre a multiplicação de polinômios. Mas aqui temos que proceder devagar: primeiro (neste parágrafo) consideramos a multiplicação de um polinômio por monômio(ou um monômio por um polinômio, não importa), e então (no próximo parágrafo) - a multiplicação de quaisquer polinômios. Quando você aprendeu a multiplicar números no ensino fundamental, também agiu gradualmente: primeiro aprendeu a multiplicar um número de vários dígitos por um número de um dígito e só depois multiplicou um número de vários dígitos por um de vários dígitos.
(a + b)c \u003d ac + bc.
Exemplo 1 Efetuar multiplicação 2a 2 - Zab) (-5a).
Solução. Vamos introduzir novas variáveis:
x \u003d 2a 2, y \u003d Zab, z \u003d - 5a.
Então este produto será reescrito na forma (x + y)z, que, de acordo com a lei de distribuição, é igual a xr + yz. Agora, de volta às variáveis antigas:
xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a).
Resta-nos apenas encontrar produtos de monômios. Nós temos:
- 10a 3 + 15a 2 b
Damos uma breve notação da solução (é assim que a escreveremos no futuro sem introduzir novas variáveis):
(2a 2 - Zab) (- 5a) \u003d 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) \u003d -10a 3 + 15a 2 b.
Agora podemos formular a regra correspondente para multiplicar um polinômio por um monômio.
A mesma regra se aplica ao multiplicar um monômio por um polinômio:
- 5a (2a 2 - Zab) \u003d (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) \u003d 10a 3 + 15a 2 b
(nós pegamos o exemplo 1, mas trocamos os fatores).
Exemplo 2 Expresse um polinômio como um produto de um polinômio e um monômio se:
a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;
b) p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zu 2.
Solução.
a) Observe que 2x 2 y \u003d 2x xy e 4a: \u003d 2x 2. Portanto,
2x 2 anos + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x
b) No exemplo a), conseguimos a composição de cada membro do polinômio p 1 (x, y) \u003d 2x 2 y + 4a: selecione a mesma parte (o mesmo fator) 2x. Aqui, não existe essa parte comum. Isso significa que o polinômio p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zy 2 não pode ser representado como um produto de um polinômio e um monômio.
De fato, o polinômio p 2 (x, y) também pode ser representado como um produto, por exemplo, assim:
x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) 0,5
ou assim:
x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- o produto de um número por um polinômio, mas esta é uma transformação artificial e não é usada sem grande necessidade.
A propósito, a exigência de representar um determinado polinômio como produto de um monômio por um polinômio é bastante comum em matemática, por isso esse procedimento recebeu um nome especial: tirar o fator comum dos colchetes.
A tarefa de retirar o fator comum dos colchetes pode estar correta (como no exemplo 2a) ou pode não estar totalmente correta (como no exemplo 26). No próximo capítulo, trataremos especificamente dessa questão.
Ao final da seção, resolveremos problemas que mostrarão como, na prática, trabalhar com modelos matemáticos situações reais, é preciso fazer uma soma algébrica de polinômios e multiplicar um polinômio por um monômio. Portanto, estudamos essas operações não em vão.
Exemplo 3 Os pontos A, B e C estão localizados na rodovia conforme mostra a Figura 3. A distância entre A e B é de 16 km. Um pedestre saiu de B em direção a C. 2 horas depois, um ciclista saiu de A em direção a C, cuja velocidade é de 6 km/h mais velocidade pedestre. 4 horas após sua partida, o ciclista alcançou o pedestre no ponto C. Qual é a distância de B a C?
Solução.
Primeira etapa. Elaboração modelo matemático. Seja x km/h a velocidade de um pedestre, então (x + 6) km/h é a velocidade de um ciclista.
O ciclista percorreu a distância de A até C em 4 horas, o que significa que essa distância é expressa pela fórmula 4 (x + 6) km; em outras palavras, AC = 4 (x + 6).
A distância de B a C foi percorrida pelo pedestre em 6 horas (afinal, antes de o ciclista sair, ele já estava na estrada há 2 horas), portanto, essa distância é expressa pela fórmula 6x km; em outras palavras, BC = 6x
E agora preste atenção na Figura 3: AC - BC = AB, ou seja, AC - BC = 16. Esta é a base para compilar um modelo matemático do problema. Lembre-se que AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; Consequentemente,
4(x + 6) -6x = 16.
A. V. Pogorelov, Geometria para as séries 7-11, Livro didático para instituições educacionais
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1.2. Para resolver este problema, a Empresa introduziu, opera e passa por revisão periódica (controle) do sistema de proteção de dados pessoais.
1.3. O tratamento de dados pessoais na Empresa assenta nos seguintes princípios:
A legalidade das finalidades e métodos de tratamento de dados pessoais e a boa-fé;
Cumprimento das finalidades do tratamento de dados pessoais com as finalidades predeterminadas e declaradas aquando da recolha de dados pessoais, bem como das competências da Empresa;
Conformidade do volume e natureza dos dados pessoais processados, métodos de processamento de dados pessoais com as finalidades de processamento de dados pessoais;
Fiabilidade dos dados pessoais, a sua pertinência e suficiência para as finalidades do tratamento, inadmissibilidade do tratamento excessivo relativamente às finalidades da recolha de dados pessoais;
Legitimidade das medidas organizacionais e técnicas para garantir a segurança dos dados pessoais;
Melhoria contínua do nível de conhecimento dos colaboradores da Empresa no domínio da garantia da segurança dos dados pessoais durante o seu tratamento;
Esforçar-se para a melhoria contínua do sistema de proteção de dados pessoais.
2. Finalidades do processamento de dados pessoais
2.1. De acordo com os princípios do processamento de dados pessoais, a Empresa define a composição e as finalidades do processamento.
Finalidades do tratamento de dados pessoais:
Conclusão, manutenção, alteração, rescisão Contratos de trabalho, que constituam fundamento para o surgimento ou término de relações trabalhistas entre a Companhia e seus empregados;
Disponibilização de um portal, serviços conta pessoal para alunos, pais e professores;
Armazenamento de resultados de aprendizagem;
Cumprimento das obrigações previstas na legislação federal e demais atos normativos regulamentares;
3. Regras de tratamento de dados pessoais
3.1. A Empresa processa apenas os dados pessoais que são apresentados na Lista aprovada de dados pessoais processados na FSAI GNII ITT "Informika"
3.2. A Empresa não permite o tratamento das seguintes categorias de dados pessoais:
Corrida;
Crenças filosóficas;
Sobre o estado de saúde;
Estado vida íntima;
Nacionalidade;
Crenças religiosas.
3.3. A Empresa não processa dados pessoais biométricos (informações que caracterizam aspectos fisiológicos e características biológicas pessoa, com base na qual é possível estabelecer a sua identidade).
3.4. A Empresa não realiza transferência internacional de dados pessoais (transferência de dados pessoais para o território estado estrangeiro autoridade de um estado estrangeiro, estrangeiro para um indivíduo ou pessoa jurídica estrangeira).
3.5. A Empresa proíbe a tomada de decisões sobre titulares de dados pessoais com base apenas no processamento automatizado de seus dados pessoais.
3.6. A Empresa não processa dados sobre antecedentes criminais dos indivíduos.
3.7. A Empresa não coloca os dados pessoais do titular em fontes públicas sem o seu consentimento prévio.
4. Requisitos implementados para garantir a segurança dos dados pessoais
4.1. A fim de garantir a segurança dos dados pessoais durante o processamento, a Empresa implementa os requisitos dos seguintes documentos regulamentares da Federação Russa no campo do processamento e garantia da segurança dos dados pessoais:
a lei federal datado de 27 de julho de 2006 nº 152-FZ “Sobre dados pessoais”;
Decreto do Governo Federação Russa datado de 1 de novembro de 2012 N 1119 "Ao aprovar os requisitos para a proteção de dados pessoais durante o processamento em sistemas de informação dados pessoais";
Decreto do Governo da Federação Russa de 15 de setembro de 2008 nº 687 “Ao aprovar os regulamentos sobre as especificidades do processamento de dados pessoais realizado sem o uso de ferramentas de automação”;
Ordem do FSTEC da Rússia datada de 18 de fevereiro de 2013 N 21 "Ao aprovar a composição e o conteúdo das medidas organizacionais e técnicas para garantir a segurança dos dados pessoais durante o processamento em sistemas de informações de dados pessoais";
Modelo básico de ameaças à segurança de dados pessoais durante seu processamento em sistemas de informações de dados pessoais (aprovado pelo Diretor Adjunto do FSTEC da Rússia em 15 de fevereiro de 2008);
Metodologia para determinar ameaças reais à segurança de dados pessoais durante seu processamento em sistemas de informações de dados pessoais (aprovada pelo Diretor Adjunto do FSTEC da Rússia em 14 de fevereiro de 2008).
4.2. A Empresa avalia os danos que podem ser causados aos titulares dos dados pessoais e determina as ameaças à segurança dos dados pessoais. De acordo com as ameaças reais identificadas, a Empresa aplica as medidas organizacionais e técnicas necessárias e suficientes, incluindo o uso de ferramentas de segurança da informação, a detecção de acessos não autorizados, a recuperação de dados pessoais, o estabelecimento de regras de acesso a dados pessoais, bem como monitorar e avaliar a eficácia das medidas tomadas.
4.3. A Empresa nomeou pessoas responsáveis por organizar o processamento e garantir a segurança dos dados pessoais.
4.4. A administração da Empresa está ciente da necessidade e está interessada em garantir que, tanto em termos dos requisitos dos documentos regulamentares da Federação Russa, quanto justificados em termos de avaliação de risco para os negócios, o nível de segurança dos dados pessoais processados como parte do Negócio principal da empresa.
Se os números forem indicados por letras diferentes, só é possível designar a partir do produto; deixe, por exemplo, o número a ser multiplicado pelo número b, - podemos denotar isso a ∙ b ou ab, mas não pode haver dúvida de alguma forma realizar essa multiplicação. Porém, quando estamos lidando com monômios, então, devido 1) à presença de coeficientes e 2) ao fato de que esses monômios podem incluir fatores denotados pelas mesmas letras, é possível falar em multiplicação de monômios; tal possibilidade é ainda mais ampla para polinômios. Vamos analisar uma série de casos onde é possível realizar a multiplicação, começando pelo mais simples.
1. Multiplicação de potências de mesma base. Seja, por exemplo, necessário um 3 ∙ a 5. Vamos escrever, sabendo o significado de elevar a uma potência, a mesma coisa com mais detalhes:
a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a
Olhando para esta entrada detalhada, vemos que escrevemos um multiplicador de 8 vezes, ou, resumidamente, um 8 . Então, a 3 ∙ a 5 = a 8 .
Seja b 42 ∙ b 28 necessário. Teríamos que escrever primeiro o fator b 42 vezes e, novamente, o fator b 28 vezes - em geral, obteríamos que b é tomado pelo fator 70 vezes. ou seja, b 70 . Então, b 42 ∙ b 28 \u003d b 70. A partir disso, já fica claro que, ao multiplicar potências com as mesmas bases, a base do grau permanece inalterada e os expoentes são adicionados. Se temos a 8 ∙ a, então devemos ter em mente que o fator a implica um expoente de 1 (“a elevado a primeira potência”), portanto, a 8 ∙ a = a 9 .
Exemplos: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 etc.
Às vezes você tem que lidar com graus cujos expoentes são indicados por letras, por exemplo, xn (x elevado a n). Você tem que se acostumar a usar essas expressões. aqui estão alguns exemplos:
Vamos explicar alguns desses exemplos: b n - 3 ∙ b 5 você precisa deixar a base b inalterada e adicionar os indicadores, ou seja, (n - 3) + (+5) \u003d n - 3 + 5 \u003d n + 2 Claro, essas adições devem ser aprendidas para funcionar rapidamente na mente.
Outro exemplo: x n + 2 ∙ x n - 2, - a base de x deve permanecer inalterada e o indicador deve ser adicionado, ou seja, (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n .
É possível expressar a ordem encontrada acima, como realizar a multiplicação de potências com as mesmas bases, agora pela igualdade:
a m ∙ a n = a m + n
2. Multiplicação de um monômio por um monômio. Seja, por exemplo, 3a²b³c ∙ 4ab²d². Vemos que aqui uma multiplicação é indicada por um ponto, mas sabemos que o mesmo sinal de multiplicação está implícito entre 3 e a², entre a² e b³, entre b³ e c, entre 4 e a, entre a e b², entre b² e d². Portanto, podemos ver o produto de 8 fatores aqui e podemos multiplicá-los por quaisquer grupos em qualquer ordem. Vamos reorganizá-los para que os coeficientes e potências com as mesmas bases fiquem próximos, ou seja,
3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².
Então podemos multiplicar 1) coeficientes e 2) potências com a mesma base e obter 12a³b5cd².
Assim, ao multiplicar um monômio por um monômio, podemos multiplicar os coeficientes e potências com as mesmas bases, e os demais fatores devem ser reescritos sem alteração.
Mais exemplos:
3. Multiplicação de um polinômio por um monômio. Suponha que primeiro precisamos multiplicar algum polinômio, por exemplo, a - b - c + d, por um inteiro positivo, por exemplo, +3. Como os números positivos são considerados iguais à aritmética, é o mesmo que (a - b - c + d) ∙ 3, ou seja, tome a - b - c + d como uma soma 3 vezes, ou
(a - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,
ou seja, como resultado, cada termo do polinômio teve que ser multiplicado por 3 (ou por +3).
Segue-se disto:
(a - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,
ou seja, cada termo do polinômio teve que ser dividido por (+3). Além disso, resumindo, temos:
etc.
Deixe agora é necessário multiplicar (a - b - c + d) por uma fração positiva, por exemplo, por +. É como multiplicar por uma fração aritmética, o que significa tirar partes de (a - b - c + d). É fácil pegar um quinto desse polinômio: você precisa dividir (a - b - c + d) por 5, e já sabemos como fazer isso - obtemos 
. Resta repetir o resultado obtido 3 vezes ou multiplicar por 3, ou seja.
Como resultado, vemos que tivemos que multiplicar cada termo do polinômio por ou por +.
Deixe agora é necessário multiplicar (a - b - c + d) por um número negativo, inteiro ou fracionário,
ou seja, neste caso, cada termo do polinômio teve que ser multiplicado por -.
Assim, qualquer que seja o número m, sempre (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm.
Como cada monômio é um número, aqui vemos uma indicação de como multiplicar um polinômio por um monômio - cada membro do polinômio deve ser multiplicado por esse monômio.
4. Multiplicação de um polinômio por um polinômio. Seja (a + b + c) ∙ (d + e). Como d e e significam números, então (d + e) expressa qualquer número.
(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)
(podemos explicar assim: temos o direito de tomar d + e temporariamente para um monômio).
Ad + ae + bd + be + cd + ce
Como resultado, você pode alterar a ordem dos membros.
(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,
ou seja, para multiplicar um polinômio por um polinômio, é preciso multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro. É conveniente (para isso, a ordem dos termos obtidos foi alterada acima) multiplicar cada termo do primeiro polinômio primeiro pelo primeiro termo do segundo (por + d), depois pelo segundo termo do segundo (por + e), então, se fosse, pelo terceiro, etc. d.; depois disso, você deve fazer uma redução de membros semelhantes.
Nesses exemplos, o binômio é multiplicado pelo binômio; em cada binômio, os termos são arranjados em potências descendentes da letra comum a ambos os binômios. Essas multiplicações são fáceis de realizar em sua cabeça e escrever imediatamente o resultado final.
Da multiplicação do termo sênior do primeiro binômio pelo termo sênior do segundo, ou seja, 4x² por 3x, obtemos 12x³ o termo sênior do produto - obviamente não haverá semelhantes. Em seguida, procuramos os termos da multiplicação de quais termos serão obtidos com a potência da letra x menos por 1, ou seja, com x². É fácil ver que tais termos são obtidos multiplicando o 2º termo do primeiro fator pelo 1º termo do segundo e multiplicando o 1º termo do primeiro fator pelo 2º termo do segundo (os colchetes na parte inferior do exemplo indicam isso). Fazer essas multiplicações de cabeça e também fazer a redução desses dois termos semelhantes (após o que obtemos o termo -19x²) não é difícil. Então percebemos que o próximo termo, contendo a letra x à potência 1 a menos, ou seja, x à 1ª potência, só será obtido multiplicando o segundo termo pelo segundo, e não haverá semelhantes.
Outro exemplo: (x² + 3x)(2x - 7) = 2x³ - x² - 21x.
Também é fácil executar mentalmente exemplos como os seguintes:
O termo sênior é obtido multiplicando o termo sênior pelo sênior, não haverá termos semelhantes para ele, e it = 2a³. Em seguida, procuramos de quais multiplicações os termos com a² serão obtidos - da multiplicação do 1º termo (a²) pelo 2º (-5) e da multiplicação do segundo termo (-3a) pelo 1º (2a) - isso é indicado abaixo entre parênteses; depois de realizar essas multiplicações e combinar os termos resultantes em um, obtemos -11a². Em seguida, procuramos quais multiplicações resultarão em termos com a no primeiro grau - essas multiplicações são marcadas com colchetes acima. Depois de completá-los e combinar os membros resultantes em um, obtemos + 11a. Por fim, notamos que o termo inferior do produto (+10), que não contém a, é obtido multiplicando-se o termo inferior (–2) de um polinômio pelo termo inferior (–5) de outro.
Outro exemplo: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) \u003d 12a 5 - 11a 4 - 21a 3 + 10a 2.
De todos os exemplos anteriores, também obtemos resultado geral: o maior termo do produto é sempre obtido da multiplicação dos maiores termos dos fatores, não podendo haver membros semelhantes a ele; também, o termo mais baixo do produto é obtido multiplicando os termos mais baixos dos fatores, e também não pode haver termos semelhantes.
O restante dos termos obtidos pela multiplicação de um polinômio por um polinômio pode ser semelhante, e pode até acontecer que todos esses termos se anulem, restando apenas os mais velhos e os mais novos.
aqui estão alguns exemplos:
(a² + ab + b²) (a - b) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(a² - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (somente escrevemos o resultado)
(x 4 - x³ + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, etc.
Esses resultados são notáveis e úteis para serem lembrados.
O seguinte caso de multiplicação é especialmente importante:
(a + b) (a - b) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
ou (x + y) (x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
ou (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 etc.
Em todos esses exemplos, aplicados à aritmética, temos o produto da soma de dois números e sua diferença, e o resultado é a diferença dos quadrados desses números.
Se virmos tal caso, não há necessidade de realizar a multiplicação em detalhes, como foi feito acima, mas podemos escrever imediatamente o resultado.
Por exemplo, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Aqui o primeiro fator, do ponto de vista da aritmética, é a soma de dois números: o primeiro número é 3a e o segundo 1, e o segundo fator é a diferença dos mesmos números; portanto, o resultado deve ser: o quadrado do primeiro número (ou seja, 3a ∙ 3a = 9a²) menos o quadrado do segundo número (1 ∙ 1 = 1), ou seja,
(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1.
Também 
(ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25, etc.
Então vamos lembrar
(a + b) (a - b) = a² - b²
ou seja, o produto da soma de dois números e sua diferença é igual à diferença dos quadrados desses números.
Um caso especial de multiplicação de um polinômio por um polinômio é a multiplicação de um polinômio por um monômio. Neste artigo, formulamos a regra para realizar esta ação e analisamos a teoria com exemplos práticos.
Vamos descobrir qual é a base da multiplicação de um polinômio por um monômio. Esta ação é baseada na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Literalmente, esta propriedade é escrita da seguinte forma: (a + b) c \u003d a c + b c (a, b e c são alguns números). Nesta entrada, a expressão (a + b) cé apenas o produto do polinômio (a + b) e o monômio c. O lado direito da igualdade a c + b cé a soma dos produtos dos monômios uma e b em um monômio c.
O raciocínio acima nos permite formular a regra para multiplicar um polinômio por um monômio:
Definição 1
Para realizar a ação de multiplicar um polinômio por um monômio, você deve:
Vamos explicar melhor o algoritmo acima.
Para compor o produto de um polinômio por um monômio, o polinômio original é colocado entre colchetes; além disso, um sinal de multiplicação é colocado entre ele e o monômio dado. No caso de a entrada de um monômio começar com um sinal de menos, ele também deve ser colocado entre colchetes. Por exemplo, o produto de um polinômio − 4 x 2 + x − 2 e monômio 7 anos escreva como (− 4 x 2 + x − 2) 7 anos, e o produto do polinômio a 5 b − 6 a b e monômio − 3 a 2 componha na forma: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).
O próximo passo do algoritmo é a multiplicação de cada termo do polinômio por um determinado monômio. Os componentes do polinômio são monômios, ou seja, na verdade, precisamos realizar a multiplicação de um monômio por um monômio. Suponhamos que após o primeiro passo do algoritmo tenhamos obtido a expressão (2 x 2 + x + 3) 5 x, então o segundo passo é multiplicar cada termo do polinômio 2 x 2 + x + 3 com um monômio 5 x, obtendo assim: 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 e 3 5 x = 15 x. O resultado serão os monômios 10 x 3, 5 x 2 e 15 x.
A última ação de acordo com a regra é a adição dos produtos resultantes. Do exemplo proposto, após completar esta etapa do algoritmo, obtemos: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Por padrão, todas as etapas são escritas como uma cadeia de igualdades. Por exemplo, encontrar o produto de um polinômio 2 x 2 + x + 3 e monômio 5 x vamos escrever assim: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x . Eliminando o cálculo intermediário da segunda etapa, uma solução curta pode ser formulada da seguinte forma: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Os exemplos considerados permitem perceber nuance importante: como resultado da multiplicação de um polinômio e um monômio, um polinômio é obtido. Esta afirmaçãoé verdadeiro para qualquer polinômio e monômio de multiplicação.
Por analogia, um monômio é multiplicado por um polinômio: um determinado monômio é multiplicado por cada membro do polinômio e os produtos resultantes são somados.
É necessário encontrar o produto: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .
Solução
A primeira etapa da regra já foi concluída - o trabalho foi registrado. Agora realizamos o próximo passo, multiplicando cada termo do polinômio pelo monômio dado. Nesse caso, é conveniente primeiro traduzir as frações decimais em frações comuns. Então obtemos:
1 , 4 x 2 - 3 , 5 anos - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 anos - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y
Responda: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y .
Esclareçamos que quando o polinômio e/ou monômio originais são dados de forma não padronizada, antes de encontrar seu produto, é desejável reduzi-los à forma padrão.
Exemplo 2
Dado um polinômio 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 e monômio − 0 , 5 a b (− 2) a. Você precisa encontrar o trabalho deles.
Solução
Vemos que os dados iniciais são apresentados de forma não padronizada, portanto, para comodidade de cálculos posteriores, os colocaremos em forma padronizada:
− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0 , 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 a) − 2 a 2 = 1 + 4 a − 2 a 2
Agora vamos fazer a multiplicação do monômio a 2 b para cada membro do polinômio 1 + 4 a − 2 a2
a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b
Não poderíamos trazer os dados iniciais para o formulário padrão: a solução se tornaria mais complicada. Nesse caso, o último passo seria a necessidade de reduzir termos semelhantes. Para compreensão, aqui está uma solução de acordo com este esquema:
− 0 .5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = = − 0 . 5 a b (− 2) a 3 − 0 . 5 a b (− 2) a a − 0 . 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 a b (− 2) a 3 a − 0 , 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 a 4 b + 3 a 3 b − 2 a 2 b = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b
Responda: − 0 , 5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b.
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