O leitor já percebeu em nossa apresentação o uso frequente do conceito de "probabilidade".
isto característica lógica moderna em oposição à lógica antiga e medieval. O lógico moderno entende que todo o nosso conhecimento é apenas mais ou menos probabilístico, e não certo, como filósofos e teólogos estão acostumados a pensar. Ele não está muito preocupado com o fato de a inferência indutiva apenas emprestar probabilidade à sua conclusão, já que ele não espera mais nada. No entanto, ele hesitará se encontrar motivos para duvidar até mesmo da probabilidade de sua conclusão.
Então, dois problemas entraram lógica moderna muito mais importante do que no passado. Primeiro, é a natureza da probabilidade e, segundo, o significado da indução. Vamos discutir esses problemas brevemente.
Existem, respectivamente, dois tipos de probabilidade - definida e indefinida.
Probabilidade de um certo tipo ocorre na teoria matemática da probabilidade, onde são discutidos problemas como jogar dados ou moedas. Ocorre onde há várias possibilidades, e nenhuma delas pode ser preferida a outra. Se você jogar uma moeda, ela deve dar cara ou coroa, mas ambas parecem igualmente prováveis. Portanto, as chances de cara e coroa são de 50%, uma é considerada como confiabilidade. Da mesma forma, se você rolar um dado, ele pode cair em qualquer uma das seis faces, e não há razão para preferir uma delas, então a chance de cada uma é 1/6. As campanhas de seguros usam esse tipo de probabilidade em seu trabalho. Eles não sabem qual prédio vai pegar fogo, mas sabem qual é a porcentagem de prédios que pega fogo a cada ano. Eles não sabem quanto tempo uma determinada pessoa viverá, mas eles sabem duração média vida a qualquer momento. Em todos esses casos, a estimativa de probabilidade não é em si simplesmente provável, exceto no sentido de que todo conhecimento é apenas provável. A própria estimativa de probabilidade pode ter um alto grau probabilidades. Caso contrário, as seguradoras teriam falido.
Grandes esforços foram feitos para aumentar a probabilidade de indução, mas há razões para acreditar que todas essas tentativas foram em vão. A probabilidade característica das inferências indutivas é quase sempre, como disse acima, indeterminada.
Agora vou explicar o que é.
Tornou-se trivial afirmar que todo conhecimento humano está errado. É óbvio que os erros são diferentes. Se eu disser isso Buda viveu no século VI antes do nascimento de Cristo, a probabilidade de erro será muito alta. Se eu disser isso César foi morto, a probabilidade de erro será pequena.
Se eu disser o que está acontecendo agora Grande Guerra, então a probabilidade de erro é tão pequena que apenas um filósofo ou lógico pode admitir sua existência. Esses exemplos dizem respeito eventos históricos, mas existe uma gradação semelhante para as leis científicas. Algumas delas têm o caráter explícito de hipóteses, às quais ninguém dará um status mais sério diante da falta de dados empíricos a seu favor, enquanto outras parecem tão certas que praticamente não há dúvida por parte dos cientistas sobre sua verdade. (Quando digo "verdadeiro" quero dizer "verdade aproximada" porque cada lei científica sujeito a algumas modificações.)
Probabilidade é algo entre o que temos certeza e o que estamos mais ou menos inclinados a admitir, se esta palavra for entendida no sentido da teoria matemática da probabilidade.
Seria mais correto falar de graus de certeza ou graus de confiabilidade . É um conceito mais amplo do que chamei de "certa probabilidade" que também é mais importante."
Bertrand Russell, A Arte de Tirar Conclusões / A Arte de Pensar, M., House of Intellectual Books, 1999, p. 50-51.
Para comparar quantitativamente os eventos entre si de acordo com seu grau de possibilidade, obviamente é necessário associar um certo número a cada evento, que é quanto maior, mais possível o evento. Chamamos esse número de probabilidade do evento. Nesse caminho, probabilidade do eventoé uma medida numérica do grau de possibilidade objetiva deste evento.
A definição clássica de probabilidade, que surgiu da análise do jogo e inicialmente aplicada de forma intuitiva, deve ser considerada a primeira definição de probabilidade.
A forma clássica de determinar a probabilidade baseia-se no conceito de eventos igualmente prováveis e incompatíveis, que são os resultados de uma determinada experiência e formam um conjunto completo de eventos incompatíveis.
O exemplo mais simples de eventos igualmente possíveis e incompatíveis que formam um grupo completo é o aparecimento de uma ou outra bola de uma urna contendo várias bolas do mesmo tamanho, peso e outras características tangíveis, diferindo apenas na cor, completamente misturadas antes de serem retiradas .
Portanto, um teste, cujos resultados formam um grupo completo de eventos incompatíveis e igualmente prováveis, é dito reduzido a um esquema de urnas, ou a um esquema de casos, ou enquadrado no esquema clássico.
Eventos igualmente possíveis e incompatíveis que compõem um grupo completo serão chamados simplesmente de casos ou chances. Além disso, em cada experimento, juntamente com os casos, eventos mais complexos podem ocorrer.
Exemplo: Ao lançar um dado, juntamente com os casos A i - i-pontos caindo na face superior, eventos como B - um número par de pontos caindo, C - um múltiplo de três pontos caindo ...
Em relação a cada evento que pode ocorrer durante a execução do experimento, os casos são divididos em favorável, em que esse evento ocorre, e desfavorável, em que o evento não ocorre. No exemplo anterior, o evento B é favorecido pelos casos A 2 , A 4 , A 6 ; evento C - casos A 3 , A 6 .
probabilidade clássica a ocorrência de algum evento é a razão entre o número de casos que favorecem o aparecimento desse evento e o total de casos igualmente possíveis, incompatíveis, constituindo um grupo completo em uma dada experiência:
Onde P(A)- probabilidade de ocorrência do evento A; m- número de casos favoráveis ao evento A; né o número total de casos.
Exemplos:
1) (veja o exemplo acima) P(B)= , P(C) =.
2) Uma urna contém 9 bolas vermelhas e 6 azuis. Encontre a probabilidade de que uma ou duas bolas retiradas ao acaso sejam vermelhas.
MAS- uma bola vermelha retirada ao acaso:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- duas bolas vermelhas retiradas ao acaso:
As seguintes propriedades seguem da definição clássica de probabilidade (mostre-se):
1) A probabilidade de um evento impossível é 0;
2) A probabilidade de um determinado evento é 1;
3) A probabilidade de qualquer evento situa-se entre 0 e 1;
4) A probabilidade de um evento oposto ao evento A,
A definição clássica de probabilidade assume que o número de resultados de uma tentativa é finito. Na prática, os testes são muitas vezes encontrados, o número casos possíveis que são infinitos. Além do mais, lado fraco A definição clássica é que muitas vezes é impossível representar o resultado de um teste como um conjunto de eventos elementares. É ainda mais difícil indicar os motivos para considerar os resultados elementares do teste como igualmente prováveis. Normalmente, a igualdade dos resultados elementares do teste é concluída a partir de considerações de simetria. No entanto, tais tarefas são muito raras na prática. Por essas razões, juntamente com a definição clássica de probabilidade, outras definições de probabilidade também são usadas.
Probabilidade Estatística evento A é a frequência relativa de ocorrência deste evento nos testes realizados:
onde é a probabilidade de ocorrência do evento A;
Frequência relativa de ocorrência do evento A;
O número de tentativas em que o evento A apareceu;
O número total de tentativas.
Diferente probabilidade clássica probabilidade estatística é uma característica do experimental, experimental.
Exemplo: Para controlar a qualidade dos produtos de um lote, foram selecionados aleatoriamente 100 produtos, dentre os quais 3 produtos apresentaram defeito. Determine a probabilidade de casamento.
.
O método estatístico para determinar a probabilidade é aplicável apenas aos eventos que possuem as seguintes propriedades:
Os eventos em consideração devem ser os resultados apenas daqueles ensaios que podem ser reproduzidos um número ilimitado de vezes sob o mesmo conjunto de condições.
Os eventos devem ter estabilidade estatística (ou estabilidade de frequências relativas). Isso significa que em diferentes séries de testes, a frequência relativa do evento não muda significativamente.
O número de tentativas que resultam no evento A deve ser grande o suficiente.
É fácil verificar que as propriedades de probabilidade, que decorrem da definição clássica, também são preservadas na definição estatística de probabilidade.
Para a atividade prática, é necessário poder comparar os eventos de acordo com o grau de possibilidade de sua ocorrência. Vamos considerar o caso clássico. Uma urna contém 10 bolas, 8 delas cor branca, 2 pretos. Obviamente, o evento “uma bola branca será retirada da urna” e o evento “uma bola preta será retirada da urna” possuem diferentes graus de possibilidade de sua ocorrência. Portanto, para comparar eventos, é necessária uma certa medida quantitativa.
Uma medida quantitativa da possibilidade de um evento ocorrer é probabilidade . As mais utilizadas são duas definições de probabilidade de um evento: clássica e estatística.
Definição clássica probabilidade está relacionada com a noção de um resultado favorável. Vamos nos debruçar sobre isso com mais detalhes.
Deixe que os resultados de algum teste formem um grupo completo de eventos e sejam igualmente prováveis, ou seja, são unicamente possíveis, inconsistentes e igualmente possíveis. Tais resultados são chamados resultados elementares, ou casos. Diz-se que o teste é reduzido a quadro de casos ou " esquema de urna", Porque qualquer problema probabilístico para tal teste pode ser substituído por um problema equivalente com urnas e bolas de cores diferentes.
Êxodo é chamado favorável evento MAS se a ocorrência deste caso implicar a ocorrência do evento MAS.
De acordo com a definição clássica probabilidade do evento A é igual à razão entre o número de resultados que favorecem esse evento e o número total de resultados, ou seja
| , | (1.1) |
Onde P(A)- a probabilidade de um evento MAS; m- o número de casos favoráveis ao evento MAS; né o número total de casos.
Exemplo 1.1. Ao lançar um dado, seis resultados são possíveis - uma perda de 1, 2, 3, 4, 5, 6 pontos. Qual é a probabilidade de obter um número par de pontos?
Solução. Tudo n= 6 resultados formam um grupo completo de eventos e são igualmente prováveis, ou seja, são unicamente possíveis, inconsistentes e igualmente possíveis. O evento A - "o aparecimento de um número par de pontos" - é favorecido por 3 resultados (casos) - perda de 2, 4 ou 6 pontos. De acordo com a fórmula clássica para a probabilidade de um evento, obtemos
P(A) = = . ◄
Com base na definição clássica da probabilidade de um evento, observamos suas propriedades:
1. A probabilidade de qualquer evento situa-se entre zero e um, ou seja,
0 ≤ R(MAS) ≤ 1.
2. A probabilidade de um determinado evento é igual a um.
3. A probabilidade de um evento impossível é zero.
Como mencionado anteriormente, a definição clássica de probabilidade é aplicável apenas para aqueles eventos que podem aparecer como resultado de tentativas que possuem simetria de resultados possíveis, ou seja, redutíveis ao esquema dos casos. No entanto, existe uma grande classe de eventos cujas probabilidades não podem ser calculadas usando a definição clássica.
Por exemplo, se assumirmos que a moeda é achatada, então é óbvio que os eventos “aparecimento de um brasão” e “aparecimento de caudas” não podem ser considerados igualmente possíveis. Portanto, a fórmula para determinar a probabilidade de acordo com o esquema clássico em este caso não aplicável.
No entanto, existe outra abordagem para avaliar a probabilidade de eventos, com base na frequência com que um determinado evento ocorrerá nos testes realizados. Neste caso, a definição estatística de probabilidade é usada.
Probabilidade Estatísticaevento A é a frequência relativa (frequência) da ocorrência deste evento em n testes realizados, ou seja,
 ,
| (1.2) |
Onde R * (A)é a probabilidade estatística de um evento MAS; w(A)é a frequência relativa do evento MAS; mé o número de tentativas em que o evento ocorreu MAS; né o número total de tentativas.
Ao contrário da probabilidade matemática P(A) considerada na definição clássica, a probabilidade estatística R * (A)é uma característica com experiência, experimental. Em outras palavras, a probabilidade estatística de um evento MAS o número é chamado, em relação ao qual a frequência relativa é estabilizada (estabelecida) w(A) com um aumento ilimitado do número de testes realizados sob o mesmo conjunto de condições.
Por exemplo, quando dizem sobre um atirador que ele acerta um alvo com probabilidade de 0,95, isso significa que em cem tiros disparados por ele sob certas condições (o mesmo alvo à mesma distância, o mesmo rifle, etc. . ), em média existem cerca de 95 bem-sucedidos. Naturalmente, nem todas as cem terão 95 tiros bem sucedidos, às vezes haverá menos, às vezes mais, mas em média, com repetição repetida de tiros nas mesmas condições, essa porcentagem de acertos permanecerá inalterada. O número 0,95, que serve como indicador da habilidade do atirador, costuma ser muito estábulo, ou seja a porcentagem de acertos na maioria dos arremessos será quase a mesma para um determinado arremessador, apenas em casos raros desviando-se significativamente de seu valor médio.
Outra desvantagem da definição clássica de probabilidade ( 1.1 ), o que limita sua aplicação é que assume um número finito de resultados de teste possíveis. Em alguns casos, essa deficiência pode ser superada usando a definição geométrica de probabilidade, ou seja, encontrar a probabilidade de atingir um ponto em uma determinada área (segmento, parte de um plano, etc.).
Deixe uma figura plana g faz parte de uma figura plana G(Fig. 1.1). Na figura G um ponto é lançado ao acaso. Isso significa que todos os pontos da área G"igual" em relação a atingi-lo com um ponto aleatório lançado. Supondo que a probabilidade de um evento MAS- acertar um ponto arremessado em uma figura g- proporcional à área desta figura e não depende de sua localização em relação a G, nem da forma g, achar
No Para estimar a probabilidade de ocorrência de qualquer evento aleatório, é muito importante ter uma boa ideia de antemão se a probabilidade () da ocorrência do evento de interesse para nós depende de como outros eventos se desenvolvem.
No caso do esquema clássico, quando todos os resultados são igualmente prováveis, já podemos estimar os valores de probabilidade do evento individual de nosso interesse por conta própria. Podemos fazer isso mesmo que o evento seja uma coleção complexa de vários resultados elementares. E se vários eventos aleatórios ocorrerem simultaneamente ou sequencialmente? Como isso afeta a probabilidade do evento de interesse para nós?
Se eu jogar um dado algumas vezes e quiser tirar um seis e sempre tiver azar, isso significa que devo aumentar minha aposta porque, de acordo com a teoria da probabilidade, estou prestes a ter sorte? Infelizmente, a teoria da probabilidade não diz nada disso. Sem dados, sem cartas, sem moedas não consigo lembrar o que eles nos mostraram da última vez. Não importa para eles se pela primeira vez ou pela décima vez hoje eu testo meu destino. Toda vez que eu rolo de novo, só sei de uma coisa: e desta vez a probabilidade de rolar um "seis" novamente é de um sexto. Claro, isso não significa que o número que eu preciso nunca cairá. Significa apenas que minha perda após o primeiro lance e depois de qualquer outro lance são eventos independentes.
Os eventos A e B são chamados independente, se a implementação de um deles não afetar de forma alguma a probabilidade do outro evento. Por exemplo, as probabilidades de acertar um alvo com a primeira de duas armas não dependem se a outra arma atingiu o alvo, então os eventos "a primeira arma atingiu o alvo" e "a segunda arma atingiu o alvo" são independentes.
Se dois eventos A e B são independentes, e a probabilidade de cada um deles é conhecida, então a probabilidade de ocorrência simultânea do evento A e do evento B (indicado por AB) pode ser calculada usando o seguinte teorema.
Exemplo.As probabilidades de acertar o alvo ao disparar o primeiro e o segundo canhões são respectivamente iguais: p 1 =0,7; p2 =0,8. Encontre a probabilidade de acertar com uma rajada de ambas as armas simultaneamente.
Solução: Como já vimos, os eventos A (atingido pela primeira arma) e B (atingido pela segunda arma) são independentes, ou seja, P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.
O que acontece com nossas estimativas se os eventos geradores não forem independentes? Vamos mudar um pouco o exemplo anterior.
Exemplo.Dois atiradores em uma competição atiram em alvos, e se um deles atirar com precisão, o oponente começa a ficar nervoso e seus resultados pioram. Como transformar essa situação cotidiana em um problema matemático e traçar formas de resolvê-lo? É intuitivamente claro que é preciso de alguma forma separar os dois cenários, para compor, de fato, dois cenários, duas tarefas diferentes. No primeiro caso, se o adversário errar, o cenário será favorável ao atleta nervoso e sua precisão será maior. No segundo caso, se o adversário percebeu decentemente sua chance, a probabilidade de acertar o alvo para o segundo atleta é reduzida.
Para separar os cenários possíveis (geralmente chamados de hipóteses) do desenvolvimento dos eventos, muitas vezes usaremos o esquema de "árvore de probabilidade". Este diagrama é semelhante em significado à árvore de decisão, com a qual você provavelmente já teve que lidar. Cada filial é um cenário separado para o desenvolvimento de eventos, só que agora tem autovalor assim chamado condicional probabilidades (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).
Este esquema é muito conveniente para a análise de eventos aleatórios sucessivos.
Resta esclarecer mais uma questão importante: onde estão os valores iniciais das probabilidades em situações reais ? Afinal, a teoria da probabilidade não funciona com as mesmas moedas e dados, não é? Normalmente, essas estimativas são obtidas de estatísticas e, quando as estatísticas não estão disponíveis, realizamos nossa própria pesquisa. E muitas vezes temos que começar não com a coleta de dados, mas com a questão de quais informações geralmente precisamos.
Exemplo.Suponha que precisamos estimar em uma cidade com uma população de cem mil habitantes o tamanho do mercado de novo produto, que não é um item essencial, por exemplo, para um bálsamo para o cuidado dos cabelos tingidos. Vamos considerar o esquema da "árvore das probabilidades". Nesse caso, precisamos estimar aproximadamente o valor da probabilidade em cada "ramo". Assim, nossas estimativas de capacidade de mercado:
1) 50% de todos os moradores da cidade são mulheres,
2) de todas as mulheres, apenas 30% tingem o cabelo com frequência,
3) destes, apenas 10% usam bálsamos para cabelos coloridos,
4) destes, apenas 10% conseguem criar coragem para experimentar um novo produto,
5) 70% deles costumam comprar tudo não de nós, mas de nossos concorrentes.
Solução: De acordo com a lei da multiplicação de probabilidades, determinamos a probabilidade do evento de interesse para nós A = (um morador da cidade compra este novo bálsamo de nós) = 0,00045.
Multiplique esse valor de probabilidade pelo número de habitantes da cidade. Como resultado, temos apenas 45 potenciais compradores e, como um frasco deste produto dura vários meses, o comércio não é muito animado.
Ainda assim, há benefícios de nossas avaliações.
Em primeiro lugar, podemos comparar as previsões de diferentes ideias de negócios, elas terão diferentes “bifurcações” nos diagramas e, claro, os valores de probabilidade também serão diferentes.
Em segundo lugar, como já dissemos, valor aleatório Não é chamado de aleatório porque não depende de nada. Somente ela exato valor não é conhecido antecipadamente. Sabemos que o número médio de compradores pode ser aumentado (por exemplo, anunciando um novo produto). Portanto, faz sentido focar naqueles "bifurcações" onde a distribuição de probabilidades não nos convém particularmente, naqueles fatores que somos capazes de influenciar.
Considere outro exemplo quantitativo de pesquisa de comportamento do consumidor.
Exemplo. Uma média de 10.000 pessoas visitam o mercado de alimentos por dia. A probabilidade de um visitante do mercado entrar no pavilhão lacticínios, é igual a 1/2. Sabe-se que neste pavilhão, em média, são vendidos 500 kg de produtos diversos por dia.
Pode-se argumentar que compra média no pavilhão pesa apenas 100 g?
Discussão. Claro que não. É claro que nem todos que entraram no pavilhão acabaram comprando algo ali.
Conforme mostrado no diagrama, para responder à pergunta sobre o peso médio de compra, devemos encontrar a resposta para a pergunta, qual é a probabilidade de uma pessoa que entra no pavilhão comprar algo lá. Se não dispomos desses dados, mas precisamos deles, teremos que obtê-los nós mesmos, depois de observar os visitantes do pavilhão por algum tempo. Suponha que nossas observações mostrem que apenas um quinto dos visitantes do pavilhão compra alguma coisa.
Assim que essas estimativas são obtidas por nós, a tarefa já se torna simples. Das 10.000 pessoas que vieram ao mercado, 5.000 irão para o pavilhão de laticínios, e serão apenas 1.000 compras. Peso médio compra é igual a 500 gramas. É interessante notar que para construir um quadro completo do que está acontecendo, a lógica da "ramificação" condicional deve ser definida em cada etapa do nosso raciocínio tão claramente como se estivéssemos trabalhando com uma situação "concreta", e não com probabilidades.
Tarefas para autoteste
1. Seja um circuito elétrico composto por n elementos conectados em série, cada um dos quais opera independentemente dos outros.
A probabilidade p de não falha de cada elemento é conhecida. Determine a probabilidade de operação adequada de toda a seção do circuito (evento A).
2. O aluno sabe 20 das 25 questões do exame. Encontre a probabilidade de que o aluno saiba as três perguntas que lhe foram dadas pelo examinador.
3. A produção consiste em quatro etapas sucessivas, cada uma das quais opera equipamentos cujas probabilidades de falha no próximo mês são, respectivamente, p 1 , p 2 , p 3 e p 4 . Encontre a probabilidade de que em um mês não haja paralisação da produção por falha de equipamento.
Tudo no mundo acontece de forma determinística ou aleatória...
Aristóteles
A teoria da probabilidade calcula as probabilidades de vários eventos. Básico na teoria da probabilidade é o conceito de um evento aleatório.
Por exemplo, você joga uma moeda, ela cai aleatoriamente em um brasão ou cauda. Você não sabe de antemão em que lado a moeda cairá. Você celebra um contrato de seguro, não sabe de antemão se os pagamentos serão feitos ou não.
Nos cálculos atuariais, deve-se ser capaz de estimar a probabilidade de vários eventos, por isso a teoria da probabilidade desempenha um papel fundamental. Nenhum outro ramo da matemática pode lidar com as probabilidades de eventos.
Vamos dar uma olhada mais de perto no lançamento da moeda. Existem 2 resultados mutuamente exclusivos: brasão ou cauda. O resultado do arremesso é aleatório, pois o observador não pode analisar e levar em conta todos os fatores que afetam o resultado. Qual é a probabilidade de um brasão? A maioria vai responder ½, mas por quê?
Deixe formalmente MAS denota a perda do brasão. Deixe a moeda jogar n uma vez. Então a probabilidade do evento MAS pode ser definida como a proporção daqueles rolos que resultam em um brasão:
Onde n número total de arremessos n / D) o número de brasões.
A relação (1) é chamada frequência desenvolvimentos MAS em uma longa série de testes.
Acontece que em diferentes séries de testes a frequência correspondente em geral n agrupa em torno de algum valor constante P(A). Esse valor é chamado probabilidade do evento MAS e está marcado com a letra R- abreviatura de palavra em inglês probabilidade - probabilidade.
Formalmente temos:
(2)
Essa lei é chamada a lei dos grandes números.
Se a moeda estiver correta (simétrica), a probabilidade de obter o brasão é igual à probabilidade de obter coroa e é igual a ½.
Deixar MAS e NO certos eventos, por exemplo, se ocorreu ou não um evento segurado. A união de dois eventos é um evento que consiste na execução de um evento MAS, desenvolvimentos NO, ou ambos os eventos juntos. A interseção de dois eventos MAS e NO chamado um evento que consiste na implementação como um evento MAS, e eventos NO.
Regras básicas probabilidades de eventos são as seguintes:
1. A probabilidade de qualquer evento está entre zero e um:
2. Sejam A e B dois eventos, então:
Lê-se assim: a probabilidade de combinar dois eventos é igual à soma das probabilidades desses eventos menos a probabilidade da interseção dos eventos. Se os eventos são incompatíveis ou não sobrepostos, então a probabilidade de combinar (a soma de) dois eventos é igual à soma das probabilidades. Essa lei é chamada de lei aditivos probabilidades.
Dizemos que um evento é certo se sua probabilidade for igual a 1. Ao analisar certos fenômenos, surge a questão de como a ocorrência de um evento afeta NO para o evento MAS. Para isso, entre Probabilidade Condicional :
(4)
Lê-se assim: probabilidade de ocorrência MAS em condição NOé igual a probabilidade de cruzar MAS e NO dividido pela probabilidade do evento NO.
A fórmula (4) assume que a probabilidade de um evento NO Acima de zero.
A fórmula (4) também pode ser escrita como:
(5)
Esta é a fórmula multiplicação de probabilidades.
Também conhecido como probabilidade condicional. a posteriori probabilidade do evento MAS- probabilidade de ocorrência MAS após o início NO.
Neste caso, a própria probabilidade é chamada de a priori probabilidade. Existem várias outras fórmulas importantes que são muito usadas em cálculos atuariais.
Suponhamos que está sendo realizado um experimento, cujas condições podem ser feitas com antecedência. mutuamente suposições mutuamente exclusivas (hipóteses):
Assumimos que ou a hipótese ocorre, ou... ou. As probabilidades dessas hipóteses são conhecidas e iguais:
Então a fórmula vale completo probabilidades :
(6)
Probabilidade de um evento MASé igual à soma dos produtos da probabilidade de ocorrência MAS para cada hipótese sobre a probabilidade desta hipótese.
Fórmula de Bayes
permite recalcular a probabilidade de hipóteses à luz de nova informação, que deu o resultado MAS.
Fórmula de Bayes em em certo sentidoé o inverso da fórmula de probabilidade total.
Considere o seguinte problema prático.
Suponha que um acidente de avião tenha ocorrido e os especialistas estejam ocupados investigando suas causas. Quatro razões são conhecidas de antemão pelas quais a catástrofe ocorreu: ou a razão, ou, ou, ou. De acordo com as estatísticas disponíveis, esses motivos têm as seguintes probabilidades:
Ao examinar o local do acidente, foram encontrados vestígios de ignição do combustível, segundo as estatísticas, a probabilidade desse evento por um motivo ou outro é a seguinte:
Pergunta: qual é a causa mais provável do desastre?
Calcular as probabilidades das causas sob a condição de ocorrência do evento MAS.
Isso mostra que a primeira razão é a mais provável, pois sua probabilidade é máxima.
Considere o pouso de uma aeronave em um aeroporto.
Pousar tempo pode ser o seguinte: não há baixa nebulosidade (), há baixa nebulosidade (). No primeiro caso, a probabilidade de um pouso bem sucedido é P1. No segundo caso - R2. Está claro que P1>P2.
Dispositivos que fornecem pouso cego têm probabilidade de operação sem problemas R. Se houver pouca cobertura de nuvens e os instrumentos de pouso cego falharem, a probabilidade de um pouso bem-sucedido é P3, e P3<Р2 . Sabe-se que para um determinado aeródromo a fração de dias em um ano com baixa cobertura de nuvens é igual a .
Encontre a probabilidade de um pouso seguro da aeronave.
Precisamos encontrar a probabilidade.
Existem duas opções mutuamente exclusivas: os dispositivos de pouso cego estão funcionando, os dispositivos de pouso cego falharam, então temos:
A partir daqui, de acordo com a fórmula de probabilidade total:
Uma seguradora lida com seguro de vida. 10% dos segurados desta empresa são fumantes. Se o segurado não fuma, a probabilidade de sua morte durante o ano é de 0,01. Se ele é fumante, essa probabilidade é de 0,05.
Qual é a proporção de fumantes entre os segurados que morreram durante o ano?
Opções de resposta: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Solução
Vamos inserir os eventos:
A condição do problema significa que
Além disso, como os eventos e formam um grupo completo de eventos incompatíveis aos pares, então .
A probabilidade que nos interessa é .
Usando a fórmula de Bayes, temos:
então a opção correta é ( NO).
A seguradora comercializa contratos de seguro de vida em três categorias: padrão, privilegiado e ultra-privilegiado.
50% de todos os segurados são padrão, 40% são preferenciais e 10% são ultrapreferidos.
A probabilidade de morte em um ano para um segurado padrão é de 0,010, para um privilegiado é de 0,005 e para um ultraprivilegiado é de 0,001.
Qual a probabilidade de o segurado falecido ser ultraprivilegiado?
Solução
Consideremos os seguintes eventos:
Em termos desses eventos, a probabilidade em que estamos interessados é . Por condição:
Como os eventos , , formam um grupo completo de eventos incompatíveis aos pares, usando a fórmula de Bayes temos:
Deixe alguma variável aleatória, por exemplo, danos de um incêndio ou o valor dos pagamentos do seguro.
Uma variável aleatória é totalmente caracterizada por sua função de distribuição.
Definição. Função 
chamado função de distribuição
variável aleatória ξ
.
Definição. Se existe uma função tal que para uma realizado
então dizemos que a variável aleatória ξ Tem densidade de distribuição de probabilidade f(x).
Definição. Deixar . Para uma função de distribuição contínua F α-quantil teóricoé chamada de solução da equação.
Esta solução pode não ser a única.
Quantil de nível ½ chamado teórico mediana , quantis de nível ¼ e ¾ -quartis inferior e superior respectivamente.
Em aplicações atuariais, um papel importante é desempenhado por Desigualdade de Chebyshev:
para qualquer
Símbolo de expectativa matemática.
Lê-se assim: a probabilidade de que o módulo seja maior que menor ou igual à expectativa do módulo dividido por .
A incerteza do momento da morte é um importante fator de risco no seguro de vida.
Nada definitivo pode ser dito sobre o momento da morte de um indivíduo. No entanto, se estamos lidando com um grande grupo homogêneo de pessoas e não estamos interessados no destino de pessoas individuais desse grupo, estamos dentro da estrutura da teoria da probabilidade como uma ciência de fenômenos aleatórios de massa com a propriedade de estabilidade de frequência.
Respectivamente, podemos falar sobre a expectativa de vida como uma variável aleatória T.
Na teoria da probabilidade, eles descrevem a natureza estocástica de qualquer variável aleatória T função de distribuição F(x), que é definida como a probabilidade de que a variável aleatória T menos do que o número x:
.
Em matemática atuarial, é agradável trabalhar não com uma função de distribuição, mas com uma função de distribuição adicional 
.
Em termos de longevidade, é a probabilidade de uma pessoa viver até a idade x anos.
chamado função de sobrevivência(função de sobrevivência):
A função de sobrevivência tem as seguintes propriedades:
Em tabelas de vida, geralmente é assumido que há algum limite de idade (limitando a idade) (em regra, anos) e, consequentemente, em x>.
Ao descrever a mortalidade por leis analíticas, geralmente assume-se que o tempo de vida é ilimitado, no entanto, o tipo e os parâmetros das leis são selecionados para que a probabilidade de vida acima de uma certa idade seja insignificante.
A função de sobrevivência tem um significado estatístico simples.
Digamos que estamos observando um grupo de recém-nascidos (geralmente ) que observamos e podemos registrar os momentos de sua morte.
Vamos denotar o número de representantes vivos deste grupo em idade através de . Então:
.
Símbolo E aqui e abaixo é usado para denotar a expectativa matemática.
Assim, a função de sobrevivência é igual à proporção média dos que sobreviveram até a idade de um determinado grupo fixo de recém-nascidos.
Na matemática atuarial, muitas vezes não se trabalha com uma função de sobrevivência, mas com um valor recém-introduzido (tendo fixado o tamanho inicial do grupo).
A função de sobrevivência pode ser reconstruída a partir da densidade:
Do ponto de vista prático, as seguintes características são importantes:
1 . Média vida
,
2
. Dispersão vida
,
Onde 
,
