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As operações matemáticas sobre valores aproximados de quantidades são chamadas de cálculos aproximados. Até o momento, toda uma ciência de cálculos aproximados foi criada, com várias disposições das quais conheceremos no futuro.
O resultado da medição sempre fornece um valor aproximado da quantidade. Isso se deve à imprecisão das próprias medições, à precisão não ideal dos instrumentos de medição.
O que é chamado de erro relativo do valor aproximado da quantidade.
Na tabela. 25 mostra os valores aproximados de / Cu / - q em várias amplitudes Um0 para [ diodo 6X6, carregado com uma resistência R 0 5 mg. Esta tabela foi compilada pelo Prof.
Em tabelas matemáticas, geralmente são fornecidos valores aproximados de quantidades. Ao mesmo tempo, considera-se que o erro absoluto não excede a metade da unidade do último dígito.
Nesse caso, torna-se necessário encontrar valores aproximados das quantidades, desde que o limite do erro relativo não ultrapasse um valor predeterminado. Nesta lição, esses tipos de problemas serão considerados.
Se em um dado valor exato ou aproximado de uma quantidade o número de dígitos for maior do que o necessário por razões práticas, então esse número é arredondado. A operação de arredondamento de números consiste em descartar vários algarismos dos algarismos menos significativos e substituí-los por zeros; enquanto o último dígito retido permanece inalterado se o primeiro dígito descartado for menor que 5; se for igual ou maior que 5, então o dígito do último dígito retido é aumentado em um.
Concordamos em assumir que no valor aproximado do valor todos os números estão corretos se seu erro absoluto não exceder a metade da unidade do último dígito.
Com esse arredondamento, o número que caracteriza o valor aproximado da quantidade consiste em dígitos corretos, e o dígito do dígito mais baixo desse número (o último do registro) tem uma precisão de 1 do mesmo dígito. Por exemplo, a entrada t 3 68 kg significa t 3 68 0 01 kg e a entrada t3 680 kg significa t3 680 0 001 kg.
Pode-se ver pela equação que a soma dos valores aproximados das quantidades A e a soma de seus erros são o valor aproximado das somas das quantidades X e seu erro absoluto.
N) em (1) denota o valor aproximado do valor de y (xi, x0, r/o), obtido pelo método considerado.
Os cálculos, via de regra, são feitos com valores aproximadosde quantidades - números aproximados. Uma estimativa razoável do erro nos cálculos permite especificar o número ideal de caracteres que devem ser armazenados nos cálculos, bem como no resultado final.
Como resultado do cálculo, o valor exato ou aproximado da quantidade pode ser obtido. Ao mesmo tempo, a presença de respostas diferentes em cálculos repetidos é um sinal suficiente da aproximação do resultado do cálculo.
De fato, a média aritmética X lhe dará apenas um valor aproximado de axf, e se o próprio esquema de seu experimento foi insatisfatório ou os instrumentos foram mal verificados (por exemplo, uma régua de medição em vez de 1 m é 0,999 mm), então, por mais acuradamente que nosso observador encontre o valor a, ele não tem motivos para acreditar que X ou a correspondam ao verdadeiro valor da velocidade do som, que pode ser observado em outros experimentos muito diversos. A suposição básica que teria que justificar a aplicação do método da média aritmética para medidas físicas desse tipo, consiste em supor que a incógnita a xf ou, em outras palavras, que a medida (ou cálculo) é feita sem erro sistemático.
Na prática, ao medir áreas, geralmente usamos valores aproximados.
Agora, quando uma pessoa possui um poderoso arsenal de equipamentos de informática (várias calculadoras, computadores, etc.), o cumprimento das regras de cálculos aproximados é especialmente importante para não distorcer a confiabilidade do resultado.
Ao realizar quaisquer cálculos, você deve estar ciente da precisão do resultado, que pode ou deve (se instalado) ser obtido. Assim, é inaceitável realizar cálculos com uma precisão maior do que a fornecida pelos dados de um problema físico ou exigida pelas condições do experimento1. Por exemplo, realizar operações matemáticas com valores numéricos quantidades físicas, que possuem dois dígitos confiáveis (significativos), você não pode anotar o resultado dos cálculos com uma precisão que vá além de dois dígitos confiáveis, mesmo que no final tenhamos mais deles.
O valor das grandezas físicas deve ser registrado, observando apenas os sinais de um resultado confiável. Por exemplo, se o valor numérico de 39600 tiver três dígitos significativos (o erro absoluto do resultado é 100), o resultado deve ser escrito como 3,96104 ou 0,396105. Zeros à esquerda do número não são levados em consideração no cálculo de dígitos confiáveis.
Para que o resultado do cálculo esteja correto, ele deve ser arredondado, deixando apenas o valor verdadeiro do valor. Se o valor numérico de uma quantidade contiver dígitos extras (não confiáveis) que excedam a precisão fornecida, o último dígito armazenado será aumentado em 1, desde que o excesso (dígitos extras) seja igual ou maior que metade do valor do próximo dígito do número.
Em diferentes valores numéricos, zero pode ser um dígito válido ou inválido. Assim, no exemplo b) é um número não confiável, e em d) é confiável e significativo. Na física, se eles querem enfatizar a confiabilidade da descarga do valor numérico de uma quantidade física, “0” é indicado em sua expressão padrão. Por exemplo, escrever um valor de massa de 2,10 10-3 kg indica três dígitos válidos do resultado e a precisão da medição correspondente, e um valor de 2,1 10-3 kg apenas dois dígitos válidos.
Deve-se lembrar que o resultado de ações com valores numéricos de grandezas físicas é um resultado aproximado, que leva em consideração a precisão do cálculo ou erro de medição. Portanto, em cálculos aproximados, deve-se guiar as seguintes regras para calcular números confiáveis:
1. Ao realizar operações aritméticas com valores numéricos de quantidades físicas, como resultado, deve-se levar tantos caracteres confiáveis quanto valores numéricos com o menor número de caracteres confiáveis.
2. Em todos os cálculos intermediários, deve-se armazenar um dígito a mais que um valor numérico com o menor número de caracteres significativos. Em última análise, este valor "extra" é descartado por arredondamento.
3. Se alguns dados tiverem sinais mais confiáveis do que outros, seus valores devem primeiro ser arredondados (você pode salvar um valor "excessivo") e depois executar as ações.
Para problemas modernos, é necessário usar um aparato matemático complexo e métodos desenvolvidos para resolvê-los. Neste caso, muitas vezes encontramos problemas para os quais a solução analítica, ou seja, uma solução na forma de uma expressão analítica ligando os dados iniciais com os resultados requeridos é impossível ou é expressa em fórmulas tão complicadas que é impraticável usá-las para fins práticos.
Neste caso, são utilizados métodos de solução numérica, que permitem obter de forma bastante simples uma solução numérica para o problema. Métodos numéricos são implementados usando algoritmos computacionais.
Toda a variedade de métodos numéricos é dividida em dois grupos:
Exato - eles supõem que, se os cálculos forem realizados com precisão, com a ajuda de um número finito de operações aritméticas e lógicas, os valores exatos das quantidades desejadas podem ser obtidos.
Aproximado - que, mesmo supondo que os cálculos sejam realizados sem arredondamento, permitem obter uma solução para o problema apenas com uma determinada precisão.
1. valor e número. Uma quantidade é algo que pode ser expresso como um número em certas unidades.
Quando eles falam sobre o valor de uma quantidade, eles se referem a um determinado número, chamado valor numérico da quantidade, e sua unidade de medida.
Assim, uma quantidade é uma característica da propriedade de um objeto ou fenômeno, que é comum a muitos objetos, mas tem valores individuais para cada um deles.
Os valores podem ser constantes ou variáveis. Se, sob certas condições, o valor assume apenas um valor e não pode alterá-lo, então é chamado de constante, se pode assumir vários significados, então é uma variável. Então, a aceleração de queda livre de um corpo em um determinado lugar superfície da Terraé um valor constante que assume um único valor numérico g = 9,81 ... m/s2, enquanto o caminho s, percorrido por um ponto material durante seu movimento, é um valor variável.
2. valores aproximados de números. O valor da quantidade, cuja verdade não duvidamos, chama-se exato. Muitas vezes, porém, ao procurar o valor de uma quantidade, obtém-se apenas seu valor aproximado. Na prática de cálculos, muitas vezes é preciso lidar com valores aproximados de números. Portanto, p é um número exato, mas devido à sua irracionalidade, apenas seu valor aproximado pode ser usado.
Em muitos problemas, devido à complexidade, e muitas vezes a impossibilidade de obter soluções exatas, são utilizados métodos aproximados de solução, que incluem: solução aproximada de equações, interpolação de funções, cálculo aproximado de integrais, etc.
O principal requisito para cálculos aproximados é a conformidade com a precisão especificada dos cálculos intermediários e o resultado final. Ao mesmo tempo, tanto o aumento de erros (erros) por engrossamento injustificado de cálculos quanto a retenção de números redundantes que não correspondem à precisão real são igualmente inaceitáveis.
Existem duas classes de erros resultantes de cálculos e arredondamentos de números - absolutos e relativos.
1. Erro absoluto (erro).
Vamos introduzir a notação:
Deixe A- valor exato algum valor, escreva a » A Vamos ler "a é aproximadamente igual a A". Algumas vezes escreveremos A = a, tendo em mente que nós estamos falando sobre a igualdade aproximada.
Se for sabido que um< А, то а называют valor aproximado de A com uma desvantagem. Se a > A, então a é chamado valor aproximado de A em excesso.
A diferença entre os valores exatos e aproximados de uma quantidade é chamada erro de aproximação e é denotado por D, i.e.
D \u003d A - a (1)
O erro D da aproximação pode ser positivo e negativo.
Para caracterizar a diferença entre o valor aproximado de uma quantidade e o valor exato, muitas vezes é suficiente indicar o valor absoluto da diferença entre os valores exatos e aproximados.
O valor absoluto da diferença entre o valor aproximado uma e preciso MAS valores numéricos são chamados erro absoluto (erro) de aproximação e denotado por D uma:
D uma = ½ uma – MAS½ (2)
Exemplo 1 Ao medir uma linha eu usou uma régua, cujo valor de divisão de escala é de 0,5 cm. Obtivemos um valor aproximado para o comprimento do segmento uma= 204 centímetros.
É claro que durante a medição eles podem ser confundidos em não mais que 0,5 cm, ou seja, o erro de medição absoluto não excede 0,5 cm.
Normalmente, o erro absoluto é desconhecido, pois o valor exato do número A é desconhecido. avaliação erro absoluto:
D uma <= Duma antes da. (3)
onde d antes da. – erro marginal (número, mais zero), que é definido levando em consideração a certeza com que o número a é conhecido.
O erro absoluto limitante também é chamado margem de erro. Assim, no exemplo dado,
D antes da. = 0,5cm.
De (3) obtemos: D uma = ½ uma – MAS½<= Duma antes da. . e depois
uma- D uma antes da. ≤ MAS≤ uma+ D uma antes da. . (4)
Significa, de Anúncios uma antes da. será uma aproximação MAS com desvantagem e a + D uma antes da – valor aproximado MAS em excesso. Eles também usam abreviação: MAS= uma± D uma antes da (5)
Segue da definição do erro absoluto limitante que os números D uma antes da, satisfazendo a desigualdade (3), haverá um conjunto infinito. Na prática, tentamos escolher possivelmente menos dos números D antes da, satisfazendo a desigualdade D uma <= Duma antes da.
Exemplo 2 Vamos determinar o erro absoluto limitante do número a=3,14, tomado como um valor aproximado do número π.
Sabe-se que 3,14<π<3,15. Daí segue que
|uma – π |< 0,01.
O número D pode ser tomado como o erro absoluto limitante uma = 0,01.
No entanto, se levarmos em conta que 3,14<π<3,142 , então temos uma estimativa melhor :D uma= 0,002, então π ≈3,14 ±0,002.
Erro relativo (erro). Conhecer apenas o erro absoluto não é suficiente para caracterizar a qualidade da medição.
Vamos, por exemplo, ao pesar dois corpos, os seguintes resultados são obtidos:
P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.
P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.
Embora os erros absolutos de medição de ambos os resultados sejam os mesmos, a qualidade da medição no primeiro caso será melhor do que no segundo. Caracteriza-se por um erro relativo.
Erro relativo (erro) aproximação de número MASé chamado de razão de erro absoluta D a aproximação ao valor absoluto do número A:
Como o valor exato de uma quantidade geralmente é desconhecido, ele é substituído por um valor aproximado e, em seguida:
Limitando o erro relativo ou limite de erro de aproximação relativa, chamou o número d e antes.>0, tal que:
d uma<= d e antes.
Para o erro relativo limitante, pode-se obviamente tomar a razão entre o erro absoluto limitante e o valor absoluto do valor aproximado:
De (9) a seguinte relação importante é facilmente obtida:
∆e antes. = |uma| d e antes.
O erro relativo limitante geralmente é expresso em porcentagem:
Exemplo. A base dos logaritmos naturais para o cálculo é tomada igual a e=2,72. Tomamos como valor exato e m = 2,7183. Encontre os erros absolutos e relativos de um número aproximado.
D e = ½ e – e t½=0,0017;
.
O valor do erro relativo permanece inalterado com uma mudança proporcional no número mais aproximado e seu erro absoluto. Assim, para o número 634,7, calculado com erro absoluto D = 1,3, e para o número 6347 com erro D = 13, os erros relativos são os mesmos: d= 0,2.
Nesta lição, veremos um problema comum sobre o cálculo aproximado do valor de uma função usando um diferencial. Aqui e abaixo falaremos sobre diferenciais de primeira ordem, para resumir, muitas vezes direi apenas "diferencial". O problema de cálculos aproximados com a ajuda de um diferencial possui um algoritmo de solução rígido e, portanto, não deve haver dificuldades particulares. A única coisa é que existem pequenas armadilhas que também serão limpas. Portanto, sinta-se à vontade para mergulhar de cabeça.
Além disso, a página contém fórmulas para encontrar os erros de cálculo absolutos e relativos. O material é muito útil, pois os erros também devem ser calculados em outros problemas. Físicos, onde estão seus aplausos? =)
Para dominar com sucesso os exemplos, você precisa ser capaz de encontrar derivadas de funções pelo menos em um nível médio, portanto, se a diferenciação estiver completamente errada, comece com a lição Como encontrar a derivada? Recomendo também a leitura do artigo Os problemas mais simples com uma derivada, ou seja, os parágrafos sobre encontrar a derivada em um ponto e encontrar o diferencial em um ponto. Dos meios técnicos, você precisará de uma microcalculadora com várias funções matemáticas. Você pode usar o Excel, mas neste caso é menos conveniente.
A oficina é composta por duas partes:
– Cálculos aproximados usando o diferencial de uma função de uma variável.
– Cálculos aproximados usando o diferencial total de uma função de duas variáveis.
Quem precisa do quê. De fato, foi possível dividir a riqueza em dois montes, pois o segundo ponto se refere a aplicações de funções de diversas variáveis. Mas o que posso fazer, adoro artigos longos.
A tarefa em questão e seu significado geométrico já foram abordados na lição O que é uma derivada? , e agora vamos nos restringir a uma consideração formal de exemplos, o que é suficiente para aprender a resolvê-los.
No primeiro parágrafo, a função de uma variável rege. Como todos sabem, é denotado através ou através. Para este problema, é muito mais conveniente usar a segunda notação. Vamos passar para um exemplo popular que ocorre frequentemente na prática:
Exemplo 1
Solução: Por favor, copie em seu caderno a fórmula de trabalho para cálculo aproximado usando diferencial:
Vamos começar, é fácil!
O primeiro passo é criar uma função. Por condição, propõe-se calcular a raiz cúbica do número: , de modo que a função correspondente tem a forma: . Precisamos usar a fórmula para encontrar um valor aproximado.
Nós olhamos para lado esquerdo fórmulas , e vem à mente o pensamento de que o número 67 deve ser representado como . Qual é a maneira mais fácil de fazer isso? Eu recomendo o seguinte algoritmo: calcule este valor em uma calculadora:
- resultou 4 com uma cauda, esta é uma diretriz importante para a solução.
À medida que selecionamos o valor "bom", para extrair a raiz. Naturalmente, este valor deve ser o mais perto possível a 67. Neste caso: . Sério: .
Nota: Quando o ajuste ainda é um problema, basta olhar para o valor calculado (neste caso 
), pegue a parte inteira mais próxima (neste caso 4) e eleve-a à potência desejada (neste caso ). Como resultado, a seleção desejada será feita: .
Se , então o argumento incrementa: .
Então o número 67 é representado como uma soma 
Primeiro, calculamos o valor da função no ponto . Na verdade, isso já foi feito antes:
A diferencial em um ponto é encontrada pela fórmula: 
Você também pode copiar em seu caderno.
Da fórmula segue que você precisa tirar a primeira derivada: 
E encontre seu valor no ponto: 
Nesse caminho:
Tudo está pronto! De acordo com a fórmula:
O valor aproximado encontrado está próximo o suficiente do valor 
calculado usando uma microcalculadora.
Responda:
Exemplo 2
Calcule aproximadamente , substituindo os incrementos da função por seu diferencial.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Um exemplo grosseiro de trabalho de acabamento e uma resposta no final da lição. Para iniciantes, recomendo que você primeiro calcule o valor exato em uma microcalculadora para descobrir qual número tomar e qual. Deve-se notar que neste exemplo será negativo.
Alguns podem ter uma dúvida, por que essa tarefa é necessária, se você pode calcular tudo com calma e precisão em uma calculadora? Concordo, a tarefa é estúpida e ingênua. Mas vou tentar justificar um pouco. Primeiro, a tarefa ilustra o significado da função diferencial. Em segundo lugar, nos tempos antigos, a calculadora era algo como um helicóptero pessoal em nosso tempo. Eu mesmo vi como um computador do tamanho de uma sala foi jogado para fora do instituto politécnico local em algum lugar em 1985-86 (rádios amadores com chaves de fenda vieram correndo de toda a cidade e, depois de algumas horas, apenas o estojo permaneceu da unidade ). Antiguidades também foram encontradas em nosso departamento de física, porém, em um tamanho menor - algo do tamanho de uma carteira escolar. Foi assim que nossos ancestrais sofreram com métodos de cálculos aproximados. Uma carruagem puxada por cavalos também é um meio de transporte.
De uma forma ou de outra, o problema permaneceu no curso padrão da matemática superior e terá de ser resolvido. Esta é a resposta principal para sua pergunta =)
Exemplo 3
no ponto . Calcule um valor mais preciso da função em um ponto usando uma microcalculadora, avalie os erros de cálculo absolutos e relativos.
De fato, a mesma tarefa, pode ser facilmente reformulada da seguinte forma: “Calcule o valor aproximado 
com diferencial
Solução: Usamos a conhecida fórmula:
Nesse caso, uma função pronta já é fornecida: 
. Mais uma vez, chamo a atenção para o fato de que é mais conveniente usar em vez de “jogo” para designar uma função.
O valor deve ser representado como . Bem, aqui é mais fácil, vemos que o número 1,97 está muito próximo do "dois", então ele se sugere. E, portanto: .
Usando a fórmula 
, calculamos o diferencial no mesmo ponto.
Encontrando a primeira derivada:
E seu valor no ponto: 
Assim, o diferencial no ponto:
Como resultado, de acordo com a fórmula:
A segunda parte da tarefa é encontrar o erro absoluto e relativo dos cálculos.
Erro absoluto de cálculoé encontrado pela fórmula:
O sinal do módulo mostra que não nos importamos qual valor é maior e qual é menor. Importante, Quão longe o resultado aproximado desviado do valor exato em uma direção ou outra.
Erro de cálculo relativoé encontrado pela fórmula:
, ou, o mesmo: 
O erro relativo mostra por qual porcentagem o resultado aproximado desviado do valor exato. Existe uma versão da fórmula sem multiplicar por 100%, mas na prática quase sempre vejo a versão acima com porcentagens.
Após um breve histórico, voltamos ao nosso problema, no qual calculamos o valor aproximado da função 
usando um diferencial.
Vamos calcular o valor exato da função usando uma microcalculadora:
, a rigor, o valor ainda é aproximado, mas vamos considerá-lo exato. Tais tarefas ocorrem.
Vamos calcular o erro absoluto:
Vamos calcular o erro relativo:
, milésimos de um por cento são obtidos, de modo que o diferencial forneceu apenas uma grande aproximação.
Responda: 
, erro de cálculo absoluto , erro de cálculo relativo
O exemplo a seguir é para uma solução autônoma:
Exemplo 4
Calcule aproximadamente usando o diferencial o valor da função 
no ponto . Calcule um valor mais preciso da função em um determinado ponto, avalie os erros de cálculo absolutos e relativos.
Um exemplo grosseiro de trabalho de acabamento e uma resposta no final da lição.
Muitos notaram que em todos os exemplos considerados, as raízes aparecem. Isso não é acidental; na maioria dos casos, no problema em consideração, funções com raízes são de fato propostas.
Mas para os leitores sofredores, desenterrei um pequeno exemplo com o arco-seno:
Exemplo 5
Calcule aproximadamente usando o diferencial o valor da função 
no ponto
Este exemplo curto, mas informativo, também serve para uma decisão independente. E descansei um pouco para considerar com renovado vigor uma tarefa especial:
Exemplo 6
Calcule aproximadamente usando o diferencial, arredonde o resultado para duas casas decimais.
Solução: O que há de novo na tarefa? Por condição, é necessário arredondar o resultado para duas casas decimais. Mas esse não é o ponto, o problema de arredondamento da escola, eu acho, não é difícil para você. A questão é que temos uma tangente com um argumento que é expresso em graus. O que fazer quando lhe pedem para resolver uma função trigonométrica com graus? Por exemplo, etc
O algoritmo de solução é fundamentalmente preservado, ou seja, é necessário, como nos exemplos anteriores, aplicar a fórmula
Escreva a função óbvia
O valor deve ser representado como . A ajuda séria vai tabela de valores de funções trigonométricas. A propósito, se você não o imprimiu, recomendo fazê-lo, pois você terá que procurá-lo durante todo o curso de matemática superior.
Analisando a tabela, notamos um valor “bom” da tangente, que se aproxima de 47 graus:
Nesse caminho: 
Após análise preliminar graus devem ser convertidos para radianos. Sim, e só isso!
Neste exemplo, diretamente da tabela trigonométrica, você pode descobrir isso. A fórmula para converter graus em radianos é: 
(as fórmulas podem ser encontradas na mesma tabela).
Modelo adicional: 
Nesse caminho: 
(nos cálculos usamos o valor ). O resultado, conforme exigido pela condição, é arredondado para duas casas decimais.
Responda:
Exemplo 7
Calcule aproximadamente usando o diferencial, arredonde o resultado para três casas decimais.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Como você pode ver, nada complicado, traduzimos os graus em radianos e aderimos ao algoritmo de solução usual.
Tudo será muito, muito semelhante; portanto, se você chegou a esta página com essa tarefa específica, primeiro recomendo ver pelo menos alguns exemplos do parágrafo anterior.
Para estudar um parágrafo, você precisa ser capaz de encontrar derivadas parciais de segunda ordem, onde sem eles. Na lição acima, denotei a função de duas variáveis com a letra . Com relação à tarefa em consideração, é mais conveniente usar a notação equivalente .
Como no caso de uma função de uma variável, a condição do problema pode ser formulada de diferentes maneiras, e tentarei considerar todas as formulações encontradas.
Exemplo 8
Solução: Não importa como a condição esteja escrita, na própria solução, para designar a função, repito, é melhor usar não a letra “Z”, mas.
E aqui está a fórmula de trabalho:
Diante de nós está na verdade a irmã mais velha da fórmula do parágrafo anterior. A variável ficou maior. O que posso dizer, eu mesmo o algoritmo de solução será fundamentalmente o mesmo!
Por condição, é necessário encontrar o valor aproximado da função no ponto .
Vamos representar o número 3,04 como . O próprio pão pede para ser comido:
,
Vamos representar o número 3,95 como . Chegou a vez da segunda metade de Kolobok:
,
E não olhe para todos os tipos de truques de raposa, há um Gingerbread Man - você precisa comê-lo.
Vamos calcular o valor da função no ponto:
A diferencial de uma função em um ponto é encontrada pela fórmula:
Da fórmula segue que você precisa encontrar derivadas parciais de primeira ordem e calcular seus valores no ponto .
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem no ponto: 
Diferencial total no ponto:
Assim, de acordo com a fórmula, o valor aproximado da função no ponto:
Vamos calcular o valor exato da função no ponto:
Este valor está absolutamente correto.
Os erros são calculados usando fórmulas padrão, que já foram discutidas neste artigo.
Erro absoluto:
Erro relativo: 
Responda:, erro absoluto: , erro relativo:
Exemplo 9
Calcular o valor aproximado de uma função 
em um ponto usando um diferencial completo, avalie o erro absoluto e relativo.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Quem se debruçar mais detalhadamente sobre este exemplo prestará atenção ao fato de que os erros de cálculo acabaram sendo muito, muito perceptíveis. Isso aconteceu pelo seguinte motivo: no problema proposto, os incrementos dos argumentos são grandes o suficiente: . O padrão geral é o seguinte - quanto maiores esses incrementos em valor absoluto, menor a precisão dos cálculos. Assim, por exemplo, para um ponto semelhante, os incrementos serão pequenos: , e a precisão dos cálculos aproximados será muito alta.
Este recurso também é válido para o caso de uma função de uma variável (a primeira parte da lição).
Exemplo 10
Solução: Calculamos esta expressão aproximadamente usando o diferencial total de uma função de duas variáveis:
A diferença dos Exemplos 8-9 é que primeiro precisamos compor uma função de duas variáveis: 
. Como a função é composta, eu acho, é intuitivamente clara para todos.
O valor 4,9973 aproxima-se de "cinco", portanto: , .
O valor de 0,9919 está próximo de "um", portanto, assumimos: , .
Vamos calcular o valor da função no ponto:
Encontramos a diferencial em um ponto pela fórmula:
Para fazer isso, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem no ponto .
As derivadas aqui não são as mais simples, e você deve ter cuidado: 
;
.
Diferencial total no ponto:
Assim, o valor aproximado desta expressão:
Vamos calcular um valor mais preciso usando uma microcalculadora: 2,998899527
Vamos encontrar o erro de cálculo relativo:
Responda: , 
Apenas uma ilustração do acima, no problema considerado, os incrementos dos argumentos são muito pequenos e o erro acabou sendo fantasticamente escasso.
Exemplo 11
Usando o diferencial total de uma função de duas variáveis, calcule aproximadamente o valor dessa expressão. Calcule a mesma expressão usando uma microcalculadora. Estime em porcentagem o erro relativo dos cálculos. 
Este é um exemplo de faça você mesmo. Uma amostra aproximada de acabamento no final da lição.
Como já mencionado, o convidado mais comum nesse tipo de tarefa é algum tipo de raiz. Mas de vez em quando existem outras funções. E um exemplo simples final para relaxamento:
Exemplo 12
Usando o diferencial total de uma função de duas variáveis, calcule aproximadamente o valor da função se 
A solução está mais próxima da parte inferior da página. Mais uma vez, preste atenção à redação das tarefas da lição, em diferentes exemplos na prática, a redação pode ser diferente, mas isso não altera fundamentalmente a essência e o algoritmo da solução.
Para ser sincero, cansei um pouco, porque o material era chato. Não era pedagógico dizer no início do artigo, mas agora já é possível =) De fato, os problemas da matemática computacional geralmente não são muito difíceis, não são muito interessantes, o mais importante, talvez, é não fazer uma erro nos cálculos comuns.
Que as teclas de sua calculadora não sejam apagadas!
Soluções e respostas:
Exemplo 2: Solução: Usamos a fórmula:
Nesse caso: , ,
Nesse caminho: 
Responda:
Exemplo 4: Solução: Usamos a fórmula:
Nesse caso: 
, ,
Na prática, quase nunca sabemos os valores exatos das quantidades. Nenhuma balança, por mais precisa que seja, mostra exatamente o peso; qualquer termômetro mostra a temperatura com um erro ou outro; nenhum amperímetro pode fornecer leituras precisas de corrente, etc. Além disso, nosso olho não é capaz de ler as leituras dos instrumentos de medição de forma absolutamente correta. Portanto, ao invés de lidar com os verdadeiros valores das quantidades, somos obrigados a operar com seus valores aproximados.
O fato de que uma" é o valor aproximado do número uma , é escrito da seguinte forma:
a ≈ a".
Se um uma" é um valor aproximado da quantidade uma , então a diferença Δ = a-a" chamado erro de aproximação*.
* Δ - letra grega; leia: delta. Em seguida vem outra letra grega ε (leia-se: épsilon).
Por exemplo, se o número 3,756 for substituído por seu valor aproximado de 3,7, o erro será igual a: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Se tomarmos 3,8 como um valor aproximado, o erro será igual a: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
Na prática, o erro de aproximação é mais frequentemente usado Δ
, e o valor absoluto desse erro | Δ
|. A seguir, vamos simplesmente nos referir a esse valor absoluto do erro como erro absoluto. Considera-se que uma aproximação é melhor que outra se o erro absoluto da primeira aproximação for menor que o erro absoluto da segunda aproximação. Por exemplo, a aproximação 3,8 para o número 3,756 é melhor que a aproximação 3,7, pois para a primeira aproximação
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, e para o segundo | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Número uma" uma atéε , se o erro absoluto desta aproximação for menor queε :
|a-a" | < ε .
Por exemplo, 3,6 é uma aproximação de 3,671 para dentro de 0,1, porque |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Da mesma forma, -3/2 pode ser pensado como uma aproximação de -8/5 para dentro de 1/5, uma vez que
Se um uma" < uma , então uma" é chamado de valor aproximado do número uma com uma desvantagem.
Se uma" > uma , então uma" é chamado de valor aproximado do número uma em excesso.
Por exemplo, 3,6 é um valor aproximado de 3,671 com desvantagem, pois 3,6< 3,671, а - 3 / 2 есть приближенное значение числа - 8 / 5 c избытком, так как - 3 / 2 > - 8 / 5 .
Se em vez de números uma e b some seus valores aproximados uma" e b" , então o resultado a" + b" será um valor aproximado da soma a + b . Surge a pergunta: como estimar a precisão desse resultado se a precisão da aproximação de cada termo é conhecida? A solução deste e de problemas semelhantes é baseada na seguinte propriedade do valor absoluto:
|a + b | < |uma | + |b |.
Fim do trabalho -
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| tuitar |
Nota explicativa
O manual metodológico foi compilado de acordo com o programa de trabalho da disciplina "Matemática", desenvolvido com base no Padrão Educacional Estadual Federal da terceira geração p
Proporções. Interesse.
Objetivos da aula: 1) Resumir os conhecimentos teóricos sobre o tema "Percentagens e proporções". 2) Considere os tipos e algoritmos para resolver problemas por porcentagens, compilando proporções para resolver
Proporção.
Proporção (do latim proportio - razão, proporcionalidade), 1) em matemática - igualdade entre duas razões de quatro quantidades a, b, c,
TRABALHO PRÁTICO № 2
"Equações e desigualdades" Objetivos da aula: 1) Resumir os conhecimentos teóricos sobre o tema: "Equações e desigualdades". 2) Considere algoritmos para resolver tarefas no tópico “Ur
Equações contendo uma variável sob o sinal do módulo.
O módulo do número a é determinado da seguinte forma: Exemplo: Resolva a equação. Solução Se, então esta equação também assume a forma. Pode ser escrito assim:
Equações com uma variável no denominador.
Considere as equações da forma. (1) A solução de uma equação da forma (1) é baseada na seguinte afirmação: uma fração é igual a 0 se e somente se seu numerador for igual a 0 e seu denominador for diferente de zero.
Equações racionais.
A equação f(x) = g(x) é dita racional se f(x) eg(x) são expressões racionais. Além disso, se f(x) eg(x) são expressões inteiras, então a equação é chamada inteira;
Solução de equações introduzindo uma nova variável.
Vamos explicar a essência do método com um exemplo. EXEMPLO: Resolva a equação. Decisão. Suponha que obtenhamos a equação, de onde encontramos. O problema se reduz a resolver um conjunto de equações
Equações irracionais.
Uma equação irracional é uma equação na qual a variável está contida sob o sinal da raiz ou sob o sinal de elevar a uma potência fracionária. Um dos métodos para resolver tais equações é o método de
Método de espaçamento
Exemplo: Resolva uma inequação. Solução. ODZ: de onde temos x [-1; 5) (5; +) Resolva a equação O numerador da fração é 0 em x = -1, esta é a raiz da equação.
Exercícios para trabalho independente.
3x + (20 - x) \u003d 35,2, (x - 3) - x \u003d 7 - 5x. (x + 2) - 11 (x + 2) \u003d 12. x \u003d x, 3y \u003d 96, x + x + x + 1 \u003d 0, - 5,5n (n - 1) (n + 2,5) (n-
TRABALHO PRÁTICO № 4
"Funções, suas propriedades e gráficos" Objetivos da aula: 1) Generalizar os conhecimentos teóricos sobre o tema: "Funções, propriedades e gráficos." 2) Considere algoritmos
Será um erro grosseiro se, ao fazer um desenho, por negligência, permitirmos que o gráfico se cruze com a assíntota.
Exemplo 3 Construir o ramo direito da hipérbole Usamos o método de construção pontual, embora seja vantajoso selecionar os valores para que eles se dividam completamente:
Gráficos de funções trigonométricas inversas
Vamos traçar o arco-seno Faça um gráfico do arco-cosseno Faça um gráfico do arco-tangente Apenas um ramo invertido da tangente. Listamos os principais
Retratos matemáticos de provérbios
A matemática moderna conhece muitas funções, e cada uma tem sua aparência única, assim como a aparência de cada um dos bilhões de pessoas que vivem na Terra é única. No entanto, para toda a diferença de uma pessoa,
Construa gráficos de funções a) y \u003d x2, y \u003d x2 + 1, y \u003d (x-2) 2 plano de coordenadas. Funções de plotagem c
Inteiros
Propriedades de adição e multiplicação de números naturais
a + b = b + a - propriedade comutativa da adição (a + b) + c = a + (b + c) - propriedade associativa adições ab = ba
Sinais de divisibilidade de números naturais
Se cada termo é divisível por algum número, então a soma também é divisível por esse número. Se pelo menos um dos fatores no produto é divisível por algum número, então o produto também é divisível.
Escalas e coordenadas
Os comprimentos dos segmentos são medidos com uma régua. A régua (Fig. 19) tem traços. Eles quebram a linha em partes iguais. Essas partes são chamadas de divisões. Na figura 19, o comprimento do
Números racionais
Objetivos da aula: 1) Generalizar os conhecimentos teóricos sobre o tema "Números naturais". 2) Considere os tipos e algoritmos para resolver problemas relacionados ao conceito de número natural.
Decimais. Converter decimal em fração comum.
Decimal- esta é outra forma de escrever uma fração com denominador. Por exemplo, . Se a expansão do denominador de uma fração em fatores primos contém apenas 2 e 5, então esta fração pode ser escrita como des
Raiz de 2
Suponha o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração irredutível, onde é um inteiro, e - número natural. Vamos ao quadrado a igualdade esperada: . Daqui
O valor absoluto da soma de quaisquer dois números não excede a soma de seus valores absolutos.
ERROS A diferença entre o número exato x e seu valor aproximado a é chamado de erro desse número aproximado. Se for sabido que | | x-a |< a, то величина a называется
Um nível básico de
Exemplo.Compute. Solução: . Resposta: 2.5. Exemplo. Calcular. Solução: Resposta: 15.
Tarefas para solução independente
Marque o número da resposta correta: O resultado da simplificação da expressão é 1. ; quatro. ; 2.; 5. . 3.; O valor da expressão é 1) 4; 2); 3)
Tarefas para solução independente
Encontre o valor da expressão 1. .2. . 2. . 3. . quatro. . 5. .7. . 6.. às. 7.. às. 8.. às. 9. às. 1
Tarefas para solução independente
Questão 1. Encontre o logaritmo de 25 na base 5. Questão 2. Encontre o logaritmo na base 5. Questão 3.
TRABALHO PRÁTICO № 17
"Axiomas da estereometria e consequências deles" O objetivo da aula: 1) Generalizar o conhecimento teórico
