Nesta lição, cujo tópico é “Momento de Força”, falaremos sobre a força com a qual você precisa agir em um corpo para alterar sua velocidade, bem como o ponto de aplicação dessa força. Considere exemplos de rotação de diferentes corpos, por exemplo, um balanço: em que ponto a força deve ser aplicada para que o balanço comece a se mover ou permaneça em equilíbrio.
Imagine que você é um jogador de futebol e há uma bola de futebol na sua frente. Para que ele voe, ele precisa ser atingido. É simples: quanto mais forte você acertar, mais rápido e mais longe ele voará, e você provavelmente acertará no centro da bola (veja a Fig. 1).
E para que a bola gire e voe ao longo de uma trajetória curva em voo, você não vai acertar o centro da bola, mas de lado, que é o que os jogadores de futebol fazem para enganar o adversário (ver Fig. 2).
Arroz. 2. Trajetória de voo da bola curva
Aqui já é importante qual ponto acertar.
Outra pergunta simples: onde você precisa levar o bastão para que ele não vire ao ser levantado? Se o bastão for uniforme em espessura e densidade, então o pegaremos no meio. E se for mais maciço de um lado? Então vamos levá-lo mais perto da borda maciça, caso contrário, ele supera (veja a Fig. 3).
Arroz. 3. Ponto de elevação
Imagine: papai sentado em uma balança de balanço (veja a Fig. 4).
Arroz. 4. Balanceador de balanço
Para superá-lo, você se senta em um balanço mais perto da extremidade oposta.
Em todos os exemplos dados, era importante para nós não apenas agir sobre o corpo com alguma força, mas também importante em que lugar, em que ponto específico do corpo agir. Escolhemos esse ponto aleatoriamente, usando experiência de vida. E se houver três pesos diferentes no bastão? E se você levantá-lo juntos? E se estivermos falando de um guindaste ou de uma ponte estaiada (ver Fig. 5)?
Arroz. 5. Exemplos da vida
Intuição e experiência não são suficientes para resolver tais problemas. Sem uma teoria clara, eles não podem mais ser resolvidos. A solução de tais problemas será discutida hoje.
Normalmente nos problemas temos um corpo ao qual se aplicam forças, e os resolvemos, como sempre antes, sem pensar no ponto de aplicação da força. Basta saber que a força é aplicada simplesmente ao corpo. Tais tarefas são frequentemente encontradas, sabemos como resolvê-las, mas acontece que não basta aplicar força simplesmente ao corpo - torna-se importante em que ponto.
Um exemplo de um problema em que o tamanho do corpo não é importante
Por exemplo, há uma pequena bola de ferro sobre a mesa, sobre a qual atua uma força de gravidade de 1 N. Que força deve ser aplicada para levantá-la? A bola é atraída pela Terra, vamos agir para cima aplicando alguma força.
As forças que atuam sobre a bola são direcionadas em lados opostos, e para levantar a bola, você precisa agir sobre ela com uma força maior em módulo do que a gravidade (veja a Fig. 6).
Arroz. 6. Forças que atuam na bola
A força da gravidade é igual a , o que significa que a bola deve ser acionada com uma força:
Não pensamos em como exatamente pegamos a bola, apenas pegamos e levantamos. Quando mostramos como levantamos a bola, podemos desenhar um ponto e mostrar: agimos na bola (veja a Fig. 7).
Arroz. 7. Ação na bola
Quando podemos fazer isso com um corpo, mostrá-lo na figura na forma de um ponto e não prestar atenção em seu tamanho e forma, o consideramos um ponto material. Este é um modelo. Na realidade, a bola tem uma forma e dimensões, mas não prestamos atenção a elas neste problema. Se a mesma bola precisa girar, simplesmente dizer que estamos agindo sobre a bola não é mais possível. É importante aqui que empurramos a bola da borda e não para o centro, fazendo com que ela gire. Neste problema, a mesma bola não pode mais ser considerada um ponto.
Já conhecemos exemplos de problemas em que é necessário levar em conta o ponto de aplicação da força: um problema com uma bola de futebol, com um taco não uniforme, com um balanço.
O ponto de aplicação da força também é importante no caso de uma alavanca. Usando uma pá, atuamos na extremidade do cabo. Então basta aplicar grande força(ver fig. 8).
Arroz. 8. A ação de uma pequena força no cabo de uma pá
O que há de comum entre os exemplos considerados, onde é importante levarmos em conta o tamanho do corpo? E a bola, o bastão, o balanço e a pá - em todos esses casos, tratava-se da rotação desses corpos em torno de algum eixo. A bola girou em torno de seu eixo, o balanço girou em torno do suporte, o bastão em torno do local onde a seguramos, a pá em torno do fulcro (ver Fig. 9).
Arroz. 9. Exemplos de corpos giratórios
Considere a rotação de corpos em torno de um eixo fixo e veja o que faz o corpo girar. Vamos considerar a rotação em um plano, então podemos supor que o corpo gira em torno de um ponto O (veja a Fig. 10).
Arroz. 10. Ponto de pivô
Se quisermos equilibrar o balanço, em que a viga é de vidro e fina, ela pode simplesmente quebrar, e se a viga for feita de metal macio e também fina, ela pode dobrar (veja a Fig. 11).
Não consideraremos tais casos; consideraremos a rotação de corpos rígidos fortes.
Seria errado dizer que o movimento rotacional é determinado apenas pela força. De fato, em um balanço, a mesma força pode causar sua rotação, ou não, dependendo de onde nos sentamos. Não se trata apenas de força, mas também da localização do ponto em que atuamos. Todo mundo sabe como é difícil levantar e segurar uma carga com o braço estendido. Para determinar o ponto de aplicação da força, é introduzido o conceito de ombro de força (por analogia com o ombro de uma mão que levanta uma carga).
O braço de uma força é a distância mínima de um determinado ponto a uma linha reta ao longo da qual a força atua.
Pela geometria, você provavelmente já sabe que esta é uma perpendicular baixada do ponto O até a linha reta ao longo da qual a força atua (veja a Fig. 12).
Arroz. 12. Representação gráfica do ombro de força
Por que o braço da força é a distância mínima do ponto O até a linha reta ao longo da qual a força atua?
Pode parecer estranho que o ombro da força seja medido do ponto O não até o ponto de aplicação da força, mas até a linha reta ao longo da qual essa força atua.
Vamos fazer este experimento: amarre um fio na alavanca. Vamos agir na alavanca com alguma força no ponto onde o fio está amarrado (ver Fig. 13).
Arroz. 13. O fio está preso à alavanca
Se for criado um momento de força suficiente para girar a alavanca, ela irá girar. A linha mostrará uma linha reta ao longo da qual a força é direcionada (veja a Fig. 14).
Vamos tentar puxar a alavanca com a mesma força, mas agora segurando o fio. Nada mudará na ação da alavanca, embora o ponto de aplicação da força mude. Mas a força atuará ao longo da mesma linha reta, sua distância ao eixo de rotação, ou seja, o braço da força, permanecerá a mesma. Vamos tentar agir na alavanca em um ângulo (veja a Fig. 15).
Arroz. 15. Ação na alavanca em ângulo
Agora a força é aplicada ao mesmo ponto, mas atua ao longo de uma linha diferente. Sua distância ao eixo de rotação tornou-se pequena, o momento da força diminuiu e a alavanca não pode mais girar.
O corpo é afetado pela rotação, a rotação do corpo. Esse impacto depende da força e do ombro dela. A quantidade que caracteriza o efeito rotacional de uma força sobre um corpo é chamada momento de poder, às vezes também chamado de torque ou torque.
O significado da palavra "momento"
Estamos acostumados a usar a palavra "momento" no sentido de um período de tempo muito curto, como sinônimo da palavra "instantâneo" ou "momento". Então não está totalmente claro o que o momento tem a ver com força. Vejamos a origem da palavra "momento".
A palavra vem do latim momentum, que significa " força motriz, Empurre". O verbo latino movēre significa "mover" (como palavra em inglês movimento, e movimento significa “movimento”). Agora está claro para nós que o torque é o que faz o corpo girar.
O momento da força é o produto da força em seu ombro.
A unidade de medida é newton multiplicado por um metro: .
Se você aumentar o ombro da força, poderá reduzir a força e o momento da força permanecerá o mesmo. Usamos isso com muita frequência em Vida cotidiana: quando abrimos a porta, quando usamos um alicate ou uma chave inglesa.
O último ponto do nosso modelo permanece - precisamos descobrir o que fazer se várias forças atuarem no corpo. Podemos calcular o momento de cada força. É claro que se as forças girarem o corpo em uma direção, sua ação será somada (veja a Fig. 16).
Arroz. 16. A ação de forças é adicionada
Se em direções diferentes- os momentos de forças se equilibrarão e é lógico que eles precisarão ser subtraídos. Portanto, os momentos das forças que giram o corpo em diferentes direções serão escritos com sinais diferentes. Por exemplo, vamos anotar se a força supostamente gira o corpo em torno do eixo no sentido horário, e - se contra (veja a Fig. 17).
Arroz. 17. Definição de sinais
Então podemos escrever uma coisa importante: Para que um corpo esteja em equilíbrio, a soma dos momentos das forças que atuam sobre ele deve ser igual a zero.
Fórmula da alavanca
Já conhecemos o princípio da alavanca: duas forças atuam na alavanca, e quantas vezes o braço da alavanca é maior, a força é tantas vezes menor:
Considere os momentos das forças que atuam na alavanca.
Vamos escolher um sentido de rotação positivo da alavanca, por exemplo, no sentido anti-horário (ver Fig. 18).
Arroz. 18. Selecionando o sentido de rotação
Então o momento da força será com um sinal de mais, e o momento da força será com um sinal de menos. Para que a alavanca esteja em equilíbrio, a soma dos momentos das forças deve ser igual a zero. Vamos escrever:
Matematicamente, esta igualdade e a razão escrita acima para a alavanca são uma e a mesma, e o que obtivemos experimentalmente foi confirmado.
Por exemplo, determine se a alavanca mostrada na figura estará em equilíbrio. Há três forças agindo sobre ele.(ver fig. 19) . , e. Ombros de forças são iguais, e.
Arroz. 19. Desenho para a condição do problema 1
Para que uma alavanca esteja em equilíbrio, a soma dos momentos das forças que atuam sobre ela deve ser igual a zero.
De acordo com a condição, três forças atuam na alavanca: , e . Seus ombros são respectivamente iguais a , e .
O sentido de rotação da alavanca no sentido horário será considerado positivo. Nesta direção a alavanca é girada pela força , seu momento é igual a:
Forças e gire a alavanca no sentido anti-horário, escrevemos seus momentos com um sinal de menos:
Resta calcular a soma dos momentos das forças:
O momento total não é igual a zero, o que significa que o corpo não estará em equilíbrio. O momento total é positivo, o que significa que a alavanca irá girar no sentido horário (no nosso problema, esta é uma direção positiva).
Resolvemos o problema e obtivemos o resultado: o momento total das forças que atuam na alavanca é igual a . A alavanca começará a girar. E quando gira, se as forças não mudarem de direção, os ombros das forças mudarão. Eles diminuirão até se tornarem zero quando a alavanca for girada verticalmente (veja a fig. 20).
Arroz. 20. Ombros de forças são iguais a zero
E com uma rotação adicional, as forças serão direcionadas de modo a girá-lo na direção oposta. Portanto, tendo resolvido o problema, determinamos em qual direção a alavanca começará a girar, sem mencionar o que acontecerá a seguir.
Agora você aprendeu a determinar não apenas a força com a qual precisa agir sobre o corpo para alterar sua velocidade, mas também o ponto de aplicação dessa força para que ele não gire (ou gire, conforme precisamos).
Como empurrar o gabinete para que ele não vire?
Sabemos que quando empurramos um armário com força para cima, ele vira e, para evitar que isso aconteça, empurramos para baixo. Agora podemos explicar esse fenômeno. O eixo de sua rotação está localizado na borda em que está, enquanto os ombros de todas as forças, exceto a força, são pequenos ou iguais a zero; portanto, sob a ação da força, o gabinete cai (consulte a Fig. . 21).
Arroz. 21. Ação na parte superior do gabinete
Aplicando a força abaixo, reduzimos seu ressalto e, portanto, o momento dessa força, e não há tombamento (ver Fig. 22).
Arroz. 22. Força aplicada abaixo
O armário como corpo, cujas dimensões levamos em conta, obedece à mesma lei que chave inglesa, maçaneta, pontes sobre suportes, etc.
Isso conclui nossa lição. Obrigado pela sua atenção!
Bibliografia
Trabalho de casa
Muitas vezes ouvimos expressões: “é inerte”, “movimento por inércia”, “momento de inércia”. NO significado figurado a palavra "inércia" pode ser interpretada como falta de iniciativa e ação. Estamos interessados no significado direto.
Por definição inércia na física, é a capacidade dos corpos de manter um estado de repouso ou movimento na ausência de forças externas.
Se tudo está claro com o próprio conceito de inércia em um nível intuitivo, então momento de inércia- uma questão separada. Concordo, é difícil imaginar na mente o que é. Neste artigo, você aprenderá como resolver problemas básicos sobre o tema "Momento de inércia".
A partir de curso escolar sabe-se que massa é uma medida da inércia de um corpo. Se empurrarmos dois carrinhos de massas diferentes, será mais difícil parar o mais pesado. Ou seja, quanto maior a massa, maior a influência externa necessária para alterar o movimento do corpo. Considerado refere-se ao movimento de translação, quando o carrinho do exemplo se move em linha reta.
Por analogia com a massa e o movimento de translação, o momento de inércia é uma medida da inércia de um corpo durante o movimento de rotação em torno de um eixo.
Momento de inércia- escalar quantidade física, uma medida da inércia do corpo à medida que ele gira em torno de um eixo. Indicada por letra J e no sistema SI medido em quilogramas multiplicado por um metro quadrado.
Como calcular o momento de inércia? Existe uma fórmula geral pela qual o momento de inércia de qualquer corpo é calculado em física. Se o corpo for quebrado em pedaços infinitamente pequenos de massa dm , então o momento de inércia será é igual à soma os produtos dessas massas elementares pelo quadrado da distância ao eixo de rotação.
Esta é a fórmula geral para o momento de inércia na física. Para um ponto de massa material m , girando em torno de um eixo a uma distância r a partir dele, esta fórmula toma a forma:
De que depende o momento de inércia? Da massa, a posição do eixo de rotação, a forma e o tamanho do corpo.
O teorema de Huygens-Steiner é um teorema muito importante que é frequentemente usado na resolução de problemas.
A propósito! Para os nossos leitores há agora um desconto de 10% em
O teorema de Huygens-Steiner afirma:
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa paralelo a um eixo arbitrário e o produto da massa do corpo pelo quadrado do distância entre os eixos.
Para aqueles que não querem integrar constantemente ao resolver problemas de encontrar o momento de inércia, aqui está uma figura que mostra os momentos de inércia de alguns corpos homogêneos que são frequentemente encontrados em problemas:
Vamos considerar dois exemplos. A primeira tarefa é encontrar o momento de inércia. A segunda tarefa é usar o teorema de Huygens-Steiner.
Problema 1. Encontre o momento de inércia de um disco homogêneo de massa me raio R. O eixo de rotação passa pelo centro do disco.
Solução:
Vamos dividir o disco em anéis infinitamente finos, cujo raio varia de 0 antes da R e considere um desses anéis. Seja seu raio r, e a massa dm. Então o momento de inércia do anel:
A massa do anel pode ser representada como:
Aqui dzé a altura do anel. Substitua a massa na fórmula do momento de inércia e integre:
O resultado foi uma fórmula para o momento de inércia de um disco ou cilindro fino absoluto.
Problema 2. Seja novamente um disco de massa me raio R. Agora precisamos encontrar o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo meio de um de seus raios.
Solução:
O momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é conhecido do problema anterior. Aplicamos o teorema de Steiner e encontramos:
A propósito, em nosso blog você pode encontrar outros materiais úteis sobre física e.
Esperamos que você encontre algo útil no artigo. Se houver dificuldades no processo de cálculo do tensor de inércia, não se esqueça do atendimento ao aluno. Nossos especialistas aconselharão sobre qualquer problema e ajudarão a resolver o problema em questão de minutos.
Momento de força em torno do eixoé o momento de projeção de uma força sobre um plano perpendicular ao eixo, em relação ao ponto de intersecção do eixo com este plano
O momento em relação a um eixo é positivo se a força tende a girar um plano perpendicular ao eixo no sentido anti-horário quando visto em direção ao eixo.
O momento da força em relação ao eixo é 0 em dois casos:
Se a força é paralela ao eixo
Se a força cruza o eixo
Se a linha de ação e o eixo estão no mesmo plano, então o momento da força em relação ao eixo é 0.
Mz(F)=Mo(F)*cosαO momento da força, em relação ao eixo, é igual à projeção do vetor do momento das forças, em relação ao ponto do eixo, neste eixo.
Qualquer sistema espacial de forças no caso geral pode ser substituído por um sistema equivalente constituído por uma força aplicada em algum ponto do corpo (centro de redução) e igual ao vetor principal desse sistema de forças, e um par de forças, cujo momento é igual ao momento principal de todas as forças relativas ao centro de referência selecionado.
O principal vetor do sistema de forças chamado vetor R igual à soma vetorial dessas forças:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F eu .
Para um sistema plano de forças, seu principal vetor está no plano de ação dessas forças.
O momento principal do sistema de forças em torno do centro O é chamado de vetor eu O , igual à soma dos momentos vetoriais dessas forças em relação ao ponto O:
eu O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F eu).
Vetor R não depende da escolha do centro O, e o vetor eu O ao mudar a posição do centro O geralmente pode mudar.
Teorema de Poinsot: Um sistema espacial arbitrário de forças pode ser substituído por uma força com o vetor principal do sistema de forças e um par de forças com o momento principal sem perturbar o estado do corpo rígido. O vetor principal é soma geométrica de todas as forças que atuam sobre um corpo rígido e está localizado no plano de ação das forças. O vetor principal é considerado através de suas projeções nos eixos coordenados.
Para trazer forças a um determinado centro aplicadas em algum ponto de um corpo rígido, é necessário: 1) transferir a força para si em paralelo a um determinado centro sem alterar o módulo de força; 2) em um determinado centro, aplique um par de forças, cujo momento vetorial é igual ao momento vetorial da força transferida do novo centro relativo, esse par é chamado de par anexado.
Dependência do momento principal na escolha do centro de redução. O momento principal relativo ao novo centro de redução é igual à soma geométrica do momento principal relativo ao antigo centro de redução e o produto vetorial do raio-vetor que liga o novo centro de redução ao antigo e ao vetor principal.
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Valores do vetor principal e momento principal |
Resultado do elenco |
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O sistema de forças é reduzido a um par de forças, cujo momento é igual ao momento principal (o momento principal do sistema de forças não depende da escolha do centro de redução O). |
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O sistema de forças é reduzido a uma resultante igual à passagem pelo centro O. |
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O sistema de forças é reduzido a uma resultante igual ao vetor principal e paralela a ele e separada dele à distância. A posição da linha de ação da resultante deve ser tal que a direção de seu momento em relação ao centro de redução O coincida com a direção em relação ao centro O. |
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O sistema de forças é reduzido a um dínamo (parafuso de força) - uma combinação de uma força e um par de forças situadas em um plano perpendicular a essa força. |
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O sistema de forças aplicado a um corpo rígido é equilibrado. |
30. Redução ao dinamismo. Na mecânica, um dínamo é um conjunto de forças e um par de forças () atuando sobre um corpo rígido, no qual a força é perpendicular ao plano de ação do par de forças. Usando o momento vetorial de um par de forças, pode-se também definir um dínamo como uma combinação de uma força e um binário cuja força é paralela ao momento vetorial de um par de forças.
Equação do eixo helicoidal central Suponha que no centro de redução, tomado como origem das coordenadas, seja obtido o vetor principal com projeções nos eixos coordenados e o momento principal com projeções. Quando o sistema de forças é reduzido ao centro de redução O 1 (Fig. 30), obtém-se um dínamo com o vetor principal e o momento principal , Vetores e formando um linam. são paralelos e, portanto, podem diferir apenas por um fator escalar k 0. Temos, uma vez que .Os momentos principais e , satisfazem a relação
A melhor definição de torque é a tendência de uma força de girar um objeto em torno de um eixo, fulcro ou ponto de pivô. O torque pode ser calculado usando força e braço de momento (distância perpendicular do eixo à linha de ação da força), ou usando momento de inércia e aceleração angular.
Determine as forças que atuam sobre o corpo e os momentos correspondentes. Se a força não for perpendicular ao braço de momento em consideração (ou seja, atuar em um ângulo), talvez seja necessário encontrar seus componentes usando funções trigonométricas como seno ou cosseno.
Use a equação do momento, τ = Fr, e simplesmente substitua as variáveis pelos dados dados ou recebidos.
Use os sinais (mais ou menos) para mostrar a direção do momento. Se a força gira o corpo no sentido horário, então o momento é negativo. Se a força gira o corpo no sentido anti-horário, então o momento é positivo.
Para começar a resolver o problema, entenda como funciona o momento de inércia de um corpo. O momento de inércia de um corpo é a resistência do corpo ao movimento rotacional. O momento de inércia depende tanto da massa quanto da natureza de sua distribuição.
Selecione a equação que você usará para calcular o momento de inércia. Existem várias equações que podem ser usadas para isso.
Encontre o momento de inércia. Para começar a calcular o torque, você precisa encontrar o momento de inércia. Use o exemplo a seguir como guia:
Encontre a aceleração angular, α. Para calcular a aceleração angular, você pode usar a fórmula α= at/r.
Deixe algum corpo, sob a ação de uma força F aplicada no ponto A, entrar em rotação em torno do eixo OO" (Fig. 1.14).
A força atua em um plano perpendicular ao eixo. A perpendicular p, lançada do ponto O (no eixo) até a direção da força, é chamada ombro de força. O produto da força no ombro determina o módulo do momento da força em relação ao ponto O:
M = Fp=Frsinaα.
Momento de poderé um vetor determinado pelo produto vetorial do raio-vetor do ponto de aplicação de força e o vetor de força:
(3.1)
A unidade de momento de força é o newton metro (N m).
A direção de M pode ser encontrada usando a regra de parafuso correta.
momento angular partícula é chamada de produto vetorial do vetor raio da partícula e seu momento:
ou em forma escalar L = gPsinaα
Esta quantidade é vetorial e coincide em direção com os vetores ω.
§ 3.2 Momento de inércia. Teorema de Steiner
Uma medida da inércia dos corpos em movimento de translação é a massa. A inércia dos corpos durante o movimento de rotação depende não apenas da massa, mas também de sua distribuição no espaço em relação ao eixo de rotação. A medida da inércia durante o movimento de rotação é uma quantidade chamada momento de inércia do corpo sobre o eixo de rotação.
O momento de inércia de um ponto material em relação ao eixo de rotação é o produto da massa deste ponto pelo quadrado de sua distância ao eixo:
I i = m i r i 2 (3,2)
Momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação chame a soma dos momentos de inércia dos pontos materiais que compõem este corpo:
(3.3)
O momento de inércia de um corpo depende de qual eixo ele gira e de como a massa do corpo é distribuída pelo volume.
O momento de inércia dos corpos que têm a forma geométrica correta e uma distribuição uniforme da massa sobre o volume é determinado de forma mais simples.
· Momento de inércia de uma haste homogênea em relação ao eixo que passa pelo centro de inércia e perpendicular à haste
(3.6)
· Momento de inércia de um cilindro homogêneo em torno de um eixo perpendicular à sua base e passando pelo centro de inércia,
(3.7)
· Momento de inércia de um cilindro de paredes finas ou um aro em torno de um eixo perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seu centro,
(3.8)
· Momento de inércia da bola em relação ao diâmetro
(3.9)
| Fig.3.2 |
As fórmulas acima para os momentos de inércia dos corpos são dadas sob a condição de que o eixo de rotação passe pelo centro de inércia. Para determinar os momentos de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário, deve-se usar Teorema de Steiner : o momento de inércia do corpo em torno de um eixo de rotação arbitrário é igual à soma do momento de inércia do corpo em torno de um eixo paralelo ao dado e passando pelo centro de massa do corpo, e o produto de a massa do corpo pelo quadrado da distância entre os eixos:
(3.11)
A unidade do momento de inércia é um quilograma-metro quadrado (kg m 2).
Assim, o momento de inércia de uma haste homogênea em relação ao eixo que passa por sua extremidade, de acordo com o teorema de Steiner, é igual a
(3.12)
§ 3.3 Equação da dinâmica do movimento rotacional de um corpo rígido
Considere primeiro um ponto material A de massa m, movendo-se ao longo de um círculo com raio r (Fig. 1.16). Deixe uma força constante F agir sobre ela, direcionada tangencialmente ao círculo. De acordo com a segunda lei de Newton, essa força causa uma aceleração tangencial 
ou F = m uma τ .
Usando a proporção umaτ = βr , obtemos F = m βr.
Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade escrita acima por r.
Fr = mβr2. (3.13)
O lado esquerdo da expressão (3.13) é o momento da força: М= Fr. Parte direita representa o produto da aceleração angular β pelo momento de inércia do ponto material A: J= m r 2 .
A aceleração angular de um ponto durante sua rotação em torno de um eixo fixo é proporcional ao torque e inversamente proporcional ao momento de inércia (a equação básica da dinâmica do movimento rotacional de um ponto material):
M = βJ ou 
(3.14)
Com um torque constante da força de rotação, a aceleração angular será um valor constante e pode ser expressa em termos da diferença de velocidades angulares:
(3.15)
Então a equação básica para a dinâmica do movimento rotacional pode ser escrita como
ou 
(3.16)
[ 
- momento de impulso (ou momento de momento), MΔt - momento de momento das forças (ou momento de torque)].
A equação básica para a dinâmica do movimento rotacional pode ser escrita como
(3.17)
§ 3.4 Lei da conservação do momento angular
Considere um caso frequente de movimento rotacional, quando o momento total das forças externas é igual a zero. Durante o movimento de rotação do corpo, cada uma de suas partículas se move com uma velocidade linear υ = ωr, .
O momento angular de um corpo em rotação é igual à soma dos momentos
impulsos de suas partículas individuais:
(3.18)
A mudança no momento do momento é igual ao momento do momento das forças:
dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3,19)
Se o momento total de todas as forças externas que atuam no sistema do corpo em relação a um eixo fixo arbitrário é igual a zero, ou seja, M=0, então dL e a soma vetorial do momento angular dos corpos do sistema não varia com o tempo.
A soma do momento angular de todos os corpos de um sistema isolado permanece inalterada ( lei da conservação do momento angular):
d(Jω)=0 Jω=const (3,20)
De acordo com a lei de conservação do momento angular, podemos escrever
J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3,21)
onde J 1 e ω 1 - momento de inércia e velocidade angular no momento inicial do tempo, e J 2 e ω 2 - no instante t.
Da lei de conservação do momento angular segue que em M=0 no processo de rotação do sistema em torno do eixo, qualquer mudança na distância dos corpos ao eixo de rotação deve ser acompanhada por uma mudança na velocidade de sua rotação em torno deste eixo. Com o aumento da distância, a velocidade de rotação diminui, com a diminuição da distância aumenta. Por exemplo, uma ginasta realizando cambalhotas, para ter tempo de fazer várias voltas no ar, se enrola durante o salto. Uma bailarina ou patinadora, circulando em uma pirueta, abre os braços se quiser diminuir a rotação e, inversamente, os pressiona contra o corpo quando tenta girar o mais rápido possível.
§ 3.5 Energia cinética de um corpo em rotação
Vamos definir a energia cinética corpo sólido girando em torno de um eixo fixo. Vamos dividir este corpo em n pontos materiais. Cada ponto se move com uma velocidade linear υ i = ωr i , então a energia cinética do ponto
ou 
A energia cinética total de um corpo rígido em rotação é igual à soma das energias cinéticas de todos os seus pontos materiais:
(3.22)
(J - momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação)
Se as trajetórias de todos os pontos estão em planos paralelos (como um cilindro rolando para baixo em um plano inclinado, cada ponto se move em seu próprio plano fig), isso é movimento plano. De acordo com o princípio de Euler, o movimento do plano sempre pode ser decomposto em um número infinito de maneiras em movimento de translação e rotação. Se a bola cair ou deslizar ao longo de um plano inclinado, ela apenas avança; quando a bola rola, ela também gira.
Se um corpo realiza movimentos de translação e rotação ao mesmo tempo, então sua energia cinética total é igual a
(3.23)
A partir de uma comparação das fórmulas de energia cinética para movimentos de translação e rotação, pode-se ver que a medida de inércia durante o movimento de rotação é o momento de inércia do corpo.
§ 3.6 O trabalho de forças externas durante a rotação de um corpo rígido
Quando um corpo rígido gira, sua energia potencial não varia, portanto, o trabalho elementar das forças externas é igual ao incremento da energia cinética do corpo:
∆A = ∆E ou 
Considerando que Jβ = M, ωdr = dφ, temos
∆A =M∆φ (3,24)
O trabalho das forças externas quando um corpo rígido gira de um ângulo finito φ é igual a
Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo, o trabalho das forças externas é determinado pela ação do momento dessas forças em torno de um determinado eixo. Se o momento das forças em torno do eixo é igual a zero, então essas forças não produzem trabalho.
, e os vetores não são perpendiculares
