A matriz A -1 é chamada de matriz inversa em relação à matriz A, se A * A -1 \u003d E, onde E é a matriz identidade da enésima ordem. A matriz inversa só pode existir para matrizes quadradas.
Atribuição de serviço. Usando este serviço online, você pode encontrar adições algébricas, matriz transposta A T , matriz de união e matriz inversa. A solução é realizada diretamente no site (online) e é gratuita. Os resultados dos cálculos são apresentados em relatório em formato Word e em formato Excel (ou seja, é possível verificar a solução). veja exemplo de projeto.
Instrução. Para obter uma solução, você deve especificar a dimensão da matriz. Em seguida, na nova caixa de diálogo, preencha a matriz A .
Veja também Matriz Inversa pelo Método Jordan-Gauss
Exemplo 1. Escrevemos a matriz na forma:
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
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| A 1,2 = (-1) 1+2 |
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| A 1,3 = (-1) 1+3 |
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| A 2,1 = (-1) 2+1 |
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| A 2,2 = (-1) 2+2 |
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| A 2,3 = (-1) 2+3 |
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| A 3,1 = (-1) 3+1 |
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| A 3,2 = (-1) 3+2 |
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| A 3,3 = (-1) 3+3 |
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| A-1 = 1/10 |
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| A-1 = |
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um caso especial: A inversa, em relação à matriz identidade E , é a matriz identidade E .
Uma matriz inversa para um dado é tal matriz, a multiplicação do original pelo qual dá uma matriz identidade: Uma condição obrigatória e suficiente para a presença de uma matriz inversa é a desigualdade do determinante do original (que por sua vez implica que a matriz deve ser quadrada). Se o determinante de uma matriz for igual a zero, então ela é chamada de degenerada e tal matriz não possui inversa. Na matemática avançada, as matrizes inversas têm importância e são usados para resolver uma série de problemas. Por exemplo, em encontrando a matriz inversa construído método matricial soluções de sistemas de equações. Nosso site de serviço permite calcular matriz inversa online dois métodos: o método de Gauss-Jordan e usando a matriz de adições algébricas. A primeira implica um grande número de transformações elementares dentro da matriz, a segunda - o cálculo das adições determinantes e algébricas a todos os elementos. Para calcular o determinante de uma matriz online, você pode usar nosso outro serviço - Calcular o determinante de uma matriz online
.local na rede Internet permite que você encontre matriz inversa online rápido e gratuito. No site, os cálculos são feitos pelo nosso serviço e o resultado é exibido com solução detalhada Por localização matriz inversa. O servidor sempre dá apenas a resposta exata e correta. Em tarefas por definição matriz inversa online, é necessário que o determinante matrizes foi diferente de zero, caso contrário local na rede Internet relatará a impossibilidade de encontrar a matriz inversa devido ao fato do determinante da matriz original ser igual a zero. Encontrar tarefa matriz inversa encontrado em muitos ramos da matemática, sendo um dos conceitos mais básicos da álgebra e uma ferramenta matemática em problemas aplicados. Independente definição de matriz inversa requer muito esforço, muito tempo, cálculos e muito cuidado para não cometer um deslize ou um pequeno erro nos cálculos. Portanto, nosso serviço encontrando a matriz inversa online facilitará muito sua tarefa e se tornará uma ferramenta indispensável para resolver problemas matemáticos. Mesmo se você encontrar matriz inversa você mesmo, recomendamos verificar sua solução em nosso servidor. Insira sua matriz original em nosso Calculate Inverse Matrix Online e verifique sua resposta. Nosso sistema nunca está errado e encontra matriz inversa dada dimensão no modo conectados imediatamente! No site local na rede Internet entradas de caracteres são permitidas em elementos matrizes, nesse caso matriz inversa online será apresentado em forma simbólica geral.
A matriz $A^(-1)$ é chamada de inversa da matriz quadrada $A$ se $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, onde $E $ é a matriz identidade, cuja ordem é igual à ordem da matriz $A$.
Uma matriz não singular é uma matriz cujo determinante não é igual a zero. Assim, uma matriz degenerada é aquela cujo determinante é igual a zero.
A matriz inversa $A^(-1)$ existe se e somente se a matriz $A$ é não singular. Se a matriz inversa $A^(-1)$ existe, então ela é única.
Existem várias maneiras de encontrar a inversa de uma matriz e veremos duas delas. Esta página cobrirá o método de matriz adjunta, que é considerado padrão na maioria dos cursos. matemática superior. A segunda forma de encontrar a matriz inversa (método das transformações elementares), que envolve o uso do método de Gauss ou método de Gauss-Jordan, é considerada na segunda parte.
Seja dada a matriz $A_(n\vezes n)$. Para encontrar a matriz inversa $A^(-1)$, são necessários três passos:
A matriz $(A^(*))^T$ costuma ser chamada de matriz adjunta (mútua, aliada) de $A$.
Se a decisão for feita manualmente, o primeiro método é bom apenas para matrizes de ordens relativamente pequenas: segundo (), terceiro (), quarto (). Para encontrar a matriz inversa para uma matriz de ordem superior, outros métodos são usados. Por exemplo, o método de Gauss, discutido na segunda parte.
Exemplo 1
Encontre a matriz inversa à matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Como todos os elementos da quarta coluna são iguais a zero, então $\Delta A=0$ (ou seja, a matriz $A$ é degenerada). Como $\Delta A=0$, não há matriz inversa a $A$.
Exemplo #2
Encontre a matriz inversa à matriz $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Usamos o método da matriz adjunta. Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz dada $A$:
$$ \Delta A=\esquerda| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Como $\Delta A \neq 0$, então a matriz inversa existe, então continuamos a solução. Encontrando Complementos Algébricos
\begin(alinhado) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)
Componha uma matriz de complementos algébricos: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transponha a matriz resultante: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (o resultado matriz é muitas vezes referida como afiliada ou matriz aliadaà matriz $A$). Usando a fórmula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, temos:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Assim, a matriz inversa é encontrada: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \à direita) $. Para verificar a veracidade do resultado, basta verificar a veracidade de uma das igualdades: $A^(-1)\cdot A=E$ ou $A\cdot A^(-1)=E$. Vamos verificar a igualdade $A^(-1)\cdot A=E$. Para trabalhar menos com frações, vamos substituir a matriz $A^(-1)$ não na forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ mas como $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\direita)$:
Responda: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Exemplo #3
Encontre o inverso da matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Vamos começar calculando o determinante da matriz $A$. Assim, o determinante da matriz $A$ é:
$$ \Delta A=\esquerda| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Como $\Delta A\neq 0$, então a matriz inversa existe, então continuamos a solução. Encontramos os complementos algébricos de cada elemento da matriz dada:
Compomos uma matriz de adições algébricas e a transpomos:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Usando a fórmula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obtemos:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Então $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Para verificar a veracidade do resultado, basta verificar a veracidade de uma das igualdades: $A^(-1)\cdot A=E$ ou $A\cdot A^(-1)=E$. Vamos verificar a igualdade $A\cdot A^(-1)=E$. Para trabalhar menos com frações, vamos substituir a matriz $A^(-1)$ não na forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, mas como $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
A verificação foi aprovada com sucesso, a matriz inversa $A^(-1)$ foi encontrada corretamente.
Responda: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Exemplo #4
Encontre a matriz inversa de $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Para uma matriz de quarta ordem, encontrar a matriz inversa usando adições algébricas é um tanto difícil. No entanto, tais exemplos trabalho de controle encontrar.
Para encontrar a matriz inversa, primeiro você precisa calcular o determinante da matriz $A$. A melhor maneira de fazer isso nessa situação é expandir o determinante em uma linha (coluna). Selecionamos qualquer linha ou coluna e encontramos o complemento algébrico de cada elemento da linha ou coluna selecionada.
Definição 1: Uma matriz é dita degenerada se seu determinante é zero.
Definição 2: Uma matriz é dita não singular se seu determinante não for igual a zero.
A matriz "A" é chamada matriz inversa, se a condição A*A-1 = A-1 *A = E (matriz identidade) for satisfeita.
Uma matriz quadrada é invertível apenas se for não singular.
Esquema para calcular a matriz inversa:
1) Calcule o determinante da matriz "A" se ∆ A = 0, então a matriz inversa não existe.
2) Encontre todos os complementos algébricos da matriz "A".
3) Compor uma matriz de adições algébricas (Aij )
4) Transponha a matriz de complementos algébricos (Aij )T
5) Multiplique a matriz transposta pelo recíproco do determinante desta matriz.
6) Execute uma verificação:
À primeira vista pode parecer difícil, mas na verdade tudo é muito simples. Todas as soluções são baseadas em operações aritméticas simples, o principal na hora de resolver é não se confundir com os sinais "-" e "+", e não perdê-los.
E agora vamos resolver uma tarefa prática junto com você calculando a matriz inversa.
Tarefa: encontre a matriz inversa "A", mostrada na figura abaixo:
1. A primeira coisa a fazer é encontrar o determinante da matriz "A":
Explicação:
Simplificamos nosso determinante usando suas funções principais. Primeiro, adicionamos à 2ª e 3ª linha os elementos da primeira linha, multiplicados por um número.
Em segundo lugar, alteramos a 2ª e 3ª colunas do determinante e, de acordo com suas propriedades, alteramos o sinal na frente dele.
Em terceiro lugar, retiramos o fator comum (-1) da segunda linha, mudando assim o sinal novamente, e ele se tornou positivo. Também simplificamos a linha 3 da mesma forma que no início do exemplo.
Temos um determinante triangular, em que os elementos abaixo da diagonal são iguais a zero, e pela propriedade 7 é igual ao produto dos elementos da diagonal. Como resultado, obtivemos ∆ A = 26, portanto, a matriz inversa existe.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. O próximo passo é compilar uma matriz das adições resultantes:
5. Multiplicamos esta matriz pelo recíproco do determinante, ou seja, por 1/26:
6. Bem, agora só falta verificar:
Durante a verificação, recebemos uma matriz de identidade, portanto, a decisão foi tomada de forma absolutamente correta.
2 maneiras de calcular a matriz inversa.
1. Transformação elementar de matrizes
2. Matriz inversa através de um conversor elementar.
A transformação de matriz elementar inclui:
1. Multiplicando uma string por um número diferente de zero.
2. Somando a qualquer linha de outra linha, multiplicado por um número.
3. Trocando as linhas da matriz.
4. Aplicando uma cadeia de transformações elementares, obtemos outra matriz.
MAS -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. Um -1*A=E
Considere isso exemplo prático com números reais.
Exercício: Encontre a matriz inversa.
Solução:
Vamos checar:
Um pequeno esclarecimento sobre a solução:
Primeiro trocamos as linhas 1 e 2 da matriz, depois multiplicamos a primeira linha por (-1).
Depois disso, a primeira linha foi multiplicada por (-2) e somada à segunda linha da matriz. Em seguida, multiplicamos a 2ª linha por 1/4.
O estágio final da transformação foi a multiplicação da segunda linha por 2 e a adição da primeira. Como resultado, temos uma matriz identidade à esquerda, portanto, a matriz inversa é a matriz à direita.
Após a verificação, ficamos convencidos da correção da solução.
Como você pode ver, calcular a matriz inversa é muito simples.
Ao concluir esta palestra, também gostaria de dedicar algum tempo às propriedades de tal matriz.
Considere o problema de definir a operação inversa à multiplicação de matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Matriz A^(-1) , que juntamente com a matriz dada A satisfaz as seguintes igualdades:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
Segue-se da definição que se existe uma matriz inversa A^(-1), então ela é quadrada da mesma ordem que A . No entanto, nem toda matriz quadrada tem um inverso. Se o determinante da matriz A for igual a zero (\det(A)=0) , então não há inversa para ela. De fato, aplicando o teorema do determinante do produto matricial para matriz de identidade E=A^(-1)A temos uma contradição
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
Teorema 4.1 sobre a existência e unicidade da matriz inversa. matriz quadrada A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), cujo determinante é diferente de zero, possui uma matriz inversa e, além disso, apenas uma:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatriz)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
onde A^(+) é a matriz transposta para a matriz composta pelos complementos algébricos dos elementos da matriz A .
A matriz A^(+) é chamada matriz anexada em relação à matriz A .
Com efeito, a matriz \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existe sob a condição \det(A)\ne0 . Devemos mostrar que é inversa a A , ou seja, satisfaz duas condições:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Vamos provar a primeira igualdade. De acordo com o item 4 das Observações 2.3, segue das propriedades do determinante que AA^(+)=\det(A)\cdot E. É por isso
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
que seria mostrado. A segunda igualdade é provada de forma análoga. Portanto, sob a condição \det(A)\ne0, a matriz A tem um inverso
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Provamos a unicidade da matriz inversa por contradição. Seja além da matriz A^(-1) exista mais uma matriz inversa B\,(B\ne A^(-1)) tal que AB=E . Multiplicando ambos os lados desta igualdade à esquerda pela matriz A^(-1) , obtemos \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Daí B=A^(-1) , o que contradiz a suposição B\ne A^(-1) . Portanto, a matriz inversa é única.
Observações 4.1
1. Segue da definição que as matrizes A e A^(-1) são permutáveis.
2. A matriz inversa a uma diagonal não degenerada também é diagonal:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\direita)\!.
3. A matriz inversa a uma matriz triangular inferior (superior) não degenerada é triangular inferior (superior).
4. Matrizes elementares possuem inversas, que também são elementares (ver item 1 das Observações 1.11).
A operação de inversão de matrizes tem as seguintes propriedades:
\begin(alinhado)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(alinhado)
Vamos provar a propriedade 2: se o produto AB de matrizes quadradas não singulares de mesma ordem tem uma matriz inversa, então (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Com efeito, o determinante do produto das matrizes AB não é igual a zero, pois
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Onde \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Portanto, a matriz inversa (AB)^(-1) existe e é única. Vamos mostrar por definição que a matriz B^(-1)A^(-1) é inversa em relação à matriz AB . Sério.
