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Quando você era pequeno e brincava com cubos, pode ter somado as figuras mostradas na Figura 154. Esses números dão uma ideia cubóide. A forma de um paralelepípedo retangular é, por exemplo, uma caixa de bombons, um tijolo, uma caixa de fósforos, uma embalagem, um saco de suco.
A Figura 155 mostra um paralelepípedo retangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
cubóide limitado a seis rostos. Cada face é um retângulo, ou seja, a superfície de um paralelepípedo consiste em seis retângulos.
Os lados das faces são chamados arestas de um paralelepípedo retangular, vértices da face − vértices de um paralelepípedo retangular. Por exemplo, os segmentos AB, BC, A 1 B 1 são arestas, e os pontos B, A 1 , C 1 são os vértices do paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).
Um paralelepípedo tem 8 vértices e 12 arestas.
As faces AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C não possuem vértices comuns. Tais arestas são chamadas oposto. O paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 possui mais dois pares de faces opostas: retângulos ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 , além dos retângulos AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C.
As faces opostas de um paralelepípedo são iguais.
Na figura 155, a face ABCD é chamada base cubóide ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
A área da superfície de um paralelepípedo é a soma das áreas de todas as suas faces.
Para se ter uma ideia das dimensões de um paralelepípedo, basta considerar quaisquer três arestas que tenham um vértice comum. Os comprimentos dessas arestas são chamados Medidas paralelepípedo retangular. Para distingui-los, use os nomes: comprimento, largura, altura(Fig. 156).
Um paralelepípedo retangular em que todas as dimensões são iguais é chamado cubo(Fig. 157). A superfície de um cubo consiste em seis quadrados iguais.
Se a caixa, que tem a forma de um paralelepípedo retangular, for aberta ( fig. 158) e cortada ao longo de quatro arestas verticais ( fig. 159) e depois desdobrada, obtemos uma figura composta por seis retângulos ( fig. 160) . Esta figura é chamada desenvolvimento de um paralelepípedo retangular.
A Figura 161 mostra uma figura composta por seis quadrados iguais. É o desenvolvimento de um cubo.
Usando uma varredura, você pode fazer um modelo de um paralelepípedo retangular.
Isso pode ser feito, por exemplo, assim. Desenhe seu contorno no papel. Recorte-o, dobre-o nos segmentos correspondentes às bordas do paralelepípedo retangular (ver fig. 159) e cole-o.
Um cubóide é um tipo de poliedro - uma figura cuja superfície consiste em polígonos. A Figura 162 mostra poliedros.
Um tipo de poliedro é pirâmide.
Esta figura não é novidade para você. Estudando o curso mundo antigo, você conheceu uma das sete maravilhas do mundo - as pirâmides egípcias.
A Figura 163 mostra as pirâmides MABC, MABCD, MABCDE. A superfície da pirâmide é rostos laterais− triângulos com um vértice comum, e motivos(Fig. 164). O vértice comum das faces laterais é chamado as arestas da base da pirâmide, e os lados das faces laterais que não pertencem à base − nervuras laterais da pirâmide.
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com o número de lados da base: triangulares, quadrangulares, pentagonais (ver fig. 163), etc.
Superfície pirâmide triangular consiste em quatro triângulos. Qualquer um desses triângulos pode servir como base de uma pirâmide. Essa base é uma espécie de pirâmide, qualquer face pode servir de base.
A Figura 165 mostra uma figura que pode servir desenvolvimento de uma pirâmide quadrangular. Consiste em um quadrado e quatro triângulos isósceles iguais.
A Figura 166 mostra uma figura que consiste em quatro triângulos equiláteros iguais. Usando esta figura, você pode fazer um modelo de uma pirâmide triangular, na qual todas as faces são triângulos equiláteros.
Poliedros são exemplos corpos geométricos.
A Figura 167 mostra corpos geométricos familiares que não são poliedros. Você aprenderá mais sobre esses corpos na 6ª série.
Definição
poliedro chamaremos de superfície fechada composta de polígonos e delimitando alguma parte do espaço.
Os segmentos que são os lados desses polígonos são chamados costelas poliedro, e os próprios polígonos - rostos. Os vértices dos polígonos são chamados de vértices do poliedro.
Consideraremos apenas poliedros convexos (este é um poliedro que está em um lado de cada plano que contém sua face).
Os polígonos que compõem um poliedro formam sua superfície. A parte do espaço delimitada por um determinado poliedro é chamada de interior.
Definição: prisma
Considere dois polígonos iguais \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) localizados em planos paralelos de forma que os segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) são paralelos. Poliedro formado por polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , além de paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), é chamado de (\(n\)-carvão) prisma.
Os polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) são chamados de bases do prisma, paralelogramo \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces laterais, segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costelas laterais.
Assim, as arestas laterais do prisma são paralelas e iguais entre si.
Considere um exemplo - um prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), cuja base é um pentágono convexo.
Altura Um prisma é uma perpendicular de qualquer ponto de uma base ao plano de outra base.
Se as bordas laterais não são perpendiculares à base, esse prisma é chamado oblíquo(Fig. 1), caso contrário - direto. Para um prisma reto, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos iguais.
Se um polígono regular está na base de um prisma reto, então o prisma é chamado correto.
Definição: conceito de volume
A unidade de volume é um cubo unitário (cubo com dimensões \(1\times1\times1\) units\(^3\) , onde unit é alguma unidade de medida).
Podemos dizer que o volume de um poliedro é a quantidade de espaço que esse poliedro limita. Caso contrário: é um valor cujo valor numérico indica quantas vezes um cubo unitário e suas partes cabem em um determinado poliedro.
O volume tem as mesmas propriedades que a área:
1. Os volumes de figuras iguais são iguais.
2. Se um poliedro é composto por vários poliedros não interseccionados, então seu volume é igual a soma volumes desses poliedros.
3. Volume é um valor não negativo.
4. O volume é medido em cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) ( Metros cúbicos) etc
Teorema
1. A área da superfície lateral do prisma é igual ao produto do perímetro da base pela altura do prisma.
A área da superfície lateral é a soma das áreas das faces laterais do prisma.
2. O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura do prisma: \
Definição: caixa
ParalelepípedoÉ um prisma cuja base é um paralelogramo.
Todas as faces do paralelepípedo (suas \(6\) : \(4\) faces laterais e \(2\) bases) são paralelogramos, e as faces opostas (paralelas entre si) são paralelogramos iguais (Fig. 2).
diagonal da caixaé um segmento conectando dois vértices de um paralelepípedo que não estão na mesma face (seus \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc).
cubóideé um paralelepípedo reto com um retângulo na base.
Porque é um paralelepípedo reto, então as faces laterais são retângulos. Então, em geral, todas as faces de um paralelepípedo retangular são retângulos.
Todas as diagonais de um paralelepípedo são iguais (isso decorre da igualdade dos triângulos \(\triângulo ACC_1=\triângulo AA_1C=\triângulo BDD_1=\triângulo BB_1D\) etc).
Comente
Assim, o paralelepípedo tem todas as propriedades de um prisma.
Teorema
A área da superfície lateral de um paralelepípedo retangular é igual a \
A área total da superfície de um paralelepípedo retangular é \
Teorema
O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de três de suas arestas saindo de um vértice (três dimensões de um paralelepípedo): \
Prova
Porque para um paralelepípedo retangular, as arestas laterais são perpendiculares à base, então são também suas alturas, ou seja, \(h=AA_1=c\) a base é um retângulo \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). É daí que vem a fórmula.
Teorema
A diagonal \(d\) de um paralelepípedo é procurada pela fórmula (onde \(a,b,c\) são as dimensões do paralelepípedo)\
Prova
Considere a Fig. 3. Porque a base é um retângulo, então \(\triângulo ABD\) é retangular, portanto, pelo teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Porque todas as arestas laterais são perpendiculares às bases, então \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular a qualquer linha neste plano, ou seja, \(BB_1\perp BD\) . Então \(\triângulo BB_1D\) é retangular. Então pelo teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.
Definição: cubo
Cuboé um paralelepípedo retangular cujos lados são quadrados iguais.
Assim, as três dimensões são iguais entre si: \(a=b=c\) . Então as seguintes são verdadeiras
teoremas
1. O volume de um cubo com aresta \(a\) é \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. A diagonal do cubo é procurada pela fórmula \(d=a\sqrt3\) .
3. Área total da superfície de um cubo \(S_(\text(iterações completas do cubo))=6a^2\).
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