Uma das figuras volumétricas mais simples é uma pirâmide triangular, pois consiste no menor número de faces a partir das quais uma figura pode ser formada no espaço. Neste artigo, consideraremos fórmulas com as quais você pode encontrar o volume de um triângulo pirâmide correta.
De acordo com definição comum Uma pirâmide é um polígono, cujos vértices estão todos conectados a um ponto que não está localizado no plano desse polígono. Se o último for um triângulo, então a figura inteira é chamada de pirâmide triangular.
A pirâmide considerada consiste em uma base (triângulo) e três faces laterais (triângulos). O ponto onde as três faces laterais estão conectadas é chamado de vértice da figura. A perpendicular baixada à base a partir deste vértice é a altura da pirâmide. Se o ponto de intersecção da perpendicular com a base coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo na base, então eles falam de uma pirâmide regular. Caso contrário, será inclinado.
Como mencionado, a base de uma pirâmide triangular pode ser um triângulo tipo geral. No entanto, se for equilátero e a própria pirâmide for reta, eles falam sobre a figura tridimensional correta.
Cada um tem 4 faces, 6 arestas e 4 vértices. Se os comprimentos de todas as arestas forem iguais, essa figura é chamada de tetraedro.
Antes de escrever uma pirâmide triangular regular, damos uma expressão para esta quantidade física para uma pirâmide geral. Esta expressão se parece com:
Aqui S o é a área da base, h é a altura da figura. Esta igualdade será válida para qualquer tipo de base do polígono da pirâmide, assim como para o cone. Se na base houver um triângulo com comprimento de lado a e altura h o abaixado, então a fórmula do volume será escrita da seguinte forma:
Triangular tem um triângulo equilátero na base. Sabe-se que a altura deste triângulo está relacionada com o comprimento de seu lado pela igualdade:
Substituindo esta expressão na fórmula do volume de uma pirâmide triangular, escrita no parágrafo anterior, temos:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
O volume de uma pirâmide regular com base triangular é uma função do comprimento do lado da base e da altura da figura.
Como qualquer polígono regular pode ser inscrito em um círculo cujo raio determina exclusivamente o comprimento do lado do polígono, essa fórmula pode ser escrita em termos do raio correspondente r:
Esta fórmula é fácil de obter da anterior, dado que o raio r do círculo circunscrito pelo comprimento do lado a do triângulo é determinado pela expressão:
Vamos mostrar como usar as fórmulas acima na resolução de problemas de geometria específicos.
Sabe-se que o tetraedro tem um comprimento de aresta de 7 cm Encontre o volume de um tetraedro-pirâmide triangular regular.
Lembre-se de que um tetraedro é uma pirâmide triangular regular na qual todas as bases são iguais entre si. Para usar a fórmula para o volume de uma pirâmide triangular regular, você precisa calcular duas quantidades:
O primeiro valor é conhecido a partir da condição do problema:
Para determinar a altura, considere a figura mostrada na figura.
O triângulo marcado ABC é um triângulo retângulo onde o ângulo ABC é 90o. O lado AC é a hipotenusa, cujo comprimento é a. Por raciocínio geométrico simples, pode-se mostrar que o lado BC tem comprimento:
Observe que o comprimento BC é o raio do círculo circunscrito ao redor do triângulo.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).
Agora você pode substituir h e a na fórmula correspondente para o volume:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Assim, obtivemos a fórmula para o volume de um tetraedro. Pode-se observar que o volume depende apenas do comprimento da costela. Se substituirmos o valor da condição do problema na expressão, obteremos a resposta:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Se compararmos este valor com o volume de um cubo que tem a mesma aresta, obtemos que o volume de um tetraedro é 8,5 vezes menor. Isso indica que o tetraedro é uma figura compacta, que é realizada em algumas substâncias naturais. Por exemplo, a molécula de metano é tetraédrica, e cada átomo de carbono no diamante está conectado a quatro outros átomos para formar um tetraedro.
Vamos resolver um curioso problema geométrico. Suponha que exista uma pirâmide triangular regular com algum volume V 1 . De quantas vezes o tamanho dessa figura deve ser reduzido para obter uma pirâmide homotética a ela com um volume três vezes menor que o original?
Vamos começar a resolver o problema escrevendo a fórmula para a pirâmide regular original:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Deixe que o volume da figura requerido pela condição do problema seja obtido multiplicando seus parâmetros pelo coeficiente k. Nós temos:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Como a razão dos volumes das figuras é conhecida a partir da condição, obtemos o valor do coeficiente k:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Observe que teríamos obtido um valor semelhante do coeficiente k para um tipo arbitrário de pirâmide, e não apenas para uma triangular regular.
Definição. Face lateral- este é um triângulo em que um ângulo está no topo da pirâmide e o lado oposto coincide com o lado da base (polígono).
Definição. Costelas laterais são os lados comuns das faces laterais. Uma pirâmide tem tantas arestas quantos cantos em um polígono.
Definição. altura da pirâmideé uma perpendicular baixada do topo até a base da pirâmide.
Definição. Apótema- esta é a perpendicular da face lateral da pirâmide, baixada do topo da pirâmide até a lateral da base.
Definição. Seção diagonal- esta é uma seção da pirâmide por um plano que passa pelo topo da pirâmide e pela diagonal da base.
Definição. Pirâmide correta- Esta é uma pirâmide em que a base é um polígono regular e a altura desce até o centro da base.
Fórmula. volume da pirâmide através da área da base e da altura:
Se todas as arestas laterais são iguais, então um círculo pode ser circunscrito ao redor da base da pirâmide, e o centro da base coincide com o centro do círculo. Além disso, a perpendicular baixada do topo passa pelo centro da base (círculo).
Se todas as nervuras laterais forem iguais, elas serão inclinadas em relação ao plano de base nos mesmos ângulos.
As nervuras laterais são iguais quando formam ângulos iguais com o plano da base, ou se um círculo pode ser descrito ao redor da base da pirâmide.
Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano da base em um ângulo, então um círculo pode ser inscrito na base da pirâmide e o topo da pirâmide é projetado em seu centro.
Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano base em um ângulo, então os apótemas das faces laterais são iguais.
1. O topo da pirâmide é equidistante de todos os cantos da base.
2. Todas as arestas laterais são iguais.
3. Todas as nervuras laterais são inclinadas nos mesmos ângulos em relação à base.
4. Apótemas de todas as faces laterais são iguais.
5. As áreas de todas as faces laterais são iguais.
6. Todas as faces têm os mesmos ângulos diedros (planos).
7. Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide. O centro da esfera descrita será o ponto de intersecção das perpendiculares que passam pelo meio das arestas.
8. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide. O centro da esfera inscrita será o ponto de intersecção das bissetrizes que emanam do ângulo entre a aresta e a base.
9. Se o centro da esfera inscrita coincide com o centro da esfera circunscrita, então a soma dos ângulos planos no vértice é igual a π ou vice-versa, um ângulo é igual a π / n, onde n é o número dos ângulos da base da pirâmide.
Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide quando na base da pirâmide está um poliedro ao redor do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam perpendicularmente pelos pontos médios das arestas laterais da pirâmide.
Uma esfera sempre pode ser descrita em torno de qualquer pirâmide triangular ou regular.
Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetrizes dos ângulos diedros internos da pirâmide se cruzam em um ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto será o centro da esfera.
Um cone é dito inscrito em uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está inscrita na base da pirâmide.
Um cone pode ser inscrito em uma pirâmide se os apótemas da pirâmide forem iguais.
Diz-se que um cone está circunscrito ao redor de uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está circunscrita ao redor da base da pirâmide.
Um cone pode ser descrito em torno de uma pirâmide se todas as arestas laterais da pirâmide forem iguais entre si.
Diz-se que uma pirâmide está inscrita em um cilindro se o topo da pirâmide estiver em uma base do cilindro e a base da pirâmide estiver inscrita em outra base do cilindro.
Um cilindro pode ser circunscrito em torno de uma pirâmide se um círculo pode ser circunscrito em torno da base da pirâmide.
Um tetraedro tem quatro faces e quatro vértices e seis arestas, onde quaisquer duas arestas não têm vértices comuns, mas não se tocam.
Cada vértice consiste em três faces e arestas que formam ângulo triédrico.
O segmento que liga o vértice do tetraedro com o centro da face oposta é chamado mediana do tetraedro(GM).
Bimedianoé chamado de segmento conectando os pontos médios de arestas opostas que não se tocam (KL).
Todas as bimedianas e medianas de um tetraedro se cruzam em um ponto (S). Neste caso, as bimedianas são divididas ao meio, e as medianas na proporção de 3:1 a partir do topo.
Definição. Pirâmide Angular Agudaé uma pirâmide em que o apótema tem mais da metade do comprimento do lado da base.
Definição. pirâmide obtusaé uma pirâmide em que o apótema é menor que a metade do comprimento do lado da base.
Definição. tetraedro regular Um tetraedro cujas quatro faces são triângulos equiláteros. É um dos cinco polígonos regulares. Em um tetraedro regular, todos os ângulos diedros (entre faces) e ângulos triédricos (em um vértice) são iguais.
Definição. Tetraedro retangular um tetraedro é chamado que tem um ângulo reto entre três arestas no vértice (as arestas são perpendiculares). Forma de três faces ângulo triédrico retangular e as faces são triângulos retângulos, e a base é um triângulo arbitrário. O apótema de qualquer rosto é igual à metade do lado da base sobre o qual o apótema cai.
Definição. Tetraedro isoédrico Um tetraedro é chamado em que as faces laterais são iguais entre si, e a base é um triângulo regular. As faces de tal tetraedro são triângulos isósceles.
Definição. Tetraedro ortocêntrico um tetraedro é chamado em que todas as alturas (perpendiculares) que são abaixadas do topo para a face oposta se cruzam em um ponto.
Definição. pirâmide estelar Chama-se poliedro cuja base é uma estrela.
Uma pirâmide é um poliedro com um polígono em sua base. Todas as faces, por sua vez, formam triângulos que convergem em um vértice. As pirâmides são triangulares, quadrangulares e assim por diante. Para determinar qual pirâmide está à sua frente, basta contar o número de cantos em sua base. A definição de "altura da pirâmide" é frequentemente encontrada em problemas de geometria em currículo escolar. No artigo vamos tentar considerar jeitos diferentes a localização dela.
Partes da pirâmide
Cada pirâmide consiste nos seguintes elementos:
Como encontrar a altura de uma pirâmide se seu volume é conhecido
Através da fórmula V \u003d (S * h) / 3 (na fórmula V é o volume, S é a área da base, h é a altura da pirâmide), descobrimos que h \u003d (3 * V) / S . Para consolidar o material, vamos resolver imediatamente o problema. NO base triangularé de 50 cm 2, enquanto seu volume é de 125 cm 3. A altura da pirâmide triangular é desconhecida, o que precisamos encontrar. Tudo é simples aqui: inserimos os dados em nossa fórmula. Obtemos h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Como encontrar a altura de uma pirâmide se o comprimento da diagonal e sua borda são conhecidos
Como lembramos, a altura da pirâmide forma um ângulo reto com sua base. E isso significa que a altura, a aresta e a metade da diagonal juntos formam Muitos, é claro, lembre-se do teorema de Pitágoras. Conhecendo duas dimensões, não será difícil encontrar o terceiro valor. Lembre-se do conhecido teorema a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e, no nosso caso, a borda da pirâmide; b - a primeira perna ou metade da diagonal ec - respectivamente, a segunda perna, ou a altura da pirâmide. A partir desta fórmula, c² = a² - b².
Agora o problema: em uma pirâmide regular, a diagonal é de 20 cm, enquanto o comprimento da aresta é de 30 cm. Você precisa encontrar a altura. Resolvemos: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Portanto, c \u003d √ 500 \u003d cerca de 22,4.
Como encontrar a altura de uma pirâmide truncada
É um polígono que tem uma seção paralela à sua base. A altura de uma pirâmide truncada é o segmento que conecta suas duas bases. A altura pode ser encontrada em uma pirâmide regular se os comprimentos das diagonais de ambas as bases, bem como a borda da pirâmide, forem conhecidos. Deixe a diagonal mais razãoé igual a d1, enquanto a diagonal da base menor é d2, e a aresta tem comprimento - l. Para encontrar a altura, você pode abaixar as alturas dos dois pontos opostos superiores do diagrama até sua base. Vemos que temos dois triângulos retângulos, resta encontrar os comprimentos de seus catetos. Para fazer isso, subtraia a diagonal menor da diagonal maior e divida por 2. Assim, encontraremos uma perna: a \u003d (d1-d2) / 2. Depois disso, de acordo com o teorema de Pitágoras, só temos que encontrar a segunda perna, que é a altura da pirâmide.
Agora vamos ver tudo isso na prática. Temos uma tarefa pela frente. A pirâmide truncada tem um quadrado na base, o comprimento diagonal da base maior é de 10 cm, enquanto a menor é de 6 cm e a borda é de 4 cm. É necessário encontrar a altura. Para começar, encontramos uma perna: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Uma perna tem 2 cm e a hipotenusa é 4 cm. Acontece que a segunda perna ou altura será 16- 4 \u003d 12, ou seja, h \u003d √12 = cerca de 3,5 cm.
Como ela se parece?
Você vê: na pirâmide abaixo (eles dizem " na base"") algum polígono, e todos os vértices desse polígono estão conectados a algum ponto no espaço (esse ponto é chamado de " vértice»).
Toda essa estrutura tem faces laterais, costelas laterais e costelas de base. Mais uma vez, vamos desenhar uma pirâmide junto com todos esses nomes:
Algumas pirâmides podem parecer muito estranhas, mas ainda são pirâmides.
Aqui, por exemplo, bastante "oblíquo" pirâmide.
E um pouco mais sobre os nomes: se há um triângulo na base da pirâmide, então a pirâmide é chamada de triangular;
Ao mesmo tempo, o ponto em que caiu altura, é chamado base de altura. Observe que nas pirâmides "tortas" altura pode até estar fora da pirâmide. Assim:
E não há nada de terrível nisso. Parece um triângulo obtuso.
Um monte de palavras complexas? Vamos decifrar: "Na base - correto" - isso é compreensível. E agora lembre-se que um polígono regular tem um centro - um ponto que é o centro de e , e .
Bem, e as palavras “o topo é projetado no centro da base” significam que a base da altura cai exatamente no centro da base. Olha como ficou fofinho e fofo pirâmide direita.
Hexagonal: na base - um hexágono regular, o vértice é projetado no centro da base.
quadrangular: na base - um quadrado, o topo é projetado para o ponto de interseção das diagonais desse quadrado.
triangular: na base é um triângulo regular, o vértice é projetado para o ponto de interseção das alturas (elas também são medianas e bissetrizes) desse triângulo.
Altamente propriedades importantes de uma pirâmide regular:
Na pirâmide certa
De onde veio exatamente? Isso não é tão simples, e a princípio você só precisa lembrar que a pirâmide e o cone têm volume na fórmula, mas o cilindro não.
Agora vamos calcular o volume das pirâmides mais populares.
Seja o lado da base igual e a aresta lateral igual. Eu preciso encontrar e.
Esta é a área de um triângulo retângulo.
Vamos lembrar como procurar por esta área. Usamos a fórmula da área:
Temos "" - isso, e "" - isso também, eh.
Agora vamos encontrar.
De acordo com o teorema de Pitágoras para
O que isso importa? Este é o raio do círculo circunscrito em, porque pirâmidecorreto e, portanto, o centro.
Desde - o ponto de intersecção e a mediana também.
(Teorema de Pitágoras para)
Substitua na fórmula de.
Vamos colocar tudo na fórmula do volume:
Atenção: se você tem um tetraedro regular (ou seja), então a fórmula é:
Seja o lado da base igual e a aresta lateral igual.
Não há necessidade de pesquisar aqui; porque na base é um quadrado, e portanto.
Vamos encontrar. De acordo com o teorema de Pitágoras para
Nós sabemos? Quase. Olhar:
(vimos isso revisando).
Substitua na fórmula por:
E agora substituímos e na fórmula do volume.
Deixe o lado da base ser igual, e a borda lateral.
Como encontrar? Veja, um hexágono consiste em exatamente seis triângulos regulares idênticos. Já procuramos a área de um triângulo regular ao calcular o volume de uma pirâmide triangular regular, aqui usamos a fórmula encontrada.
Agora vamos encontrar (isto).
De acordo com o teorema de Pitágoras para
Mas o que isso importa? É simples porque (e todos os outros também) está correto.
Substituímos:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
Uma pirâmide é um poliedro que consiste em qualquer polígono plano (), um ponto que não se encontra no plano da base (topo da pirâmide) e todos os segmentos que ligam o topo da pirâmide aos pontos da base (bordas laterais).
Uma perpendicular caiu do topo da pirâmide até o plano da base.
Pirâmide correta- uma pirâmide, que tem um polígono regular na base, e o topo da pirâmide é projetado no centro da base.
Propriedade de uma pirâmide regular:
Volume da pirâmide:
Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.
Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!
Agora o mais importante.
Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que a grande maioria de seus pares.
O problema é que isso pode não ser suficiente...
Para que?
Para sucesso passando no exame, para admissão ao instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.
Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...
Pessoas que receberam uma boa educação, ganham muito mais do que quem não recebeu. Isso é estatística.
Mas isso não é o principal.
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