Aspettativa matematica e dispersione: le caratteristiche numeriche più comunemente utilizzate variabile casuale. Caratterizzano le caratteristiche più importanti della distribuzione: la sua posizione e il grado di dispersione. In molti problemi pratici, una descrizione completa ed esauriente di una variabile casuale - la legge di distribuzione - o non può essere ottenuta o non è affatto necessaria. In questi casi, si limitano a una descrizione approssimativa di una variabile casuale utilizzando caratteristiche numeriche.
L'aspettativa matematica viene spesso definita semplicemente come il valore medio di una variabile casuale. Dispersione di una variabile casuale - una caratteristica della dispersione, dispersione di una variabile casuale attorno ad essa aspettativa matematica.
Avviciniamoci al concetto di aspettativa matematica, partendo innanzitutto dall'interpretazione meccanica della distribuzione di una variabile aleatoria discreta. Lascia che l'unità di massa sia distribuita tra i punti dell'asse x X1 , X 2 , ..., X n, e ogni punto materiale ha una massa corrispondente ad esso da p1 , p 2 , ..., p n. È necessario scegliere un punto sull'asse x, che caratterizza la posizione dell'intero sistema di punti materiali, tenendo conto delle loro masse. È naturale prendere il centro di massa del sistema di punti materiali come tale. Questa è la media ponderata della variabile casuale X, in cui l'ascissa di ogni punto Xio entra con un "peso" pari alla probabilità corrispondente. Il valore medio della variabile casuale così ottenuta Xè chiamata aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e le probabilità di questi valori:
Esempio 1È stata organizzata una lotteria vincente. Ci sono 1000 vincite, 400 delle quali sono 10 rubli ciascuna. 300 - 20 rubli ciascuno 200 - 100 rubli ciascuno. e 100 - 200 rubli ciascuno. Che cosa la dimensione media vincite per una persona che acquista un biglietto?
Soluzione. Troveremo la vincita media se l'importo totale delle vincite, che è pari a 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubli, è diviso per 1000 (l'importo totale delle vincite). Quindi otteniamo 50000/1000 = 50 rubli. Ma l'espressione per calcolare il guadagno medio può essere rappresentata anche nella forma seguente:
D'altra parte, in queste condizioni, l'importo della vincita è una variabile casuale che può assumere i valori di 10, 20, 100 e 200 rubli. con probabilità rispettivamente pari a 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Pertanto, il guadagno medio atteso è uguale alla somma i prodotti dell'entità delle vincite per la probabilità di ottenerle.
Esempio 2 L'editore ha deciso di pubblicare nuovo libro. Venderà il libro per 280 rubli, di cui 200 gli saranno dati, 50 alla libreria e 30 all'autore. La tabella fornisce informazioni sul costo di pubblicazione di un libro e sulla probabilità di vendere un certo numero di copie del libro.
Trova il profitto previsto dell'editore.
Soluzione. La variabile aleatoria "profitto" è uguale alla differenza tra il reddito della vendita e il costo dei costi. Ad esempio, se vengono vendute 500 copie di un libro, il reddito dalla vendita è 200 * 500 = 100.000 e il costo della pubblicazione è di 225.000 rubli. Pertanto, l'editore deve affrontare una perdita di 125.000 rubli. La tabella seguente riassume i valori attesi della variabile casuale - profitto:
| Numero | Profitto Xio | Probabilità pio | Xio p io |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Totale: | 1,00 | 25000 |
Quindi, otteniamo l'aspettativa matematica del profitto dell'editore:
.
Esempio 3 Possibilità di colpire con un colpo p= 0,2. Determina il consumo di proiettili che forniscono l'aspettativa matematica del numero di colpi pari a 5.
Soluzione. Dalla stessa formula di aspettativa che abbiamo usato finora, esprimiamo X- consumo di conchiglie:
.
Esempio 4 Determina l'aspettativa matematica di una variabile casuale X numero di colpi a tre colpi, se la probabilità di colpire ad ogni colpo p = 0,4 .
Suggerimento: trova la probabilità dei valori di una variabile casuale di Formula di Bernoulli .
Considera le proprietà dell'aspettativa matematica.
Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a questa costante:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere dedotto dal segno di aspettativa:
Proprietà 3. L'aspettativa matematica della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 4. L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 5. Se tutti i valori della variabile casuale X diminuire (aumentare) dello stesso numero DA, quindi la sua aspettativa matematica diminuirà (aumenterà) dello stesso numero:
Nella maggior parte dei casi, solo l'aspettativa matematica non può caratterizzare adeguatamente una variabile casuale.
Lasciate variabili casuali X e Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| Significato X | Probabilità |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Significato Y | Probabilità |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Le aspettative matematiche di queste quantità sono le stesse - pari a zero:
Tuttavia, la loro distribuzione è diversa. Valore casuale X può assumere solo valori poco diversi dall'aspettativa matematica e dalla variabile casuale Y può assumere valori che si discostano significativamente dall'aspettativa matematica. Un esempio simile: il salario medio non permette di giudicare peso specifico lavoratori ad alto e basso salario. In altre parole, dall'aspettativa matematica non si può giudicare quali deviazioni da essa, almeno in media, siano possibili. Per fare ciò, devi trovare la varianza di una variabile casuale.
dispersione variabile casuale discreta Xè chiamata aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione dall'aspettativa matematica:
La deviazione standard di una variabile casuale Xè il valore aritmetico della radice quadrata della sua varianza:
.
Esempio 5 Calcola varianze e medie deviazioni standard variabili casuali X e Y, le cui leggi di distribuzione sono riportate nelle tabelle precedenti.
Soluzione. Aspettative matematiche di variabili casuali X e Y, come trovato sopra, sono uguali a zero. Secondo la formula di dispersione per e(X)=e(y)=0 otteniamo:
Quindi le deviazioni standard delle variabili casuali X e Y costituire
.
Quindi, con le stesse aspettative matematiche, la varianza della variabile casuale X molto piccolo e casuale Y- significativo. Questa è una conseguenza della differenza nella loro distribuzione.
Esempio 6 L'investitore ha 4 progetti di investimento alternativi. La tabella riassume i dati sul profitto atteso in questi progetti con la probabilità corrispondente.
| Progetto 1 | Progetto 2 | Progetto 3 | Progetto 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Trova per ciascuna alternativa l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard.
Soluzione. Mostriamo come vengono calcolate queste quantità per la 3a alternativa:
La tabella riassume i valori trovati per tutte le alternative.
Tutte le alternative hanno la stessa aspettativa matematica. Ciò significa che a lungo termine tutti hanno lo stesso reddito. La deviazione standard può essere interpretata come una misura del rischio: maggiore è, maggiore è il rischio dell'investimento. Un investitore che non vuole molto rischio sceglierà il progetto 1 perché ha la deviazione standard più piccola (0). Se l'investitore preferisce il rischio e rendimenti più elevati breve periodo, quindi sceglierà il progetto con la deviazione standard maggiore - progetto 4.
Presentiamo le proprietà della dispersione.
Proprietà 1. La dispersione di un valore costante è zero:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere estratto dal segno di dispersione quadrandolo:
.
Proprietà 3. La varianza di una variabile casuale è uguale all'aspettativa matematica del quadrato di questo valore, da cui si sottrae il quadrato dell'aspettativa matematica del valore stesso:
,
dove 
.
Proprietà 4. La varianza della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro varianze:
Esempio 7È noto che una variabile casuale discreta X accetta solo due valori: −3 e 7. Inoltre, è nota l'aspettativa matematica: e(X) = 4 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta.
Soluzione. Indica con p la probabilità con cui una variabile casuale assume un valore X1 = −3 . Quindi la probabilità del valore X2 = 7 sarà 1 − p. Deriviamo l'equazione per l'aspettativa matematica:
e(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
dove otteniamo le probabilità: p= 0,3 e 1 − p = 0,7 .
La legge di distribuzione di una variabile casuale:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calcoliamo la varianza di questa variabile casuale usando la formula dalla proprietà 3 della varianza:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Esempio 8 Variabile casuale discreta X prende solo due valori. Prende il valore maggiore di 3 con una probabilità di 0,4. Inoltre, è nota la varianza della variabile casuale D(X) = 6 . Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale.
Esempio 9 Un'urna contiene 6 palline bianche e 4 nere. Si prendono 3 palline dall'urna. Il numero di palline bianche tra le palline estratte è una variabile casuale discreta X. Trova l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.
Soluzione. Valore casuale X può assumere i valori 0, 1, 2, 3. Le probabilità corrispondenti possono essere calcolate da regola di moltiplicazione delle probabilità. La legge di distribuzione di una variabile casuale:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Da qui l'aspettativa matematica di questa variabile casuale:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La varianza di una data variabile casuale è:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Per una variabile casuale continua, l'interpretazione meccanica dell'aspettativa matematica manterrà lo stesso significato: il centro di massa per un'unità di massa distribuita in modo continuo sull'asse x con densità f(X). In contrasto con una variabile casuale discreta, per la quale l'argomento della funzione Xio cambia bruscamente, per una variabile casuale continua, l'argomento cambia continuamente. Ma l'aspettativa matematica di una variabile casuale continua è anche correlata al suo valore medio.
Per trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale continua, è necessario trovare integrali definiti . Se viene data una funzione di densità di una variabile casuale continua, essa entra direttamente nell'integrando. Se viene data una funzione di distribuzione di probabilità, differenziandola, è necessario trovare la funzione di densità.
Viene chiamata la media aritmetica di tutti i possibili valori di una variabile casuale continua aspettativa matematica, indicato da o .
La teoria della probabilità è una branca speciale della matematica che viene studiata solo dagli studenti degli istituti di istruzione superiore. Ami i calcoli e le formule? Non hai paura delle prospettive di conoscenza della distribuzione normale, dell'entropia dell'insieme, dell'aspettativa matematica e della varianza di una variabile casuale discreta? Allora questo argomento sarà di grande interesse per te. Facciamo conoscenza con alcuni dei concetti base più importanti di questa sezione della scienza.
Anche se ricordi di più concetti semplici teoria della probabilità, non trascurare i primi paragrafi dell'articolo. Il fatto è che senza una chiara comprensione delle basi, non sarai in grado di lavorare con le formule discusse di seguito.
Quindi ce n'è qualcuno evento casuale, qualche esperimento. Come risultato delle azioni eseguite, possiamo ottenere diversi risultati: alcuni sono più comuni, altri meno comuni. La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di risultati effettivamente ottenuti di un tipo e il numero totale di quelli possibili. Solo sapere definizione classica di questo concetto, puoi iniziare a studiare l'aspettativa matematica e la varianza di variabili casuali continue.
A scuola, alle lezioni di matematica, hai iniziato a lavorare con la media aritmetica. Questo concetto è ampiamente utilizzato nella teoria della probabilità e quindi non può essere ignorato. La cosa principale per noi questo momentoè che lo incontreremo nelle formule per l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale.
Abbiamo una sequenza di numeri e vogliamo trovare la media aritmetica. Tutto ciò che ci viene richiesto è sommare tutto ciò che è disponibile e dividerlo per il numero di elementi nella sequenza. Abbiamo numeri da 1 a 9. La somma degli elementi sarà 45 e divideremo questo valore per 9. Risposta: - 5.
In termini scientifici, la varianza è il quadrato medio delle deviazioni dei valori delle caratteristiche ottenuti dalla media aritmetica. Uno è indicato da una lettera latina maiuscola D. Cosa è necessario per calcolarlo? Per ogni elemento della sequenza calcoliamo la differenza tra il numero disponibile e la media aritmetica e la quadramo. Ci saranno esattamente tanti valori quanti possono essere i risultati per l'evento che stiamo considerando. Successivamente, riassumiamo tutto ciò che abbiamo ricevuto e dividiamo per il numero di elementi nella sequenza. Se abbiamo cinque possibili risultati, allora dividi per cinque.
La varianza ha anche proprietà che è necessario ricordare per applicarla durante la risoluzione dei problemi. Ad esempio, se la variabile casuale viene aumentata di X volte, la varianza aumenta di X volte il quadrato (cioè X*X). Non è mai inferiore a zero e non dipende dallo spostamento dei valori di un valore uguale verso l'alto o verso il basso. Inoltre, per le prove indipendenti, la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze.
Ora dobbiamo assolutamente considerare esempi della varianza di una variabile casuale discreta e dell'aspettativa matematica.
Diciamo che eseguiamo 21 esperimenti e otteniamo 7 risultati diversi. Abbiamo osservato ciascuno di essi, rispettivamente, 1,2,2,3,4,4 e 5 volte. Quale sarà la varianza?
Per prima cosa calcoliamo la media aritmetica: la somma degli elementi, ovviamente, è 21. La dividiamo per 7, ottenendo 3. Ora sottraiamo 3 da ogni numero nella sequenza originale, al quadrato ogni valore e sommiamo i risultati . Risulta 12. Ora ci resta da dividere il numero per il numero di elementi e, sembrerebbe, questo è tutto. Ma c'è un problema! Discutiamolo.
Si scopre che quando si calcola la varianza, il denominatore può essere uno di due numeri: N o N-1. Qui N è il numero di esperimenti eseguiti o il numero di elementi nella sequenza (che è essenzialmente la stessa cosa). Da cosa dipende?
Se il numero di test è misurato in centinaia, allora dobbiamo mettere al denominatore N. Se in unità, allora N-1. Gli scienziati hanno deciso di disegnare il confine in modo abbastanza simbolico: oggi corre lungo il numero 30. Se abbiamo condotto meno di 30 esperimenti, divideremo l'importo per N-1 e, se di più, per N.
Torniamo al nostro esempio di risoluzione del problema della varianza e dell'aspettativa. Abbiamo ottenuto un numero intermedio di 12, che doveva essere diviso per N o N-1. Poiché abbiamo condotto 21 esperimenti, che sono meno di 30, sceglieremo la seconda opzione. Quindi la risposta è: la varianza è 12 / 2 = 2.
Passiamo al secondo concetto, che dobbiamo considerare in questo articolo. L'aspettativa matematica è il risultato della somma di tutti i possibili risultati moltiplicati per le probabilità corrispondenti. È importante capire che il valore ottenuto, così come il risultato del calcolo della varianza, viene ottenuto una sola volta intero compito, non importa quanti risultati considera.
La formula matematica dell'aspettativa è abbastanza semplice: prendiamo il risultato, lo moltiplichiamo per la sua probabilità, aggiungiamo lo stesso per il secondo, terzo risultato, ecc. Tutto ciò che riguarda questo concetto è facile da calcolare. Ad esempio, la somma delle aspettative matematiche è uguale all'aspettativa matematica della somma. Lo stesso vale per il lavoro. Non tutte le quantità nella teoria della probabilità consentono di eseguire operazioni così semplici. Prendiamo un compito e calcoliamo il valore di due concetti che abbiamo studiato contemporaneamente. Inoltre, siamo stati distratti dalla teoria: è ora di esercitarsi.
Abbiamo eseguito 50 prove e ottenuto 10 tipi di risultati - numeri da 0 a 9 - visualizzati in percentuali variabili. Questi sono rispettivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ricordiamo che per ottenere le probabilità, è necessario dividere i valori percentuali per 100. Quindi, otteniamo 0,02; 0.1 ecc. Presentiamo un esempio di risoluzione del problema per la varianza di una variabile casuale e l'aspettativa matematica.
Calcoliamo la media aritmetica utilizzando la formula che ricordiamo dalle elementari: 50/10 = 5.
Ora traduciamo le probabilità nel numero di risultati "in pezzi" per rendere più comodo il conteggio. Otteniamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 e 9. Sottrarre la media aritmetica da ogni valore ottenuto, dopodiché quadrare ciascuno dei risultati ottenuti. Guarda come farlo con il primo elemento come esempio: 1 - 5 = (-4). Inoltre: (-4) * (-4) = 16. Per altri valori, eseguire queste operazioni da soli. Se hai fatto tutto bene, dopo aver aggiunto tutto ottieni 90.
Continuiamo a calcolare la varianza e la media dividendo 90 per N. Perché scegliamo N e non N-1? Esatto, perché il numero di esperimenti eseguiti supera 30. Quindi: 90/10 = 9. Abbiamo ottenuto la dispersione. Se ottieni un numero diverso, non disperare. Molto probabilmente, hai commesso un errore banale nei calcoli. Ricontrolla ciò che hai scritto e di sicuro tutto andrà a posto.
Infine, ricordiamo la formula di aspettativa matematica. Non daremo tutti i calcoli, scriveremo solo la risposta con la quale potrai verificare dopo aver completato tutte le procedure richieste. Il valore atteso sarà 5,48. Ricordiamo solo come eseguire le operazioni, utilizzando l'esempio dei primi elementi: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... e così via. Come puoi vedere, moltiplichiamo semplicemente il valore del risultato per la sua probabilità.
Un altro concetto strettamente correlato alla dispersione e all'aspettativa matematica è la deviazione standard. È indicato o dalle lettere latine sd, o dal greco minuscolo "sigma". Questo concetto mostra come i valori si discostino in media dalla caratteristica centrale. Per trovarne il valore, devi calcolare Radice quadrata dalla dispersione.
Se tracciate una distribuzione normale e volete vederla direttamente deviazione standard, questo può essere fatto in più passaggi. Prendi metà dell'immagine a sinistra oa destra della modalità (valore centrale), disegna una perpendicolare all'asse orizzontale in modo che le aree delle figure risultanti siano uguali. Il valore del segmento tra il centro della distribuzione e la proiezione risultante sull'asse orizzontale sarà la deviazione standard.
Come si può vedere dalle descrizioni delle formule e dagli esempi presentati, il calcolo della varianza e dell'aspettativa matematica non è la procedura più semplice da un punto di vista aritmetico. Per non perdere tempo, ha senso utilizzare il programma utilizzato nell'istruzione superiore: si chiama "R". Ha funzioni che ti consentono di calcolare i valori per molti concetti dalla statistica e dalla teoria della probabilità.
Ad esempio, si definisce un vettore di valori. Questo viene fatto come segue: vettore<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Dispersione e aspettativa matematica sono senza le quali è difficile calcolare qualcosa in futuro. Nel corso principale delle lezioni nelle università, sono considerati già nei primi mesi di studio della materia. È proprio a causa della mancanza di comprensione di questi semplici concetti e dell'incapacità di calcolarli che molti studenti iniziano immediatamente a rimanere indietro nel programma e successivamente ricevono voti bassi alla fine della sessione, che li priva di borse di studio.
Esercitati almeno una settimana per mezz'ora al giorno, risolvendo compiti simili a quelli presentati in questo articolo. Quindi, in qualsiasi test di teoria della probabilità, affronterai esempi senza suggerimenti e trucchi estranei.
Se la popolazione è suddivisa in gruppi in base al tratto in studio, è possibile calcolare i seguenti tipi di dispersione per questa popolazione: totale, gruppo (intragruppo), media di gruppo (media dell'intragruppo), intergruppo.
Inizialmente, calcola il coefficiente di determinazione, che mostra quale parte della variazione totale del tratto studiato è la variazione intergruppo, cioè per raggruppamento:
Il rapporto di correlazione empirica caratterizza la tenuta della connessione tra i segni di raggruppamento (fattoriale) ed effettivi.
Il rapporto di correlazione empirica può assumere valori da 0 a 1.
Per valutare la vicinanza della relazione in base al rapporto di correlazione empirica, è possibile utilizzare le relazioni di Chaddock:
Esempio 4 Esistono i seguenti dati sull'esecuzione del lavoro in base alla progettazione e alle organizzazioni di rilevamento di varie forme di proprietà:
Definire:
1) varianza totale;
2) dispersioni di gruppo;
3) la media delle dispersioni di gruppo;
4) dispersione intergruppo;
5) varianza totale basata sulla regola della somma delle varianze;
6) coefficiente di determinazione e correlazione empirica.
Trai le tue conclusioni.
Soluzione:
1. Determiniamo il volume medio di lavoro svolto da imprese di due forme di proprietà:
Calcola la varianza totale:
2. Definisci le medie di gruppo:
milioni di rubli;
mln strofinare.
Variazioni di gruppo:
;
3. Calcola la media delle varianze di gruppo:
4. Determinare la varianza intergruppo:
5. Calcolare la varianza totale in base alla regola per sommare le varianze:
6. Determinare il coefficiente di determinazione:
.
Pertanto, la quantità di lavoro svolto dalle organizzazioni di progettazione e indagine del 22% dipende dalla forma di proprietà delle imprese.
Il rapporto di correlazione empirica è calcolato dalla formula
.
Il valore dell'indicatore calcolato indica che la dipendenza della quantità di lavoro dalla forma di proprietà dell'impresa è piccola.
Esempio 5 A seguito di un'indagine sulla disciplina tecnologica dei siti produttivi, sono stati ottenuti i seguenti dati:
Determinare il coefficiente di determinazione
Questa pagina descrive un esempio standard di ricerca della varianza, puoi anche guardare altre attività per trovarla
Esempio 1. Determinazione del gruppo, media del gruppo, tra-gruppo e varianza totale
Esempio 2. Trovare la varianza e il coefficiente di variazione in una tabella di raggruppamento
Esempio 3. Trovare la varianza in una serie discreta
Esempio 4. Abbiamo i seguenti dati per un gruppo di 20 studenti per corrispondenza. È necessario costruire una serie di intervalli della distribuzione delle caratteristiche, calcolare il valore medio della caratteristica e studiarne la varianza
Costruiamo un raggruppamento di intervalli. Determiniamo l'intervallo dell'intervallo con la formula:
dove X max è il valore massimo della caratteristica di raggruppamento;
X min è il valore minimo della funzione di raggruppamento;
n è il numero di intervalli:
Accettiamo n=5. Il passaggio è: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6
Facciamo un raggruppamento di intervalli
Per ulteriori calcoli, costruiremo una tabella ausiliaria:
X "i - la metà dell'intervallo. (ad esempio, la metà dell'intervallo 159 - 165,6 \u003d 162,3)
La crescita media degli studenti è determinata dalla formula della media aritmetica pesata:
Determiniamo la dispersione con la formula:
La formula può essere convertita in questo modo:
Da questa formula ne consegue che la varianza è la differenza tra la media dei quadrati delle opzioni e il quadrato e la media.
Variazione nelle serie di variazioni con intervalli uguali secondo il metodo dei momenti può essere calcolato nel modo seguente utilizzando la seconda proprietà di dispersione (dividendo tutte le opzioni per il valore dell'intervallo). Definizione di varianza, calcolato con il metodo dei momenti, secondo la seguente formula, richiede meno tempo:
dove i è il valore dell'intervallo;
A - zero condizionale, che è conveniente utilizzare la metà dell'intervallo con la frequenza più alta;
m1 è il quadrato del momento del primo ordine;
m2 - momento del secondo ordine
Variazione delle caratteristiche (se nella popolazione statistica l'attributo cambia in modo tale che ci siano solo due opzioni che si escludono a vicenda, allora tale variabilità è chiamata alternativa) può essere calcolata con la formula:
Sostituendo in questa formula di dispersione q = 1- p, otteniamo:
Tipi di dispersione
Variazione totale misura la variazione di un tratto sull'intera popolazione nel suo insieme sotto l'influenza di tutti i fattori che causano questa variazione. È uguale al quadrato medio delle deviazioni dei singoli valori dell'attributo x dal valore medio totale x e può essere definito come varianza semplice o varianza ponderata.
Varianza intragruppo caratterizza la variazione casuale, cioè parte della variazione, che è dovuta all'influenza di fattori non contabilizzati e non dipende dal fattore-segno sottostante il raggruppamento. Questa varianza è uguale al quadrato medio delle deviazioni dei singoli valori dell'attributo all'interno del gruppo X dalla media aritmetica del gruppo e può essere calcolata come varianza semplice o come varianza ponderata.
In questo modo, misure di varianza all'interno del gruppo variazione di un tratto all'interno di un gruppo ed è determinato dalla formula:
dove xi - media di gruppo;
ni è il numero di unità nel gruppo.
Ad esempio, le varianze intragruppo che devono essere determinate nell'attività di studio dell'effetto delle qualifiche dei lavoratori sul livello di produttività del lavoro in un negozio mostrano variazioni nella produzione in ciascun gruppo causate da tutti i possibili fattori (condizioni tecniche delle attrezzature, disponibilità di strumenti e materiali, età dei lavoratori, intensità di lavoro, ecc.), salvo differenze nella categoria di qualificazione (all'interno del gruppo, tutti i lavoratori hanno la stessa qualifica).
.
Al contrario, se è un ae non negativo una funzione tale 
, allora c'è una misura di probabilità assolutamente continua su tale che è la sua densità.
Cambio di misura nell'integrale di Lebesgue:
,
dove è qualsiasi funzione di Borel integrabile rispetto alla misura di probabilità.
Dispersione nelle statistiche si trova come deviazione standard dei singoli valori del tratto al quadrato dalla media aritmetica. A seconda dei dati iniziali, è determinato dalle formule di varianza semplici e ponderate:
1. semplice varianza(per dati non raggruppati) è calcolato con la formula:
2. Varianza ponderata (per una serie di variazioni):
dove n - frequenza (fattore di ripetibilità X)
Questa pagina descrive un esempio standard di ricerca della varianza, puoi anche guardare altre attività per trovarla
Esempio 1. Determinazione del gruppo, media del gruppo, tra-gruppo e varianza totale
Esempio 2. Trovare la varianza e il coefficiente di variazione in una tabella di raggruppamento
Esempio 3. Trovare la varianza in una serie discreta
Esempio 4. Abbiamo i seguenti dati per un gruppo di 20 studenti per corrispondenza. È necessario costruire una serie di intervalli della distribuzione delle caratteristiche, calcolare il valore medio della caratteristica e studiarne la varianza
Costruiamo un raggruppamento di intervalli. Determiniamo l'intervallo dell'intervallo con la formula:
dove X max è il valore massimo della caratteristica di raggruppamento; X min è il valore minimo della funzione di raggruppamento; n è il numero di intervalli:
Accettiamo n=5. Il passaggio è: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6
Facciamo un raggruppamento di intervalli
Per ulteriori calcoli, costruiremo una tabella ausiliaria:
X "i - la metà dell'intervallo. (ad esempio, la metà dell'intervallo 159 - 165,6 \u003d 162,3)
La crescita media degli studenti è determinata dalla formula della media aritmetica pesata:
Determiniamo la dispersione con la formula:
La formula può essere convertita in questo modo:
Da questa formula ne consegue che la varianza è la differenza tra la media dei quadrati delle opzioni e il quadrato e la media.
Variazione nelle serie di variazioni con intervalli uguali secondo il metodo dei momenti può essere calcolato nel modo seguente utilizzando la seconda proprietà di dispersione (dividendo tutte le opzioni per il valore dell'intervallo). Definizione di varianza, calcolato con il metodo dei momenti, secondo la seguente formula, richiede meno tempo:
dove i è il valore dell'intervallo; A - zero condizionale, che è conveniente utilizzare la metà dell'intervallo con la frequenza più alta; m1 è il quadrato del momento del primo ordine; m2 - momento del secondo ordine
Variazione delle caratteristiche (se nella popolazione statistica l'attributo cambia in modo tale che ci siano solo due opzioni che si escludono a vicenda, allora tale variabilità è chiamata alternativa) può essere calcolata con la formula:
Sostituendo in questa formula di dispersione q = 1- p, otteniamo:
Variazione totale misura la variazione di un tratto sull'intera popolazione nel suo insieme sotto l'influenza di tutti i fattori che causano questa variazione. È uguale al quadrato medio delle deviazioni dei singoli valori dell'attributo x dal valore medio totale x e può essere definito come varianza semplice o varianza ponderata.
Varianza intragruppo caratterizza la variazione casuale, cioè parte della variazione, che è dovuta all'influenza di fattori non contabilizzati e non dipende dal fattore-segno sottostante il raggruppamento. Questa varianza è uguale al quadrato medio delle deviazioni dei singoli valori dell'attributo all'interno del gruppo X dalla media aritmetica del gruppo e può essere calcolata come varianza semplice o come varianza ponderata.
In questo modo, misure di varianza all'interno del gruppo variazione di un tratto all'interno di un gruppo ed è determinato dalla formula:
dove xi - media di gruppo; ni è il numero di unità nel gruppo.
Ad esempio, le varianze intragruppo che devono essere determinate nell'attività di studio dell'effetto delle qualifiche dei lavoratori sul livello di produttività del lavoro in un negozio mostrano variazioni nella produzione in ciascun gruppo causate da tutti i possibili fattori (condizioni tecniche delle attrezzature, disponibilità di strumenti e materiali, età dei lavoratori, intensità di lavoro, ecc.), salvo differenze nella categoria di qualificazione (all'interno del gruppo, tutti i lavoratori hanno la stessa qualifica).
La media delle varianze all'interno del gruppo riflette la variazione casuale, cioè quella parte della variazione che si è verificata sotto l'influenza di tutti gli altri fattori, ad eccezione del fattore di raggruppamento. Si calcola con la formula:
Varianza intergruppo caratterizza la variazione sistematica del tratto risultante, che è dovuta all'influenza del fattore tratto alla base del raggruppamento. È uguale al quadrato medio delle deviazioni delle medie di gruppo dalla media complessiva. La varianza intergruppo è calcolata dalla formula:
