Equazione differenziale lineare del secondo ordine chiamata equazione della forma
sì"" + P(X)sì" + Q(X)sì = F(X) ,
Dove sìè la funzione da trovare, e P(X) , Q(X) E F(X) - funzioni continue su un certo intervallo ( un, b) .
Se parte destra l'equazione è zero ( F(X) = 0), allora l'equazione viene chiamata equazione lineare omogenea . La parte pratica di questa lezione sarà principalmente dedicata a tali equazioni. Se il lato destro dell'equazione non è uguale a zero ( F(X) ≠ 0), allora l'equazione si chiama .
Nei problemi per cui dobbiamo risolvere l'equazione sì"" :
sì"" = −P(X)sì" − Q(X)sì + F(X) .
Lineare equazioni differenziali del secondo ordine hanno una soluzione unica Problemi di Cauchy .
Consideriamo un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine:
sì"" + P(X)sì" + Q(X)sì = 0 .
Se sì1 (X) E sì2 (X) sono soluzioni particolari di questa equazione, allora sono vere le seguenti affermazioni:
1) sì1 (X) + sì 2 (X) - è anche una soluzione a questa equazione;
2) Ci1 (X) , Dove C- Anche una costante arbitraria (costante) è una soluzione a questa equazione.
Da queste due affermazioni segue che la funzione
C1 sì 1 (X) + C 2 sì 2 (X)
è anche una soluzione a questa equazione.
Sorge una domanda giusta: è questa la soluzione Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine , cioè una soluzione tale in cui, per valori diversi C1 E C2 È possibile ottenere tutte le possibili soluzioni dell’equazione?
La risposta a questa domanda è: forse, ma a determinate condizioni. Questo condizione su quali proprietà dovrebbero avere particolari soluzioni sì1 (X) E sì2 (X) .
E questa condizione è chiamata condizione di indipendenza lineare delle soluzioni parziali.
Teorema. Funzione C1 sì 1 (X) + C 2 sì 2 (X) è una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine se le funzioni sì1 (X) E sì2 (X) linearmente indipendenti.
Definizione. Funzioni sì1 (X) E sì2 (X) sono detti linearmente indipendenti se il loro rapporto è una costante diversa da zero:
sì1 (X)/sì 2 (X) = K ; K = cost ; K ≠ 0 .
Tuttavia, determinare per definizione se queste funzioni sono linearmente indipendenti è spesso molto laborioso. Esiste un modo per stabilire l'indipendenza lineare utilizzando il determinante di Wronski W(X) :
Se il determinante di Wronski è diverso da zero, allora le soluzioni sono linearmente indipendenti . Se il determinante di Wronski è zero, allora le soluzioni sono linearmente dipendenti.
Esempio 1. Trovare decisione comune Equazione differenziale omogenea lineare.
Soluzione. Integriamo due volte e, come è facile vedere, affinché la differenza tra la derivata seconda di una funzione e la funzione stessa sia uguale a zero, le soluzioni devono essere associate ad un esponenziale la cui derivata è uguale a se stessa. Cioè, le soluzioni parziali sono e .
Dal determinante di Wronski
non è uguale a zero, allora queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Pertanto, la soluzione generale di questa equazione può essere scritta come:
.
Equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine con coefficienti costanti chiamata equazione della forma
sì"" + pi" + qy = 0 ,
Dove P E Q- valori costanti.
Il fatto che si tratti di un'equazione del secondo ordine è indicato dalla presenza della derivata seconda della funzione desiderata, e la sua omogeneità è indicata dallo zero a destra. I valori già menzionati sopra sono detti coefficienti costanti.
A risolvere un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti , bisogna prima risolvere la cosiddetta equazione caratteristica della forma
K² + pq + Q = 0 ,
che, come si può vedere, è un'equazione quadratica ordinaria.
A seconda della soluzione dell'equazione caratteristica, sono possibili tre diverse opzioni soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti , che ora analizzeremo. Per completezza, assumeremo che tutte le soluzioni particolari siano state testate dal determinante di Wronski e che esso non sia uguale a zero in tutti i casi. Gli scettici, tuttavia, possono verificarlo da soli.
Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e distinte
In altre parole, . In questo caso, la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma
.
Esempio 2. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare
.
Esempio 3. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare
.
Soluzione. L'equazione caratteristica ha la forma, le sue radici e sono reali e distinte. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma
.
Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e uguali
Questo è, . In questo caso, la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma
.
Esempio 4. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare
.
Soluzione. Equazione caratteristica 
ha radici uguali. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma
Esempio 5. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare
.
Soluzione. L'equazione caratteristica ha radici uguali. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma
Consideriamo un'equazione differenziale omogenea lineare a coefficienti costanti:
(1)
.
La sua soluzione può essere ottenuta seguendo il metodo generale di riduzione dell'ordine.
Tuttavia è più semplice ottenere subito il sistema fondamentale N soluzioni linearmente indipendenti e basate su di esse creano una soluzione generale. In questo caso, l'intera procedura di soluzione si riduce ai passaggi seguenti.
Stiamo cercando una soluzione all'equazione (1) nella forma . Noi abbiamo equazione caratteristica:
(2)
.
Non ha radici. Risolviamo l'equazione (2) e troviamo le sue radici. Allora l’equazione caratteristica (2) può essere rappresentata nella forma seguente:
(3)
.
Ciascuna radice corrisponde a una delle soluzioni linearmente indipendenti del sistema fondamentale di soluzioni dell'equazione (1). Allora la soluzione generale dell'equazione originale (1) ha la forma:
(4)
.
Consideriamo le radici reali. Lascia che la radice sia singola. Cioè, il fattore entra nell'equazione caratteristica (3) solo una volta. Allora questa radice corrisponde alla soluzione
.
Sia una radice multipla di molteplicità p. Questo è
. In questo caso, il moltiplicatore è p volte:
.
Queste radici multiple (uguali) corrispondono a p soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione originale (1):
;
;
;
...;
.
Considera le radici complesse. Esprimiamo la radice complessa in termini di parte reale e immaginaria:
.
Poiché i coefficienti dell'originale sono reali, oltre alla radice c'è una radice coniugata complessa
.
Lascia che la radice complessa sia multipla. Allora una coppia di radici corrisponde a due soluzioni linearmente indipendenti:
;
.
Sia una radice complessa multipla di molteplicità p. Allora il valore coniugato complesso è anche la radice dell'equazione caratteristica della molteplicità p e il moltiplicatore si inserisce p volte:
.
Questo 2p le radici corrispondono 2p soluzioni linearmente indipendenti:
;
;
;
...
;
;
;
;
...
.
Trovato il sistema fondamentale delle soluzioni linearmente indipendenti, otteniamo la soluzione generale.
Risolvi l'equazione:
.
.
Trasformiamolo:
;
;
.
Diamo un'occhiata alle radici di questa equazione. Abbiamo quattro radici complesse di molteplicità 2:
;
.
Corrispondono a quattro soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione originale:
;
;
;
.
Abbiamo anche tre radici reali di multipli 3:
.
Corrispondono a tre soluzioni linearmente indipendenti:
;
;
.
La soluzione generale dell’equazione originale ha la forma:
.
Risolvi l'equazione
Stiamo cercando una soluzione nel modulo . Componiamo l'equazione caratteristica:
.
Risoluzione di un'equazione quadratica.
.
Abbiamo due radici complesse:
.
Corrispondono a due soluzioni linearmente indipendenti:
.
Soluzione generale dell'equazione:
.
Questo paragrafo discuterà caso speciale equazioni lineari del secondo ordine, quando i coefficienti dell'equazione sono costanti, cioè sono numeri. Tali equazioni sono chiamate equazioni a coefficienti costanti. Questo tipo di equazioni trova applicazione particolarmente ampia.
Considera l'equazione
in cui i coefficienti sono costanti. Supponendo che dividendo tutti i termini dell'equazione per e denotando
Scriviamo questa equazione nella forma
Come è noto, per trovare la soluzione generale di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine è sufficiente conoscerne il sistema fondamentale delle soluzioni parziali. Mostriamo come trovare un sistema fondamentale di soluzioni parziali per un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Cercheremo una soluzione particolare a questa equazione nella forma
Differenziando questa funzione due volte e sostituendo le espressioni con nell'equazione (59), otteniamo
Poiché , allora, riducendo di otteniamo l'equazione
Da questa equazione vengono determinati quei valori di k per i quali la funzione sarà una soluzione all'equazione (59).
L'equazione algebrica (61) per determinare il coefficiente k è chiamata equazione caratteristica di questa equazione differenziale (59).
L'equazione caratteristica è un'equazione di secondo grado e quindi ha due radici. Queste radici possono essere reali distinte, reali e uguali o complesse coniugate.
Consideriamo quale forma ha in ciascuno di questi casi il sistema fondamentale delle soluzioni particolari.
1. Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e diverse: . In questo caso, utilizzando la formula (60) troviamo due soluzioni parziali:
Queste due soluzioni particolari formano un sistema fondamentale di soluzioni sull'intero asse numerico, poiché il determinante di Wronski non svanisce da nessuna parte:
Di conseguenza, la soluzione generale dell'equazione secondo la formula (48) ha la forma
2. Le radici dell'equazione caratteristica sono uguali: . In questo caso, entrambe le radici saranno reali. Usando la formula (60), otteniamo solo una soluzione particolare
Mostriamo che la seconda soluzione particolare, che insieme alla prima forma un sistema fondamentale, ha la forma
Innanzitutto controlliamo che la funzione sia una soluzione dell'equazione (59). Veramente,
Ma poiché esiste una radice dell'equazione caratteristica (61). Inoltre, secondo il teorema di Vieta, Pertanto . Di conseguenza, cioè, la funzione è effettivamente una soluzione dell'equazione (59).
Mostriamo ora che le soluzioni parziali trovate formano un sistema fondamentale di soluzioni. Veramente,
Pertanto, in questo caso la soluzione generale dell'equazione lineare omogenea ha la forma
3. Le radici dell'equazione caratteristica sono complesse. Come è noto, le radici complesse di un'equazione quadratica a coefficienti reali sono coniugate numeri complessi, cioè assomigliano a: . In questo caso, le soluzioni parziali dell'equazione (59), secondo la formula (60), avranno la forma:
Utilizzando le formule di Eulero (vedi Capitolo XI, § 5, paragrafo 3), le espressioni per possono essere scritte come:
Queste soluzioni sono complete. Per ottenere soluzioni valide, considera le nuove funzionalità
Sono combinazioni lineari di soluzioni e, quindi, sono esse stesse soluzioni dell'equazione (59) (vedi § 3, punto 2, Teorema 1).
È facile dimostrare che il determinante di Wronski per queste soluzioni è diverso da zero e, quindi, le soluzioni formano un sistema fondamentale di soluzioni.
Pertanto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea nel caso di radici complesse dell'equazione caratteristica ha la forma
In conclusione, presentiamo una tabella di formule per la soluzione generale dell'equazione (59) a seconda del tipo di radici dell'equazione caratteristica.
In alcuni problemi di fisica non è possibile stabilire una connessione diretta tra le quantità che descrivono il processo. Ma è possibile ottenere un'uguaglianza contenente le derivate delle funzioni studiate. Ecco come nascono le equazioni differenziali e la necessità di risolverle per trovare una funzione sconosciuta.
Questo articolo è destinato a coloro che si trovano ad affrontare il problema di risolvere un'equazione differenziale in cui la funzione sconosciuta è una funzione di una variabile. La teoria è strutturata in modo tale che con una conoscenza pari a zero delle equazioni differenziali puoi far fronte al tuo compito.
Ad ogni tipo di equazione differenziale è associato un metodo di soluzione con spiegazioni dettagliate e soluzioni ad esempi e problemi tipici. Tutto quello che devi fare è determinare il tipo di equazione differenziale del tuo problema, trovare un esempio analizzato simile ed eseguire azioni simili.
Per risolvere con successo le equazioni differenziali, avrai anche bisogno della capacità di trovare insiemi di antiderivative (integrali indefiniti) varie funzioni. Se necessario, si consiglia di fare riferimento alla sezione.
Considereremo dapprima le tipologie di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine risolvibili rispetto alla derivata, poi passeremo alle ODE del secondo ordine, quindi ci soffermeremo sulle equazioni di ordine superiore e termineremo con i sistemi di equazioni differenziali.
Ricordiamo che se y è una funzione dell'argomento x.
Le più semplici equazioni differenziali del primo ordine della forma.
Scriviamo alcuni esempi di tale controllo remoto 
.
Equazioni differenziali 
può essere risolto rispetto alla derivata dividendo entrambi i membri dell'uguaglianza per f(x) . In questo caso arriviamo a un'equazione che sarà equivalente a quella originale per f(x) ≠ 0. Esempi di tali ODE sono .
Se ci sono valori dell'argomento x in cui le funzioni f(x) e g(x) svaniscono contemporaneamente, compaiono soluzioni aggiuntive. Ulteriori soluzioni all'equazione 
dato x sono le funzioni definite per questi valori di argomento. Esempi di tali equazioni differenziali includono:
Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.
LDE con coefficienti costanti è un tipo molto comune di equazione differenziale. La loro soluzione non è particolarmente difficile. Per prima cosa si trovano le radici dell'equazione caratteristica 
. Per p e q diversi sono possibili tre casi: le radici dell'equazione caratteristica possono essere reali e diverse, reali e coincidenti 
o coniugati complessi. A seconda dei valori delle radici dell'equazione caratteristica, la soluzione generale dell'equazione differenziale viene scritta come 
, O 
, o rispettivamente.
Ad esempio, consideriamo un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine con coefficienti costanti. Le radici della sua equazione caratteristica sono k 1 = -3 e k 2 = 0. Le radici sono reali e diverse, quindi la soluzione generale del LODE a coefficienti costanti ha la forma
Equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.
La soluzione generale di un LDDE del secondo ordine a coefficienti costanti y viene cercata sotto forma di somma della soluzione generale del corrispondente LDDE 
e una soluzione particolare all'originale equazione disomogenea, questo è, . Il paragrafo precedente è dedicato alla ricerca di una soluzione generale per un'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti. E una soluzione particolare è determinata o dal metodo dei coefficienti indefiniti per una certa forma della funzione f(x) sul lato destro dell'equazione originale, o dal metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Come esempi di LDDE del secondo ordine con coefficienti costanti, diamo 
Comprendere la teoria e acquisire familiarità soluzioni dettagliate Vi proponiamo esempi nella pagina di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.
Equazioni differenziali omogenee lineari (LODE) 
ed equazioni differenziali lineari disomogenee (LNDE) del secondo ordine.
Un caso particolare di equazioni differenziali di questo tipo sono LODE e LDDE a coefficienti costanti.
La soluzione generale del LODE su un certo segmento è rappresentata da una combinazione lineare di due soluzioni parziali linearmente indipendenti y 1 e y 2 di questa equazione, cioè, 
.
La difficoltà principale sta proprio nel trovare soluzioni parziali linearmente indipendenti di un'equazione differenziale di questo tipo. Tipicamente, soluzioni particolari vengono selezionate dai seguenti sistemi di funzioni linearmente indipendenti: 
Tuttavia, le soluzioni particolari non vengono sempre presentate in questa forma.
Un esempio di LOD è 
.
La soluzione generale dell'LDDE si cerca nella forma , dove è la soluzione generale del corrispondente LDDE, ed è la soluzione particolare dell'equazione differenziale originaria. Abbiamo appena parlato di trovarlo, ma può essere determinato utilizzando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Si può fornire un esempio di LNDU 
.
Equazioni differenziali che consentono una riduzione dell'ordine.
Ordine delle equazioni differenziali 
, che non contiene la funzione desiderata e le sue derivate fino all'ordine k-1, può essere ridotto a n-k sostituendo .
In questo caso, l'equazione differenziale originale verrà ridotta a . Dopo aver trovato la sua soluzione p(x), resta da ritornare alla sostituzione e determinare la funzione sconosciuta y.
Ad esempio, l'equazione differenziale 
dopo la sostituzione diventerà un'equazione a variabili separabili e il suo ordine verrà ridotto dalla terza alla prima.
Passiamo a considerare le equazioni differenziali del secondo ordine e le equazioni differenziali di ordine superiore. Se hai una vaga idea di cosa sia un'equazione differenziale (o non capisci affatto di cosa si tratta), allora ti consiglio di iniziare con la lezione Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. Pertanto, molti principi risolutivi e concetti di base delle diffuse del primo ordine si estendono automaticamente alle equazioni differenziali di ordine superiore è molto importante comprendere prima le equazioni del primo ordine.
Molti lettori potrebbero avere il pregiudizio che il controllo remoto del 2°, 3° e altri ordini sia qualcosa di molto difficile e inaccessibile da padroneggiare. Questo è sbagliato . Imparare a risolvere diffusioni di ordine superiore non è certo più difficile dei DE “ordinari” di primo ordine. E in alcuni luoghi è ancora più semplice, poiché le soluzioni utilizzano attivamente materiale del curriculum scolastico.
Più popolare equazioni differenziali del secondo ordine. Ad un'equazione differenziale del secondo ordine Necessariamente include la derivata seconda e non incluso 
Va notato che alcuni bambini (e anche tutti insieme) potrebbero non essere presenti nell’equazione; è importante che il padre sia a casa. L'equazione differenziale del secondo ordine più primitiva si presenta così:
Le equazioni differenziali del terzo ordine nei compiti pratici sono molto meno comuni, secondo le mie osservazioni soggettive in Duma di Stato otterrebbero circa il 3-4% dei voti.
Ad un'equazione differenziale del terzo ordine Necessariamente include la derivata terza e non incluso derivati di ordine superiore:
La più semplice equazione differenziale del terzo ordine si presenta così: – papà è a casa, tutti i bambini sono fuori a fare una passeggiata.
In modo simile, è possibile definire equazioni differenziali del 4°, 5° e ordine superiore. Nei problemi pratici, tali sistemi di controllo raramente falliscono, tuttavia cercherò di fornire esempi rilevanti.
Le equazioni differenziali di ordine superiore, proposte nei problemi pratici, possono essere divise in due gruppi principali.
1) Il primo gruppo - il cosiddetto equazioni che possono essere ridotte in ordine. Dai!
2) Secondo gruppo – equazioni lineari ordini superiori a coefficienti costanti. Che inizieremo a guardare proprio ora.
In teoria e in pratica, si distinguono due tipi di tali equazioni: equazione omogenea E equazione disomogenea.
DE del secondo ordine omogeneo a coefficienti costanti ha la seguente forma: 
, dove e sono costanti (numeri), e sul lato destro – rigorosamente zero.
Come puoi vedere, non ci sono particolari difficoltà con le equazioni omogenee, la cosa principale è decidere correttamente equazione quadrata .
A volte ci sono equazioni omogenee non standard, ad esempio un'equazione nella forma 
, dove alla derivata seconda c'è una costante diversa dall'unità (e, naturalmente, diversa da zero). L'algoritmo della soluzione non cambia affatto, dovresti comporre con calma un'equazione caratteristica e trovarne le radici. Se l'equazione caratteristica 
avrà due radici reali diverse, ad esempio: 
, allora la soluzione generale verrà scritta secondo il consueto schema: 
.
In alcuni casi, a causa di un errore di battitura nella condizione, possono risultare radici "cattive", qualcosa del tipo 
. Cosa fare, la risposta dovrà essere scritta così:
Con “cattivo” coniuga radici complesse come 
nessun problema, soluzione generale: 
Questo è, esiste comunque una soluzione generale. Perché qualsiasi equazione quadratica ha due radici.
Nel paragrafo finale, come promesso, considereremo brevemente:
Tutto è molto, molto simile.
Un’equazione lineare omogenea del terzo ordine ha la seguente forma:
, dove sono costanti.
Per questa equazione, devi anche creare un'equazione caratteristica e trovarne le radici. L’equazione caratteristica, come molti hanno intuito, assomiglia a questa: 
, ed esso Comunque Esso ha esattamente tre radice
Supponiamo, ad esempio, che tutte le radici siano reali e distinte: 
, allora la soluzione generale verrà scritta come segue:
Se una radice è reale e le altre due sono complesse coniugate, allora scriviamo la soluzione generale come segue:
Un caso speciale, quando tutte e tre le radici sono multiple (le stesse). Consideriamo il DE omogeneo più semplice del 3° ordine con padre solitario: . L'equazione caratteristica ha tre radici zero coincidenti. Scriviamo la soluzione generale come segue:
Se l'equazione caratteristica 
ha, ad esempio, tre radici multiple, allora la soluzione generale, di conseguenza, è la seguente:
Esempio 9
Risolvere un'equazione differenziale omogenea del terzo ordine
Soluzione: Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:
, – si ottengono una radice reale e due radici complesse coniugate.
Risposta: decisione comune
Allo stesso modo, possiamo considerare un'equazione lineare omogenea del quarto ordine a coefficienti costanti: , dove sono costanti.
