N-edik fokozat valós számból megjegyezték, hogy bármely nemnegatív számból bármilyen fokozat (második, harmadik, negyedik stb.) gyökerét kivonhatja, negatív számból pedig bármilyen páratlan fokozat gyökét. De akkor el kell gondolkodni a forma függvényében, a grafikonján, a tulajdonságain is. Ezzel foglalkozunk ebben a részben. Először beszéljünk a függvényről nemnegatív értékek esetén érv.
Kezdjük az általad ismert esettel, amikor n = 2, azaz. ábrán látható funkcióval. A 166. ábra a függvény grafikonját és az y \u003d x 2, x>0 függvény grafikonját mutatja. Mindkét grafikon ugyanazt a görbét ábrázolja – egy parabola ágát, amelyen csak eltérően helyezkedik el Koordináta sík. Pontosítandó: ezek a grafikonok szimmetrikusak az y \u003d x egyenesre, mivel olyan pontokból állnak, amelyek a megadott egyenesre nézve szimmetrikusak. Nézze meg: az y \u003d x 2 parabola figyelembe vett ágán pontok találhatók (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16) és a pontfüggvény grafikonja (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
A (2; 4) és (4; 2), (3; 9) és (9; 3), (4; 16) és (16; 4) pontok szimmetrikusak az y = x egyenesre, ( és a (0; 0 ) és (1; 1) pont ezen az egyenesen található). És általában, bármely ponthoz (a; a 2) on függvénygrafikon y \u003d x 2 egy vele szimmetrikus pont az y \u003d x (a 2; a) egyeneshez képest a függvény grafikonján és fordítva. A következő tétel igaz.
Bizonyíték. Tegyük fel a határozottság kedvéért, hogy a és b pozitív számok. Tekintsük az OAM és OVR háromszögeket (167. ábra). Egyenlőek, tehát OP = OM és 
. De akkor és 
mivel az y \u003d x egyenes az AOB szög felezőpontja. Tehát a ROM háromszög egyenlő szárú, OH a felező, tehát a szimmetriatengely. Az M és P pontok szimmetrikusak az OH egyenesre, amit igazolni kellett.
Tehát a függvény grafikonját az y \u003d x 2, x> 0 függvény grafikonjából kaphatjuk meg az y \u003d x egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció segítségével. Hasonlóképpen, a függvény grafikonját az y \u003d x 3, x> 0 függvény grafikonjából kaphatjuk meg az y \u003d x egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció segítségével; egy függvény grafikonját egy függvény grafikonjából kaphatjuk meg egy y \u003d x egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció segítségével, stb. Emlékezzünk vissza, hogy a függvénygráf megjelenésében egy parabola ágára hasonlít. Minél nagyobb n, annál meredekebben rohan fel ez az ág a résen, és annál közelebb kerül az x tengelyhez az x = 0 pont közelében (168. ábra). ).
Tegyünk egy általános következtetést: a függvény grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjára, az y \u003d x egyenesre (169. ábra).
Funkció tulajdonságai
1)
2) a függvény se nem páros, se nem páratlan;
3) -vel nő
4) felülről nem, alulról korlátozva;
5) nem a legnagyobb jelentőségű;
6) folyamatos;
7)
Ügyeljen egy furcsa körülményre. Tekintsünk két függvényt, amelyek grafikonjait az ábra mutatja. 169: Hét tulajdonságot soroltunk fel az első függvényhez, de a második függvénynek is pontosan ugyanazok a tulajdonságai. Verbális „portrék” kettőről különféle funkciókat ugyanazok. De tisztázzuk, ugyanazok.
A matematikusok nem tudtak elviselni ekkora igazságtalanságot, amikor a különböző függvényeket különböző gráfokkal egyformán írják le verbálisan, és bevezették a konvexitás felfelé és lefelé konvexitás fogalmát. A függvény grafikonja felfelé konvex, míg az y \u003d x n függvény grafikonja lefelé konvex.
Általában azt mondják, hogy egy folytonos függvény lefelé konvex, ha grafikonjának bármely két pontját egy egyenes szegmenssel összekötve azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a rajzolt szakasz alatt van (170. ábra); egy folytonos függvény felfelé konvex, ha grafikonjának bármely két pontját egy egyenes szegmenssel összekötve azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a megrajzolt szakasz felett van (171. ábra).
A továbbiakban a konvexitás tulajdonságot is bevonjuk a gráfolvasási eljárásba. Megjegyezzük, hogy "(folytatva a korábban leírt tulajdonságok számozását) a vizsgált függvénynél:
8) a függvény konvex felfelé a gerendán
NÁL NÉL előző fejezet megismerkedtünk a függvény még egy tulajdonságával - a differenciálhatósággal, láttuk, hogy az y \u003d x p függvény bármely ponton differenciálható, deriváltja egyenlő x n-1-gyel. Geometriailag ez azt jelenti, hogy az y \u003d x n függvény grafikonjának bármely pontján rá lehet húzni egy érintőt. A függvény grafikonja is ugyanezzel a tulajdonsággal rendelkezik: bármelyik pontjában a gráfhoz érintőt lehet húzni. Így a függvénynek még egy tulajdonságát megjegyezhetjük
9) a függvény bármely x > 0 pontban differenciálható.
Figyelem: a függvény differenciálhatósága az x = 0 pontban szóba sem jöhet - ezen a ponton a függvény grafikonjának érintője egybeesik az y tengellyel, azaz. merőleges az x tengelyre.
Példa 1. Egy függvény ábrázolása
Megoldás. 1) Menjen ide segédrendszerábrán az origóval koordináták a (-1; -4) pontban - szaggatott vonalak x = -1 és y = -4. 172.
2) "Bind" a függvényhez új rendszer koordináták. Ez lesz a kívánt ütemezés.
2. példa oldja meg az egyenletet
Megoldás. Első út. 1) Vezessünk be két függvényt
2) Készítsük el a függvény grafikonját
3) Készítsük el az y \u003d 2-x lineáris függvény grafikonját (lásd 173. ábra).
4) A megszerkesztett gráfok egy A pontban metszik egymást, és a gráf alapján feltételezhetjük, hogy az A pont koordinátái: (1; 1). Az ellenőrzés azt mutatja, hogy valójában az (1; 1) pont mind a függvény grafikonjához, mind az y=2-x függvény grafikonjához tartozik. Ez azt jelenti, hogy az egyenletünknek egy gyöke van: x \u003d 1 - az A pont abszcisszán.
A második út.
ábrán bemutatott geometriai modell. 173, jól illusztrálja a következő állítást, amely néha nagyon elegáns megoldást tesz lehetővé az egyenletnek (és amelyet a 35. §-ban már használtunk a 2. példa megoldása során):
Ha az y \u003d f (x) függvény növekszik, és az y \u003d g (x) függvény csökken, és ha az f (x) \u003d g (x) egyenletnek van gyöke, akkor az csak egy.
Az alábbi állítás alapján tudjuk megoldani a megadott egyenletet:
1) vegye figyelembe, hogy x \u003d 1 esetén az egyenlőség igaz, ami azt jelenti, hogy x \u003d 1 az egyenlet gyöke (ezt a gyökérre tippeltük);
2) az y=2-x függvény csökken, de a függvény növekszik; gyökeret jelent adott egyenlet csak egy, és ez a gyök a fent talált x = 1 érték.
Válasz: x = 1.
Eddig csak a nem negatív argumentumértékek függvényéről beszéltünk. De ha n páratlan szám, akkor a kifejezésnek x-re is van értelme<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.
Ami azt illeti, a felsoroltakhoz csak egy tulajdonság kerül hozzáadásra:
ha n páratlan szám (n = 3,5, 7,...), akkor ez páratlan függvény.
Valóban, legyenek igazak az ilyen transzformációk egy páratlan n kitevőre. Tehát f(-x) = -f(x), és ez azt jelenti, hogy a függvény páratlan.
Hogyan néz ki a függvény grafikonja páratlan n kitevő esetén? Amikor, ahogy az ábra mutatja. A 169 a kívánt gráf egy ága. Ha hozzáadunk hozzá egy, a koordináták origója szempontjából szimmetrikus ágat (ami, felidézve, minden páratlan függvényre jellemző), megkapjuk a függvény grafikonját (174. ábra). Vegye figyelembe, hogy az y tengely érinti a grafikont x = 0-nál.
Tehát ismételjük meg még egyszer:
ha n páros szám, akkor a függvény grafikonja az ábrán látható alakkal rendelkezik. 169;
ha n páratlan szám, akkor a függvény grafikonja az ábrán látható alakkal rendelkezik. 174.
3. példa Szerkessze meg és olvassa el az y \u003d f (x) függvény grafikonját, ahol 
Megoldás. Először készítsük el a függvény grafikonját, és válasszuk ki a gerendán lévő részét (175. ábra).
Ezután elkészítjük a függvény grafikonját, és kiválasztjuk a részét a nyitott gerendán (176. ábra). Végül mindkét „darabot” ugyanabban a koordinátarendszerben ábrázoljuk - ez lesz az y \u003d f (x) függvény grafikonja (177. ábra).
Felsoroljuk (a megszerkesztett gráf alapján) az y \u003d f (x) függvény tulajdonságait:
1)
2) sem páros, sem nem páratlan;
3) csökken a gerendán, növekszik a sugáron
4) alulról nem korlátozva, felülről korlátozott;
5) nincs legkisebb érték, a (az x = 1 pontban ért el);
6) folyamatos;
7)
8) domború lefelé , konvex felfelé a szakaszon , konvex lefelé
9) a függvény mindenhol differenciálható, kivéve az x = 0 és x = 1 pontokat.
10) a függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája van, ami azt jelenti, hogy emlékezzünk rá
4. példa Keresse meg egy függvény hatókörét:
Megoldás, a) A páros fok gyökének jele alatt kell lennie egy nem negatív számnak, ami azt jelenti, hogy a feladat az egyenlőtlenség megoldására redukálódik
b) A páratlan fok gyökének jele alatt tetszőleges szám állhat, ami azt jelenti, hogy itt nincs korlátozás x-re, azaz. D(f) = R.
c) A kifejezésnek van értelme a feltétel és a kifejezés mellett Ezért két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie: 
azok. A probléma az egyenlőtlenségek rendszerének megoldására redukálódik:
Az egyenlőtlenség megoldása
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget Tényezőzzük az egyenlőtlenség bal oldalát: Az egyenlőtlenség bal oldala a -4 és 4 pontban 0-ra fordul. Jelöljük ezeket a pontokat a valós egyenesen (178. ábra). A számsort a jelzett pontok három intervallumra osztják, és minden intervallumon a p (x) \u003d (4-x) (4 + x) kifejezés egy állandó előjelet tart (a jelek a 178. ábrán láthatók). ábrán árnyékoljuk azt az intervallumot, amelyen a p(x)>0 egyenlőtlenség fennáll. 178. A feladat feltétele szerint azokra az x pontokra is kíváncsiak vagyunk, amelyekben teljesül a p(x) = 0 egyenlőség, két ilyen pont van: x = -4, x = 4 - ezeket az 1. ábrán jelöljük. . 178 sötét karikák. Így az 1. ábrán. A 178. ábra egy geometriai modellt mutat be a rendszer második egyenlőtlenségének megoldására.
A rendszer első és második egyenlőtlenségére talált megoldásokat egy koordinátaegyenesen jelöljük, az elsőnél a felső, a másodiknál az alsó sraffozást használva (179. ábra). Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszer egyenlőtlenségei megoldásainak metszéspontja lesz, azaz. az az intervallum, ahol mindkét sraffozás egybeesik. A [-1, 4] szakasz egy ilyen intervallum.
Válasz. D(f) = [-1,4].
A.G. Mordkovich algebra 10. évfolyam
Naptári tematikus tervezés matematikában, videó- matematikából online, matematikából az iskolában
Alapvető célok:
1) fogalmat alkotni a valós mennyiségek függőségének általánosított tanulmányozásának célszerűségéről az y= összefüggéssel összefüggő mennyiségek példáján
2) kialakítani az y= és tulajdonságainak ábrázolásának képességét;
3) megismételni és megszilárdítani a szóbeli és írásbeli számítások, a négyzetesítés, a négyzetgyök kinyerésének módszereit.
Felszerelés, bemutató anyag: szóróanyag.
1. Algoritmus:
2. Minta a feladat csoportos végrehajtásához:
3.Minta az önálló munka önellenőrzéséhez:
4. Kártya a gondolkodási szakaszhoz:
1) Rájöttem, hogyan kell ábrázolni az y= függvényt.
2) Tulajdonságait ütemezés szerint tudom felsorolni.
3) Önálló munkám során nem követtem el hibákat.
4) Az önálló munkavégzés során hibáztam (sorolja fel ezeket a hibákat és jelölje meg okukat).
Az órák alatt
1. Önrendelkezés a tanulási tevékenységekhez
A színpad célja:
1) vonja be a tanulókat a tanulási tevékenységekbe;
2) határozzuk meg a lecke tartalmát: folytatjuk a valós számokkal való munkát.
Szervezet oktatási folyamat az 1. lépésben:
Mit tanultunk az utolsó órán? (Sokat tanulmányoztunk valós számok, műveleteket velük, algoritmust épített egy függvény tulajdonságainak leírására, megismételte a 7. osztályban tanult függvényeket).
– Ma a valós számok halmazával, egy függvénnyel dolgozunk tovább.
2. Az ismeretek felfrissítése és a tevékenységek nehézségeinek megoldása
A színpad célja:
1) frissítse az új anyag észleléséhez szükséges és elegendő oktatási tartalmat: függvény, független változó, függő változó, grafikonok
y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,
2) az új anyag észleléséhez szükséges és elegendő mentális műveletek frissítése: összehasonlítás, elemzés, általánosítás;
3) rögzítse az összes ismétlődő fogalmat és algoritmust sémák és szimbólumok formájában;
4) az egyéni tevékenységi nehézségek kijavítása, a meglévő tudás elégtelenségének személyes jelentőségre bizonyítása.
Az oktatási folyamat megszervezése a 2. szakaszban:
1. Emlékezzünk arra, hogyan állíthatjuk be a mennyiségek közötti függőséget? (Szöveg, képlet, táblázat, grafikon segítségével)
2. Mit nevezünk függvénynek? (Két mennyiség kapcsolata, ahol az egyik változó minden értéke a másik változó egyetlen értékének felel meg y = f(x)).
Hogy hívják x-et? (Független változó - argumentum)
mi a neved? (Függő változó).
3. Függvényeket tanultunk 7. osztályban? (y = kx + m, y = kx, y = c, y =x 2, y = - x 2, ).
Egyéni feladat:
Mi az y = kx + m, y =x 2, y = függvények grafikonja?
3. A nehézségek okainak feltárása és a tevékenység céljának kitűzése
A színpad célja:
1) kommunikatív interakció megszervezése, amelynek során feltárják és rögzítik a feladat megkülönböztető tulajdonságát, amely nehézséget okozott az oktatási tevékenységekben;
2) állapodjanak meg az óra céljában és témájában.
Az oktatási folyamat megszervezése a 3. szakaszban:
Mitől különleges ez a feladat? (A függőséget az y = képlet adja meg, amellyel még nem találkoztunk).
- Mi az óra célja? (Ismerje meg az y \u003d függvényt, annak tulajdonságait és grafikonját. A táblázatban szereplő függvény határozza meg a függőség típusát, készítsen képletet és grafikont.)
- Kitalálod az óra témáját? (Y= függvény, tulajdonságai és grafikonja).
- Írd le a témát a füzetedbe.
4. Projekt felépítése a nehézségekből való kilábalás érdekében
A színpad célja:
1) kommunikatív interakció megszervezése egy új cselekvési mód kialakítása érdekében, amely megszünteti az azonosított nehézség okát;
2) rögzítsen egy új cselekvési módot a jelben, verbális formaés szabvánnyal.
Az oktatási folyamat megszervezése a 4. szakaszban:
A szakaszban végzett munka csoportokba rendezhető úgy, hogy felkérjük a csoportokat, hogy y = ábrázolják, majd elemezzék az eredményeket. Ezen kívül csoportok is felkínálhatók a függvény tulajdonságainak leírására az algoritmus szerint.
5. Elsődleges konszolidáció a külső beszédben
A színpad célja: a tanult oktatási tartalom rögzítése külső beszédben.
Az oktatási folyamat megszervezése az 5. szakaszban:
Készítsen y= - gráfot, és írja le a tulajdonságait.
Tulajdonságok y= - .
1. A függvénydefiníció hatóköre.
2. A függvényértékek hatóköre.
3. y=0, y>0, y<0.
y=0, ha x=0.
y<0, если х(0;+)
4. Növelés, csökkentés funkció.
A függvény x-nél csökken.
Ábrázoljuk y=-t.
Jelöljük ki a részét a szegmensen. Jegyezzük meg, hogy Naimnál. = 1 x = 1 esetén, és y max. \u003d 3 x \u003d 9 esetén.
Válasz: naim. = 1, a max. =3
6. Önálló munkavégzés szabvány szerinti önellenőrzéssel
A szakasz célja: annak tesztelése, hogy mennyire tudja alkalmazni az új tanulási tartalmat tipikus körülmények között, azáltal, hogy összehasonlítja a megoldását egy öntesztelési standarddal.
Az oktatási folyamat megszervezése a 6. szakaszban:
A tanulók önállóan végzik el a feladatot, önellenőrzést végeznek a szabvány szerint, elemzik, javítják a hibákat.
Ábrázoljuk y=-t.
A grafikon segítségével keresse meg a függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szakaszon.
7. Beillesztés a tudásrendszerbe és ismétlés
A szakasz célja: az új tartalmak használatának készségeinek képzése a korábban tanult anyagokkal összefüggésben: 2) ismételje meg a tananyagot, amelyre a következő leckéken szükség lesz.
Az oktatási folyamat megszervezése a 7. szakaszban:
Grafikusan oldja meg az egyenletet: \u003d x - 6.
Egy diák a táblánál, a többi a füzetekben.
8. Az aktivitás tükrözése
A színpad célja:
1) rögzítse a leckében tanult új tartalmat;
2) értékeljék saját tevékenységeiket az órán;
3) köszönetet mondjon az osztálytársaknak, akik segítettek az óra eredményének megszerzésében;
4) rögzítse a megoldatlan nehézségeket a jövőbeli tanulási tevékenységek irányaként;
5) Beszéljétek meg és írjátok le a házi feladatot.
Az oktatási folyamat megszervezése a 8. szakaszban:
- Srácok, mi volt a célunk ma? (Tanulmányozza az y \u003d függvényt, tulajdonságait és grafikonját).
- Milyen ismeretek segítettek a cél elérésében? (A minták keresésének képessége, a grafikonok olvasásának képessége.)
- Tekintse át tevékenységeit az órán. (Reflexiós kártyák)
Házi feladat
13. tétel (2. példáig) № 13.3, 13.4
Oldja meg grafikusan az egyenletet:
Rajzoljon függvénygráfot, és írja le tulajdonságait.
Grafikon és függvény tulajdonságai nál nél = │Ó│ (modul)
Vegye figyelembe a funkciót nál nél = │Ó│, hol a- egy bizonyos szám.
A meghatározás hatálya funkciókat nál nél = │Ó│, az összes valós szám halmaza. Az ábra ill függvénygrafikonok nál nél = │x│, nál nél = │ 2x │, nál nél = │x/2│.
Láthatjuk, hogy a függvény grafikonja nál nél = | Ó| a függvény grafikonjából kapjuk nál nél = Ó, ha a függvény grafikonjának negatív része nál nél = Ó(az O tengely alatt van x), tükrözze szimmetrikusan ezt a tengelyt.
A diagram könnyen áttekinthető tulajdonságait funkciókat nál nél = │ Ó │.
Nál nél x= 0, kapjuk nál nél= 0, vagyis a koordináták origója a függvény grafikonjához tartozik; nál nél x= 0, kapjuk nál nél> 0, vagyis a grafikon összes többi pontja az O tengely felett van x.
Ellentétes értékekre x, értékeket nál nél ugyanaz lesz; O tengely nál nél ez a gráf szimmetriatengelye.
Például ábrázolhatja a függvényt nál nél = │x 3│. A funkciók összehasonlításához nál nél = │x 3 │és nál nél = x A 3. ábrán táblázatot készítünk az értékekről az argumentumok azonos értékeivel.
A táblázatból látjuk, hogy a függvény ábrázolásához nál nél = │x 3 │, akkor kezdheti a függvény ábrázolásával nál nél = x 3. Ezt követően az O tengelyre szimmetrikusan áll x jelenítse meg azt a részét, amely e tengely alatt van. Ennek eredményeként az ábrán látható grafikont kapjuk.
Grafikon és függvény tulajdonságai nál nél = x 1/2
(gyökér)
Vegye figyelembe a funkciót nál nél = x 1/2 .
A meghatározás hatálya ennek a függvénynek a nemnegatív valós számok halmaza, mivel a kifejezés x 1/2 csak akkor számít, mikor x > 0.
Építsünk grafikont. Az értékek táblázatának összeállításához mikrokalkulátort használunk, amely a függvényértékeket tizedekre kerekíti.
Miután pontokat rajzoltunk a koordinátasíkra, és azok sima összekapcsolását kapjuk függvénygrafikon nál nél = x 1/2 .
A felépített gráf lehetővé teszi néhány megfogalmazását tulajdonságait funkciókat nál nél = x 1/2 .
Nál nél x= 0, kapjuk nál nél= 0; nál nél x> 0, kapjuk nál nél> 0; a gráf áthalad az origón; a gráf többi pontja az első koordinátanegyedben található.
Tétel. Függvénygrafikon nál nél = x 1/2 szimmetrikus a függvény grafikonjára nál nél = x 2, hol x> 0, viszonylag egyenes nál nél = x.
Bizonyíték. Függvénygrafikon nál nél = x 2, hol x> 0 a parabolának az első koordinátanegyedben elhelyezkedő ága. Legyen a lényeg R (a; b) a gráf tetszőleges pontja. Akkor az egyenlőség igaz b = a 2. Mivel az állapot szerint a szám a nem negatív, akkor az egyenlőség is igaz a= b 1/2. Ez pedig azt jelenti, hogy a pont koordinátái K (b; a) átalakítja a képletet nál nél = x 1/2 a valódi egyenlőséghez, vagy más módon, pont K (b; a nál nél= x 1/2 .
Az is bebizonyosodott, hogy ha a lényeg M (Val vel; d) a függvény grafikonjához tartozik nál nél = x 1/2, majd pont N (d; Val vel) a grafikonhoz tartozik nál nél = x 2, hol x > 0.
Kiderül, hogy minden pont R(a; b) függvénygrafikon nál nél = x 2, hol x> 0, csak egy pont egyezik K (b; a) függvénygrafikon nál nél = x 1/2 és fordítva.
Be kell bizonyítani, hogy a pontokat R (a; b) és K (b; a) szimmetrikusak az egyeneshez képest nál nél = x. A pontokból merőlegesek ledobása a koordinátatengelyekre Rés K, pontokat kapunk ezeken a tengelyeken E(a; 0), D (0; b), F (b; 0), TÓL TŐL (0; a). Pont R merőlegesek metszéspontjai ÚJRAés QC koordinátái vannak ( a; a), ezért a sorhoz tartozik nál nél = x. Háromszög PRQ egyenlő szárú, mivel az oldalai RPés RQ egyenlő │ b – a│ mindegyik. Egyenes nál nél = x szögszerűen felosztva DOF, így a szög is PRQés átlépi a határt PQ egy bizonyos ponton S. Ezért a szegmens RS a háromszög felezője PRQ. Mivel egy egyenlő szárú háromszög felezőpontja a magassága és a mediánja, akkor PQ ┴ RSés PS = QS. Ez pedig azt jelenti, hogy a pontokat R (a; b) és K (b; a) szimmetrikus az egyeneshez képest nál nél = x.
Mivel a függvény grafikonja nál nél = x 1/2 szimmetrikus a függvény grafikonjára nál nél = x 2, hol x> 0, viszonylag egyenes nál nél= x, majd a függvény grafikonja nál nél = x 1/2 a parabola ága.
Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.
Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
1C oktatási komplexum: "Algebrai feladatok paraméterekkel, 9-11. osztály" Szoftverkörnyezet "1C: Matematikai konstruktor 6.0"
Ellenőrizzük az egyenlőséget: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Legyen $\sqrt((-x))=a$ és $\sqrt(x)=b$. Emeljük mindkét kifejezést a harmadik hatványra. $–x=a^3$ és $x=b^3$. Ezután $a^3=-b^3$ vagy $a=-b$. A gyökök jelölésében megkapjuk a kívánt azonosságot.
Bizonyítsuk be a második tulajdonságot. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Azt találtuk, hogy a $\sqrt(\frac(a)(b))$ szám a kockában egyenlő a $\frac(a)(b)$ értékkel, majd egyenlő a $\sqrt(\frac(a) (b))$, amit és kellett bizonyítani.
Srácok, ábrázoljuk a függvénygrafikonunkat.
1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza.
2) A függvény páratlan, mert $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Ezután vegyük figyelembe a $x≥0$ függvényünket, majd tükrözzük a grafikont az origóhoz viszonyítva.
3) A függvény növekszik $х≥0$ esetén. A mi függvényünkben az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, ami növelést jelent.
4) A funkció felülről nincs korlátozva. Valójában tetszőlegesen nagy számból ki lehet számítani a harmadik fok gyökerét, és felfelé haladhatunk a végtelenbe, mindent megtalálva nagy értékekérv.
5) $x≥0$ esetén a legkisebb érték 0. Ez a tulajdonság nyilvánvaló.
Készítsük el a függvény grafikonját pontok alapján x≥0 esetén.
Építsük fel a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományra. Ne feledje, hogy a függvényünk páratlan. 
Funkció tulajdonságai:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Páratlan függvény.
3) Növeli (-∞;+∞).
4) Korlátlan.
5) Nincs minimális vagy maximális érték.
7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konvex lefelé (-∞;0-val), konvex felfelé (0;+∞).
Amint látja, grafikonjaink három pontban metszik egymást. 2. Készítse el a függvény grafikonját! $y=\sqrt((x-2))-3$.
Megoldás. A grafikonunkat a $y=\sqrt(x)$ függvény grafikonjából kapjuk, két egységgel jobbra és három egységgel lefelé történő párhuzamos eltolással. 
3. Készítsen függvénygráfot és olvassa el. $\begin(esetek)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(esetek)$.
Megoldás. Építsünk fel két függvénygrafikont ugyanazon a koordinátasíkon, a feltételeinket figyelembe véve. $х≥-1$ esetén egy köbgyök, $х≤-1$ esetén lineáris függvény grafikonját készítjük. 
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) A függvény nem páros és nem páratlan.
3) Csökken (-∞;-1), nő (-1;+∞).
4) Korlátlan felülről, korlátlan alulról.
5) Legnagyobb érték nem. A legkisebb érték mínusz egy.
6) A függvény a teljes valós vonalon folytonos.
7) E(y)= (-1;+∞).
Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
