1. § Koordinátarendszer: meghatározás és szerkesztési mód
Ebben a leckében megismerkedünk a "koordinátarendszer", "koordinátasík", "koordinátatengelyek" fogalmaival, megtanuljuk, hogyan építsünk pontokat a síkon koordináták szerint.
Vegyük az x koordináta egyenest az O kezdőponttal, a pozitív iránysal és az egységszakasszal.
Az x koordináta egyenes O kezdőpontján át húzunk egy másik, x-re merőleges y koordináta egyenest, a pozitív irányt felfelé állítjuk, az egységszegmens ugyanaz. Így felépítettünk egy koordinátarendszert.
Adjunk egy definíciót:
Két egymásra merőleges koordinátaegyenes, amelyek a pontban metszik egymást, amelyek mindegyikének origója, koordinátarendszert alkotnak.
§ 2 Koordinátatengely és koordinátasík
A koordinátarendszert alkotó egyeneseket koordinátatengelyeknek nevezzük, amelyek mindegyikének saját neve van: az x koordináta egyenes az abszcissza tengely, az y koordináta egyenes az ordináta tengely.
Azt a síkot, amelyen a koordinátarendszert választjuk, koordinátasíknak nevezzük.
A leírt koordinátarendszert téglalapnak nevezzük. Gyakran Descartes-féle koordinátarendszernek nevezik René Descartes francia filozófus és matematikus tiszteletére.
A koordinátasík minden pontjának két koordinátája van, amelyeket úgy határozhatunk meg, hogy a merőlegeseket a koordinátatengelyre ejtjük a pontból. A síkon egy pont koordinátái egy számpár, amelyek közül az első szám az abszcissza, a második szám az ordináta. Az abszcissza az x tengelyre merőlegest, az ordináta az y tengelyre merőlegest mutatja.
A koordinátasíkon kijelöljük az A pontot, abból merőlegeseket rajzolunk a koordinátarendszer tengelyeire.
Az abszcissza tengelyre merőleges (x tengely) mentén meghatározzuk az A pont abszcisszáját, ez egyenlő 4-gyel, az A pont ordinátája - az ordináta tengelyre merőleges (y tengely) mentén 3. pont 4 és 3. A (4; 3). Így a koordinátasík bármely pontjához megtalálhatók a koordináták.
3. § Egy pont felépítése egy síkon
És hogyan lehet egy pontot felépíteni egy síkon adott koordinátákkal, pl. helyzetét egy síkban lévő pont koordinátái alapján határozza meg? NÁL NÉL ez az eset műveleteket hajtják végre fordított sorrendben. A koordinátatengelyeken megtaláljuk az adott koordinátáknak megfelelő pontokat, amelyeken keresztül az x és y tengelyre merőleges egyeneseket húzunk. A merőlegesek metszéspontja lesz a kívánt, azaz. pont adott koordinátákkal.
Végezzük el a feladatot: építsünk fel egy M (2; -3) pontot a koordinátasíkon.
Ehhez az x tengelyen találunk egy 2-es koordinátájú pontot, ezen a ponton keresztül az x tengelyre merőleges egyenest húzunk. Az y tengelyen találunk egy -3 koordinátájú pontot, azon keresztül húzunk egy, az y tengelyre merőleges egyenest. A merőleges egyenesek metszéspontja az adott M pont lesz.
Most nézzünk meg néhány speciális esetet.
A koordinátasíkon jelöljük az A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) pontokat.
Ezen pontok abszcisszán 0. Az ábra azt mutatja, hogy minden pont az y tengelyen van.
Ezért azok a pontok, amelyeknek abszcisszán egyenlők nullával, az y tengelyen helyezkednek el.
Cseréljük fel ezeknek a pontoknak a koordinátáit.
Szerezzen A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). Ebben az esetben minden ordináta 0 és a pontok az x tengelyen vannak.
Ez azt jelenti, hogy a nullával egyenlő ordináták az abszcissza tengelyén helyezkednek el.
Nézzünk még két esetet.
A koordinátasíkon jelölje be az M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) pontokat.
Könnyen belátható, hogy a pontok összes abszcisszája azonos. Ha ezek a pontok össze vannak kötve, akkor az ordinátatengellyel párhuzamos és az abszcissza tengelyre merőleges egyenest kapunk.
A következtetés önmagát sugallja: az azonos abszcisszával rendelkező pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, amely párhuzamos az ordinátatengellyel és merőleges az abszcissza tengelyére.
Ha az M, N, P pontok koordinátáit helyenként megváltoztatjuk, akkor M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) értéket kapunk. A pontok ordinátái azonosak lesznek. Ebben az esetben, ha ezeket a pontokat összekötjük, akkor az abszcissza tengellyel párhuzamos és az ordináta tengelyére merőleges egyenest kapunk.
Így az azonos ordinátával rendelkező pontok ugyanazon az egyenesen vannak, amelyek párhuzamosak az abszcissza tengellyel és merőlegesek az ordináta tengelyére.
Ebben a leckében megismerkedett a "koordinátarendszer", "koordinátasík", "koordinátatengelyek - az abszcissza tengely és az y tengely" fogalmaival. Megtanultuk, hogyan kell megtalálni egy pont koordinátáit egy koordinátasíkon, és megtanultuk, hogyan építsünk pontokat egy síkon a koordinátái alapján.
A felhasznált irodalom listája:
A matematika meglehetősen összetett tudomány. Tanulmányozása során nemcsak példákat és problémákat kell megoldani, hanem különféle figurákkal, sőt síkokkal is kell dolgozni. A matematikában az egyik leggyakrabban használt koordinátarendszer a síkon. A gyerekeket több mint egy éve tanítják, hogyan kell helyesen dolgozni vele. Ezért fontos tudni, hogy mi ez, és hogyan kell helyesen dolgozni vele.
Nézzük meg, mi ez a rendszer, milyen műveleteket hajthat végre vele, és ismerje meg főbb jellemzőit és jellemzőit.
A koordinátasík egy olyan sík, amelyen egy adott koordinátarendszer van meghatározva. Egy ilyen síkot két derékszögben metsző egyenes határoz meg. Ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja a koordináták origója. A koordinátasíkon minden pontot egy számpár ad meg, amelyeket koordinátáknak nevezünk.
NÁL NÉL iskolai tanfolyam A matematikában az iskolásoknak nagyon szorosan együtt kell működniük a koordinátarendszerrel - ábrákat és pontokat kell ráépíteniük, meg kell határozniuk, hogy egy adott koordináta melyik síkhoz tartozik, valamint meg kell határozni egy pont koordinátáit, és meg kell írni vagy megnevezni őket. Ezért beszéljünk részletesebben a koordináták összes jellemzőjéről. De először érintsük meg a teremtés történetét, majd beszélünk arról, hogyan kell dolgozni a koordinátasíkon.
A koordinátarendszer létrehozására vonatkozó ötletek Ptolemaiosz idejében születtek. A csillagászok és matematikusok már akkor azon gondolkodtak, hogyan tanulják meg egy pont helyzetének beállítását a síkon. Sajnos akkor még nem volt ismert koordinátarendszer, és a tudósoknak más rendszereket kellett használniuk.
Kezdetben a szélességi és hosszúsági fokok megadásával határozzák meg a pontokat. Hosszú ideje ez volt az egyik leggyakrabban használt módja ennek vagy annak az információnak a feltérképezésének. De 1637-ben Rene Descartes megalkotta saját koordináta-rendszerét, amelyet később „Cartesian”-ról neveztek el.
Már a XVII. század végén. a "koordinátasík" fogalma széles körben elterjedt a matematika világában. Annak ellenére, hogy több évszázad telt el a rendszer létrehozása óta, még mindig széles körben használják a matematikában, sőt az életben is.
Mielőtt az elméletről beszélnénk, nézzünk meg néhányat jó példák koordináta síkot, hogy el tudja képzelni. A koordinátarendszert elsősorban a sakkban használják. A táblán minden négyzetnek saját koordinátája van - egy betűkoordináta, a második - digitális. Segítségével meghatározhatja egy adott darab helyzetét a táblán.
második legtöbb kiváló példa a sokak által kedvelt "Battleship" játék szolgálhat. Ne feledje, hogyan ad meg játék közben egy koordinátát, például B3-at, így pontosan jelzi, hová céloz. Ugyanakkor a hajók elhelyezésekor pontokat ad meg a koordinátasíkon.
Ezt a koordinátarendszert nemcsak a matematikában, a logikai játékokban használják széles körben, hanem a katonai ügyekben, a csillagászatban, a fizikában és sok más tudományban is.
Mint már említettük, a koordinátarendszerben két tengelyt különböztetünk meg. Beszéljünk egy kicsit róluk, mert jelentőségük van.
Az első tengely - az abszcissza - vízszintes. Ezt jelöli ( Ökör). A második tengely az ordináta, amely függőlegesen halad át a referenciaponton, és jelölése ( Oy). Ez a két tengely alkotja a koordinátarendszert, négy negyedre osztva a síkot. Az origó e két tengely metszéspontjában található, és felveszi az értéket 0 . Csak ha a síkot két merőlegesen metsző tengely alkotja, amelyeknek van referenciapontja, akkor az koordinátasík.
Vegye figyelembe azt is, hogy mindegyik tengelynek megvan a maga iránya. Általában a koordinátarendszer felépítésénél a tengely irányát szokás nyíl formájában jelezni. Ezenkívül a koordinátasík felépítésénél minden tengely előjelre kerül.
Most mondjunk néhány szót egy olyan fogalomról, mint a koordinátasík negyedei. A síkot két tengely osztja négy negyedre. Mindegyiknek saját száma van, míg a síkok számozása az óramutató járásával ellentétes.
Mindegyik negyednek megvannak a maga sajátosságai. Tehát az első negyedben az abszcissza és az ordináta pozitív, a második negyedben az abszcissza negatív, az ordináta pozitív, a harmadikban az abszcissza és az ordináta is negatív, a negyedikben az abszcissza pozitív, az ordináta pedig negatív.
Ha megjegyzi ezeket a jellemzőket, könnyen meghatározhatja, hogy egy adott pont melyik negyedhez tartozik. Ezenkívül ezek az információk hasznosak lehetnek az Ön számára, ha a Descartes-rendszer segítségével kell számításokat végeznie.
Ha foglalkoztunk a sík fogalmával, és beszéltünk a negyedeiről, akkor áttérhetünk egy olyan problémára, mint a munka ezzel a rendszerrel, és beszélhetünk arról is, hogyan lehet pontokat, ábrák koordinátáit feltenni rá. A koordinátasíkon ez nem olyan nehéz, mint amilyennek első pillantásra tűnhet.
Először is maga a rendszer épül fel, minden fontos jelölést alkalmaznak rá. Ezután közvetlenül pontokkal vagy figurákkal kell dolgozni. Ilyenkor az ábrák megalkotásakor is először pontokat viszünk fel a síkra, majd az ábrákat már meg is rajzoljuk.
Ha úgy dönt, hogy elkezdi az alakzatok és pontok papíron történő megjelölését, szüksége lesz egy koordinátasíkra. Rajta van ábrázolva a pontok koordinátái. A koordinátasík felépítéséhez csak egy vonalzóra és egy tollra vagy ceruzára van szüksége. Először a vízszintes abszcisszát rajzoljuk, majd a függőleges ordinátát. Fontos megjegyezni, hogy a tengelyek derékszögben metszik egymást.
Következő kötelező tétel jelöli. Az egységek-szegmensek mindegyik tengelyen mindkét irányban meg vannak jelölve és aláírva. Ez azért történik, hogy maximális kényelemmel dolgozhasson a géppel.
Most beszéljünk arról, hogyan ábrázoljuk a pontok koordinátáit a koordinátasíkon. Ezeket az alapokat tudnia kell, hogy sikeresen elhelyezhessen különféle alakzatokat a síkon, és még egyenleteket is megjelölhessen.
A pontok megalkotásakor emlékezni kell a koordináták helyes rögzítésére. Tehát általában egy pont beállításához két számot írunk zárójelbe. Az első számjegy a pont koordinátáját az abszcissza tengely mentén, a második az ordináta tengelye mentén jelzi.
A pontot így kell felépíteni. Először jelölje meg a tengelyen Ökör adott pontot, majd jelöljön ki egy pontot a tengelyen Oy. Ezután rajzoljon képzeletbeli vonalakat ezekből a jelölésekből, és keresse meg a metszéspontjuk helyét - ez lesz az adott pont.
Csak annyit kell tennie, hogy megjelöli és aláírja. Amint látja, minden nagyon egyszerű, és nem igényel különleges készségeket.
Most térjünk át egy olyan kérdésre, mint az ábrák felépítése a koordinátasíkon. Ahhoz, hogy bármilyen alakzatot a koordinátasíkra építhess, tudnod kell, hogyan kell pontokat elhelyezni rajta. Ha tudja, hogyan kell ezt megtenni, akkor nem olyan nehéz egy figurát egy síkra helyezni.
Először is szüksége lesz az ábra pontjainak koordinátáira. Ezekre alkalmazzuk az Ön által kiválasztottakat a koordinátarendszerünkben, fontoljuk meg egy téglalap, háromszög és kör rajzolását.
Kezdjük egy téglalappal. Alkalmazása meglehetősen egyszerű. Először négy pontot alkalmazunk a síkra, jelezve a téglalap sarkait. Ezután minden pont egymás után kapcsolódik egymáshoz.
A háromszög rajzolása nem más. Az egyetlen dolog, hogy három sarka van, ami azt jelenti, hogy három pont kerül a síkra, jelölve annak csúcsait.
Ami a kört illeti, itt két pont koordinátáit kell tudni. Az első pont a kör középpontja, a második a kör sugarát jelölő pont. Ez a két pont egy síkon van ábrázolva. Ezután iránytűt veszünk, megmérjük két pont távolságát. Az iránytű pontját a középpontot jelölő pontba helyezzük, és egy kört írunk le.
Mint látható, itt sincs semmi bonyolult, a lényeg, hogy mindig legyen kéznél egy vonalzó és egy iránytű.
Most már tudja, hogyan kell ábrázolni az alakzat koordinátáit. A koordinátasíkon ezt nem olyan nehéz megtenni, mint amilyennek első pillantásra tűnhet.
Tehát átgondoltuk Önnel a matematika egyik legérdekesebb és legalapvetőbb fogalmát, amellyel minden diáknak meg kell küzdenie.
Megállapítottuk, hogy a koordinátasík az a sík, amelyet két tengely metszéspontja alkot. Segítségével beállíthatja a pontok koordinátáit, formákat rakhat rá. A sík negyedekre van osztva, amelyek mindegyikének megvannak a maga sajátosságai.
A fő készség, amelyet a koordinátasíkkal való munka során fejleszteni kell, az adott pontok helyes ábrázolásának képessége. Ehhez tudnia kell helyes hely tengelyek, a negyedek jellemzői, valamint a pontok koordinátáinak beállításának szabályai.
Reméljük, hogy az általunk közölt információk elérhetőek és érthetőek voltak, valamint hasznosak voltak az Ön számára, és segítettek a téma jobb megértésében.
A koordinátasík megértése
Minden objektumnak (például egy háznak, egy helynek a nézőtéren, egy pontnak a térképen) saját rendezett címe (koordinátái) van, amely numerikus vagy alfabetikus megjelöléssel rendelkezik.
A matematikusok olyan modellt fejlesztettek ki, amely lehetővé teszi egy objektum helyzetének meghatározását, és az ún Koordináta sík.
Egy koordinátasík felépítéséhez $2$-os merőleges vonalakat kell rajzolnia, amelyek végén a "jobbra" és a "felfelé" nyilak jelzik. Az egyenesekre osztásokat alkalmazunk, és a vonalak metszéspontja mindkét skála nullapontja.
1. definíció
A vízszintes vonalat ún x tengelyés x-szel jelöljük, és a függőleges vonalat hívjuk y tengelyés y-val van jelölve.
Két merőleges tengely x és y osztással négyszögletes, vagy kartéziánus, koordináta-rendszer Rene Descartes francia filozófus és matematikus javasolta.
Koordináta sík
A koordinátasíkon egy pontot két koordináta határoz meg.
A $A$ pont koordinátáinak meghatározásához a koordinátasíkon keresztül egyenes vonalakat kell húzni rajta, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel (az ábrán pontozott vonallal vannak jelölve). Az egyenesnek az x tengellyel való metszéspontja adja az $A$ $x$ koordinátáját, az y tengellyel való metszéspont pedig az $A$ y koordinátáját. Egy pont koordinátáinak felírásakor először a $x$ koordinátát írjuk be, majd az $y$ koordinátát.
Az ábra $A$ pontjának $(3; 2)$, a $B (–1; 4)$ pontjának koordinátái vannak.
Egy pont koordinátasíkon való ábrázolásához fordított sorrendben járjon el.
1. példa
Szerkessze meg a $A(2;5)$ és $B(3; –1).$ pontokat a koordinátasíkon
Megoldás.
$A$ építési pont:
$B$ építési pont:
2. példa
Szerkesszünk pontokat a koordinátasíkon megadott $C (3; 0)$ és $D(0; 2)$ koordinátákkal.
Megoldás.
$C$ pont építése:
$D$ pont építése:
Megjegyzés 1
Ezért a $x=0$ koordinátánál a pont az $y$ tengelyen, a $y=0$ koordinátánál pedig a $x$ tengelyen lesz.
3. példa
Határozzuk meg az A, B, C, D pontok koordinátáit.$
Megoldás.
Határozzuk meg a $A$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontja adja az $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel az $y$ koordinátát. Így azt kapjuk, hogy a $A (1; 3).$ pont
Határozzuk meg a $B$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontja adja az $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel az $y$ koordinátát. Azt kapjuk, hogy a $B (–2; 4).$ pont
Határozzuk meg a $C$ pont koordinátáit. Mert az $y$ tengelyen helyezkedik el, akkor ennek a pontnak a $x$ koordinátája egyenlő nullával. Az y koordináta $–2 $. Így a pont $C (0; –2)$.
Határozzuk meg a $D$ pont koordinátáit. Mert az $x$ tengelyen van, akkor az $y$ koordináta egyenlő nullával. Ennek a pontnak a $x$ koordinátája $–5$. Így a $D (5; 0).$ pont
4. példa
Szerkessze meg a $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) pontokat.
Megoldás.
$E$ pont építése:
$F$ építési pont:
A $G$ pont építése:
$H$ pont építése:
A $O$ pont felépítése:
A koordinátasík megértése
Minden objektumnak (például egy háznak, egy helynek a nézőtéren, egy pontnak a térképen) saját rendezett címe (koordinátái) van, amely numerikus vagy alfabetikus megjelöléssel rendelkezik.
A matematikusok olyan modellt fejlesztettek ki, amely lehetővé teszi egy objektum helyzetének meghatározását, és az ún Koordináta sík.
Egy koordinátasík felépítéséhez $2$-os merőleges vonalakat kell rajzolnia, amelyek végén a "jobbra" és a "felfelé" nyilak jelzik. Az egyenesekre osztásokat alkalmazunk, és a vonalak metszéspontja mindkét skála nullapontja.
1. definíció
A vízszintes vonalat ún x tengelyés x-szel jelöljük, és a függőleges vonalat hívjuk y tengelyés y-val van jelölve.
Két merőleges tengely x és y osztással négyszögletes, vagy kartéziánus, koordináta-rendszer Rene Descartes francia filozófus és matematikus javasolta.
Koordináta sík
A koordinátasíkon egy pontot két koordináta határoz meg.
A $A$ pont koordinátáinak meghatározásához a koordinátasíkon keresztül egyenes vonalakat kell húzni rajta, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel (az ábrán pontozott vonallal vannak jelölve). Az egyenesnek az x tengellyel való metszéspontja adja az $A$ $x$ koordinátáját, az y tengellyel való metszéspont pedig az $A$ y koordinátáját. Egy pont koordinátáinak felírásakor először a $x$ koordinátát írjuk be, majd az $y$ koordinátát.
Az ábra $A$ pontjának $(3; 2)$, a $B (–1; 4)$ pontjának koordinátái vannak.
Egy pont koordinátasíkon való ábrázolásához fordított sorrendben járjon el.
1. példa
Szerkessze meg a $A(2;5)$ és $B(3; –1).$ pontokat a koordinátasíkon
Megoldás.
$A$ építési pont:
$B$ építési pont:
2. példa
Szerkesszünk pontokat a koordinátasíkon megadott $C (3; 0)$ és $D(0; 2)$ koordinátákkal.
Megoldás.
$C$ pont építése:
$D$ pont építése:
Megjegyzés 1
Ezért a $x=0$ koordinátánál a pont az $y$ tengelyen, a $y=0$ koordinátánál pedig a $x$ tengelyen lesz.
3. példa
Határozzuk meg az A, B, C, D pontok koordinátáit.$
Megoldás.
Határozzuk meg a $A$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontja adja az $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel az $y$ koordinátát. Így azt kapjuk, hogy a $A (1; 3).$ pont
Határozzuk meg a $B$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontja adja az $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel az $y$ koordinátát. Azt kapjuk, hogy a $B (–2; 4).$ pont
Határozzuk meg a $C$ pont koordinátáit. Mert az $y$ tengelyen helyezkedik el, akkor ennek a pontnak a $x$ koordinátája egyenlő nullával. Az y koordináta $–2 $. Így a pont $C (0; –2)$.
Határozzuk meg a $D$ pont koordinátáit. Mert az $x$ tengelyen van, akkor az $y$ koordináta egyenlő nullával. Ennek a pontnak a $x$ koordinátája $–5$. Így a $D (5; 0).$ pont
4. példa
Szerkessze meg a $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) pontokat.
Megoldás.
$E$ pont építése:
$F$ építési pont:
A $G$ pont építése:
$H$ pont építése:
A $O$ pont felépítése:
