Funkció hol x- változó, A- egy adott számot hívnak teljesítmény funkció .
Ha akkor egy lineáris függvény, akkor a grafikonja egy egyenes (lásd 4.3. szakasz, 4.7. ábra).
Ha akkor egy másodfokú függvény, akkor a grafikonja egy parabola (lásd 4.3. szakasz, 4.8. ábra).
Ha akkor a gráfja egy köbös parabola (lásd 4.3. szakasz, 4.9. ábra).
azt inverz függvény számára
1. Tartomány:
2. Több érték:
3. Páros és páratlan: páratlan függvény.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.
6. A függvénynek nincs maximális vagy minimális értéke.
7.
8. Függvénygrafikon Szimmetrikus egy köbös parabola grafikonjára az egyeneshez képest Y=xés az ábrán látható. 5.1.
 |
Teljesítmény funkció
1. Tartomány: 
2. Több érték:
3. Páros és páratlan: a függvény páros.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. Funkció nullák: egyetlen nulla x = 0.
6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a legkisebb értéket veszi fel x= 0, egyenlő 0-val.
7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény az intervallumon csökken, az intervallumon pedig növekszik
8. Függvénygrafikon(mindenkinek N Î N) „úgy néz ki”, mint egy grafikon másodfokú parabola(függvénygrafikonok az 5.2. ábrán láthatók).
Teljesítmény funkció
1. Tartomány:
2. Több érték: 
3. Páros és páratlan: páratlan függvény.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.
6. Maximális és minimális értékek:
7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban.
8. Függvénygrafikon(mindegyik ) "úgy néz ki", mint egy köbös parabola grafikonja (a függvénygrafikonok az 5.3. ábrán láthatók).
 |
Teljesítmény funkció
1. Tartomány:
2. Több érték:
3. Páros és páratlan: páratlan függvény.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. Funkció nullák: nincsenek nullák.
6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a függvény egyikhez sem rendelkezik a legnagyobb és legkisebb értékkel
7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény a definíciós tartományban csökken.
8. Aszimptoták:(tengely OU) a függőleges aszimptota;
(tengely Ó) a vízszintes aszimptota.
9. Függvénygrafikon(bárkinek N) "úgy néz ki", mint egy hiperbola grafikonja (a függvények grafikonjait az 5.4. ábra mutatja).
 |
Teljesítmény funkció
1. Tartomány:
2. Több érték:
3. Páros és páratlan: a függvény páros.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a függvény egyikhez sem rendelkezik a legnagyobb és legkisebb értékkel
6. Növekvő és csökkenő intervallumok: a funkció növekszik és csökken
7. Aszimptoták: x= 0 (tengely OU) a függőleges aszimptota;
Y= 0 (tengely Ó) a vízszintes aszimptota.
8. Függvénygrafikonok Másodfokú hiperbolák (5.5. ábra).
 |
Teljesítmény funkció
1. Tartomány:
2. Több érték:
3. Páros és páratlan: a függvénynek nincs páros és páratlan tulajdonsága.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.
6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a legkisebb 0-val egyenlő értéket a függvény a pontban veszi fel x= 0; a legnagyobb érték nem rendelkezik.
7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban.
8. Minden ilyen függvény egy bizonyos indikátorral inverz a függvényre, feltéve
9. Függvénygrafikon"úgy néz ki", mint egy függvény grafikonja bármely Nés az ábrán látható. 5.6.
Teljesítmény funkció
1. Tartomány:
2. Több érték:
3. Páros és páratlan: páratlan függvény.
4. Funkció periodicitása: nem időszakos.
5. Funkció nullák: x= 0 az egyetlen nulla.
6. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei: a függvény egyikhez sem rendelkezik a legnagyobb és legkisebb értékkel
7. Növekvő és csökkenő intervallumok: a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban.
8. Függvénygrafikonábrán látható. 5.7.
 |
Idézzük fel a negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait.
Páros n esetén:
Funkció példa:
Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a paritásuk, a grafikonok szimmetrikusak az op-y tengelyhez képest.
Rizs. 1. Egy függvény grafikonja
Páratlan n esetén:
Funkció példa:
Az ilyen függvények grafikonjai két fix ponton haladnak át: (1;1), (-1;-1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a páratlanságuk, a gráfok szimmetrikusak az origóhoz képest.
Rizs. 2. Függvénygrafikon
Emlékezzünk a fő definícióra.
A racionális pozitív kitevővel rendelkező nem negatív a szám fokszámát számnak nevezzük.
A racionális negatív kitevővel rendelkező pozitív a szám fokszámát számnak nevezzük.
A következő egyenlőségre:
Például: 
; - a kifejezés nem létezik negatív racionális kitevővel rendelkező fok definíciója alapján; létezik, mivel a kitevő egész szám, 
Térjünk rá a racionális negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények figyelembevételére.
Például:
A függvény ábrázolásához készíthet egy táblázatot. Másként tesszük: először megépítjük és tanulmányozzuk a nevező grafikonját - ismerjük (3. ábra).
Rizs. 3. Egy függvény grafikonja
A nevezőfüggvény grafikonja egy fix ponton (1;1) halad át. Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor ez a pont megmarad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (4. ábra).
Rizs. 4. Függvénygrafikon
Tekintsünk még egy függvényt a vizsgált függvénycsaládból.
Fontos, hogy definíció szerint
Tekintsük a függvény grafikonját a nevezőben: , ismerjük ennek a függvénynek a grafikonját, definíciós tartományában növekszik és átmegy az (1; 1) ponton (5. ábra).
Rizs. 5. Függvénygrafikon
Az eredeti függvény gráfjának elkészítésekor az (1; 1) pont marad, amikor a gyök is nullára hajlik, a függvény a végtelenbe. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (6. ábra).
Rizs. 6. Függvénygrafikon
A vizsgált példák segítenek megérteni, hogyan megy a grafikon, és milyen tulajdonságai vannak a vizsgált függvénynek - egy negatív racionális kitevővel rendelkező függvénynek.
Ennek a családnak a függvénygráfjai az (1;1) ponton haladnak át, a függvény a teljes definíciós tartományon csökken.
Funkció hatóköre: 
A függvény nem felülről, hanem alulról korlátos. A függvénynek nincs sem maximuma, sem minimális értéke.
A függvény folyamatos, minden pozitív értéket vesz nullától plusz végtelenig.
Konvex lefelé függvény (15.7. ábra)
Az A és B pontokat felvesszük a görbére, rajtuk egy szakaszt húzunk, a teljes görbe a szakasz alatt van, ez a feltétel a görbe tetszőleges két pontjára teljesül, ezért a függvény lefelé konvex. Rizs. 7.
Rizs. 7. Függvény konvexitása
Fontos megérteni, hogy ennek a családnak a funkcióit alulról nulla határolja, de nem a legkisebb értékkel bírnak.
1. példa - keresse meg egy függvény maximumát és minimumát a \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] intervallumon
Grafikon (2. ábra).
2. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n)$ függvény grafikonja
A definíció tartománya minden valós szám.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ egy páratlan függvény.
$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.
A tartomány minden valós szám.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ esetén.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
A függvény konkáv $x\in (-\infty ,0)$ esetén, és konvex $x\in (0,+\infty)$ esetén.
Grafikon (3. ábra).
3. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ függvény grafikonja
Először bemutatjuk az egész kitevővel rendelkező fok fogalmát.
3. definíció
A $n$ egész kitevővel rendelkező $a$ valós szám mértékét a következő képlet határozza meg:
4. ábra
Tekintsünk most egy hatványfüggvényt egész kitevővel, annak tulajdonságait és grafikonját.
4. definíció
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.
Ha a fokszám nagyobb nullánál, akkor egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény esetéhez jutunk. Fentebb már tárgyaltuk. $n=0$ esetén egy $y=1$ lineáris függvényt kapunk. Megfontolását az olvasóra bízzuk. Továbbra is figyelembe kell venni egy negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságait
A hatókör: $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ha a kitevő páros, akkor a függvény páros, ha páratlan, akkor a függvény páratlan.
$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományon.
Értéktartomány:
Ha a kitevő páros, akkor $(0,+\infty)$, ha páratlan, akkor $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ha a kitevő páratlan, a függvény a következőképpen csökken: $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Páros kitevő esetén a függvény $x\in (0,+\infty)$ értékkel csökken. és a következővel nő: $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ a teljes tartományban
A hatványfüggvény y=x n alakú függvény (olvasható, hogy y egyenlő x-szel n hatványával), ahol n egy adott szám. A hatványfüggvények sajátos esetei az y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x és sok más formájú függvények. Beszéljünk részletesebben mindegyikről.
A grafikon egy egyenes, amely az Ox tengely pozitív irányával 45 fokos szöget bezár a ponton (0; 0).
A diagram lent látható.
A lineáris függvény alapvető tulajdonságai:
A másodfokú függvény grafikonja egy parabola.
A másodfokú függvény alapvető tulajdonságai:
