Componha a equação canônica da elipse. Construção de definição de propriedade de elipse

Definição 7.1. O conjunto de todos os pontos do plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 é um determinado valor constante é denominado elipse.

A definição de uma elipse dá próximo caminho sua estrutura geométrica. Fixamos dois pontos F 1 e F 2 no plano e denotamos um valor constante não negativo por 2a. Seja a distância entre os pontos F 1 e F 2 2c. Imaginemos que um fio inextensível de comprimento 2a é fixado nos pontos F 1 e F 2, por exemplo, por meio de duas agulhas. É claro que isso só é possível para a ≥ c. Depois de puxar o fio com um lápis, desenhe uma linha que será uma elipse (Fig. 7.1).

Portanto, o conjunto descrito não é vazio se a ≥ c. Quando a = c, a elipse é um segmento com extremidades F 1 e F 2, e quando c = 0, ou seja, Se os pontos fixos especificados na definição de uma elipse coincidem, é um círculo de raio a. Descartando estes casos degenerados, assumiremos ainda, como regra, que a > c > 0.

Os pontos fixos F 1 e F 2 na definição 7.1 da elipse (ver Fig. 7.1) são chamados focos de elipse, a distância entre eles, indicada por 2c, - comprimento focal, e os segmentos F 1 M e F 2 M conectando um ponto arbitrário M na elipse com seus focos são raios focais.

A forma da elipse é completamente determinada pela distância focal |F 1 F 2 | = 2c e parâmetro a, e sua posição no plano - um par de pontos F 1 e F 2.

Da definição de uma elipse segue-se que ela é simétrica em relação à reta que passa pelos focos F 1 e F 2, bem como em relação à reta que divide o segmento F 1 F 2 ao meio e é perpendicular a ele (Fig. 7.2, a). Essas linhas são chamadas eixos de elipse. O ponto O de sua intersecção é o centro de simetria da elipse e é chamado o centro da elipse, e os pontos de intersecção da elipse com os eixos de simetria (pontos A, B, C e D na Fig. 7.2, a) - vértices da elipse.

O número a é chamado semieixo maior da elipse, e b = √(a 2 - c 2) - é eixo menor. É fácil ver que para c > 0, o semieixo maior a é igual à distância do centro da elipse àqueles de seus vértices que estão no mesmo eixo dos focos da elipse (vértices A e B 7.2, a), e o semi-eixo menor b é igual à distância do centro da elipse aos seus outros dois vértices (vértices C e D na Fig. 7.2, a).

Equação da elipse. Consideremos alguma elipse no plano com focos nos pontos F 1 e F 2, eixo maior 2a. Seja 2c a distância focal, 2c = |F 1 F 2 |

Vamos escolher um sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano de modo que sua origem coincida com o centro da elipse e seus focos estejam em eixo x(Fig. 7.2,b). Esse sistema de coordenadas é chamado canônico para a elipse em questão, e as variáveis ​​correspondentes são canônico.

No sistema de coordenadas selecionado, os focos possuem coordenadas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando a fórmula da distância entre pontos, escrevemos a condição |F 1 M| + |F2M| = 2a em coordenadas:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Esta equação é inconveniente porque contém dois radicais quadrados. Então vamos transformá-lo. Vamos mover o segundo radical na equação (7.2) para lado direito e eleve ao quadrado:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Depois de abrir os parênteses e trazer termos semelhantes, obtemos

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

onde ε = c/a. Repetimos a operação de quadratura para remover o segundo radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ou, levando em consideração o valor do parâmetro inserido ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Como a 2 - c 2 = b 2 > 0, então

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

A equação (7.4) é satisfeita pelas coordenadas de todos os pontos situados na elipse. Mas ao derivar esta equação, foram utilizadas transformações não equivalentes da equação original (7.2) - duas quadraturas que removem os radicais quadrados. A quadratura de uma equação é uma transformação equivalente se ambos os lados tiverem quantidades com o mesmo sinal, mas não verificamos isso em nossas transformações.

Podemos evitar a verificação da equivalência das transformações se levarmos em conta o seguinte. Um par de pontos F 1 e F 2, |F 1 F 2 | = 2c, no plano define uma família de elipses com focos nesses pontos. Cada ponto do plano, exceto os pontos do segmento F 1 F 2, pertence a alguma elipse da família indicada. Neste caso, duas elipses não se cruzam, uma vez que a soma dos raios focais determina exclusivamente uma elipse específica. Assim, a família descrita de elipses sem interseções cobre todo o plano, exceto os pontos do segmento F 1 F 2. Consideremos um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (7.4) com um determinado valor do parâmetro a. Este conjunto pode ser distribuído entre várias elipses? Alguns dos pontos do conjunto pertencem a uma elipse com semieixo maior a. Deixe que haja um ponto neste conjunto situado em uma elipse com semieixo maior a. Então as coordenadas deste ponto obedecem à equação

aqueles. as equações (7.4) e (7.5) têm soluções gerais. No entanto, é fácil verificar se o sistema

pois ã ≠ a não tem soluções. Para isso, basta excluir, por exemplo, x da primeira equação:

que após as transformações leva à equação

que não tem soluções para ã ≠ a, já que . Portanto, (7.4) é a equação de uma elipse com semieixo maior a > 0 e semieixo menor b =√(a 2 - c 2) > 0. É chamada equação canônica da elipse.

Visualização de elipse. O método geométrico de construção de uma elipse discutido acima dá uma ideia suficiente de aparência elipse. Mas a forma da elipse também pode ser estudada utilizando a sua equação canônica (7.4). Por exemplo, você pode, assumindo y ≥ 0, expressar y através de x: y = b√(1 - x 2 /a 2), e, tendo estudado esta função, construir seu gráfico. Existe outra maneira de construir uma elipse. Um círculo de raio a com centro na origem do sistema de coordenadas canônicas da elipse (7.4) é descrito pela equação x 2 + y 2 = a 2. Se for comprimido com um coeficiente a/b > 1 ao longo eixo y, então você obtém uma curva que é descrita pela equação x 2 + (ya/b) 2 = a 2, ou seja, uma elipse.

Observação 7.1. Se o mesmo círculo for comprimido por um fator a/b

Excentricidade da elipse. A razão entre a distância focal de uma elipse e seu eixo maior é chamada excentricidade da elipse e denotado por ε. Para uma elipse dada

equação canônica (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Se em (7.4) os parâmetros aeb estão relacionados pela desigualdade a

Quando c = 0, quando a elipse se transforma em um círculo, e ε = 0. Em outros casos, 0

A equação (7.3) é equivalente à equação (7.4), pois as equações (7.4) e (7.2) são equivalentes. Portanto, a equação da elipse também é (7.3). Além disso, a relação (7.3) é interessante porque fornece uma fórmula simples e livre de radicais para o comprimento |F 2 M| um dos raios focais do ponto M(x; y) da elipse: |F 2 M| = a + εx.

Uma fórmula semelhante para o segundo raio focal pode ser obtida a partir de considerações de simetria ou repetindo cálculos nos quais, antes da quadratura da equação (7.2), o primeiro radical é transferido para o lado direito, e não o segundo. Então, para qualquer ponto M(x; y) na elipse (ver Fig. 7.2)

|F1M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7,6)

e cada uma dessas equações é uma equação de uma elipse.

Exemplo 7.1. Vamos encontrar a equação canônica de uma elipse com semieixo maior 5 e excentricidade 0,8 e construí-la.

Conhecendo o semieixo maior da elipse a = 5 e a excentricidade ε = 0,8, encontraremos seu semieixo menor b. Como b = √(a 2 - c 2) e c = εa = 4, então b = √(5 2 - 4 2) = 3. Portanto, a equação canônica tem a forma x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Para construir uma elipse, é conveniente desenhar um retângulo com centro na origem do sistema de coordenadas canônico, cujos lados são paralelos aos eixos de simetria da elipse e iguais aos seus eixos correspondentes (Fig. 7.4). Este retângulo intercepta

os eixos da elipse em seus vértices A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), e a própria elipse está inscrita nele. Na Fig. 7.4 também mostra os focos F 1.2 (±4; 0) da elipse.

Propriedades geométricas da elipse. Vamos reescrever a primeira equação em (7.6) como |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Observe que o valor a/ε - x para a > c é positivo, pois o foco F 1 não pertence à elipse. Este valor representa a distância até a linha vertical d: x = a/ε do ponto M(x; y) situado à esquerda desta linha. A equação da elipse pode ser escrita como

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Isso significa que esta elipse consiste naqueles pontos M(x; y) do plano para os quais a razão entre o comprimento do raio focal F 1 M e a distância à linha reta d é um valor constante igual a ε (Fig. 7.5).

A reta d tem um “duplo” - a reta vertical d, simétrica a d em relação ao centro da elipse, que é dada pela equação x = -a/ε. Em relação a d, a elipse é descrita em da mesma forma que em relação a d. Ambas as linhas d e d" são chamadas diretrizes da elipse. As diretrizes da elipse são perpendiculares ao eixo de simetria da elipse na qual seus focos estão localizados e estão espaçadas do centro da elipse a uma distância a/ε = a 2 /c (ver Fig. 7.5).

A distância p da diretriz ao foco mais próximo dela é chamada parâmetro focal da elipse. Este parâmetro é igual a

p = uma/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

A elipse tem outra propriedade geométrica importante: os raios focais F 1 M e F 2 M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M (Fig. 7.6).

Esta propriedade tem uma clara significado físico. Se uma fonte de luz for colocada no foco F 1, então o raio que emerge deste foco, após reflexão da elipse, irá ao longo do segundo raio focal, pois após a reflexão estará no mesmo ângulo com a curva que antes da reflexão. Assim, todos os raios que emergem do foco F 1 estarão concentrados no segundo foco F 2 e vice-versa. Com base nesta interpretação, esta propriedade é chamada propriedade óptica da elipse.

Definição. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados deste plano, chamados focos, é um valor constante (desde que este valor seja maior que a distância entre os focos) .

Vamos denotar os focos através da distância entre eles - através de , e um valor constante, igual ao montante distâncias de cada ponto da elipse aos focos, através de (de acordo com a condição).

Vamos construir um sistema de coordenadas cartesianas de forma que os focos fiquem no eixo das abcissas e a origem das coordenadas coincida com o meio do segmento (Fig. 44). Então os focos terão as seguintes coordenadas: foco esquerdo e foco direito. Vamos derivar a equação da elipse no sistema de coordenadas que escolhemos. Para este propósito, considere um ponto arbitrário da elipse. Pela definição de elipse, a soma das distâncias deste ponto aos focos é igual a:

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos, portanto

Para simplificar esta equação, escrevemos-a na forma

Então, elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos

ou, após simplificações óbvias:

Agora elevamos ao quadrado ambos os lados da equação novamente, após o que temos:

ou, após transformações idênticas:

Visto que, de acordo com a condição na definição de uma elipse, o número é positivo. Vamos apresentar a notação

Então a equação assumirá a seguinte forma:

Pela definição de uma elipse, as coordenadas de qualquer um dos seus pontos satisfazem a equação (26). Mas a equação (29) é uma consequência da equação (26). Consequentemente, também é satisfeito pelas coordenadas de qualquer ponto da elipse.

Pode-se mostrar que as coordenadas dos pontos que não pertencem à elipse não satisfazem a equação (29). Assim, a equação (29) é a equação de uma elipse. É chamada de equação canônica da elipse.

Vamos estabelecer a forma da elipse usando sua equação canônica.

Em primeiro lugar, prestemos atenção ao fato de que esta equação contém apenas potências pares de x e y. Isso significa que se algum ponto pertence a uma elipse, então ele também contém um ponto simétrico ao ponto relativo ao eixo das abcissas e um ponto simétrico ao ponto relativo ao eixo das ordenadas. Assim, a elipse possui dois eixos de simetria mutuamente perpendiculares, que em nosso sistema de coordenadas escolhido coincidem com os eixos de coordenadas. Doravante chamaremos os eixos de simetria da elipse de eixos da elipse, e o ponto de sua intersecção de centro da elipse. O eixo no qual os focos da elipse estão localizados (em nesse caso eixo x) é chamado de eixo focal.

Vamos primeiro determinar a forma da elipse no primeiro quarto. Para fazer isso, vamos resolver a equação (28) para y:

É óbvio que aqui, já que y assume valores imaginários. À medida que você aumenta de 0 para a, y diminui de b para 0. A parte da elipse situada no primeiro quarto será um arco delimitado pelos pontos B (0; b) e situado nos eixos coordenados (Fig. 45). Usando agora a simetria da elipse, chegamos à conclusão de que a elipse tem a forma mostrada na Fig. 45.

Os pontos de intersecção da elipse com os eixos são chamados de vértices da elipse. Da simetria da elipse segue-se que, além dos vértices, a elipse possui mais dois vértices (ver Fig. 45).

Os segmentos e os vértices opostos da elipse, bem como seus comprimentos, são chamados de eixos maior e menor da elipse, respectivamente. Os números a e b são chamados de semieixos maior e menor da elipse, respectivamente.

A razão entre metade da distância entre os focos e o semieixo maior da elipse é chamada de excentricidade da elipse e geralmente é denotada pela letra:

Visto que, a excentricidade da elipse é menor que a unidade: A excentricidade caracteriza a forma da elipse. Na verdade, da fórmula (28) segue-se que quanto menor a excentricidade da elipse, menos o seu semieixo menor b difere do semieixo maior a, ou seja, menos alongada é a elipse (ao longo do eixo focal).

No caso limite, o resultado é um círculo de raio a: ou. Ao mesmo tempo, os focos da elipse parecem se fundir em um ponto - o centro do círculo. A excentricidade do círculo é zero:

A ligação entre a elipse e o círculo pode ser estabelecida de outro ponto de vista. Vamos mostrar que uma elipse com semieixos aeb pode ser considerada como uma projeção de um círculo de raio a.

Consideremos dois planos P e Q, formando entre si tal ângulo a, para o qual (Fig. 46). Vamos construir um sistema de coordenadas no plano P, e no plano Q um sistema Oxy com origem comum O e eixo de abcissas comum coincidindo com a linha de intersecção dos planos. Considere um círculo no plano P

com centro na origem e raio igual a a. Seja um ponto escolhido arbitrariamente no círculo, seja sua projeção no plano Q, e seja a projeção do ponto M no eixo do Boi. Vamos mostrar que o ponto está em uma elipse com semieixos a e b.

Uma elipse é o lugar geométrico de pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados F_1 e F_2 é um valor constante (2a), maior que a distância (2c) entre esses pontos dados (Fig. 3.36, a). Esta definição geométrica expressa propriedade focal de uma elipse.

Propriedade focal de uma elipse

Os pontos F_1 e F_2 são chamados de focos da elipse, a distância entre eles 2c=F_1F_2 é a distância focal, o meio O do segmento F_1F_2 é o centro da elipse, o número 2a é o comprimento do eixo maior da elipse (portanto, o número a é o semi-eixo maior da elipse). Os segmentos F_1M e F_2M que conectam um ponto arbitrário M da elipse com seus focos são chamados de raios focais do ponto M. O segmento que conecta dois pontos de uma elipse é chamado de corda da elipse.

A razão e=\frac(c)(a) é chamada de excentricidade da elipse. Da definição (2a>2c) segue-se que 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definição geométrica de elipse, expressando sua propriedade focal, equivale à sua definição analítica - a reta dada pela equação canônica da elipse:

Na verdade, vamos introduzir um sistema de coordenadas retangular (Fig. 3.36c). Tomamos o centro O da elipse como origem do sistema de coordenadas; tomamos a linha reta que passa pelos focos (eixo focal ou primeiro eixo da elipse) como o eixo das abcissas (a direção positiva é do ponto F_1 ao ponto F_2); tomemos uma linha reta perpendicular ao eixo focal e passando pelo centro da elipse (o segundo eixo da elipse) como o eixo das ordenadas (a direção no eixo das ordenadas é escolhida de modo que sistema retangular as coordenadas Oxy estavam certas).

Vamos criar uma equação para a elipse usando sua definição geométrica, que expressa a propriedade focal. No sistema de coordenadas selecionado, determinamos as coordenadas dos focos F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para um ponto arbitrário M(x,y) pertencente à elipse, temos:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Escrevendo esta igualdade na forma de coordenadas, obtemos:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Movemos o segundo radical para o lado direito, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado e trazemos termos semelhantes:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dividindo por 4, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Tendo designado b=\sqrt(a^2-c^2)>0, Nós temos b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividindo ambos os lados por a^2b^2\ne0 , chegamos a equação canônica elipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Portanto, o sistema de coordenadas escolhido é canônico.

Se os focos da elipse coincidem, então a elipse é um círculo (Fig. 3.36,6), uma vez que a=b. Neste caso, qualquer sistema de coordenadas retangulares com origem no ponto será canônico O\equiv F_1\equiv F_2, e a equação x^2+y^2=a^2 é a equação de um círculo com centro no ponto O e raio igual a a.

Ao raciocinar em ordem reversa, pode-se mostrar que todos os pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (3.49), e somente eles, pertencem ao lugar geométrico dos pontos denominado elipse. Em outras palavras, a definição analítica de uma elipse equivale à sua definição geométrica, que expressa a propriedade focal da elipse.

Propriedade diretorial de uma elipse

As diretrizes de uma elipse são duas linhas retas paralelas ao eixo das ordenadas do sistema de coordenadas canônico, à mesma distância \frac(a^2)(c) dele. Em c=0, quando a elipse é um círculo, não existem diretrizes (podemos assumir que as diretrizes estão no infinito).

Elipse com excentricidade 0 o lugar geométrico dos pontos no plano, para cada um dos quais a razão entre a distância a um determinado ponto F (foco) e a distância a uma determinada linha reta d (diretriz) que não passa por um determinado ponto é constante e igual à excentricidade e ( propriedade diretorial de uma elipse). Aqui F e d são um dos focos da elipse e uma de suas diretrizes, localizadas em um lado do eixo das ordenadas do sistema de coordenadas canônico, ou seja, F_1,d_1 ou F_2,d_2 .

Na verdade, por exemplo, para foco F_2 e diretriz d_2 (Fig. 3.37,6) a condição \frac(r_2)(\rho_2)=e pode ser escrito na forma de coordenadas:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Livrar-se da irracionalidade e substituir e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, chegamos à equação canônica da elipse (3.49). Raciocínio semelhante pode ser realizado para o foco F_1 e diretor d_1\dois pontos\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Equação de uma elipse em um sistema de coordenadas polares

A equação da elipse no sistema de coordenadas polares F_1r\varphi (Fig. 3.37, c e 3.37 (2)) tem a forma

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

onde p=\frac(b^2)(a) é o parâmetro focal da elipse.

Na verdade, vamos escolher o foco esquerdo F_1 da elipse como o pólo do sistema de coordenadas polares, e o raio F_1F_2 como o eixo polar (Fig. 3.37, c). Então para um ponto arbitrário M(r,\varphi), de acordo com a definição geométrica (propriedade focal) de uma elipse, temos r+MF_2=2a. Expressamos a distância entre os pontos M(r,\varphi) e F_2(2c,0) (ver parágrafo 2 da observação 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(alinhado)

Portanto, na forma de coordenadas, a equação da elipse F_1M+F_2M=2a tem a forma

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Isolamos o radical, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação, dividimos por 4 e apresentamos termos semelhantes:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Expresse o raio polar r e faça a substituição e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Significado geométrico dos coeficientes na equação da elipse

Vamos encontrar os pontos de intersecção da elipse (ver Fig. 3.37a) com os eixos coordenados (vértices da elipse). Substituindo y=0 na equação, encontramos os pontos de intersecção da elipse com o eixo das abcissas (com o eixo focal): x=\pm a. Portanto, o comprimento do segmento do eixo focal contido na elipse é igual a 2a. Este segmento, como observado acima, é chamado de eixo maior da elipse, e o número a é o semieixo maior da elipse. Substituindo x=0, obtemos y=\pm b. Portanto, o comprimento do segmento do segundo eixo da elipse contido dentro da elipse é igual a 2b. Este segmento é chamado de eixo menor da elipse, e o número b é o semieixo menor da elipse.

Realmente, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, e a igualdade b=a é obtida apenas no caso c=0, quando a elipse é um círculo. Atitude k=\frac(b)(a)\leqslant1é chamada de taxa de compressão da elipse.

Notas 3.9

1. As retas x=\pm a,~y=\pm b limitam o retângulo principal no plano coordenado, dentro do qual existe uma elipse (ver Fig. 3.37, a).

2. Uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos obtidos pela compressão de um círculo em seu diâmetro.

Na verdade, seja a equação de um círculo no sistema de coordenadas retangulares Oxy x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2. Quando comprimido no eixo x com um coeficiente de 0

\begin(casos)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(casos)

Substituindo os círculos x=x" e y=\frac(1)(k)y" na equação, obtemos a equação para as coordenadas da imagem M"(x",y") do ponto M(x,y ) :

(x")^2+(\esquerda(\frac(1)(k)\cdot y"\direita)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

já que b=k\cdot a . Esta é a equação canônica da elipse.

3. Os eixos de coordenadas (do sistema de coordenadas canônico) são os eixos de simetria da elipse (chamados de eixos principais da elipse), e seu centro é o centro de simetria.

Na verdade, se o ponto M(x,y) pertence à elipse. então os pontos M"(x,-y) e M""(-x,y), simétricos ao ponto M em relação aos eixos coordenados, também pertencem à mesma elipse.

4. Da equação da elipse no sistema de coordenadas polares r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ver Fig. 3.37, c), o significado geométrico do parâmetro focal é esclarecido - esta é a metade do comprimento da corda da elipse que passa por seu foco perpendicular ao eixo focal ( r = p no \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricidade e caracteriza a forma da elipse, nomeadamente a diferença entre a elipse e o círculo. Quanto maior e, mais alongada é a elipse, e quanto mais próximo e estiver de zero, mais próxima a elipse estará de um círculo (Fig. 3.38a). Na verdade, levando em consideração que e=\frac(c)(a) e c^2=a^2-b^2 , obtemos

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\esquerda(\frac(a)(b)\direita )\^2=1-k^2, !}

onde k é a taxa de compressão da elipse, 0

6. Equação \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 em um

7. Equação \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b define uma elipse com centro no ponto O"(x_0,y_0), cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados (Fig. 3.38, c). Esta equação é reduzida à canônica usando translação paralela (3.36).