No desenvolvimento da ideia de de Broglie das propriedades ondulatórias da matéria, E. Schrödinger obteve em 1926 sua famosa equação. Schrödinger comparou o movimento de uma micropartícula com uma função complexa de coordenadas e tempo, que ele chamou de função de onda e denotada pela letra grega "psi" (). Vamos chamá-la de função psi.
A função psi caracteriza o estado de uma micropartícula. A forma da função é obtida a partir da solução da equação de Schrödinger, que se parece com isso:
Aqui está a massa da partícula, i é a unidade imaginária, é o operador de Laplace, cujo resultado da ação em alguma função é a soma das segundas derivadas parciais em relação às coordenadas:
A letra U na equação (21.1) denota uma função de coordenadas e tempo, cujo gradiente, tomado com o sinal oposto, determina a força que atua sobre a partícula. No caso em que a função U não depende explicitamente do tempo, ela tem o significado da energia potencial da partícula.
Segue-se da equação (21.1) que a forma da função psi é determinada pela função U, isto é, em última análise, pela natureza das forças que atuam sobre a partícula.
A equação de Schrödinger é a equação básica da mecânica quântica não relativística. Não pode ser derivado de outras relações. Deve ser considerado como a suposição básica inicial, cuja validade é provada pelo fato de que todas as consequências que se seguem são consistentes da maneira mais exata com os fatos experimentais.
Schrödinger estabeleceu sua equação com base na analogia óptico-mecânica. Essa analogia está na semelhança das equações que descrevem a trajetória dos raios de luz com as equações que determinam as trajetórias das partículas na mecânica analítica. Em óptica, o caminho dos raios satisfaz o princípio de Fermat (ver § 115 do 2º volume), em mecânica, a forma da trajetória satisfaz o chamado princípio de menor ação.
Se o campo de força no qual a partícula se move é estacionário, então a função V não depende explicitamente do tempo e, como já observado, tem o significado de energia potencial. Neste caso, a solução da equação de Schrödinger se divide em dois fatores, um dos quais depende apenas das coordenadas, o outro depende apenas do tempo:
Aqui E é a energia total da partícula, que permanece constante no caso de um campo estacionário. Para verificar a validade da expressão (21.3), nós a substituímos na equação (21.1). Como resultado, obtemos a razão
Reduzindo por um fator comum, chegamos a uma equação diferencial que define a função
A equação (21.4) é chamada de equação de Schrödinger para estados estacionários. A seguir, trataremos apenas dessa equação e, para abreviar, a chamaremos simplesmente de equação de Schrödinger. A equação (21.4) é frequentemente escrita como
Vamos explicar como podemos chegar à equação de Schrödinger. Por simplicidade, nos restringimos ao caso unidimensional. Considere uma partícula em movimento livre.
De acordo com a ideia de de Broglie, ela precisa ser associada a uma onda plana
(na mecânica quântica, costuma-se tomar o expoente com um sinal de menos). Substituindo de acordo com (18.1) e (18.2) por E e , chegamos à expressão
Diferenciando esta expressão uma vez em relação a t, e na segunda vez duas vezes em relação a x, obtemos
Na mecânica clássica não relativística, a energia E e o momento de uma partícula livre estão relacionados pela relação
Substituindo as expressões (21.7) por E e nesta relação e então reduzindo por , obtemos a equação
que coincide com a equação (21.1) se colocarmos na última
No caso de uma partícula se movendo em um campo de força caracterizado pela energia potencial U, a energia E e o momento estão relacionados por
Estendendo as expressões (21.7) para E também para este caso, obtemos
Multiplicando esta razão por , movendo o termo para a esquerda, chegamos à equação
coincidindo com a equação (21.1).
O raciocínio acima não tem força probatória e não pode ser considerado como uma derivação da equação de Schrödinger. Seu objetivo é explicar como foi possível chegar ao estabelecimento dessa equação.
Na mecânica quântica, o conceito desempenha um papel importante: um operador significa uma regra pela qual uma função (vamos denotá-la) está associada a outra função (vamos denotá-la). Simbolicamente, isso é escrito da seguinte forma:
Aqui - uma designação simbólica do operador (com o mesmo sucesso, pode-se pegar qualquer outra letra com um "chapéu" acima, por exemplo, etc.). Na fórmula (21.2), o papel de Q é desempenhado pela função F, e o papel de f é desempenhado por parte direita fórmulas.
A natureza de onda corpuscular dupla das partículas quânticas é descrita por uma equação diferencial.
Segundo o folclore tão comum entre os físicos, aconteceu assim: em 1926, um físico teórico chamado Erwin Schrödinger falou em um seminário científico na Universidade de Zurique. Ele falou sobre as estranhas novas ideias flutuando no ar, de que os objetos do microcosmo muitas vezes se comportam mais como ondas do que como partículas. Então um professor idoso pediu para falar e disse: “Schrödinger, você não vê que tudo isso é bobagem? Ou não sabemos todos aqui que ondas são ondas para isso, para serem descritas por equações de onda? Schrödinger tomou isso como um insulto pessoal e começou a desenvolver uma equação de onda para descrever partículas na estrutura da mecânica quântica - e lidou brilhantemente com essa tarefa.
Aqui é necessário fazer uma explicação. Em nosso mundo cotidiano, a energia é transferida de duas maneiras: pela matéria ao se mover de um lugar para outro (por exemplo, uma locomotiva ou vento em movimento) - partículas participam dessa transferência de energia - ou por ondas (por exemplo, ondas de rádio, que são transmitidos por transmissores potentes e captados pelas antenas dos nossos televisores). Ou seja, no macrocosmo em que vivemos, todos os portadores de energia são estritamente divididos em dois tipos - corpuscular (constituído por partículas materiais) ou ondulatório. . Neste caso, qualquer onda é descrita por um tipo especial de equações - equações de onda. Todas as ondas sem exceção - ondas do mar, ondas sísmicas pedras, as ondas de rádio de galáxias distantes são descritas pelo mesmo tipo de equações de onda. Esta explicação é necessária para deixar claro que se queremos representar os fenômenos do mundo subatômico em termos de ondas de distribuição de probabilidade ( cm. mecânica quântica), essas ondas também devem ser descritas pela equação de onda correspondente.
Schrödinger aplicou a equação diferencial clássica da função de onda ao conceito de ondas de probabilidade e obteve a famosa equação que leva seu nome. Assim como a equação usual da função de onda descreve a propagação de, por exemplo, uma ondulação sobre a superfície da água, a equação de Schrödinger descreve a propagação de uma onda da probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado ponto do espaço. Os picos desta onda (pontos de máxima probabilidade) mostram onde no espaço a partícula provavelmente irá parar. Embora a equação de Schrödinger pertença à região matemática superior, é tão importante para a compreensão da física moderna que ainda a darei aqui - em sua forma mais simples (a chamada "equação de Schrödinger estacionária unidimensional"). A função de onda de distribuição de probabilidade acima, denotada pela letra grega ψ ("psi"), é a solução para o seguinte equação diferencial(tudo bem se você não entender; o principal é acreditar que essa equação indica que a probabilidade se comporta como uma onda):
Onde x- distância, h- constante de Planck e eu e você são a massa, a energia total e a energia potencial da partícula, respectivamente.
A imagem dos eventos quânticos que a equação de Schrödinger nos dá é que os elétrons e outras partículas elementares se comportam como ondas na superfície do oceano. Ao longo do tempo, o pico da onda (correspondente ao local onde o elétron provavelmente está) se desloca no espaço de acordo com a equação que descreve essa onda. Ou seja, o que tradicionalmente consideramos uma partícula no mundo quântico se comporta de várias maneiras como uma onda.
Quando Schrödinger publicou seus resultados pela primeira vez, uma tempestade em uma xícara de chá eclodiu no mundo da física teórica. O fato é que quase ao mesmo tempo surgiu a obra do contemporâneo de Schrödinger, Werner Heisenberg ( cm. O princípio da incerteza de Heisenberg), no qual o autor apresentou o conceito de "mecânica matricial", onde os mesmos problemas da mecânica quântica foram resolvidos em uma forma de matriz diferente e matematicamente mais complexa. A comoção foi causada pelo fato de que os cientistas simplesmente temiam que duas abordagens igualmente convincentes para descrever o microcosmo pudessem se contradizer. A emoção foi em vão. O próprio Schrõdinger no mesmo ano provou a equivalência completa das duas teorias - ou seja, a equação da matriz segue da equação da onda, e vice-versa; os resultados são idênticos. Hoje, a versão de Schrödinger (às vezes chamada de "mecânica ondulatória") é mais usada porque sua equação é menos complicada e mais fácil de ensinar.
No entanto, imaginar e aceitar que algo como um elétron se comporta como uma onda não é tão fácil. NO Vida cotidiana encontramos uma partícula ou uma onda. A bola é uma partícula, o som é uma onda e pronto. No mundo da mecânica quântica, as coisas não são tão simples. De fato - e experimentos logo mostraram isso - no mundo quântico, as entidades diferem dos objetos aos quais estamos acostumados e têm propriedades diferentes. A luz, que costumávamos pensar como uma onda, às vezes se comporta como uma partícula (que é chamada de fóton), e partículas como o elétron e o próton podem se comportar como ondas ( cm. princípio da complementaridade).
Esse problema geralmente é chamado dual ou natureza de onda corpuscular dupla partículas quânticas, e é característica, aparentemente, de todos os objetos do mundo subatômico ( cm. teorema de Bell). Devemos entender que, no microcosmo, nossas intuições comuns sobre quais formas a matéria pode assumir e como ela pode se comportar simplesmente não são aplicáveis. O próprio fato de usarmos a equação de onda para descrever o movimento do que estamos acostumados a pensar como partículas é uma evidência clara disso. Como observado na Introdução, isso não é uma grande contradição. Afinal, não temos boas razões para acreditar que o que observamos no macrocosmo deva ser reproduzido com precisão no nível do microcosmo. E ainda a natureza dual partículas elementares continua sendo um dos aspectos mais desconcertantes e perturbadores da mecânica quântica para muitas pessoas, e não é exagero dizer que todos os problemas começaram com Erwin Schrödinger.
Veja também:
Erwin SCHROEDINGER
Erwin Schrödinger, 1887-1961
físico teórico austríaco. Nascido em Viena, na família de um rico industrial que se interessava pelas ciências; ficou bom educação em casa. Enquanto estudava na Universidade de Viena, Schrödinger não assistiu a aulas de física teórica até o segundo ano, mas defendeu sua tese de doutorado nessa especialidade. Durante a Primeira Guerra Mundial, serviu como oficial nas tropas de artilharia, mas mesmo assim encontrou tempo para estudar novos artigos de Albert Einstein.
Após a guerra, mudando de cargo em várias universidades, Schrödinger se estabeleceu em Zurique. Lá ele desenvolveu sua teoria da mecânica ondulatória, que ainda é a base fundamental de toda a mecânica quântica moderna. Em 1927, assumiu o cargo de chefe do Departamento de Física Teórica da Universidade de Berlim, substituindo Max Planck neste cargo. Sendo um antifascista consistente, Schrödinger emigrou para a Grã-Bretanha em 1933, tornou-se professor na Universidade de Oxford e no mesmo ano recebeu premio Nobel em física.
A saudade, no entanto, obrigou Schrödinger a retornar à Áustria em 1936, para a cidade de Graz, onde começou a trabalhar em uma universidade local. Após o Anschluss da Áustria em março de 1938, Schrödinger foi demitido sem aviso prévio e voltou às pressas para Oxford, levando consigo apenas um mínimo de pertences pessoais. Isto foi seguido por uma cadeia de eventos literalmente de detetive. Eamon de Valera, primeiro-ministro da Irlanda, foi um ex-professor de matemática em Oxford. Querendo levar o grande cientista para sua terra natal, de Valera ordenou a construção de um Instituto especialmente para ele pesquisa fundamental Em Dublin. Enquanto o instituto estava sendo construído, Schrödinger aceitou um convite para dar um curso de palestras em Ghent (Bélgica). Quando o segundo estourou em 1939 Guerra Mundial e a Bélgica foi ocupada com a velocidade da luz por tropas fascistas, Schrödinger, inesperadamente para si mesmo, foi pego de surpresa no campo do inimigo. Foi então que de Valera veio em seu socorro, fornecendo ao cientista uma carta de fidelidade, segundo a qual Schrödinger conseguiu partir para a Irlanda. O austríaco permaneceu em Dublin até 1956, após o que retornou à sua terra natal, a Viena, para chefiar um departamento especialmente criado para ele.
Em 1944, Schrödinger publicou um livro "O que é a vida?", que moldou a visão de mundo de toda uma geração de cientistas, inspirando-os com uma visão da física do futuro como uma ciência não contaminada pela aplicação militar de suas realizações. No mesmo livro, o cientista previu a existência Código genético escondido nas moléculas da vida.
A equação de Schrödinger recebeu o nome do físico austríaco Erwin Schrödinger. É a principal ferramenta teórica da mecânica quântica. Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger desempenha o mesmo papel que a equação do movimento (segunda lei de Newton) na mecânica clássica. A equação de Schrödinger é escrita para o chamado y- funções (psi - funções). NO caso Geral psi - função é uma função de coordenadas e tempo: y = y (x,y,z,t). Se a micropartícula estiver em um estado estacionário, a função psi - não depende do tempo: y= y (x,y,z).
No caso mais simples de movimento unidimensional de uma micropartícula (por exemplo, apenas ao longo do eixo x ) a equação de Schrödinger tem a forma:
Onde y(x)– psi - função que depende de apenas uma coordenada x ; m – massa de partículas; - constante de Planck (= h/2π); E é a energia total da partícula, você - energia potencial. Na física clássica, a quantidade (UE ) seria igual à energia cinética da partícula. Na mecânica quântica, devido a relações de incerteza o conceito de energia cinética não tem sentido. Observe que a energia potencial vocêé uma característica campo de força externo em que a partícula está se movendo. Este valor é bem definido. É também uma função das coordenadas, neste caso você = você (x,y,z).
No caso tridimensional, quando y = y (x,y,z) em vez do primeiro termo da equação de Schrödinger, deve-se escrever a soma de três derivadas parciais da função psi em relação a três coordenadas.
Para que serve a equação de Schrödinger? Como já observado, esta é a equação básica da mecânica quântica. Se anotarmos e resolvermos (o que não é uma tarefa fácil) para uma micropartícula específica, obteremos o valor da função psi em qualquer ponto do espaço em que a partícula se move. O que dá? O quadrado do módulo da função psi caracteriza probabilidade detecção de uma partícula em uma determinada região do espaço. Pegue algum ponto no espaço com coordenadas x
,
y
,
z
(Fig. 6). Qual é a probabilidade de encontrar uma partícula neste ponto? Resposta: esta probabilidade é zero! (um ponto não tem dimensões, uma partícula simplesmente não pode atingir fisicamente um ponto). Portanto, a questão está colocada incorretamente. Vamos colocar de outra forma: qual é a probabilidade de encontrar uma partícula em uma pequena região do espaço com um volume dV = dx dy dz
centrado em um determinado ponto? Responda:
Onde dP é a probabilidade elementar de detectar uma partícula em um volume elementar dV . A equação (22) é válida para uma função psi real (também pode ser complexa, caso em que o quadrado do módulo da função psi deve ser substituído na equação (22). Se uma região do espaço tem um volume finito V , então a probabilidade P para detectar uma partícula neste volume é encontrado integrando a expressão (22) sobre o volume V :
|
|
Lembre-se que descrição probabilística do movimento de micropartículasé a ideia básica da mecânica quântica. Assim, com o auxílio da equação de Schrödinger, resolve-se o principal problema da mecânica quântica: a descrição do movimento do objeto em estudo, em este caso partícula da mecânica quântica.
Observamos uma série de outros fatos importantes. Como pode ser visto na fórmula (21), a equação de Schrödinger é uma equação diferencial de segunda ordem. Consequentemente, no processo de resolvê-lo, duas constantes arbitrárias aparecerão. Como encontrá-los? Para fazer isso, use o chamado condições de fronteira: a partir do conteúdo específico do problema físico, o valor da função psi nos limites da região de movimento da micropartícula deve ser conhecido. Além disso, os chamados condição de normalização, que a função psi deve satisfazer:
|
|
O significado dessa condição é simples: a probabilidade de detectar uma partícula pelo menos em algum lugar dentro da região de seu movimento é um determinado evento, cuja probabilidade é igual a um.
São as condições de contorno que preenchem a solução da equação de Schrödinger com significado físico. Sem essas condições, a solução de uma equação é um problema puramente matemático, desprovido de significado físico. Na próxima seção sobre exemplo específico considera-se a aplicação de condições de contorno e a condição de normalização na resolução da equação de Schrödinger.
função psi
função de onda (função estatal, função psi, amplitude de probabilidade) - função de valor complexo usado em mecânica quântica por descrição probabilística estados sistema mecânico quântico. Em sentido amplo, o mesmo que vetor de estado.
Uma variante do nome "amplitude de probabilidade" está associada a interpretação estatística função de onda: a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado ponto no espaço em este momento o tempo é igual ao quadrado do valor absoluto da função de onda deste estado.
O significado físico do quadrado do módulo da função de onda
A função de onda depende das coordenadas (ou coordenadas generalizadas) do sistema e, em geral, do tempo, e é formada de tal forma que quadrado sua módulo era a densidade probabilidades(para espectros discretos - apenas a probabilidade) para detectar o sistema na posição descrita pelas coordenadas no momento:
Então, em um dado estado quântico do sistema, descrito pela função de onda, pode-se calcular a probabilidade de uma partícula ser detectada em qualquer região do espaço de volume finito: 
.
O conjunto de coordenadas que atuam como argumentos de função, representa conjunto completo de grandezas físicas que pode ser medido no sistema. Na mecânica quântica, é possível escolher vários conjuntos completos de quantidades, de modo que a função de onda de um mesmo estado pode ser escrita a partir de argumentos diferentes. O conjunto completo de grandezas escolhidas para registrar a função de onda determina representação da função de onda. Sim, possível coordenada atuação, impulsivo apresentação, em teoria quântica de campo usado segunda quantização e representação do número de preenchimento ou Representação de Foco e etc
Se a função de onda, por exemplo, de um elétron em um átomo, é dada em representação coordenada, então o quadrado do módulo da função de onda é a densidade de probabilidade de encontrar um elétron em um determinado ponto no espaço. Se a mesma função de onda é dada na representação do momento, então o quadrado de seu módulo é a densidade de probabilidade de encontrar um ou outro impulsoCom.
Equação de Schrödinger - uma equação que descreve a mudança no espaço e no tempo estado puro, dado pela função de onda, em sistemas quânticos hamiltonianos.
Na física quântica, é introduzida uma função de valor complexo que descreve o estado puro de um objeto, que é chamada de função de onda. O comportamento de um sistema hamiltoniano em estado puro é completamente descrito pela função de onda. Deixe a função de onda ser dada no espaço N-dimensional, então em cada ponto com coordenadas , em um certo tempo t será parecido com . Neste caso, a equação de Schrödinger será escrita na forma: , onde é a energia potencial externa à partícula no ponto .
A relação de incerteza de Heisenberg. Descrição do movimento em mecânica quântica.
O princípio da incerteza de Heisenberg é uma desigualdade fundamental (relação de incerteza) que define o limite na precisão de determinar simultaneamente um par de observáveis físicos caracterizando um sistema quântico (cf. quantidade física) descrito por operadores não pendulares (por exemplo, coordenadas e momento, corrente e tensão, elétrica e campo magnético). A relação de incerteza estabelece um limite inferior para o produto desvio padrão pares de observáveis quânticos.
Medindo o desvio padrão Δx da coordenada e o desvio padrão Δp do momento, encontramos que: , onde é a constante de Planck reduzida.
Propriedades da função de onda. Quantização.
A função de onda (função de estado, função psi) é uma função de valor complexo usada na mecânica quântica para descrever um estado puro de um sistema mecânico quântico. É o coeficiente de expansão do vetor de estado em termos da base (geralmente a coordenada): 
, onde é o vetor de base de coordenadas e é a função de onda na representação de coordenadas.
O significado físico da função de onda reside no fato de que, de acordo com a interpretação de Copenhague da mecânica quântica, a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado ponto do espaço em um determinado momento é considerada igual ao quadrado o valor absoluto da função de onda deste estado.
Na física, a quantização é a construção de uma versão quântica de alguma teoria não quântica (clássica) ou modelo físico de acordo com os axiomas da física quântica.
De acordo com o paradigma científico moderno, as teorias físicas fundamentais devem ser quânticas. Tanto a construção de teorias inicialmente quânticas quanto a quantização de modelos clássicos são possíveis. Existem vários métodos matemáticos quantização. As mais comuns são: quantização canônica, quantização integral funcional (quantização de Feynman), quantização BRST, quantização geométrica, segunda quantização.
Esses métodos não são genéricos. A aplicação direta de certos métodos pode ser impossível. Por exemplo, o método para construir uma teoria quântica da gravidade é atualmente desconhecido. Ao quantizar um modelo, várias restrições e efeitos físicos podem surgir. Por exemplo, vários teorias quânticas strings só podem ser formuladas para espaços de uma certa dimensão (10, 11, 26, etc.). Na teoria quantizada, novos objetos também podem aparecer - quasipartículas.
Números quânticos. Rodar.
Número quântico - o valor numérico de alguma variável quantizada de um objeto microscópico (partícula elementar, núcleo, átomo, etc.), caracterizando o estado da partícula. A atribuição de números quânticos caracteriza completamente o estado da partícula.
Alguns números quânticos estão associados ao movimento no espaço e caracterizam a distribuição espacial da função de onda de uma partícula. Estes são, por exemplo, os números quânticos radial (principal) (nr), orbital (l) e magnético (m) de um elétron em um átomo, que são definidos como o número de nós da função de onda radial, o valor de o momento angular orbital e sua projeção em um eixo dado, respectivamente.
Os hádrons são uma classe de partículas elementares sujeitas a forte interação.
Spin é o momento angular intrínseco das partículas elementares, que tem natureza quântica e não está associado ao movimento da partícula como um todo. O spin também é chamado de momento angular apropriado de um núcleo ou átomo atômico; neste caso, o spin é definido como a soma vetorial (calculada de acordo com as regras de adição de momentos da mecânica quântica) dos spins das partículas elementares que formam o sistema, e os momentos orbitais dessas partículas, devido ao seu movimento dentro o sistema. A rotação é medida em unidades.
A equação de Schrödinger é uma equação que descreve a mudança no espaço e no tempo de um estado puro, dado pela função de onda, em sistemas quânticos hamiltonianos.
Na física quântica, é introduzida uma função de valor complexo que descreve o estado puro de um objeto, que é chamada de função de onda. O comportamento de um sistema hamiltoniano em estado puro é completamente descrito pela função de onda. Deixe a função de onda ser dada no espaço N-dimensional, então em cada ponto com coordenadas , em um certo tempo t será parecido com . Neste caso, a equação de Schrödinger será escrita na forma: , onde é a energia potencial externa à partícula no ponto .
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A hipótese de De Broglie e sua conexão com os postulados de Bohr A equação de Schrödinger significado físico.. reações termonucleares .. reações termonucleares reações nucleares entre núcleos atômicos leves que ocorrem a temperaturas muito altas ..
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