A capacidade de calcular o volume de figuras espaciais é importante para resolver uma série de problemas práticos em geometria. Uma das formas mais comuns é a pirâmide. Neste artigo, consideraremos as pirâmides, tanto completas quanto truncadas.
Todo mundo sabe sobre as pirâmides egípcias, então eles têm uma boa ideia de qual figura será discutida. No entanto, as estruturas de pedra egípcias são apenas um caso especial de uma enorme classe de pirâmides.
Considerado objeto geométrico em caso Geralé uma base poligonal, cada vértice do qual está conectado a algum ponto no espaço que não pertence ao plano da base. Esta definição leva a uma figura que consiste em um n-gon e n triângulos.
Qualquer pirâmide consiste em n+1 faces, 2*n arestas e n+1 vértices. Como a figura em consideração é um poliedro perfeito, o número de elementos marcados obedece à equação de Euler:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
O polígono localizado na base dá o nome da pirâmide, por exemplo, triangular, pentagonal e assim por diante. Um conjunto de pirâmides com bases diferentes é mostrado na foto abaixo.
O ponto em que n triângulos da figura são conectados é chamado de topo da pirâmide. Se uma perpendicular é baixada dela até a base e a intercepta em centro geométrico, então tal figura será chamada de linha reta. Se essa condição não for atendida, haverá uma pirâmide inclinada.
Uma figura reta, cuja base é formada por um n-gon equilátero (equiangular), é chamada de regular.
Para calcular o volume da pirâmide, usamos o cálculo integral. Para fazer isso, dividimos a figura por planos secantes paralelos à base em um número infinito de camadas finas. A figura abaixo mostra uma pirâmide quadrangular com altura h e comprimento de lado L, na qual uma fina camada seccional é marcada com um quadrilátero.
A área de cada camada pode ser calculada pela fórmula:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Aqui A 0 é a área da base, z é o valor da coordenada vertical. Pode-se ver que se z = 0, então a fórmula dá o valor A 0 .
Para obter a fórmula do volume da pirâmide, você deve calcular a integral sobre toda a altura da figura, ou seja:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Substituindo a dependência A(z) e calculando a antiderivada, chegamos à expressão:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
Obtivemos a fórmula para o volume de uma pirâmide. Para encontrar o valor de V, basta multiplicar a altura da figura pela área da base e depois dividir o resultado por três.
Observe que a expressão resultante é válida para calcular o volume de uma pirâmide de tipo arbitrário. Ou seja, pode ser inclinado e sua base pode ser um n-gon arbitrário.
A fórmula geral para o volume obtido no parágrafo acima pode ser refinada no caso de uma pirâmide com base certa. A área de tal base é calculada pela seguinte fórmula:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Aqui L é o comprimento do lado de um polígono regular com n vértices. O símbolo pi é o número pi.
Substituindo a expressão de A 0 na fórmula geral, obtemos o volume pirâmide correta:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Por exemplo, para uma pirâmide triangular, esta fórmula leva à seguinte expressão:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
Para uma pirâmide quadrangular regular, a fórmula do volume assume a forma:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
Determinar os volumes de pirâmides regulares requer conhecer o lado de sua base e a altura da figura.
Suponha que pegamos uma pirâmide arbitrária e cortamos uma parte de sua superfície lateral contendo o vértice. A figura restante é chamada de pirâmide truncada. Já consiste em duas bases n-gonais e n trapézios que as conectam. Se o plano de corte era paralelo à base da figura, uma pirâmide truncada é formada com bases paralelas semelhantes. Ou seja, os comprimentos dos lados de um deles podem ser obtidos multiplicando os comprimentos do outro por algum coeficiente k.
A figura acima mostra um regular truncado, pode-se observar que sua base superior, assim como a inferior, é formada por um hexágono regular.
A fórmula que pode ser derivada usando um cálculo integral semelhante ao acima é:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Onde A 0 e A 1 são as áreas das bases inferior (grande) e superior (pequena), respectivamente. A variável h denota a altura da pirâmide truncada.
É curioso resolver o problema de determinar o volume que contém a maior pirâmide egípcia.
Em 1984, os egiptólogos britânicos Mark Lehner e Jon Goodman estabeleceram as dimensões exatas da pirâmide de Quéops. Sua altura original era de 146,50 metros (atualmente cerca de 137 metros). Comprimento médio cada um dos quatro lados da estrutura tinha 230,363 metros. A base da pirâmide é quadrada com alta precisão.
Vamos usar os números fornecidos para determinar o volume desse gigante de pedra. Como a pirâmide é quadrangular regular, então a fórmula é válida para ela:
Colocando os números, temos:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
O volume da pirâmide de Quéops é de quase 2,6 milhões de m 3. Para efeito de comparação, notamos que a piscina olímpica tem um volume de 2,5 mil m 3. Ou seja, para preencher toda a pirâmide de Quéops, serão necessários mais de 1000 desses pools!
Pirâmideé chamado de poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular em que todas as arestas são iguais é chamada de tetraedro .
Costela lateral pirâmide é chamado o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apotema . seção diagonal Uma seção de uma pirâmide é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.
Superfície lateral pirâmide é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total é a soma das áreas de todas as faces laterais e da base.
Teoremas
1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.
2. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais têm comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.
3. Se na pirâmide todas as faces estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo inscrito na base.
Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula está correta:
Onde V- volume;
S principal- área de base;
Hé a altura da pirâmide.
Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas são verdadeiras:
Onde p- o perímetro da base;
h a- apótema;
H- altura;
S cheio
lado S
S principal- área de base;
Vé o volume de uma pirâmide regular.
pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e o plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada correta chamada de parte de uma pirâmide regular, encerrada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.
Fundações pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais - trapézio. Altura pirâmide truncada é chamada de distância entre suas bases. Diagonal Uma pirâmide truncada é um segmento conectando seus vértices que não estão na mesma face. seção diagonal Uma seção de uma pirâmide truncada é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.
Para uma pirâmide truncada, as fórmulas são válidas:
(4)
Onde S 1 , S 2 - áreas das bases superior e inferior;
S cheioé a área total da superfície;
lado Sé a área de superfície lateral;
H- altura;
Vé o volume da pirâmide truncada.
Para uma pirâmide truncada regular, a seguinte fórmula é verdadeira:
Onde p 1 , p 2 - perímetros de base;
h a- o apótema de uma pirâmide truncada regular.
Exemplo 1 Na direita pirâmide triangular o ângulo diedro na base é de 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).
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A pirâmide é regular, o que significa que a base é um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diedro na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide para o plano da base. O ângulo linear será o ângulo uma entre duas perpendiculares: i.e. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e o círculo inscrito no triângulo abc). O ângulo de inclinação da nervura lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano base. Para costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ASSIM e OB. Deixe o comprimento do segmento BDé 3 uma. ponto O segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ASSIM: 
De encontramos: 
Responda:
Exemplo 2 Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases são cm e cm e a altura é 4 cm.
Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar as áreas das bases, você precisa encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:
Responda: 112 cm3.
Exemplo 3 Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).
A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer as bases e a altura. As bases são dadas por condição, apenas a altura permanece desconhecida. Encontre-o de onde MAS 1 E perpendicular de um ponto MAS 1 no plano da base inferior, UMA 1 D- perpendicular de MAS 1 em CA. MAS 1 E\u003d 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Para encontrar DE faremos um desenho adicional, no qual representaremos uma vista superior (Fig. 20). Ponto O- projeção dos centros das bases superior e inferior. uma vez que (ver Fig. 20) e Por outro lado OKé o raio do círculo inscrito e 
OMé o raio do círculo inscrito:
MK=DE.
De acordo com o teorema de Pitágoras de
Área da face lateral: 
Responda:
Exemplo 4 Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases uma e b (uma> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Área total da superfície da pirâmide SABCé igual a soma das áreas e a área do trapézio ABCD.
Usamos a afirmação de que se todas as faces da pirâmide são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto O- projeção de vértices S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo refrigerante ao plano base. De acordo com o teorema sobre a área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:
Da mesma forma, significa 
Assim, o problema foi reduzido a encontrar a área do trapézio ABCD. Desenhe um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto Oé o centro de um círculo inscrito em um trapézio.
Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Pelo teorema de Pitágoras temos
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