Uma pirâmide é um poliedro com um polígono em sua base. Todas as faces, por sua vez, formam triângulos que convergem em um vértice. As pirâmides são triangulares, quadrangulares e assim por diante. Para determinar qual pirâmide está à sua frente, basta contar o número de cantos em sua base. A definição de "altura da pirâmide" é frequentemente encontrada em problemas de geometria em currículo escolar. No artigo vamos tentar considerar jeitos diferentes a localização dela.
Partes da pirâmide
Cada pirâmide consiste nos seguintes elementos:
Como encontrar a altura de uma pirâmide se seu volume é conhecido
Através da fórmula V \u003d (S * h) / 3 (na fórmula V é o volume, S é a área da base, h é a altura da pirâmide), descobrimos que h \u003d (3 * V) / S . Para consolidar o material, vamos resolver imediatamente o problema. NO base triangularé de 50 cm 2, enquanto seu volume é de 125 cm 3. A altura da pirâmide triangular é desconhecida, o que precisamos encontrar. Tudo é simples aqui: inserimos os dados em nossa fórmula. Obtemos h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Como encontrar a altura de uma pirâmide se o comprimento da diagonal e sua borda são conhecidos
Como lembramos, a altura da pirâmide forma um ângulo reto com sua base. E isso significa que a altura, a aresta e a metade da diagonal juntos formam Muitos, é claro, lembre-se do teorema de Pitágoras. Conhecendo duas dimensões, não será difícil encontrar o terceiro valor. Lembre-se do conhecido teorema a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e, no nosso caso, a borda da pirâmide; b - a primeira perna ou metade da diagonal ec - respectivamente, a segunda perna, ou a altura da pirâmide. A partir desta fórmula, c² = a² - b².
Agora o problema: em uma pirâmide regular, a diagonal é de 20 cm, enquanto o comprimento da aresta é de 30 cm. Você precisa encontrar a altura. Resolvemos: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Portanto, c \u003d √ 500 \u003d cerca de 22,4.
Como encontrar a altura de uma pirâmide truncada
É um polígono que tem uma seção paralela à sua base. A altura de uma pirâmide truncada é o segmento que conecta suas duas bases. A altura pode ser encontrada em uma pirâmide regular se os comprimentos das diagonais de ambas as bases, bem como a borda da pirâmide, forem conhecidos. Seja a diagonal da base maior d1, enquanto a diagonal da base menor é d2, e a aresta tem comprimento l. Para encontrar a altura, você pode abaixar as alturas dos dois pontos opostos superiores do diagrama até sua base. Vemos que temos dois triângulos retângulos, resta encontrar os comprimentos de seus catetos. Para fazer isso, subtraia a diagonal menor da diagonal maior e divida por 2. Assim, encontraremos uma perna: a \u003d (d1-d2) / 2. Depois disso, de acordo com o teorema de Pitágoras, só temos que encontrar a segunda perna, que é a altura da pirâmide.
Agora vamos ver tudo isso na prática. Temos uma tarefa pela frente. A pirâmide truncada tem um quadrado na base, o comprimento diagonal da base maior é de 10 cm, enquanto a menor é de 6 cm e a borda é de 4 cm. É necessário encontrar a altura. Para começar, encontramos uma perna: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Uma perna tem 2 cm e a hipotenusa é 4 cm. Acontece que a segunda perna ou altura será 16- 4 \u003d 12, ou seja, h \u003d √12 = cerca de 3,5 cm.
Nesta lição, consideraremos uma pirâmide truncada, conheceremos a pirâmide truncada correta e estudaremos suas propriedades.
Vamos relembrar o conceito de uma pirâmide n-gonal usando o exemplo de uma pirâmide triangular. O triângulo ABC é dado. Fora do plano do triângulo, toma-se um ponto P, conectado aos vértices do triângulo. A superfície poliédrica resultante é chamada de pirâmide (Fig. 1).
Arroz. 1. Pirâmide triangular
Vamos cortar a pirâmide com um plano paralelo ao plano da base da pirâmide. A figura obtida entre esses planos é chamada de pirâmide truncada (Fig. 2).
Arroz. 2. Pirâmide truncada
Elementos principais:
Base superior;
Base inferior ABC;
Face lateral;
Se PH é a altura da pirâmide original, então é a altura da pirâmide truncada.
As propriedades de uma pirâmide truncada decorrem do método de sua construção, ou seja, do paralelismo dos planos das bases:
Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios. Considere, por exemplo, um rosto. Tem a propriedade de planos paralelos (como os planos são paralelos, eles cortam a face lateral da pirâmide ABP original ao longo de linhas paralelas), ao mesmo tempo em que não são paralelos. Obviamente, o quadrilátero é um trapézio, como todas as faces laterais de uma pirâmide truncada.
A proporção das bases é a mesma para todos os trapézios:
Temos vários pares de triângulos semelhantes com o mesmo coeficiente de similaridade. Por exemplo, triângulos e RAB são semelhantes devido ao paralelismo dos planos e , o coeficiente de similaridade:
Ao mesmo tempo, triângulos e RCS são semelhantes com coeficiente de similaridade:
Obviamente, os coeficientes de similaridade para todos os três pares de triângulos semelhantes são iguais, então a razão das bases é a mesma para todos os trapézios.
Uma pirâmide truncada regular é uma pirâmide truncada obtida pelo corte de uma pirâmide regular com um plano paralelo à base (Fig. 3).
Arroz. 3. Pirâmide truncada correta
Definição.
Uma pirâmide regular é chamada de pirâmide, na base da qual se encontra um n-gon regular, e o vértice é projetado no centro desse n-gon (o centro do círculo inscrito e circunscrito).
NO este caso na base da pirâmide encontra-se um quadrado, e o vértice é projetado no ponto de intersecção de suas diagonais. A pirâmide truncada quadrangular regular resultante tem ABCD - a base inferior, - a base superior. A altura da pirâmide original - RO, pirâmide truncada - (Fig. 4).
Arroz. 4. Pirâmide truncada quadrangular regular
Definição.
A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de qualquer ponto de uma base ao plano da segunda base.
O apótema da pirâmide original é RM (M é o meio de AB), o apótema da pirâmide truncada é (Fig. 4).
Definição.
O apótema de uma pirâmide truncada é a altura de qualquer face lateral.
É claro que todas as arestas laterais da pirâmide truncada são iguais entre si, ou seja, as faces laterais são trapézios isósceles iguais.
A área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é igual ao produto da metade da soma dos perímetros das bases e do apótema.
Prova (para uma pirâmide truncada quadrangular regular - Fig. 4):
Então, precisamos provar:
A área de superfície lateral aqui consistirá na soma das áreas das faces laterais - trapézios. Como os trapézios são iguais, temos:
A área de um trapézio isósceles é o produto da metade da soma das bases pela altura, o apótema é a altura do trapézio. Nós temos:
Q.E.D.
Para uma pirâmide n-gonal:
Onde n é o número de faces laterais da pirâmide, a e b são as bases do trapézio, é o apótema.
Lados da base de uma pirâmide quadrangular truncada regular 
são iguais a 3 cm e 9 cm, altura - 4 cm. Encontre a área da superfície lateral.
Arroz. 5. Ilustração para o problema 1
Solução. Vamos ilustrar a condição:
Dado: , ,
Desenhe uma linha reta MN através do ponto O paralela aos dois lados da base inferior, da mesma forma trace uma linha reta passando pelo ponto (Fig. 6). Como os quadrados e as construções são paralelos nas bases da pirâmide truncada, obtemos um trapézio igual às faces laterais. Além disso, seu lado lateral passará pelo meio das bordas superior e inferior das faces laterais e será o epítome de uma pirâmide truncada.
Arroz. 6. Construções adicionais
Considere o trapézio resultante (Fig. 6). Neste trapézio, a base superior, a base inferior e a altura são conhecidas. É necessário encontrar o lado lateral, que é o apótema da pirâmide truncada dada. Trace perpendicularmente a MN. Vamos soltar a perpendicular NQ do ponto. Nós entendemos isso base maior dividido em segmentos de três centímetros (). Considere um triângulo retângulo, as pernas nele são conhecidas, este é um triângulo egípcio, pelo teorema de Pitágoras, determinamos o comprimento da hipotenusa: 5 cm.
Agora existem todos os elementos para determinar a área da superfície lateral da pirâmide:
A pirâmide é atravessada por um plano paralelo à base. Usando o exemplo de uma pirâmide triangular, prove que as arestas laterais e a altura da pirâmide são divididas por este plano em partes proporcionais.
Prova. Vamos ilustrar:
Arroz. 7. Ilustração para o problema 2
A pirâmide RABC é dada. RO é a altura da pirâmide. A pirâmide é dissecada por um plano, uma pirâmide truncada é obtida, além disso. Ponto - o ponto de interseção da altura da RO com o plano da base da pirâmide truncada. É necessário provar:
A chave para a solução é a propriedade dos planos paralelos. Dois planos paralelos cortam qualquer terceiro plano de modo que as linhas de interseção sejam paralelas. Daqui: . O paralelismo das linhas correspondentes implica a presença de quatro pares de triângulos semelhantes:
Da semelhança dos triângulos segue a proporcionalidade dos lados correspondentes. Uma característica importante é que os coeficientes de similaridade para esses triângulos são os mesmos:
Q.E.D.
Uma pirâmide triangular regular RABC com altura e lado da base é dissecada por um plano que passa pelo ponto médio da altura PH paralelo à base ABC. Encontre a área da superfície lateral da pirâmide truncada resultante.
Solução. Vamos ilustrar:
Arroz. 8. Ilustração para o problema 3
DIA é um triângulo regular, H é o centro deste triângulo (o centro dos círculos inscritos e circunscritos). RM é o apótema da pirâmide dada. - o apótema da pirâmide truncada. De acordo com a propriedade dos planos paralelos (dois planos paralelos cortam qualquer terceiro plano para que as linhas de interseção sejam paralelas), temos vários pares de triângulos semelhantes com um coeficiente de similaridade igual. Em particular, estamos interessados na relação:
Vamos encontrar NM. Este é o raio de um círculo inscrito na base, conhecemos a fórmula correspondente:
Agora, do triângulo retângulo РНМ, pelo teorema de Pitágoras, encontramos РМ - o apótema da pirâmide original:
Da proporção inicial:
Agora conhecemos todos os elementos para encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada:
Assim, nos familiarizamos com os conceitos de pirâmide truncada e pirâmide truncada regular, demos definições básicas, consideramos propriedades e provamos o teorema sobre a área da superfície lateral. A próxima lição se concentrará na resolução de problemas.
Bibliografia
Trabalho de casa
Esta lição ajudará você a ter uma ideia sobre o tópico “Pirâmide. Pirâmide regular e truncada. Nesta lição, vamos nos familiarizar com o conceito de uma pirâmide regular, dar-lhe uma definição. Em seguida, provamos o teorema na superfície lateral de uma pirâmide regular e o teorema na superfície lateral de uma pirâmide regular truncada.
Tema: Pirâmide
Lição: Correto e pirâmide truncada
Definição: uma pirâmide n-gonal regular é uma pirâmide cuja base é um n-gon regular, e a altura é projetada no centro deste n-gon (Fig. 1).
Arroz. 1
Pirâmide triangular regular
Para começar, considere ∆ABC (Fig. 2), em que AB=BC=CA (ou seja, um triângulo regular está na base da pirâmide). Em um triângulo regular, o centro dos círculos inscritos e circunscritos coincidem e são o centro do próprio triângulo. Neste caso, o centro é encontrado da seguinte forma: encontramos o meio de AB - C 1, desenhamos o segmento SS 1, que é a mediana, bissetriz e altura; da mesma forma encontramos o ponto médio AC - B 1 e desenhamos o segmento BB 1 . A interseção de BB 1 e CC 1 será o ponto O, que é o centro de ∆ABC.
Se conectarmos o centro do triângulo O com o topo da pirâmide S, obteremos a altura da pirâmide SO ⊥ ABC, SO = h.
Conectando o ponto S com os pontos A, B e C, obtemos as arestas laterais da pirâmide.
Temos o certo pirâmide triangular SABC (Fig. 2).
- Este é um poliedro, que é formado pela base da pirâmide e uma seção paralela a ela. Podemos dizer que uma pirâmide truncada é uma pirâmide com o topo cortado. Esta figura tem muitas propriedades únicas:
A fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada é a soma das áreas de seus lados: 
Como os lados da pirâmide truncada são trapézios, você terá que usar a fórmula para calcular os parâmetros área do trapézio. Para uma pirâmide truncada regular, outra fórmula para calcular a área pode ser aplicada. Como todos os seus lados, faces e ângulos na base são iguais, é possível aplicar os perímetros da base e do apótema, e também derivar a área através do ângulo da base.
Se, de acordo com as condições em uma pirâmide truncada regular, o apótema (altura do lado) e os comprimentos dos lados da base são dados, então a área pode ser calculada através do semiproduto da soma dos perímetros de as bases e o apótema:
Vejamos um exemplo de cálculo da área de superfície lateral de uma pirâmide truncada.
Dada uma pirâmide pentagonal regular. Apótema eu\u003d 5 cm, o comprimento do rosto na base grande é uma\u003d 6 cm, e o rosto está na base menor b\u003d 4 cm. Calcule a área da pirâmide truncada.
Primeiro, vamos encontrar os perímetros das bases. Como nos é dada uma pirâmide pentagonal, entendemos que as bases são pentágonos. Isso significa que as bases são uma figura com cinco lados idênticos. Encontre o perímetro da base maior:
Da mesma forma, encontramos o perímetro da base menor:
Agora podemos calcular a área de uma pirâmide truncada regular. Substituímos os dados na fórmula:
Assim, calculamos a área de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros e apótema.
Outra maneira de calcular a área de superfície lateral de uma pirâmide regular é a fórmula pelos cantos na base e na área dessas mesmas bases.
Vejamos um exemplo de cálculo. Lembre-se de que esta fórmula se aplica apenas a uma pirâmide truncada regular.
Seja dada uma pirâmide quadrangular regular. A face da base inferior é a = 6 cm e a face da base superior b = 4 cm O ângulo diedro na base é β = 60°. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular.
Primeiro, vamos calcular a área das bases. Como a pirâmide é regular, todas as faces das bases são iguais entre si. Dado que a base é um quadrilátero, entendemos que será necessário calcular área quadrada. É o produto da largura e do comprimento, mas ao quadrado, esses valores são os mesmos. Encontre a área da base maior: 
Agora usamos os valores encontrados para calcular a área de superfície lateral. 
Conhecendo algumas fórmulas simples, calculamos facilmente a área do trapézio lateral de uma pirâmide truncada através de vários valores.
