Definição 9.3. Vetor x chamado próprio vetor matrizes MAS se existe tal número λ, que vale a igualdade: MAS x= λ x, ou seja, o resultado da aplicação x transformação linear dada pela matriz MAS, é a multiplicação desse vetor pelo número λ . O próprio número λ chamado próprio número matrizes MAS.
Substituindo em fórmulas (9.3) x` j = λx j , obtemos um sistema de equações para determinar as coordenadas do autovetor:
. (9.5)
Este sistema linear homogêneo terá solução não trivial somente se seu determinante principal for 0 (regra de Cramer). Escrevendo esta condição na forma:
obtemos uma equação para determinar os autovalores λ chamado equação característica. Resumidamente, pode ser representado da seguinte forma:
| A-λE | = 0, (9.6)
pois seu lado esquerdo é o determinante da matriz A-λE. Polinômio em relação a λ | A-λE| chamado polinômio característico matrizes A.
Propriedades do polinômio característico:
1) O polinômio característico de uma transformação linear não depende da escolha da base. Prova. 
(ver (9.4)), mas 
Consequentemente, . Assim, não depende da escolha da base. Portanto, e | A-λE| não muda na transição para uma nova base.
2) Se a matriz MAS transformação linear é simétrico(Essa. um ij = um ji), então todas as raízes da equação característica (9.6) são números reais.
Propriedades de autovalores e autovetores:
1) Se escolhermos uma base de autovetores x 1, x 2, x 3 correspondente aos autovalores λ 1 , λ 2 , λ 3 matrizes MAS, então nesta base a transformação linear A tem uma matriz diagonal:
(9.7) A prova desta propriedade segue da definição de autovetores.
2) Se os autovalores da transformação MAS são diferentes, então os autovetores correspondentes a eles são linearmente independentes.
3) Se o polinômio característico da matriz MAS tem três raízes diferentes, então em alguma base a matriz MAS tem uma forma diagonal.
Vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz Vamos fazer a equação característica: 
(1- λ
)(5 - λ
)(1 - λ
) + 6 - 9(5 - λ
) - (1 - λ
) - (1 - λ
) = 0, λ
³ - 7 λ
² + 36 = 0, λ
1 = -2, λ
2 = 3, λ
3 = 6.
Encontre as coordenadas dos autovetores correspondentes a cada valor encontrado λ. De (9.5) segue que se x (1) ={x 1 , x 2 , x 3) é o autovetor correspondente a λ 1 = -2, então
- comum, mas sistema indefinido. Sua solução pode ser escrita como x (1)
={uma,0,-uma), onde a é qualquer número. Em particular, se você precisar que | x (1)
|=1, x (1)
=
Substituindo no sistema (9.5) λ 2 =3, obtemos um sistema para determinar as coordenadas do segundo autovetor - x (2) ={y1,y2,y3}:
, Onde x (2)
={b,-b,b) ou, desde que | x (2)
|=1, x (2)
= 
Por λ 3 = 6 encontre o autovetor x (3) ={z1, z2, z3}:
, x (3)
={c,2c,c) ou na versão normalizada
x (3) = 
Pode ser visto que x (1) x (2)
= ab-ab= 0, x (1) x (3)
= ac-ac= 0, x (2) x (3)
= bc- 2cc + cc= 0. Assim, os autovetores desta matriz são ortogonais aos pares.
Aula 10
Formas quadráticas e sua relação com matrizes simétricas. Propriedades de autovetores e autovalores de uma matriz simétrica. Redução de uma forma quadrática a uma forma canônica.
Definição 10.1.forma quadrática variáveis reais x 1, x 2,…, x n chama-se um polinomio de segundo grau com respeito a estas variáveis, o qual não contém um termo livre e termos de primeiro grau.
Exemplos de formas quadráticas:
(n = 2),
(n = 3). (10.1)
Lembre-se da definição de uma matriz simétrica dada na última aula:
Definição 10.2. A matriz quadrada é chamada simétrico, se , ou seja, se os elementos da matriz simétricos em relação à diagonal principal forem iguais.
Propriedades de autovalores e autovetores de uma matriz simétrica:
1) Todos os autovalores de uma matriz simétrica são reais.
Prova (para n = 2).
Deixe a matriz MAS parece: 
. Vamos fazer a equação característica:
(10.2) Encontre o discriminante:
Portanto, a equação tem apenas raízes reais.
2) Os autovetores de uma matriz simétrica são ortogonais.
Prova (para n= 2).
As coordenadas dos autovetores e devem satisfazer as equações.
As matrizes do tipo diagonal são arranjadas de maneira mais simples. A questão que surge é se é possível encontrar uma base na qual a matriz operador linear seria diagonal. Tal base existe.
Seja dado um espaço linear R n e um operador linear A atuando nele; neste caso, o operador A toma R n para si, ou seja, A:R n → R n .
Definição.
Um vetor diferente de zero é chamado de autovetor do operador A se o operador A se traduzir em um vetor colinear a ele, ou seja, . O número λ é chamado de autovalor ou autovalor do operador A correspondente ao autovetor .
Notamos algumas propriedades de autovalores e autovetores.
1. Qualquer combinação linear de autovetores 
do operador A correspondente ao mesmo autovalor λ é um autovetor com o mesmo autovalor.
2. Autovetores operador A com autovalores distintos aos pares λ 1 , λ 2 , …, λ m são linearmente independentes.
3. Se os autovalores λ 1 =λ 2 = λ m = λ, então o autovalor λ corresponde a não mais do que m autovetores linearmente independentes.
Então, se existem n autovetores linearmente independentes 
correspondendo a diferentes autovalores λ 1 , λ 2 , …, λ n , então eles são linearmente independentes, portanto, podem ser tomados como base do espaço R n . Vamos encontrar a forma da matriz do operador linear A na base de seus autovetores, para os quais agimos com o operador A nos vetores de base: 
então 
.
Assim, a matriz do operador linear A na base de seus autovetores tem uma forma diagonal, e os autovalores do operador A estão na diagonal.
Existe outra base na qual a matriz tem uma forma diagonal? A resposta a esta pergunta é dada pelo seguinte teorema.
Teorema. A matriz de um operador linear A na base (i = 1..n) tem uma forma diagonal se e somente se todos os vetores da base são autovetores do operador A.
, onde x 1 , x 2 , …, x n - coordenadas do vetor em relação à base 
e é o autovetor do operador linear A correspondente ao autovalor λ , ou seja, . Esta relação pode ser escrita na forma matricial 
. (*)
(1)
Onde 
é a matriz do operador linear.
O sistema (1) tem uma solução diferente de zero se seu determinante D for igual a zero
Exemplo 12.
O operador linear A atua em R 3 de acordo com a lei , onde x 1 , x 2 , .., x n são as coordenadas do vetor na base 
, 
, 
. Encontre os autovalores e autovetores deste operador.
Solução.
Construímos a matriz deste operador: 
.
Compomos um sistema para determinar as coordenadas dos autovetores: 
Nós compomos a equação característica e a resolvemos: 
.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Substituindo λ = -1 no sistema, temos: 
ou 
Porque 
, então há duas variáveis dependentes e uma variável livre.
Seja x 1 uma incógnita livre, então 
Resolvemos este sistema de qualquer maneira e encontramos decisão comum este sistema: sistema fundamental soluções consiste em uma solução, já que n - r = 3 - 2 = 1.
O conjunto de autovetores correspondentes ao autovalor λ = -1 tem a forma: , onde x 1 é qualquer número diferente de zero. Vamos escolher um vetor deste conjunto, por exemplo, definindo x 1 = 1: 
.
Argumentando de forma semelhante, encontramos o autovetor correspondente ao autovalor λ = 3: 
.
No espaço R 3 a base consiste em três vetores linearmente independentes, mas obtivemos apenas dois autovetores linearmente independentes, a partir dos quais a base em R 3 não pode ser formada. Conseqüentemente, a matriz A de um operador linear não pode ser reduzida a uma forma diagonal.
Exemplo 13
Dada uma matriz 
.
1. Prove que o vetor 
é um autovetor da matriz A. Encontre o autovalor correspondente a este autovetor.
2. Encontre uma base na qual a matriz A tenha uma forma diagonal.
Solução.
1. Se , então é um autovetor 
.
O vetor (1, 8, -1) é um autovetor. Autovalor λ = -1.
A matriz tem uma forma diagonal na base consistindo de autovetores. Um deles é famoso. Vamos encontrar o resto.
Estamos procurando autovetores do sistema: 
Equação característica: 
;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Encontre o autovetor correspondente ao autovalor λ = -3: 
O posto da matriz deste sistema é igual a dois e é igual ao número incógnitas, então este sistema tem apenas uma solução zero x 1 = x 3 = 0. x 2 aqui pode ser qualquer coisa diferente de zero, por exemplo, x 2 = 1. Assim, o vetor (0,1,0) é um autovetor , correspondendo a λ = -3. Vamos checar: 
.
Se λ = 1, então obtemos o sistema 
A classificação da matriz é dois. Risque a última equação.
Seja x 3 a incógnita livre. Então x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Assumindo x 3 = 1, temos (-3,-9,1) - um autovetor correspondente ao autovalor λ = 1. Verifique: 
.
Como os autovalores são reais e diferentes, os vetores correspondentes a eles são linearmente independentes, portanto podem ser tomados como base em R 3 . Assim, na base 
, 
, 
A matriz A tem a forma: 
.
Nem toda matriz de um operador linear A:R n → R n pode ser reduzida a uma forma diagonal, pois para alguns operadores lineares pode haver menos de n autovetores linearmente independentes. No entanto, se a matriz for simétrica, então exatamente m vetores linearmente independentes correspondem à raiz da equação característica da multiplicidade m.
Definição.
Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada em que os elementos que são simétricos em relação à diagonal principal são iguais, ou seja, em que .
Observações.
1. Todos os autovalores de uma matriz simétrica são reais.
2. Os autovetores de uma matriz simétrica correspondentes a autovalores diferentes aos pares são ortogonais.
Como uma das inúmeras aplicações do aparato estudado, consideramos o problema de determinação da forma de uma curva de segunda ordem.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS
Um sistema de equações lineares homogêneas é um sistema da forma
É claro que neste caso 
, Porque todos os elementos de uma das colunas desses determinantes são iguais a zero.
Como as incógnitas são encontradas pelas fórmulas 
, então no caso em que Δ ≠ 0, o sistema tem uma única solução zero x = y = z= 0. No entanto, em muitos problemas, a questão de saber se um sistema homogêneo tem soluções diferentes de zero é de interesse.
Teorema. Para que um sistema de equações lineares homogêneas tenha solução diferente de zero, é necessário e suficiente que Δ ≠ 0.
Então, se o determinante Δ ≠ 0, então o sistema tem única decisão. Se Δ ≠ 0, então o sistema de equações lineares homogêneas tem um número infinito de soluções.
Exemplos.
Autovetores e autovalores da matriz
Seja dada uma matriz quadrada 
, xé alguma coluna-matriz cuja altura coincide com a ordem da matriz UMA. .
Em muitos problemas, deve-se considerar a equação para x
onde λ é algum número. É claro que para qualquer λ esta equação tem solução nula.
O número λ para o qual esta equação tem soluções diferentes de zero é chamado autovalor matrizes UMA, uma x para tal λ é chamado próprio vetor matrizes UMA.
Vamos encontrar o autovetor da matriz UMA. Porque o E∙X=X, então a equação da matriz pode ser reescrita como 
ou 
. Na forma expandida, esta equação pode ser reescrita como um sistema de equações lineares. Sério 
.
E portanto 
Então, temos um sistema de equações lineares homogêneas para determinar as coordenadas x 1, x2, x 3 vetor x. Para que o sistema tenha soluções diferentes de zero, é necessário e suficiente que o determinante do sistema seja igual a zero, ou seja,
Esta é uma equação de 3º grau em relação a λ. É chamado equação característica matrizes UMA e serve para determinar os autovalores λ.
Cada autovalor λ corresponde a um autovetor x, cujas coordenadas são determinadas pelo sistema no valor correspondente de λ.
Exemplos.
ÁLGEBRA DE VETOR. CONCEITO DE VETOR
Ao estudar vários ramos da física, existem quantidades que são completamente determinadas pela definição de seus valores numéricos, por exemplo, comprimento, área, massa, temperatura, etc. Tais valores são chamados escalares. Porém, além delas, também existem quantidades, para cuja determinação, além do valor numérico, também é necessário conhecer sua direção no espaço, por exemplo, a força que atua sobre o corpo, a velocidade e a aceleração do corpo quando ele se move no espaço, a tensão campo magnético num determinado ponto do espaço, etc. Tais quantidades são chamadas de quantidades vetoriais.
Vamos introduzir uma definição rigorosa.
segmento direcional Vamos chamar um segmento, relativo a cujas extremidades se sabe qual deles é o primeiro e qual é o segundo.
Vetor um segmento direcionado é chamado, tendo um certo comprimento, ou seja, Este é um segmento de certo comprimento, no qual um dos pontos que o limitam é considerado o início e o segundo - o fim. Se um UMAé o início do vetor, Bé o seu fim, então o vetor é denotado pelo símbolo, além disso, o vetor é frequentemente denotado por uma única letra . Na figura, o vetor é indicado por um segmento e sua direção por uma seta.
módulo ou comprimento vetor é chamado de comprimento do segmento direcionado que o define. Denotado por || ou ||.
O chamado vetor zero, cujo início e fim coincidem, também serão referidos como vetores. Está marcado. O vetor zero não tem direção definida e seu módulo é igual a zero ||=0.
Os vetores e são chamados colinear se estiverem localizados na mesma linha ou em linhas paralelas. Neste caso, se os vetores e forem igualmente direcionados, escreveremos , de forma oposta.
Vetores localizados em retas paralelas ao mesmo plano são chamados coplanar.
Dois vetores e são chamados igual se forem colineares, tiverem a mesma direção e forem iguais em comprimento. Neste caso, escreva .
Segue-se da definição de igualdade de vetores que um vetor pode ser movido paralelamente a si mesmo, colocando sua origem em qualquer ponto do espaço.
Por exemplo.
OPERAÇÕES LINEARES SOBRE VETORES
O produto de um vetor por um número λ é um novo vetor tal que:
O produto de um vetor e um número λ é denotado por .
Por exemplo,é um vetor apontando na mesma direção que o vetor e tendo metade do comprimento do vetor .
A operação inserida tem o seguinte propriedades:
Sejam e dois vetores arbitrários. Tome um ponto arbitrário O e construa um vetor . Depois disso, do ponto UMA ponha de lado o vetor. O vetor que liga o início do primeiro vetor ao final do segundo é chamado soma desses vetores e é denotado 
.
A definição formulada de adição vetorial é chamada regra do paralelogramo, já que a mesma soma de vetores pode ser obtida da seguinte forma. Afaste-se do ponto O vetores e . Construa um paralelogramo sobre esses vetores OABC. Como os vetores , então o vetor , que é a diagonal do paralelogramo traçado do vértice O, obviamente será a soma dos vetores .
É fácil verificar o seguinte propriedades de adição de vetores.
Um vetor colinear a um dado vetor , igual em comprimento e com direções opostas, é chamado oposto vector para um vector e é denotado por . O vetor oposto pode ser considerado como o resultado da multiplicação do vetor pelo número λ = –1: .
Com a matriz A, se existe um número l tal que AX = lX.
Neste caso, o número l é chamado autovalor operador (matriz A) correspondente ao vetor X.
Em outras palavras, um autovetor é um vetor que, sob a ação de um operador linear, se transforma em um vetor colinear, ou seja, basta multiplicar por algum número. Em contraste, vetores impróprios são mais difíceis de transformar.
Escrevemos a definição do autovetor como um sistema de equações:
Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo:
O último sistema pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:
(A - lE)X \u003d O
O sistema resultante sempre tem uma solução zero X = O. Esses sistemas nos quais todos os termos livres são iguais a zero são chamados homogêneo. Se a matriz de tal sistema for quadrada e seu determinante não for igual a zero, de acordo com as fórmulas de Cramer, sempre obteremos uma solução única - zero. Pode-se provar que o sistema possui soluções diferentes de zero se e somente se o determinante dessa matriz for igual a zero, ou seja,
|A - lE| = 
= 0
Esta equação com l desconhecido é chamada equação característica (polinômio característico) matriz A (operador linear).
Pode-se provar que o polinômio característico de um operador linear não depende da escolha da base.
Por exemplo, vamos encontrar os autovalores e autovetores do operador linear dado pela matriz A = .
Para fazer isso, compomos a equação característica |А - lЕ| = 
\u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; autovalores l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.
Para encontrar os autovetores, resolvemos dois sistemas de equações
(A + 5E) X = O
(A - 7E) X = O
Para o primeiro deles, a matriz expandida terá a forma
,
de onde x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, ou seja. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).
Para o segundo deles, a matriz expandida terá a forma
,
onde x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, ou seja. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).
Assim, os autovetores deste operador linear são todos os vetores da forma (-(2/3)c; c) com autovalor (-5) e todos os vetores da forma ((2/3)c 1 ; c 1) com autovalor 7 .
Pode-se provar que a matriz do operador A na base composta por seus autovetores é diagonal e tem a forma:
,
onde l i são os autovalores desta matriz.
A recíproca também é verdadeira: se a matriz A em alguma base for diagonal, então todos os vetores dessa base serão autovetores dessa matriz.
Também pode ser provado que se um operador linear tem n autovalores distintos aos pares, então os autovetores correspondentes são linearmente independentes, e a matriz deste operador na base correspondente tem uma forma diagonal.
Vamos explicar isso com o exemplo anterior. Tomemos valores arbitrários diferentes de zero c e c 1 , mas tais que os vetores X (1) e X (2) sejam linearmente independentes, ou seja, formaria uma base. Por exemplo, deixe c \u003d c 1 \u003d 3, então X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).
Vamos verificar a independência linear desses vetores:
12 ≠ 0. Nesta nova base, a matriz A assumirá a forma A * = .
Para verificar isso, usamos a fórmula A * = C -1 AC. Vamos encontrar C -1 primeiro.
C-1 = 
;
forma quadrática f (x 1, x 2, x n) de n variáveis é chamada de soma, cada termo da qual é o quadrado de uma das variáveis ou o produto de duas variáveis diferentes, tomadas com um certo coeficiente: f (x 1 , x 2, x n) = 
(aij = aji).
A matriz A, composta por esses coeficientes, é chamada matriz forma quadrática. É sempre simétrico matriz (ou seja, uma matriz simétrica em relação à diagonal principal, a ij = a ji).
Na notação matricial, a forma quadrática tem a forma f(X) = X T AX, onde
De fato
Por exemplo, vamos escrever a forma quadrática na forma de matriz.
Para fazer isso, encontramos uma matriz de forma quadrática. Seus elementos diagonais são iguais aos coeficientes nos quadrados das variáveis, e os demais elementos são iguais à metade dos coeficientes correspondentes da forma quadrática. É por isso
Seja a matriz-coluna de variáveis X obtida por uma transformação linear não degenerada da matriz-coluna Y, ou seja, X = CY, onde C é uma matriz não degenerada de ordem n. Então a forma quadrática f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.
Assim, sob uma transformação linear não degenerada C, a matriz da forma quadrática assume a forma: A * = C T AC.
Por exemplo, vamos encontrar a forma quadrática f(y 1, y 2) obtida da forma quadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 por uma transformação linear.
A forma quadrática é chamada canônico(Tem visão canônica) se todos os seus coeficientes a ij = 0 para i ≠ j, ou seja,
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.
Sua matriz é diagonal.
Teorema(a prova não é dada aqui). Qualquer forma quadrática pode ser reduzida a uma forma canônica usando uma transformação linear não degenerada.
Por exemplo, reduzamos à forma canônica a forma quadrática
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.
Para fazer isso, primeiro selecione o quadrado completo para a variável x 1:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.
Agora selecionamos o quadrado completo para a variável x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.
Então a transformação linear não degenerada y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 e y 3 \u003d x 3 traz esta forma quadrática para a forma canônica f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .
Observe que a forma canônica de uma forma quadrática é definida de forma ambígua (a mesma forma quadrática pode ser reduzida à forma canônica jeitos diferentes). No entanto, o jeitos diferentes formas canônicas têm um número propriedades comuns. Em particular, o número de termos com coeficientes positivos (negativos) de uma forma quadrática não depende de como a forma é reduzida a esta forma (por exemplo, no exemplo considerado sempre haverá dois coeficientes negativos e um positivo). Esta propriedade é chamada de lei da inércia das formas quadráticas.
Vamos verificar isso reduzindo a mesma forma quadrática à forma canônica de uma maneira diferente. Vamos começar a transformação com a variável x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, onde y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 e y 3 = x 1 . Aqui, um coeficiente negativo -3 em y 1 e dois coeficientes positivos 3 e 2 em y 2 e y 3 (e usando outro método, obtivemos um coeficiente negativo (-5) em y 2 e dois coeficientes positivos: 2 em y 1 e 1/20 para y 3).
Também deve ser notado que o posto de uma matriz de forma quadrática, chamada o posto da forma quadrática, é igual ao número de coeficientes diferentes de zero da forma canônica e não muda sob transformações lineares.
A forma quadrática f(X) é chamada positivamente (negativo) certo, se para todos os valores das variáveis que não são simultaneamente iguais a zero, é positivo, ou seja, f(X) > 0 (negativo, ou seja,
f(X)< 0).
Por exemplo, a forma quadrática f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 é positiva definida, porque é a soma dos quadrados, e a forma quadrática f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 é negativa definida, porque representa pode ser representado como f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.
Na maioria das situações práticas, é um pouco mais difícil estabelecer a definição de sinal de uma forma quadrática, então um dos seguintes teoremas é usado para isso (nós os formulamos sem provas).
Teorema. Uma forma quadrática é positiva (negativa) definida se e somente se todos os autovalores de sua matriz forem positivos (negativos).
Teorema(critério de Sylvester). Uma forma quadrática é positiva definida se e somente se todos os menores principais da matriz desta forma são positivos.
Maior (canto) menor A k-ésima ordem da matriz A de n-ésima ordem é chamada de determinante da matriz, composta pelas primeiras k linhas e colunas da matriz A ().
Observe que, para formas quadráticas com definição negativa, os sinais dos menores principais se alternam e o menor de primeira ordem deve ser negativo.
Por exemplo, examinamos a forma quadrática f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para definição de sinal.
= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17; 
. Portanto, a forma quadrática é positiva definida.
Método 2. O menor principal da primeira ordem da matriz A D 1 = a 11 = 2 > 0. O menor principal da segunda ordem D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Portanto, de acordo com o critério de Sylvester, a forma quadrática é positiva definida.
Examinamos outra forma quadrática para definição de sinal, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
Método 1. Vamos construir uma matriz de forma quadrática À = . A equação característica terá a forma 
= (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17; 
. Portanto, a forma quadrática é negativa definida.
Método 2. O menor principal de primeira ordem da matriz A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Portanto, segundo o critério de Sylvester, a forma quadrática é definida negativa (os sinais dos menores principais se alternam, partindo de menos).
E como outro exemplo, examinamos a forma quadrática f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 para a definição de sinal.
Método 1. Vamos construir uma matriz de forma quadrática À = . A equação característica terá a forma 
= (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41; 
.
Um desses números é negativo e o outro é positivo. Os sinais dos autovalores são diferentes. Portanto, uma forma quadrática não pode ser definida negativa ou positiva, ou seja, esta forma quadrática não é definida pelo sinal (pode assumir valores de qualquer sinal).
Método 2. O menor principal de primeira ordem da matriz A D 1 = a 11 = 2 > 0. O menor principal de segunda ordem D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).
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