Sejam dois vetores e dados no espaço. Vamos adiar de um ponto arbitrário Ó vetores e . Ângulo entre vetores é chamado de menor dos ângulos. Designada .
Considere o eixo eu e plote um vetor unitário nele (ou seja, um vetor cujo comprimento é igual a um).
Em um ângulo entre o vetor e o eixo eu entenda o ângulo entre os vetores e .
Então deixe eué algum eixo e é um vetor.
Vamos denotar por Um 1 E B1 projeções no eixo eu respectivamente pontos A E B. Vamos fingir que Um 1 tem uma coordenada x 1, A B1– coordenar x 2 no eixo eu.
Então projeção vetor por eixo eu chamada diferença x 1 – x 2 entre as coordenadas das projeções do final e do início do vetor neste eixo.
Projeção do vetor no eixo eu denotaremos.
É claro que se o ângulo entre o vetor e o eixo eu picante então x 2> x 1 e projeção x 2 – x 1> 0; se este ângulo for obtuso, então x 2< x 1 e projeção x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси eu, Que x 2= x 1 E x 2– x 1=0.
Assim, a projeção do vetor no eixo eué o comprimento do segmento A 1 B 1, tomado com um certo sinal. Portanto, a projeção do vetor no eixo é um número ou escalar.
A projeção de um vetor em outro é determinada de forma semelhante. Neste caso, encontram-se as projeções das extremidades deste vetor na reta sobre a qual se encontra o 2º vetor.
Vejamos alguns básicos propriedades das projeções.
SISTEMAS VETORIAIS LINEARMENTE DEPENDENTES E LINEARMENTE INDEPENDENTES
Vamos considerar vários vetores.
Combinação linear desses vetores é qualquer vetor da forma, onde estão alguns números. Os números são chamados de coeficientes de combinação linear. Eles também dizem que neste caso é expresso linearmente através desses vetores, ou seja, é obtido deles usando ações lineares.
Por exemplo, se três vetores forem dados, então os vetores podem ser considerados como sua combinação linear: 
Se um vetor for representado como uma combinação linear de alguns vetores, então diz-se que ele é disposto ao longo desses vetores.
Os vetores são chamados linearmente dependente, se houver números, nem todos iguais a zero, tal que 
. É claro que determinados vetores serão linearmente dependentes se qualquer um desses vetores for expresso linearmente em termos dos outros.
Caso contrário, ou seja quando a proporção realizado somente quando 
, esses vetores são chamados Linearmente independente.
Teorema 1. Quaisquer dois vetores são linearmente dependentes se e somente se forem colineares.
Prova:
O seguinte teorema pode ser provado de forma semelhante.
Teorema 2. Três vetores são linearmente dependentes se e somente se forem coplanares.
Prova.
BASE
Baseé uma coleção de vetores linearmente independentes diferentes de zero. Denotaremos os elementos da base por .
No parágrafo anterior, vimos que dois vetores não colineares num plano são linearmente independentes. Portanto, de acordo com o Teorema 1 do parágrafo anterior, uma base num plano são quaisquer dois vetores não colineares neste plano.
Da mesma forma, quaisquer três vetores não coplanares são linearmente independentes no espaço. Consequentemente, chamamos três vetores não coplanares de base no espaço.
A afirmação a seguir é verdadeira.
Teorema. Seja dada uma base no espaço. Então qualquer vetor pode ser representado como uma combinação linear 
, Onde x, sim, z- alguns números. Esta é a única decomposição.
Prova.
Assim, a base permite que cada vetor seja associado exclusivamente a um triplo de números - os coeficientes de expansão desse vetor nos vetores da base: . O inverso também é verdadeiro, para cada três números x, y, z usando a base, você pode comparar o vetor se fizer uma combinação linear 
.
Se a base e , então os números x, y, z são chamados coordenadas vetor em uma determinada base. As coordenadas do vetor são denotadas por .
SISTEMA DE COORDENADA CARTESIANA
Deixe um ponto ser dado no espaço Ó e três vetores não coplanares.
Sistema de coordenada cartesiana no espaço (no plano) é a coleção de um ponto e uma base, ou seja, um conjunto de um ponto e três vetores não coplanares (2 vetores não colineares) que emanam deste ponto.
Ponto Ó chamada de origem; as linhas retas que passam pela origem das coordenadas na direção dos vetores de base são chamadas de eixos coordenados - eixos de abcissas, ordenadas e aplicados. Os planos que passam pelos eixos coordenados são chamados de planos coordenados.
Considere um ponto arbitrário no sistema de coordenadas selecionado M. Vamos apresentar o conceito de coordenadas de ponto M. Vetor conectando a origem a um ponto M. chamado vetor de raio pontos M.
Um vetor na base selecionada pode ser associado a um triplo de números – suas coordenadas: 
.
Coordenadas do vetor raio do ponto M. são chamados coordenadas do ponto M. no sistema de coordenadas em consideração. M(x,y,z). A primeira coordenada é chamada de abcissa, a segunda é a ordenada e a terceira é a aplicada.
As coordenadas cartesianas no plano são determinadas de forma semelhante. Aqui o ponto tem apenas duas coordenadas - abscissa e ordenada.
É fácil ver que, para um determinado sistema de coordenadas, cada ponto possui certas coordenadas. Por outro lado, para cada triplo de números existe um único ponto que tem esses números como coordenadas.
Se os vetores tomados como base no sistema de coordenadas selecionado tiverem comprimento unitário e forem perpendiculares aos pares, então o sistema de coordenadas é chamado Retangular cartesiano.
É fácil mostrar isso.
Os cossenos de direção de um vetor determinam completamente sua direção, mas nada dizem sobre seu comprimento.
Projetar várias linhas e superfícies em um plano permite construir uma imagem visual de objetos na forma de um desenho. Consideraremos a projeção retangular, na qual os raios projetados são perpendiculares ao plano de projeção. PROJEÇÃO DE UM VETOR EM UM PLANO considere o vetor = (Fig. 3.22), encerrado entre as perpendiculares omitidas de seu início e fim.
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 |
Arroz. 3.23. Projeção vetorial de um vetor em um eixo.
Na álgebra vetorial, muitas vezes é necessário projetar um vetor em um EIXO, ou seja, em uma linha reta que tenha uma determinada orientação. Tal projeto é fácil se o vetor e o eixo L estiverem no mesmo plano (Fig. 3.23). Contudo, a tarefa torna-se mais difícil quando esta condição não é satisfeita. Vamos construir uma projeção do vetor no eixo quando o vetor e o eixo não estiverem no mesmo plano (Fig. 3.24).
Arroz. 3.24. Projetando um vetor em um eixo
em geral.
Através das extremidades do vetor desenhamos planos perpendiculares à reta L. Na intersecção com esta reta, esses planos definem dois pontos A1 e B1 - um vetor, que chamaremos de projeção vetorial desse vetor. O problema de encontrar uma projeção vetorial pode ser resolvido mais facilmente se o vetor for colocado no mesmo plano do eixo, o que pode ser feito uma vez que vetores livres são considerados na álgebra vetorial.
Junto com a projeção vetorial, existe também uma PROJEÇÃO ESCALAR, que é igual ao módulo da projeção vetorial se a projeção vetorial coincidir com a orientação do eixo L, e é igual ao seu valor oposto se a projeção vetorial e o L eixo tem a orientação oposta. Denotaremos a projeção escalar:
As projeções vetoriais e escalares nem sempre são estritamente separadas terminologicamente na prática. O termo “projeção vetorial” é geralmente usado, significando uma projeção escalar de um vetor. Ao tomar uma decisão, é necessário distinguir claramente entre esses conceitos. Seguindo a tradição estabelecida, utilizaremos os termos “projeção vetorial”, significando projeção escalar, e “projeção vetorial” - de acordo com o significado estabelecido.
Vamos provar um teorema que nos permite calcular a projeção escalar de um determinado vetor.
TEOREMA 5. A projeção de um vetor no eixo L é igual ao produto do seu módulo e o cosseno do ângulo entre o vetor e o eixo, ou seja
(3.5)
Arroz. 3,25. Encontrando vetor e escalar
Projeções vetoriais no eixo L
(e o eixo L são igualmente orientados).
PROVA. Façamos primeiro construções que nos permitam encontrar o ângulo G Entre o vetor e o eixo L. Para isso, construiremos uma reta MN, paralela ao eixo L e passando pelo ponto O - início do vetor (Fig. 3.25). O ângulo será o ângulo desejado. Vamos desenhar dois planos através dos pontos A e O, perpendiculares ao eixo L. Obtemos:
Já que o eixo L e a reta MN são paralelos.
Destaquemos dois casos posição relativa vetor e eixo L.
1. Seja a projeção vetorial e o eixo L igualmente orientados (Fig. 3.25). Então a projeção escalar correspondente 
.
2. Sejam e L orientados em lados diferentes(Fig. 3.26).
Arroz. 3.26. Encontrar as projeções vetoriais e escalares do vetor no eixo L (e o eixo L é orientado em direções opostas).
Assim, em ambos os casos o teorema é verdadeiro.
TEOREMA 6. Se a origem do vetor for levada a um determinado ponto do eixo L, e este eixo estiver localizado no plano s, o vetor forma um ângulo com a projeção do vetor no plano s, e um ângulo com o vetor projeção no eixo L, além disso, as próprias projeções do vetor formam um ângulo entre si.
e em um eixo ou algum outro vetor estão os conceitos de sua projeção geométrica e projeção numérica (ou algébrica). O resultado de uma projeção geométrica será um vetor, e o resultado de uma projeção algébrica será um valor não negativo número real. Mas antes de passarmos a esses conceitos, vamos lembrar informação necessária.
O conceito principal é o próprio conceito de vetor. Para introduzir a definição de vetor geométrico, lembremos o que é um segmento. Vamos apresentar a seguinte definição.
Definição 1
Um segmento é parte de uma linha reta que possui dois limites na forma de pontos.
Um segmento pode ter 2 direções. Para denotar a direção, chamaremos um dos limites do segmento de início e o outro limite de fim. A direção é indicada do início ao fim do segmento.
Definição 2
Chamaremos de vetor ou segmento direcionado um segmento para o qual se sabe qual dos limites do segmento é considerado o início e qual é o seu fim.
Designação: Em duas letras: $\overline(AB)$ – (onde $A$ é o seu início e $B$ é o seu fim).
Em uma letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).
Vamos apresentar mais alguns conceitos relacionados ao conceito de vetor.
Definição 3
Chamaremos dois vetores diferentes de zero de colineares se eles estiverem na mesma reta ou em retas paralelas entre si (Fig. 2).
Definição 4
Chamaremos dois vetores diferentes de zero de codirecionais se eles satisfizerem duas condições:
Notação: $\overline(a)\overline(b)$
Definição 5
Chamaremos dois vetores diferentes de zero com direções opostas se eles satisfizerem duas condições:
Notação: $\overline(a)↓\overline(d)$
Definição 6
O comprimento do vetor $\overline(a)$ será o comprimento do segmento $a$.
Notação: $|\overline(a)|$
Vamos prosseguir para determinar a igualdade de dois vetores
Definição 7
Chamaremos dois vetores de iguais se eles satisfizerem duas condições:
Como dissemos anteriormente, o resultado de uma projeção geométrica será um vetor.
Definição 8
A projeção geométrica do vetor $\overline(AB)$ no eixo é um vetor que se obtém da seguinte forma: O ponto inicial do vetor $A$ é projetado sobre este eixo. Obtemos o ponto $A"$ - o início do vetor desejado. O ponto final do vetor $B$ é projetado neste eixo. Obtemos o ponto $B"$ - o final do vetor desejado. O vetor $\overline(A"B")$ será o vetor desejado.
Vamos considerar o problema:
Exemplo 1
Construa uma projeção geométrica $\overline(AB)$ no eixo $l$ mostrado na Figura 6.
Vamos traçar uma perpendicular do ponto $A$ ao eixo $l$, obtemos o ponto $A"$ sobre ela. A seguir, traçamos uma perpendicular do ponto $B$ ao eixo $l$, obtemos o ponto $B "$ nele (Fig. 7).
Introdução………………………………………………………………………………3
1. Valor do vetor e escalar………………………………….4
2. Definição de projeção, eixo e coordenada de um ponto………………...5
3. Projeção do vetor no eixo…………………………………………...6
4. Fórmula básica de álgebra vetorial…………………………..8
Introdução:
A física está inextricavelmente ligada à matemática. A matemática dá à física os meios e técnicas para uma expressão geral e precisa da relação entre quantidades físicas, que são descobertos como resultado de experimentos ou pesquisas teóricas. Afinal, o principal método de pesquisa em física é experimental. Isso significa que um cientista revela cálculos usando medidas. Denota a relação entre várias quantidades físicas. Depois, tudo é traduzido para a linguagem da matemática. Formado modelo matemático. A física é uma ciência que estuda as leis mais simples e ao mesmo tempo mais gerais. A tarefa da física é criar tal imagem em nossas mentes mundo físico, que reflete mais plenamente suas propriedades e fornece tais relacionamentos entre os elementos do modelo que existem entre os elementos.
Assim, a física cria um modelo do mundo que nos rodeia e estuda suas propriedades. Mas qualquer modelo é limitado. Ao criar modelos de um determinado fenômeno, apenas as propriedades e conexões que são essenciais para uma determinada gama de fenômenos são levadas em consideração. Esta é a arte de um cientista - escolher o principal entre toda a diversidade.
Os modelos físicos são matemáticos, mas a matemática não é a sua base. As relações quantitativas entre quantidades físicas são determinadas como resultado de medições, observações e estudos experimentais e são expressas apenas na linguagem da matemática. No entanto, não existe outra linguagem para construir teorias físicas.
1. Significado de vetorial e escalar.
Em física e matemática, um vetor é uma quantidade caracterizada por seu valor numérico e direção. Na física, existem muitas quantidades importantes que são vetores, por exemplo, força, posição, velocidade, aceleração, torque, momento, intensidade do campo elétrico e magnético. Eles podem ser contrastados com outras quantidades, como massa, volume, pressão, temperatura e densidade, que podem ser descritas por um número comum e são chamadas de " escalares" .
Eles são escritos em letras regulares ou em números (a, b, t, G, 5, −7....). As grandezas escalares podem ser positivas ou negativas. Ao mesmo tempo, alguns objetos de estudo podem ter propriedades que descrição completa Para os quais o conhecimento apenas de uma medida numérica se revela insuficiente, é necessário também caracterizar essas propriedades por direção no espaço. Tais propriedades são caracterizadas por grandezas vetoriais (vetores). Os vetores, diferentemente dos escalares, são denotados por letras em negrito: a, b, g, F, C....
Freqüentemente, um vetor é indicado por uma letra em fonte normal (sem negrito), mas com uma seta acima dela:
O módulo de um vetor, ou seja, o comprimento de um segmento de linha direcionado, é denotado pelas mesmas letras do próprio vetor, mas em escrita normal (sem negrito) e sem uma seta acima delas, ou exatamente da mesma maneira como um vetor (ou seja, em negrito ou regular, mas com uma seta), mas a designação do vetor é colocada entre traços verticais.
Um vetor é um objeto complexo caracterizado simultaneamente por magnitude e direção.
Também não existem vetores positivos e negativos. Mas os vetores podem ser iguais entre si. É quando, por exemplo, a e b possuem os mesmos módulos e são direcionados na mesma direção. Neste caso, a notação é verdadeira a= b. Deve-se também ter em mente que o símbolo do vetor pode ser precedido por um sinal de menos, por exemplo - c, porém, este sinal indica simbolicamente que o vetor -c possui o mesmo módulo do vetor c, mas é direcionado no sentido oposto direção.
O vetor -c é chamado de oposto (ou inverso) do vetor c.
Na física, cada vetor é preenchido com um conteúdo específico e, ao comparar vetores do mesmo tipo (por exemplo, forças), os pontos de sua aplicação também podem ser significativos.
2. Determinação da projeção, eixo e coordenada do ponto.
Eixo- Esta é uma linha reta que recebe alguma direção.
Um eixo é designado por alguma letra: X, Y, Z, s, t... Normalmente é selecionado (arbitrariamente) um ponto no eixo, que é chamado de origem e, via de regra, é designado pela letra O. A partir deste ponto são medidas as distâncias a outros pontos de nosso interesse.
Projeção de um ponto em um eixo é a base de uma perpendicular traçada deste ponto até um determinado eixo. Ou seja, a projeção de um ponto no eixo é um ponto.
Coordenada de ponto em um determinado eixo é um número cujo valor absoluto é igual ao comprimento do segmento do eixo (na escala selecionada) contido entre a origem do eixo e a projeção do ponto neste eixo. Este número é tomado com sinal de mais se a projeção do ponto estiver localizada na direção do eixo de sua origem e com sinal de menos se na direção oposta.
3. Projeção do vetor no eixo.
A projeção de um vetor sobre um eixo é um vetor obtido multiplicando a projeção escalar de um vetor sobre este eixo e o vetor unitário deste eixo. Por exemplo, se a x é a projeção escalar do vetor a no eixo X, então a x ·i é a sua projeção vetorial neste eixo.
Denotemos a projeção do vetor da mesma forma que o próprio vetor, mas com o índice do eixo no qual o vetor é projetado. Assim, denotamos a projeção vetorial do vetor a no eixo X como a x (letra em negrito denotando o vetor e o subscrito do nome do eixo) ou
(uma letra em negrito denotando um vetor, mas com uma seta no topo (!) e um subscrito para o nome do eixo).
Projeção escalar vetor por eixo é chamado número, cujo valor absoluto é igual ao comprimento do segmento do eixo (na escala selecionada) delimitado entre as projeções do ponto inicial e o ponto final do vetor. Geralmente em vez da expressão projeção escalar eles simplesmente dizem - projeção. A projeção é denotada pela mesma letra do vetor projetado (em escrita normal, sem negrito), com índice inferior (via de regra) do nome do eixo sobre o qual esse vetor é projetado. Por exemplo, se um vetor for projetado no eixo X A, então sua projeção é denotada por um x. Ao projetar o mesmo vetor em outro eixo, se o eixo for Y, sua projeção será denotada como y.
Para calcular a projeção vetor em um eixo (por exemplo, o eixo X), é necessário subtrair a coordenada do ponto inicial da coordenada do seu ponto final, ou seja
a x = x k − x n.
A projeção de um vetor em um eixo é um número. Além disso, a projeção pode ser positiva se o valor x k for maior que o valor x n,
negativo se o valor x k for menor que o valor x n
e igual a zero se x k for igual a x n.
A projeção de um vetor sobre um eixo também pode ser encontrada conhecendo-se o módulo do vetor e o ângulo que ele forma com esse eixo.
Pela figura fica claro que a x = a Cos α
Ou seja, a projeção do vetor no eixo é igual ao produto do módulo do vetor e o cosseno do ângulo entre a direção do eixo e direção do vetor. Se o ângulo for agudo, então
Cos α > 0 e a x > 0, e, se obtuso, então o cosseno do ângulo obtuso é negativo, e a projeção do vetor no eixo também será negativa.
Os ângulos medidos a partir do eixo no sentido anti-horário são considerados positivos e os ângulos medidos ao longo do eixo são negativos. Porém, como o cosseno é uma função par, ou seja, Cos α = Cos (− α), no cálculo das projeções, os ângulos podem ser contados tanto no sentido horário quanto no sentido anti-horário.
Para encontrar a projeção de um vetor em um eixo, o módulo desse vetor deve ser multiplicado pelo cosseno do ângulo entre a direção do eixo e a direção do vetor.
4. Fórmula básica de álgebra vetorial.
Vamos projetar o vetor a nos eixos X e Y sistema retangular coordenadas Vamos encontrar as projeções vetoriais do vetor a nestes eixos:
a x = a x ·i, e y = a y ·j.
Mas de acordo com a regra da adição vetorial
uma = uma x + uma y.
a = a x i + a y j.
Assim, expressamos um vetor em termos de suas projeções e vetores do sistema de coordenadas retangulares (ou em termos de suas projeções vetoriais).
As projeções vetoriais a x e a y são chamadas de componentes ou componentes do vetor a. A operação que realizamos é chamada de decomposição de um vetor ao longo dos eixos de um sistema de coordenadas retangular.
Se o vetor for dado no espaço, então
a = a x i + a y j + a z k.
Esta fórmula é chamada de fórmula básica da álgebra vetorial. Claro, pode ser escrito assim.
Deixe uma linha l e uma linha que a cruza m serem dadas no plano. Projeção vetorial a uma linha reta l paralela a uma linha reta m (ao longo de uma linha reta m) é chamado de vetor (Fig. 1.13, a). Se a linha m for perpendicular à linha l, então a projeção é chamada de ortogonal.
Sejam dados no espaço uma linha reta le um plano que a cruza \rho. Projeção vetorial \vec(a)=\overrightarrow(AB)à linha reta l paralela ao plano \rho (ao longo do plano \rho ) é chamado de vetor \vec(a)_l=\overrightarrow(AB)_l, cujo início é a projeção A_l, o início de A, e o final é a projeção B_l do final B do vetor \overrightarrow(AB)(Fig. 1.13,6). Se o plano \rho for perpendicular à reta l, então a projeção é chamada ortogonal.
Sejam dados no espaço um plano i e uma linha reta que o cruza \rho. Projeção vetorial \vec(a)=\overrightarrow(AB) no plano \rho paralelo à reta m (ao longo da reta m) é chamado de vetor \vec(a)_(\rho)=\overrightarrow(AB)_(\rho), cujo início é a projeção A_(\rho) do início de A, e o final é a projeção B_(\rho) do final B do vetor \overrightarrow(AB)(Fig. 1.14). Se a reta m for perpendicular ao plano \rho, então a projeção é chamada ortogonal.
1. As projeções de um vetor em retas paralelas (ou em planos paralelos) são iguais.
2. As projeções de vetores iguais são iguais.
3. A projeção da soma dos vetores é igual à soma de suas projeções.
4. A projeção do produto de um vetor por um número é igual ao produto desse número pela projeção do vetor, ou seja, a razão dos vetores colineares é igual à razão de suas projeções (se definida).
5. A projeção de uma combinação linear de vetores é igual a uma combinação linear de projeções.
Vamos considerar essas propriedades para projeções de vetores em uma reta l paralela à reta m. Para projeções de vetores em um plano ou em uma reta paralela ao plano, as provas são semelhantes.
Vamos provar a primeira propriedade. Seja \vec(a)_l a projeção do vetor \vec(a) na reta l ao longo da reta m, e \vec(a)_l seja a projeção do vetor \vec(a) na reta l" ao longo da mesma linha m, e as linhas l e l" paralelas (Fig. 1.15). Um quadrilátero formado pela intersecção de um par de retas paralelas l e l" com retas tracejadas paralelas à reta m é um paralelogramo. Portanto, \vec(a)_(l")=\vec(a)_l, ou seja as projeções do mesmo vetor \vec(a) em retas paralelas são iguais.
Vamos provar a segunda propriedade. Sejam vetores iguais dados no plano \overrightarrow(AB) E \overrightarrow(CD), não paralelo à linha reta m (ver Fig. 1.16). Vamos construir vetores iguais a eles \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(AB))\limits_(.) E \mathop(\overrightarrow(C_lD")= \overrightarrow(CD))\limits_(.). Da igualdade \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(C_lD"))\limites_(.) segue-se que o quadrilátero A_lB"D"C_l é um paralelogramo, e os triângulos A_lB"B_l e C_lD"D_l são iguais em lado e dois ângulos adjacentes
\big(A_lB"=C_lD",\qquad \ângulo B"A_lB_l=\ângulo D"C_lD_l,\qquad \ângulo A_lB"B_l=\ângulo C_lD"D_l
como ângulos com lados correspondentemente paralelos). Por isso, \mathop(\overrightarrow(A_lB_l)= \overrightarrow(C_lD_l))\limits_(.), ou seja vetores iguais não paralelos à linha m têm projeções iguais. Se os vetores são paralelos à reta m, então suas projeções também são iguais aos vetores zero. A segunda propriedade foi comprovada.
A prova da terceira propriedade é óbvia para vetores \overrightarrow(AB) e (Fig. 1.17): projeção vetorial \overrightarrow(AC)=\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC) igual à soma das projeções e \overrightarrow(B_lC_l), vetores \overrightarrow(AB) E \overrightarrow(BC), ou seja \overrightarrow(A_lC_l)= \overrightarrow(A_lB_l)+ \overrightarrow(B_lC_l). Para vetores arbitrários \vec(a) e \vec(b) (para os quais o final do vetor \vec(a) não coincide com o início do vetor \vec(b) ) a prova se reduz ao caso considerado para vetores iguais a eles \overrightarrow(AB)=\vec(a) E \overrightarrow(BC)=\vec(b), uma vez que vetores iguais têm projeções iguais (pela segunda propriedade).
A prova da quarta propriedade segue do teorema de Tales (ver Seção B.2). A Figura 1.18 mostra os vetores \overrightarrow(AB) E \overrightarrow(AC)=\lambda\overrightarrow(AB)(\lambda>0) , bem como suas projeções \overrightarrow(A_lB_l) E \overrightarrow(A_lC_l). De acordo com o teorema de Tales \frac(AC)(AB)=\frac(A_lC_l)(A_lB_l)=\lambda, por isso, \overrightarrow(A_lC_l)= \lambda\overrightarrow(A_lB_l), que era o que precisava ser comprovado. No caso de \lambda<0 доказательство аналогичное.
A quinta propriedade das projeções decorre da terceira e da quarta.
Teorema 1.1 (sobre projeções de um vetor em linhas que se cruzam).
1. Se duas retas que se cruzam l_1 e l_2 são dadas no plano, então qualquer vetor \vec(a) no plano pode ser representado exclusivamente como a soma de suas projeções \vec(a)_1 e \vec(a)_2 em essas linhas (as projeções em cada linha reta são feitas ao longo de outra linha reta), ou seja, .
2. Se três retas l_1, l_2 e l_3 são dadas no espaço, cruzando-se em um ponto e não estando no mesmo plano, então qualquer vetor \vec(a) no espaço pode ser representado exclusivamente como a soma de suas projeções \vec(a)_1,\vec(a)_2,\vec(a)_3 nessas linhas (as projeções em cada linha são feitas ao longo de um plano contendo duas outras linhas), ou seja, .
Na verdade, deixe as linhas l_1 e l_2 se cruzarem no ponto O (Fig. 1.19a). Vamos aplicar o vetor \vec(a) ao ponto O, ou seja, considere um vetor \overrightarrow(OA)=\vec(a). Usando a regra do paralelogramo de adição vetorial (ver Seção 1.2), obtemos a igualdade \overrightarrow(OA)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, o que equivale à igualdade sendo provada \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, uma vez que vetores iguais têm projeções iguais (ver propriedade de 2 projeções). A singularidade da representação decorre da singularidade de encontrar as projeções do vetor.
Se o vetor \vec(a) for colinear a uma das retas, por exemplo l_1, então as projeções correspondentes terão a forma: \vec(a)_1=\vec(a),~\vec(a)_2=\vec(o) e igualdade \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2=\vec(a)+\vec(o), obviamente cumprido.
A segunda afirmação é provada de maneira semelhante.
Observação 1.3.
As afirmações contrárias às indicadas no Teorema 1.1 são verdadeiras.
Se um vetor em um plano for igual à soma de dois vetores não colineares, ou seja, \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, então os termos \vec(a)_1 e \vec(a)_2 são projeções do vetor \vec(a) em retas contendo os vetores \vec(a)_1 e \vec(a)_2, respectivamente.
Se um vetor no espaço for igual à soma de três vetores não coplanares, ou seja, \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3, então os termos \vec(a)_,\vec(a)_2 e \vec(a)_3 são as projeções do vetor \vec(a) nas retas que contêm os vetores \vec(a)_,\vec(a)_2,\vec(a)_3 respectivamente.
Na verdade, vamos traçar os vetores a partir de um ponto arbitrário O \overrightarrow(OA)=\vec(a),\,\overrightarrow(OA_1)=\vec(a)_1,\,\overrightarrow(OA_2)=\vec(a)_2,\,\overrightarrow(OA_3)= \vec(a)_3(Fig. 1.19.6). Então da igualdade \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3 segue isso \overrightarrow(OA)=\overrightarrow(OA_1)+\overrightarrow(OA_2)+\overrightarrow(OA_3), ou seja vetor é a diagonal de um paralelepípedo construído sobre vetores (daí a regra do paralelepípedo de adicionar três vetores não coplanares). É por isso \overrightarrow(OA_1),\,\overrightarrow(OA_2),\,\overrightarrow(OA_3)- projeções vetoriais \overrightarrow(OA) nas linhas l_1,\,l_2,\,l_3 (a projeção em cada linha é feita ao longo do plano que passa pelas outras duas linhas). Como vetores iguais \vec(a) e \overrightarrow(OA) têm projeções iguais (propriedade 2), concluímos que as projeções do vetor \vec(a) nas retas l_1,\,l_2,\,l_3 são iguais, respectivamente. Finalmente, as projeções nas retas l_1,\,l_2,\,l_3 são iguais às projeções nas retas paralelas contendo os vetores \vec(a)_1,\,\vec(a)_2,\,\vec(a)_3 respectivamente.
Exemplo 1.5. Se uma reta intercepta os lados AB,~BC,~CA do triângulo ABC (ou sua extensão) nos pontos C_1,~B_1,~C_1, respectivamente, então
\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=1.
Solução. Vamos encontrar a razão entre as projeções dos vetores na linha AB ao longo da linha A_1C_1 (Fig. 1.20). Para fazer isso, através do ponto B traçamos uma linha BB_2 paralela à linha A_1C_1. Pela propriedade de 4 projeções temos:
\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1));~~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (CA_1))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1)).
Multiplicando essas proporções, obtemos \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ), o que equivale à igualdade sendo provada.
Observe que a afirmação provada faz parte do teorema de Menelau.
Exemplo 1.6. Se nos lados AB,~BC,~CA do triângulo ABC os pontos A_1,~B_1,~C_1 são tomados respectivamente de modo que as retas AA_1,~BB_1,~CC_1 se cruzam em um ponto, então
\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=-1.
Solução. Deixe as linhas se cruzarem no ponto Q (Fig. 1.21). Através do ponto C_1 traçamos as linhas C_1B_2 e C_1A_2 paralelas a BB_1 e AA_1, respectivamente. Pela propriedade das projeções (propriedade 4):
\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))=-\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(BC_1));~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1));~~~\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CQ) )(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))
Levando em consideração essas igualdades e as propriedades das relações dos vetores colineares (ver Seção 1.2.1), transformamos os lados esquerdo e direito da última igualdade:
\begin(reunido)\frac(\overrightarrow(CQ))(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\ overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB) )(\overrightarrow(AC_1))\\\frac(\overrightarrow(C_1Q))(\overrightarrow(CQ))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1))=\frac(\overrightarrow( AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(AB_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\left( -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)\end(reunidos)
Vamos escrever o produto dos lados direitos dessas igualdades, levando em consideração que o produto dos lados esquerdos é igual a um:
\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ))\cdot\left(-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)=-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac( \overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AB))= -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow( CB_1))=1
Vamos encontrar a relação inversa \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=-1, que era o que precisava ser comprovado.
Observe que a afirmação provada faz parte do teorema de Ceva.
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