Como é o gráfico de y sen x 3? Lição de matemática. Tópico: "Função y=sin x, suas propriedades e gráfico"

Aula e apresentação sobre o tema: "Função y=sin(x). Definições e propriedades"

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O que estudaremos:

• Propriedades da função Y=sin(X).
• Gráfico de função.
• Como construir um gráfico e sua escala.
• Exemplos.

Propriedades do seno. Y = pecado (X)

Pessoal, já conhecemos as funções trigonométricas de um argumento numérico. Você se lembra deles?

Vamos dar uma olhada mais de perto na função Y=sin(X)

Vamos anotar algumas propriedades desta função:
1) O domínio de definição é o conjunto dos números reais.
2) A função é ímpar. Vamos lembrar a definição de uma função ímpar. Uma função é chamada ímpar se a igualdade for válida: y(-x)=-y(x). Como lembramos das fórmulas fantasmas: sin(-x)=-sin(x). A definição é cumprida, o que significa que Y=sin(X) é uma função ímpar.
3) A função Y=sin(X) aumenta no segmento e diminui no segmento [π/2; π]. Quando avançamos no primeiro quarto (sentido anti-horário), a ordenada aumenta e quando avançamos no segundo quarto ela diminui.

4) A função Y=sin(X) é limitada por baixo e por cima. Está Propriedade decorre do fato de que
-1 ≤ pecado(X) ≤ 1
5) O menor valor da função é -1 (em x = - π/2+ πk). O maior valor da função é 1 (em x = π/2+ πk).

Vamos usar as propriedades 1 a 5 para representar graficamente a função Y=sin(X). Construiremos nosso gráfico sequencialmente, aplicando nossas propriedades. Vamos começar a construir um gráfico no segmento.

Atenção especial Vale a pena prestar atenção na escala. No eixo das ordenadas é mais conveniente tomar um segmento unitário igual a 2 células, e no eixo das abcissas é mais conveniente tomar um segmento unitário (duas células) igual a π/3 (ver figura).

Traçando a função seno x, y=sin(x)

Vamos calcular os valores da função em nosso segmento:

Vamos construir um gráfico utilizando nossos pontos, levando em consideração a terceira propriedade.

Tabela de conversão para fórmulas fantasmas

Vamos usar a segunda propriedade, que diz que nossa função é ímpar, o que significa que ela pode ser refletida simetricamente em relação à origem:

Sabemos que sin(x+ 2π) = sin(x). Isso significa que no intervalo [- π; π] o gráfico parece igual ao segmento [π; 3π] ou ou [-3π; -π] e assim por diante. Tudo o que precisamos fazer é redesenhar cuidadosamente o gráfico da figura anterior ao longo de todo o eixo x.

O gráfico da função Y=sin(X) é chamado de senóide.

Vamos escrever mais algumas propriedades de acordo com o gráfico construído:
6) A função Y=sin(X) aumenta em qualquer segmento da forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k é um número inteiro e decresce em qualquer segmento da forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – inteiro.
7) A função Y=sin(X) é uma função contínua. Vamos olhar o gráfico da função e ter certeza de que nossa função não possui quebras, isso significa continuidade.
8) Faixa de valores: segmento [- 1; 1]. Isso também é claramente visível no gráfico da função.
9) Função Y=sin(X) - função periódica. Vejamos o gráfico novamente e vejamos que a função assume os mesmos valores em determinados intervalos.

Exemplos de problemas com seno

1. Resolva a equação sin(x)= x-π

Solução: Vamos construir 2 gráficos da função: y=sin(x) e y=x-π (ver figura).
Nossos gráficos se cruzam em um ponto A(π;0), esta é a resposta: x = π

2. Faça um gráfico da função y=sin(π/6+x)-1

Solução: O gráfico desejado será obtido movendo o gráfico da função y=sin(x) π/6 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo.

Solução: Vamos traçar a função e considerar nosso segmento [π/2; 5π/4].
O gráfico da função mostra que os maiores e menores valores são alcançados nas extremidades do segmento, nos pontos π/2 e 5π/4, respectivamente.
Resposta: sin(π/2) = 1 – o maior valor, sin(5π/4) = o menor valor.

Problemas senoidais para solução independente

• Resolva a equação: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Faça um gráfico da função y=sin(π/3+x)-2
• Faça um gráfico da função y=sin(-2π/3+x)+1
• Encontre o maior e o menor valor da função y=sin(x) no segmento
• Encontre o maior e o menor valor da função y=sin(x) no intervalo [- π/3; 5π/6]

>>Matemática: Funções y = sin x, y = cos x, suas propriedades e gráficos

Funções y = sin x, y = cos x, suas propriedades e gráficos

Nesta seção discutiremos algumas propriedades das funções y = pecado x,y= cos x e construa seus gráficos.

1. Função y = sen X.

Acima, no § 20, formulamos uma regra que permite que cada número t seja associado a um número de custo t, ou seja, caracterizou a função y = sin t. Observemos algumas de suas propriedades.

Propriedades da função u = sin t.

O domínio de definição é o conjunto K de números reais.
Isto decorre do fato de que qualquer número 2 corresponde a um ponto M(1) no círculo numérico, que tem uma ordenada bem definida; esta ordenada é o custo.

u = sin t é uma função ímpar.

Isto decorre do fato de que, como foi provado no § 19, para qualquer t a igualdade
Isto significa que o gráfico da função u = sin t, como o gráfico de qualquer função ímpar, é simétrico em relação à origem das coordenadas em sistema retangular coordenadas tOi.

A função u = sin t aumenta no intervalo
Isso decorre do fato de que quando um ponto se move ao longo do primeiro quarto do círculo numérico, a ordenada aumenta gradualmente (de 0 a 1 - veja a Fig. 115), e quando o ponto se move ao longo do segundo quarto do círculo numérico, o ordenada diminui gradualmente (de 1 a 0 - ver Fig. 116).

A função u = sint é limitada abaixo e acima. Isto decorre do fato de que, como vimos no § 19, para qualquer t a desigualdade é válida

(a função atinge este valor em qualquer ponto da forma (a função atinge este valor em qualquer ponto da forma
Usando as propriedades obtidas, construiremos um gráfico da função que nos interessa. Mas (atenção!) em vez de u - sin t escreveremos y = sin x (afinal, estamos mais acostumados a escrever y = f(x), e não u = f(t)). Isso significa que construiremos um gráfico no sistema de coordenadas xOy usual (e não tOy).

Vamos fazer uma tabela dos valores da função y - sen x:

Comente.

Aqui está uma das versões da origem do termo “seno”. Em latim, sinus significa dobrar (corda de arco).

O gráfico construído justifica até certo ponto esta terminologia.

A linha que serve de gráfico da função y = sin x é chamada de onda senoidal. A parte da senóide mostrada na Fig. 118 ou 119 é chamada de onda senoidal, e a parte da onda senoidal mostrada na Fig. 117, é chamada de meia onda ou arco de onda senoidal.

2. Função y = cos x.

O estudo da função y = cos x poderia ser realizado aproximadamente de acordo com o mesmo esquema que foi usado acima para a função y = sin x. Mas escolheremos o caminho que leva à meta mais rápido. Primeiro, provaremos duas fórmulas que são importantes por si mesmas (você verá isso no ensino médio), mas que por enquanto têm apenas significado auxiliar para nossos propósitos.

Para qualquer valor de t as seguintes igualdades são válidas:

Prova. Deixe o número t corresponder ao ponto M do círculo numérico n, e o número * + - ponto P (Fig. 124; por uma questão de simplicidade, pegamos o ponto M no primeiro trimestre). Os arcos AM e BP são iguais, e os triângulos retângulos OKM e OLBP são correspondentemente iguais. Isso significa OK = Ob, MK = Pb. Destas igualdades e da localização dos triângulos OCM e OBP no sistema de coordenadas, tiramos duas conclusões:

1) a ordenada do ponto P coincide em valor absoluto e sinal com a abcissa do ponto M; significa que

2) a abcissa do ponto P é igual em valor absoluto à ordenada do ponto M, mas difere dela em sinal; significa que

Aproximadamente o mesmo raciocínio é realizado nos casos em que o ponto M não pertence ao primeiro trimestre.
Vamos usar a fórmula (esta é a fórmula comprovada acima, mas em vez da variável t usamos a variável x). O que esta fórmula nos dá? Isso nos permite afirmar que as funções

são idênticos, o que significa que seus gráficos coincidem.
Vamos traçar a função Para fazer isso, vamos passar para sistema auxiliar coordenadas com a origem no ponto (a linha pontilhada é desenhada na Fig. 125). Vamos associar a função y = sin x a novo sistema coordenadas - este será o gráfico da função (Fig. 125), ou seja, gráfico da função y - cos x. Ela, como o gráfico da função y = sin x, é chamada de onda senoidal (o que é bastante natural).

Propriedades da função y = cos x.

y = cos x é uma função par.

As etapas de construção são mostradas na Fig. 126:

1) construir um gráfico da função y = cos x (mais precisamente, uma meia onda);
2) alongando o gráfico construído a partir do eixo x com um fator de 0,5, obtemos uma meia onda do gráfico requerido;
3) usando a meia onda resultante, construímos o gráfico completo da função y = 0,5 cos x.

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Descobrimos que o comportamento das funções trigonométricas e das funções y = pecado x em particular, em toda a reta numérica (ou para todos os valores do argumento X) é completamente determinado pelo seu comportamento no intervalo 0 < X < π / 2 .

Portanto, em primeiro lugar, traçaremos a função y = pecado x exatamente neste intervalo.

Vamos fazer a seguinte tabela de valores da nossa função;

Marcando os pontos correspondentes no plano coordenado e conectando-os com uma linha suave, obtemos a curva mostrada na figura

A curva resultante também poderia ser construída geometricamente, sem compilar uma tabela de valores de função y = pecado x .

1. Divida em 8 partes iguais o primeiro quarto de um círculo de raio 1. As ordenadas dos pontos divisores do círculo são os senos dos ângulos correspondentes.

2. O primeiro quarto do círculo corresponde aos ângulos de 0 a π / 2 . Portanto, no eixo X Vamos pegar um segmento e dividi-lo em 8 partes iguais.

3. Vamos desenhar linhas retas paralelas aos eixos X, e a partir dos pontos de divisão construímos perpendiculares até que se cruzem com linhas horizontais.

4. Conecte os pontos de intersecção com uma linha suave.

Agora vamos olhar para o intervalo π / 2 < X < π .
Cada valor de argumento X deste intervalo pode ser representado como

x = π / 2 + φ

Onde 0 < φ < π / 2 . De acordo com fórmulas de redução

pecado( π / 2 + φ ) = porque φ = pecado ( π / 2 - φ ).

Pontos do eixo X com abscissas π / 2 + φ E π / 2 - φ simétricos entre si em relação ao ponto do eixo X com abscissa π / 2 , e os senos nesses pontos são iguais. Isso nos permite obter um gráfico da função y = pecado x no intervalo [ π / 2 , π ] simplesmente exibindo simetricamente o gráfico desta função no intervalo relativo à linha reta X = π / 2 .

Agora usando a propriedade função de paridade ímpar y = pecado x,

pecado(- X) = - pecado X,

é fácil traçar esta função no intervalo [- π , 0].

A função y = sin x é periódica com período de 2π ;. Portanto, para construir todo o gráfico desta função, basta continuar a curva mostrada na figura à esquerda e à direita periodicamente com um período 2π .

A curva resultante é chamada sinusóide . Representa o gráfico da função y = pecado x.

A figura ilustra bem todas as propriedades da função y = pecado x , o que já provamos anteriormente. Vamos relembrar essas propriedades.

1) Função y = pecado x definido para todos os valores X , então seu domínio é o conjunto de todos os números reais.

2) Função y = pecado x limitado. Todos os valores que aceita estão entre -1 e 1, incluindo esses dois números. Consequentemente, a faixa de variação desta função é determinada pela desigualdade -1 < no < 1. Quando X = π / 2 + 2k π função leva valores mais altos, igual a 1, e para x = - π / 2 + 2k π - os menores valores iguais a -1.

3) Função y = pecado x é ímpar (a sinusóide é simétrica em relação à origem).

4) Função y = pecado x periódico com período 2 π .

5) Em intervalos de 2n π < x < π + 2n π (n é qualquer número inteiro) é positivo e em intervalos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k é qualquer número inteiro) é negativo. Em x = k π a função vai para zero. Portanto, esses valores do argumento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) são chamados de zeros de função y = pecado x

6) Em intervalos - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π função y = pecado x aumenta monotonicamente e em intervalos π / 2 + 2k π < X < 3π/ 2 + 2k π diminui monotonicamente.

Você deve prestar atenção especial ao comportamento da função y = pecado x perto do ponto X = 0 .

Por exemplo, pecado 0,012 ≈ 0,012; pecado (-0,05) ≈ -0,05;

pecado 2° = pecado π 2 / 180 = pecado π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ao mesmo tempo, deve-se notar que para quaisquer valores de x

| pecado x| < | x | . (1)

Na verdade, seja o raio do círculo mostrado na figura igual a 1,
a / AOB = X.

Então pecar x= CA. Mas AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. O comprimento deste arco é obviamente igual a X, já que o raio do círculo é 1. Então, em 0< X < π / 2

pecado x< х.

Portanto, devido à estranheza da função y = pecado x é fácil mostrar que quando - π / 2 < X < 0

| pecado x| < | x | .

Finalmente, quando x = 0

| pecado x | = | x |.

Assim, para | X | < π / 2 a desigualdade (1) foi comprovada. Na verdade, esta desigualdade também é verdadeira para | x | > π / 2 devido ao fato de que | pecado X | < 1, um π / 2 > 1

Exercícios

1.De acordo com o gráfico da função y = pecado x determine: a) pecado 2; b) pecado 4; c) pecado (-3).

2.De acordo com o gráfico da função y = pecado x determine qual número do intervalo
[ - π / 2 , π / 2 ] tem seno igual a: a) 0,6; b) -0,8.

3. De acordo com o gráfico da função y = pecado x determinar quais números têm um seno;
igual a 1/2.

4. Encontre aproximadamente (sem usar tabelas): a) sen 1°; b) pecado 0,03;
c) pecado (-0,015); d) sen (-2°30").

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

O ferro enferruja sem encontrar utilidade,
água parada apodrece ou congela no frio,
e a mente de uma pessoa, não encontrando utilidade para si mesma, definha.
Leonardo da Vinci

Tecnologias utilizadas: aprendizagem baseada em problemas, pensamento crítico, comunicação comunicativa.

Metas:

• Desenvolvimento do interesse cognitivo na aprendizagem.
• Estudando as propriedades da função y = sin x.
• Formação de competências práticas na construção de um gráfico da função y = sin x com base no material teórico estudado.

Tarefas:

1. Utilizar o potencial de conhecimento existente sobre as propriedades da função y = sin x em situações específicas.

2. Aplicar o estabelecimento consciente de conexões entre modelos analíticos e geométricos da função y = sin x.

Desenvolver iniciativa, uma certa vontade e interesse em encontrar uma solução; a capacidade de tomar decisões, não parar por aí e defender seu ponto de vista.

Promover nos alunos a atividade cognitiva, o sentido de responsabilidade, o respeito mútuo, a compreensão mútua, o apoio mútuo e a autoconfiança; cultura da comunicação.

Durante as aulas

Estágio 1. Atualizando conhecimentos básicos, motivando o aprendizado de novos materiais

"Entrando na aula."

Existem 3 declarações escritas no quadro:

1. A equação trigonométrica sin t = a sempre tem soluções.
2. O gráfico de uma função ímpar pode ser construído usando uma transformação de simetria em torno do eixo Oy.
3. Agendar função trigonométrica pode ser construído usando uma meia onda principal.

Os alunos discutem em pares: as afirmações são verdadeiras? (1 minuto). Os resultados da discussão inicial (sim, não) são então inseridos na tabela na coluna “Antes”.

O professor define as metas e objetivos da aula.

2. Atualizando conhecimentos (frontalmente em um modelo de círculo trigonométrico).

Já nos familiarizamos com a função s = sin t.

1) Quais valores a variável pode assumir. Qual é o escopo desta função?

2) Em que intervalo estão contidos os valores da expressão sin t? Encontre os maiores e menores valores da função s = sin t.

3) Resolva a equação sen t = 0.

4) O que acontece com a ordenada de um ponto à medida que ele se move ao longo do primeiro quarto? (a ordenada aumenta). O que acontece com a ordenada de um ponto à medida que ele se move ao longo do segundo quarto? (a ordenada diminui gradualmente). Como isso se relaciona com a monotonicidade da função? (a função s = sin t aumenta no segmento e diminui no segmento ).

5) Vamos escrever a função s = sin t na forma y = sin x que nos é familiar (vamos construí-la no sistema de coordenadas xOy usual) e compilar uma tabela dos valores desta função.

X	0
no	0			1			0

Etapa 2. Percepção, compreensão, consolidação primária, memorização involuntária

Etapa 4. Sistematização primária de conhecimentos e métodos de atividade, sua transferência e aplicação em novas situações

6. Nº 10.18 (b,c)

Etapa 5. Controle final, correção, avaliação e autoavaliação

7. Voltamos às afirmações (início da lição), discutimos o uso das propriedades da função trigonométrica y = sin x e preenchemos a coluna “Depois” da tabela.

8. D/z: cláusula 10, Nº 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Nesta lição, daremos uma olhada detalhada na função y = sin x, suas propriedades básicas e gráfico. No início da lição, daremos a definição da função trigonométrica y = sin t no círculo coordenado e consideraremos o gráfico da função no círculo e na reta. Vamos mostrar a periodicidade desta função no gráfico e considerar as principais propriedades da função. Ao final da lição, resolveremos vários problemas simples utilizando o gráfico de uma função e suas propriedades.

Tópico: Funções trigonométricas

Lição: Função y=sinx, suas propriedades básicas e gráfico

Ao considerar uma função, é importante associar cada valor de argumento a um único valor de função. Esse lei da correspondência e é chamada de função.

Vamos definir a lei de correspondência para.

Qualquer número real corresponde a um único ponto no círculo unitário.Um ponto possui uma única ordenada, que é chamada de seno do número (Fig. 1).

Cada valor de argumento está associado a um único valor de função.

Propriedades óbvias decorrem da definição de seno.

A figura mostra que porque é a ordenada de um ponto no círculo unitário.

Considere o gráfico da função. Recordemos a interpretação geométrica do argumento. O argumento é o ângulo central, medido em radianos. Ao longo do eixo vamos traçar numeros reais ou ângulos em radianos, ao longo do eixo os valores da função correspondentes.

Por exemplo, um ângulo no círculo unitário corresponde a um ponto no gráfico (Fig. 2)

Obtivemos um gráfico da função na área, mas conhecendo o período do seno, podemos representar o gráfico da função em todo o domínio de definição (Fig. 3).

O período principal da função é Isso significa que o gráfico pode ser obtido em um segmento e depois continuado ao longo de todo o domínio de definição.

Considere as propriedades da função:

1) Escopo de definição:

2) Faixa de valores:

3) Função ímpar:

4) Menor período positivo:

5) Coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo das abcissas:

6) Coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas:

7) Intervalos em que a função assume valores positivos:

8) Intervalos em que a função assume valores negativos:

9) Intervalos crescentes:

10) Intervalos decrescentes:

11) Pontos mínimos:

12) Funções mínimas:

13) Máximo de pontos:

14) Funções máximas:

Vimos as propriedades da função e seu gráfico. As propriedades serão usadas repetidamente na resolução de problemas.

Bibliografia

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7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra e princípios de análise (um manual para alunos do 10º ao 11º ano de instituições de ensino geral) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karpa A.P. Coleção de problemas de álgebra e princípios de análise: livro didático. subsídio para 10-11 séries. com profundidade estudado Matemática.-M.: Educação, 2006.

Trabalho de casa

Álgebra e início de análise, nota 10 (em duas partes). Livro de problemas para instituições de ensino (nível de perfil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos adicionais da web

3. Portal educacional para se preparar para os exames ().