Neste artigo, consideraremos mais duas tarefas típicas que são frequentemente encontradas em trabalho de controle sobre matemática superior. Para dominar com sucesso o material, é necessário encontrar derivadas pelo menos em um nível médio. Você pode aprender a encontrar derivativos quase do zero em dois lições básicas e Derivada de uma função complexa. Se tudo estiver em ordem com as habilidades de diferenciação, então vamos.
Ou, em resumo, a derivada de uma função implícita. O que é uma função implícita? Vamos primeiro relembrar a própria definição de uma função de uma variável:
Função de uma variávelé a regra de que cada valor da variável independente corresponde a um e apenas um valor da função.
A variável é chamada variável independente ou argumento.
A variável é chamada variável dependente ou função
.
Até agora, consideramos funções definidas em explícito Formato. O que isto significa? Vamos organizar um debriefing sobre exemplos específicos.
Considere a função
Vemos que à esquerda temos um “y” solitário e à direita - apenas x. Ou seja, a função explicitamente expresso em termos da variável independente .
Vamos considerar outra função:
Aqui as variáveis e estão localizadas "misturadas". E impossível de qualquer maneira expressar "Y" apenas por meio de "X". Quais são esses métodos? Transferir termos de parte para parte com mudança de sinal, colchetes, fatores de lançamento de acordo com a regra da proporção, etc. Reescreva a igualdade e tente expressar “y” explicitamente:. Você pode torcer e virar a equação por horas, mas não terá sucesso.
Permitam-me apresentar: - um exemplo função implícita.
No curso da análise matemática, provou-se que a função implícita existe(mas nem sempre), tem um gráfico (como uma função "normal"). É o mesmo para uma função implícita. existe primeira derivada, segunda derivada, etc. Como dizem, todos os direitos das minorias sexuais são respeitados.
E nesta lição aprenderemos como encontrar a derivada de uma função dada implicitamente. Não é tão difícil! Todas as regras de diferenciação, a tabela de derivadas de funções elementares permanecem em vigor. A diferença está em um ponto peculiar, que vamos considerar agora.
Sim, eu vou deixar você saber boas notícias- as tarefas discutidas abaixo são executadas de acordo com um algoritmo bastante rígido e claro, sem uma pedra na frente de três faixas.
Exemplo 1
1) Na primeira etapa, penduramos traços em ambas as partes:
2) Usamos as regras de linearidade da derivada (as duas primeiras regras da lição Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções):
3) Diferenciação direta.
Como diferenciar e completamente compreensível. O que fazer onde há “jogos” sob os traços?
- apenas para desonrar, a derivada de uma função é igual a sua derivada: .
Como diferenciar
Aqui temos função complexa. Por quê? Parece que sob o seno há apenas uma letra "Y". Mas, o fato é que apenas uma letra "y" - É UMA FUNÇÃO EM SI(veja a definição no início da lição). Assim, o seno é uma função externa, é uma função interna. Usamos a regra de derivação de uma função complexa 
:
O produto é diferenciável de acordo com a regra usual 
:
Observe que também é uma função complexa, qualquer “brinquedo de torção” é uma função complexa:
O design da solução em si deve ser algo assim:
Se houver colchetes, abra-os:
4) No lado esquerdo, coletamos os termos em que há um “y” com um traço. NO lado direito- transferimos todo o resto:
5) No lado esquerdo, tiramos a derivada dos colchetes:
6) E de acordo com a regra da proporção, colocamos esses colchetes no denominador do lado direito:
A derivada foi encontrada. Preparar.
É interessante notar que qualquer função pode ser reescrita implicitamente. Por exemplo, a função 
pode ser reescrito assim: 
. E diferenciá-lo de acordo com o algoritmo que acabamos de considerar. De fato, as frases "função implícita" e "função implícita" diferem em uma nuance semântica. A frase "função implicitamente definida" é mais geral e correta, 
- esta função é dada implicitamente, mas aqui você pode expressar "y" e apresentar a função explicitamente. A frase "função implícita" significa uma função implícita "clássica", quando "y" não pode ser expresso.
A segunda maneira de resolver
Atenção! Você pode se familiarizar com o segundo método somente se souber como encontrar com confiança derivadas parciais. Iniciantes e leigos em cálculo, por favor não leia e pule este parágrafo, caso contrário, a cabeça ficará uma bagunça completa.
Encontre a derivada da função implícita da segunda maneira.
Movemos todos os termos para o lado esquerdo:
E considere uma função de duas variáveis:
Então nossa derivada pode ser encontrada pela fórmula
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Nesse caminho:
A segunda solução permite realizar uma verificação. Mas é indesejável elaborar uma versão final da tarefa para ele, pois as derivadas parciais são dominadas mais tarde, e um aluno que estuda o tópico “Derivada de uma função de uma variável” não deve conhecer derivadas parciais.
Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 2
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente
Penduramos traços em ambas as partes:
Usamos as regras de linearidade:
Encontrando derivadas:
Expandindo todos os parênteses:
Transferimos todos os termos para o lado esquerdo, o resto - para o lado direito:
Resposta final: 
Exemplo 3
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente 
Solução completa e amostra de design no final da lição.
Não é incomum que as frações apareçam após a diferenciação. Nesses casos, as frações devem ser descartadas. Vejamos mais dois exemplos.
Exemplo 4
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente 
Concluímos ambas as partes sob traços e usamos a regra da linearidade: 
Diferenciamos usando a regra de diferenciação de uma função complexa 
e a regra de diferenciação do quociente 
:
Expandindo os colchetes: 
Agora precisamos nos livrar da fração. Isso pode ser feito mais tarde, mas é mais racional fazê-lo imediatamente. O denominador da fração é . Multiplicar no . Em detalhes, ficará assim:
Às vezes, após a diferenciação, aparecem 2-3 frações. Se tivéssemos mais uma fração, por exemplo, a operação teria que ser repetida - multiplique cada termo de cada parte no
No lado esquerdo, colocamos entre colchetes:
Resposta final: 
Exemplo 5
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente
Este é um exemplo de faça você mesmo. A única coisa nele, antes de se livrar da fração, primeiro você precisará se livrar da estrutura de três andares da própria fração. Solução completa e resposta no final da lição.
Não se esforce, também neste parágrafo, tudo é bastante simples. Você pode escrever a fórmula geral de uma função dada parametricamente, mas, para ficar claro, escreverei imediatamente exemplo específico. Na forma paramétrica, a função é dada por duas equações: . Muitas vezes, as equações não são escritas entre chaves, mas sequencialmente:,.
A variável é chamada de parâmetro e pode levar valores de "menos infinito" a "mais infinito". Considere, por exemplo, o valor e substitua-o em ambas as equações: 
. Ou humanamente: "se x é igual a quatro, então y é igual a um". No plano de coordenadas você pode marcar um ponto, e este ponto corresponderá ao valor do parâmetro. Da mesma forma, você pode encontrar um ponto para qualquer valor do parâmetro "te". Quanto à função "comum", para os índios americanos de uma função dada parametricamente, todos os direitos também são respeitados: você pode traçar um gráfico, encontrar derivadas e assim por diante. A propósito, se houver necessidade de construir um gráfico de uma função dada parametricamente, você pode usar meu programa.
Nos casos mais simples, é possível representar a função explicitamente. Expressamos o parâmetro da primeira equação: 
e substitua na segunda equação: 
. O resultado é uma função cúbica ordinária.
Em casos mais "graves", esse truque não funciona. Mas isso não importa, porque existe uma fórmula para encontrar a derivada de uma função paramétrica:
Encontramos a derivada de "o jogador em relação à variável te":
Todas as regras de diferenciação e a tabela de derivadas são válidas, claro, para a letra , portanto, não há novidade no processo de encontrar derivativos. Apenas substitua mentalmente todos os "x"s na tabela pela letra "te".
Encontramos a derivada de "x em relação à variável te": 
Agora só resta substituir as derivadas encontradas em nossa fórmula: 
Preparar. A derivada, como a própria função, também depende do parâmetro .
Quanto à notação, em vez de escrever na fórmula, pode-se simplesmente escrevê-la sem subscrito, pois esta é a derivada “ordinária” “por x”. Mas sempre há uma variante na literatura, então não vou me desviar do padrão.
Exemplo 6
Usamos a fórmula
NO este caso:
Nesse caminho: 
Uma característica de encontrar a derivada de uma função paramétrica é o fato de que a cada passo, é vantajoso simplificar o resultado tanto quanto possível. Então, no exemplo considerado, ao encontrar, abri os colchetes sob a raiz (embora eu possa não ter feito isso). Há uma grande chance de que ao substituir e entrar na fórmula, muitas coisas sejam bem reduzidas. Embora existam, é claro, exemplos com respostas desajeitadas.
Exemplo 7
Encontre a derivada de uma função dada parametricamente 
Este é um exemplo de faça você mesmo.
No artigo Os problemas típicos mais simples com uma derivada consideramos exemplos em que era necessário encontrar a segunda derivada de uma função. Para uma função dada parametricamente, você também pode encontrar a segunda derivada, e ela é encontrada pela seguinte fórmula: . É bastante óbvio que, para encontrar a segunda derivada, é preciso primeiro encontrar a primeira derivada.
Exemplo 8
Encontre a primeira e a segunda derivada de uma função dada parametricamente
Vamos encontrar a primeira derivada primeiro.
Usamos a fórmula
Nesse caso: 
Substituímos as derivadas encontradas na fórmula. Por uma questão de simplicidade, usamos a fórmula trigonométrica: 
A função pode ser definida de várias maneiras. Depende da regra que é usada ao defini-la. A forma explícita da definição da função é y = f (x) . Há casos em que sua descrição é impossível ou inconveniente. Se houver um conjunto de pares (x; y) que precisam ser calculados para o parâmetro t no intervalo (a; b). Para resolver o sistema x = 3 cos t y = 3 sen t com 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Portanto, temos que x = φ (t) , y = ψ (t) são definidos para t ∈ (a ; b) e temos função inversa t = Θ(x) para x = φ(t), então em questão sobre como definir uma equação paramétrica de uma função da forma y = ψ (Θ (x)) .
Há casos em que, para estudar uma função, é necessário procurar a derivada em relação a x. Considere a fórmula para a derivada de uma função dada parametricamente da forma y x " = ψ " (t) φ " (t) , vamos falar sobre a derivada de 2ª e nª ordem.
Temos que x = φ (t) , y = ψ (t) , definido e diferenciável para t ∈ a ; b , onde x t " = φ " (t) ≠ 0 ex = φ (t) , então existe uma função inversa da forma t = Θ (x) .
Para começar, você deve passar de uma tarefa paramétrica para uma explícita. Para fazer isso, você precisa obter uma função complexa da forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , onde há um argumento x .
Com base na regra para encontrar a derivada de uma função complexa, obtemos que y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.
Isso mostra que t = Θ (x) e x = φ (t) são funções inversas da fórmula da função inversa Θ "(x) = 1 φ" (t) , então y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Vamos considerar a resolução de vários exemplos usando uma tabela de derivadas de acordo com a regra de diferenciação.
Exemplo 1
Encontre a derivada para a função x = t 2 + 1 y = t .
Solução
Por condição, temos que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, portanto obtemos que φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. É necessário usar a fórmula derivada e escrever a resposta na forma:
y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t
Responda: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Ao trabalhar com a derivada de uma função, o parâmetro t especifica a expressão do argumento x através do mesmo parâmetro t para não perder a conexão entre os valores da derivada e a função especificada parametricamente com o argumento ao qual estes os valores correspondem.
Para determinar a derivada de segunda ordem de uma função dada parametricamente, você precisa usar a fórmula para a derivada de primeira ordem na função resultante, então temos que
y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t)φ"(t) - ψ"(t)φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .
Exemplo 2
Encontre as derivadas de 2ª e 2ª ordem da função dada x = cos (2 t) y = t 2 .
Solução
Por condição, obtemos que φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Então depois da transformação
φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sen (2 t) 2 t " \u003d - 2 sen (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t
Segue-se que y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sen 2 t = - t sen (2 t) .
Obtemos que a forma da derivada de 1ª ordem é x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Para resolvê-lo, você precisa aplicar a fórmula da derivada de segunda ordem. Obtemos uma expressão como
y x "" \u003d - t sen (2 t) φ "t \u003d - t " sen (2 t) - t (sen (2 t)) " sen 2 (2 t) - 2 sen (2 t) = = 1 sen (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sen 3 (2 t) = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Em seguida, definindo a derivada de 2ª ordem usando a função paramétrica
x = cos (2 t) y x "" = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Uma solução semelhante pode ser resolvida por outro método. Então
φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sen (2 t) 2 t " \u003d - 2 sen (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sen (2 t) " \u003d - 2 sen (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2t)" = 2
Daí obtemos que
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sen (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sen 2 t 3 \u003d \u003d sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Responda: y "" x \u003d sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Da mesma forma, são encontradas derivadas de ordem superior com funções especificadas parametricamente.
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Até agora, consideramos as equações das linhas no plano, que relacionam diretamente as coordenadas atuais dos pontos dessas linhas. No entanto, muitas vezes é usada outra forma de especificar a linha, na qual as coordenadas atuais são consideradas como funções de uma terceira variável.
Sejam dadas duas funções de uma variável
considerado para os mesmos valores de t. Então qualquer um desses valores de t corresponde a um certo valor e um certo valor de y e, consequentemente, a um certo ponto. Quando a variável t percorre todos os valores do domínio das funções (73), o ponto descreve alguma linha C no plano. As equações (73) são chamadas de equações paramétricas dessa linha, e a variável é chamada de parâmetro.
Suponha que a função tenha uma função inversa Substituindo esta função na segunda das equações (73), obtemos a equação
expressando y como uma função
Vamos concordar em dizer que esta função é dada parametricamente pelas equações (73). A transição dessas equações para a equação (74) é chamada de eliminação do parâmetro. Ao considerar funções definidas parametricamente, a exclusão do parâmetro não só não é necessária, como também nem sempre é possível na prática.
Em muitos casos, é muito mais conveniente perguntar Significados diferentes parâmetro, então, usando fórmulas (73), calcule os valores correspondentes do argumento e da função y.
Considere exemplos.
Exemplo 1. Seja um ponto arbitrário de um círculo centrado na origem e raio R. As coordenadas cartesianas x e y deste ponto são expressas em termos de seu raio polar e ângulo polar, que denotamos aqui por t, como segue ( ver Cap. I, § 3, item 3):
As equações (75) são chamadas de equações paramétricas do círculo. O parâmetro neles é o ângulo polar, que varia de 0 a.
Se as equações (75) forem elevadas ao quadrado e somadas termo a termo, então, devido à identidade, o parâmetro é eliminado e obtém-se a equação do círculo no sistema de coordenadas cartesianas, que determina duas funções elementares:
Cada uma dessas funções é especificada parametricamente pelas equações (75), mas as faixas de variação de parâmetros para essas funções são diferentes. Para o primeiro; o gráfico desta função é o semicírculo superior. Para a segunda função, seu gráfico é o semicírculo inferior.
Exemplo 2. Considere uma elipse ao mesmo tempo
e um círculo centrado na origem e raio a (Fig. 138).
A cada ponto M da elipse, associamos um ponto N do círculo, que tem a mesma abcissa que o ponto M, e está localizado com ele do mesmo lado do eixo Ox. A posição do ponto N e, portanto, do ponto M, é completamente determinada pelo ângulo polar t do ponto. Neste caso, para suas abcissas comuns, obtemos a seguinte expressão: x \u003d a. Encontramos a ordenada no ponto M da equação da elipse:
O sinal é escolhido porque a ordenada no ponto M e a ordenada no ponto N devem ter os mesmos sinais.
Assim, as seguintes equações paramétricas são obtidas para a elipse:
Aqui o parâmetro t muda de 0 para .
Exemplo 3. Considere um círculo com centro no ponto a) e raio a, que, obviamente, toca o eixo x na origem (Fig. 139). Suponha que seja esse círculo que rola sem deslizar ao longo do eixo x. Então o ponto M do círculo, que coincidiu no momento inicial com a origem, descreve uma linha, que é chamada de ciclóide.
Derivamos as equações paramétricas da ciclóide, tomando como parâmetro t o ângulo de rotação do círculo MSW ao mover seu ponto fixo da posição O para a posição M. Então para as coordenadas e y do ponto M obtemos as seguintes expressões:
Devido ao fato de que o círculo rola ao longo do eixo sem escorregar, o comprimento do segmento OB é igual ao comprimento do arco VM. Como o comprimento do arco VM é igual ao produto do raio a pelo ângulo central t, então . É por isso . Mas, portanto,
Essas equações são as equações paramétricas da ciclóide. Ao alterar o parâmetro t de 0 para o círculo fará uma volta completa. O ponto M descreverá um arco da ciclóide.
A exclusão do parâmetro t leva aqui a expressões complicadas e é praticamente impraticável.
A definição paramétrica de linhas é especialmente usada na mecânica, e o tempo desempenha o papel de um parâmetro.
Exemplo 4. Determine a trajetória de um projétil disparado de uma arma com velocidade inicial em um ângulo a em relação ao horizonte. A resistência do ar e as dimensões do projétil, considerando-o como ponto material, são desprezadas.
Vamos escolher um sistema de coordenadas. Para a origem das coordenadas, tomamos o ponto de partida do projétil do cano. Vamos direcionar o eixo Ox horizontalmente e o eixo Oy - verticalmente, colocando-os no mesmo plano com o cano da arma. Se não houvesse força gravitacional, então o projétil se moveria ao longo de uma linha reta fazendo um ângulo a com o eixo Ox, e no instante t ele teria percorrido a trajetória. As coordenadas do projétil no instante t seriam respectivamente iguais: . Devido à gravidade da terra, o projétil deve neste momento descer verticalmente por um valor, portanto, na realidade, no instante t, as coordenadas do projétil são determinadas pelas fórmulas:
Essas equações são constantes. Quando t muda, as coordenadas do ponto de trajetória do projétil também mudam. As equações são equações paramétricas da trajetória do projétil, em que o parâmetro é o tempo
Expressando a partir da primeira equação e substituindo-a em
a segunda equação, obtemos a equação da trajetória do projétil na forma Esta é a equação de uma parábola.
Seja a função dada de forma paramétrica:
(1)
onde é alguma variável chamada parâmetro. E deixe que as funções e tenham derivadas em algum valor da variável. Além disso, a função também tem uma função inversa em alguma vizinhança do ponto . Então a função (1) tem uma derivada no ponto, que, de forma paramétrica, é determinada pelas fórmulas:
(2)
Aqui e são derivadas das funções e em relação à variável (parâmetro) . Eles são frequentemente escritos na seguinte forma:
;
.
Então o sistema (2) pode ser escrito da seguinte forma:
Por condição, a função tem uma função inversa. Vamos denotar como
.
Então a função original pode ser representada como uma função complexa:
.
Vamos encontrar sua derivada aplicando as regras de diferenciação de funções complexas e inversas:
.
A regra foi comprovada.
Vamos encontrar a derivada da segunda maneira, com base na definição da derivada da função no ponto:
.
Vamos introduzir a notação:
.
Então a fórmula anterior assume a forma:
.
Vamos usar o fato de que a função tem uma função inversa, na vizinhança do ponto.
Vamos introduzir a notação:
;
;
;
.
Divida o numerador e o denominador da fração por:
.
No , . Então
.
A regra foi comprovada.
Para encontrar derivadas de ordens superiores, é necessário realizar a diferenciação várias vezes. Suponha que precisamos encontrar a segunda derivada de uma função dada de forma paramétrica, da seguinte forma:
(1)
De acordo com a fórmula (2), encontramos a primeira derivada, que também é determinada parametricamente:
(2)
Denote a primeira derivada por meio de uma variável:
.
Então, para encontrar a segunda derivada da função em relação à variável , você precisa encontrar a primeira derivada da função em relação à variável . A dependência de uma variável em uma variável também é especificada de forma paramétrica:
(3)
Comparando (3) com as fórmulas (1) e (2), encontramos:
Agora vamos expressar o resultado em termos das funções e . Para isso, substituímos e aplicamos fórmula de fração :
.
Então
.
A partir daqui, obtemos a segunda derivada da função em relação à variável:
Também é dado de forma paramétrica. Observe que a primeira linha também pode ser escrita da seguinte forma:
.
Continuando o processo, é possível obter derivadas de funções a partir de uma variável de terceira ordem e superior.
Note que é possível não introduzir a notação para a derivada. Pode ser escrito assim:
;
.
Encontre a derivada de uma função dada de forma paramétrica:
Encontramos derivadas de e em relação a .
A partir de tabelas derivadas nós achamos:
;
.
Aplicamos:
.
Aqui .
.
Aqui .
Derivado desejado:
.
Encontre a derivada da função expressa através do parâmetro:
Vamos expandir os colchetes usando as fórmulas para funções de potência e raízes :
.
Encontramos a derivada:
.
Encontramos a derivada. Para fazer isso, introduzimos uma variável e aplicamos fórmula para a derivada de uma função complexa.
.
Encontramos a derivada desejada:
.
Encontre a segunda e terceira derivadas da função dada parametricamente no exemplo 1:
No exemplo 1, encontramos a derivada de primeira ordem:
Vamos introduzir a notação. Então a função é a derivada em relação a . É definido parametricamente:
Para encontrar a segunda derivada em relação a , precisamos encontrar a primeira derivada em relação a .
Diferenciamo-nos em relação a .
.
Encontramos a derivada por no exemplo 1:
.
A derivada de segunda ordem em relação a é igual à derivada de primeira ordem em relação a:
.
Assim, encontramos a derivada de segunda ordem em relação à forma paramétrica:
Agora encontramos a derivada de terceira ordem. Vamos introduzir a notação. Então precisamos encontrar a primeira derivada da função , que é dada de forma paramétrica:
Encontramos a derivada em relação a . Para fazer isso, reescrevemos em uma forma equivalente:
.
A partir de
.
A derivada de terceira ordem em relação a é igual à derivada de primeira ordem em relação a:
.
É possível não introduzir variáveis e , que são derivadas de e , respectivamente. Então você pode escrever assim:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Na representação paramétrica, a derivada de segunda ordem tem a seguinte forma:
Derivada de terceira ordem.
