제시된 비디오 튜토리얼에서 우리는 "mono" 또는 monomial의 정의를 충족하는 표현식으로 다항식을 곱하는 문제를 자세히 고려할 것입니다. 단항식은 다음으로 표현되는 임의의 자유 숫자 값일 수 있습니다. 자연수(어느 정도, 기호가 있음) 또는 일부 변수(유사한 속성이 있음). 다항식은 다항식의 구성원이라고 하는 대수적 요소의 집합이라는 것을 기억할 가치가 있습니다. 때때로 일부 용어는 유사성과 약어로 주어질 수 있습니다. 곱셈 연산 후에 같은 항을 줄이는 절차를 수행하는 것이 좋습니다. 이 경우 최종 답은 다항식의 표준화된 형식이 됩니다.
비디오에서 다음과 같이 단항식에 다항식을 곱하는 과정은 선형 대수와 기하학의 두 가지 위치에서 고려할 수 있습니다. 각면에 다항식을 곱하는 작업을 고려하십시오. 이는 특히 복잡한 문제의 경우 규칙 적용의 보편성에 기여합니다.
대수적으로 말하면, 다항식에 단항식을 곱하는 것은 합계를 곱하는 표준 규칙을 따릅니다. 합계의 각 요소에 주어진 값을 곱하고 결과 값을 대수적으로 더해야 합니다. 모든 다항식은 확장된 대수적 합이라는 것을 이해해야 합니다. 다항식의 각 구성원에 특정 값을 곱한 후 가능한 경우 일반적으로 표준 형식으로 축소되는 새로운 대수 합을 얻습니다.
다항식의 곱셈을 고려하십시오. 이 경우:
3a * (2a 2 + 3c - 3)
여기서 식 (2a 2 + 3c - 3)은 다항식이고 3a는 자유 인수라는 것을 이해하기 쉽습니다. 이 식을 풀려면 다항식의 세 항 각각에 3a를 곱하면 충분합니다.
부호는 오른쪽 변수의 중요한 속성이며 잃어버릴 수 없음을 기억할 가치가 있습니다. 표현식이 시작하는 경우 "+"기호는 원칙적으로 작성되지 않습니다. 숫자식을 곱할 때 변수에 대한 모든 계수는 기본적으로 곱합니다. 동일한 변수가 정도를 증가시킵니다. 다른 변수는 변경되지 않고 하나의 요소에 기록됩니다: a*c = ac. 이러한 간단한 추가 규칙에 대한 지식은 그러한 연습의 정확하고 빠른 솔루션에 기여합니다.
우리는 세 개의 값을 얻었습니다. 이것은 실제로 예에 대한 답인 최종 다항식의 구성원입니다. 다음 값을 대수적으로 추가하기만 하면 됩니다.
6a 3 + 9ac + (-9a) \u003d 6a 3 + 9ac - 9a
이것은 대수적 덧셈이고 정의에 따라 단항식 사이에 더하기 기호가 있기 때문에 기호를 유지하면서 대괄호를 엽니다. 다항식의 결과 표준 형식은 제시된 예에 대한 정답입니다.
다항식에 단항식을 곱하는 기하학적 관점은 직사각형의 면적을 찾는 과정입니다. 측면과 c가 있는 직사각형이 있다고 가정합니다. 그림은 두 개의 세그먼트로 서로 다른 영역의 세 직사각형으로 나누어져 있으므로 변 c는 모두에게 공통되거나 동일합니다. 그리고 변 a1, a2, 3을 합하면 이니셜 a가 됩니다. 직사각형 영역의 공리 정의에서 알 수 있듯이 이 매개변수를 찾으려면 측면을 곱해야 합니다. S = a*c. 또는 S = (a1 + a2 + a3) * s. 다항식(작은 직사각형의 변으로 구성됨)에 단항식(그림의 주요면)을 곱하고 S에 대한 표현식을 얻습니다. a1 * c + a2 * c + a3 * c. 그러나 자세히 보면 이 다항식이 초기 그림을 구성하는 세 개의 작은 직사각형 면적의 합이라는 것을 알 수 있습니다. 실제로 첫 번째 직사각형의 경우 S = a1c(공리를 따름) 등입니다. 대수적으로 다항식을 추가할 때 추론의 정확성은 선형 대수 계산에 의해 확인됩니다. 그리고 기하학적으로 - 하나의 간단한 그림에 영역을 추가하는 규칙.
다항식을 단항식으로 곱하여 조작을 수행할 때 이 경우 단항식과 다항식(일반)의 차수가 추가되고 결과 값은 새 다항식(답변)의 차수임을 기억해야 합니다. .
위의 모든 규칙과 기본 사항 대수 덧셈유사한 용어를 줄이고 요소를 곱하여 전체 다항식을 단순화하는 가장 간단한 표현 단순화의 예에 사용됩니다.
>>수학: 다항식을 단항식으로 곱하기
다항식을 단항식으로 곱하기
지금까지 4장이 3장과 동일한 계획에 따라 구성되었다는 것을 눈치채셨을 것입니다. 두 장 모두에서 기본 개념이 처음 소개되었습니다. 3장에서는 단항식, 단항식의 표준 형식, 계수 단항식의; 4장에서 - 다항식, 다항식의 표준 형식. 그런 다음 3장에서 단항식의 덧셈과 뺄셈을 살펴보았습니다. 마찬가지로 4장에서 다항식의 덧셈과 뺄셈.
3장에서 다음에 무슨 일이 일어났습니까? 그런 다음 우리는 단항식의 곱셈에 대해 이야기했습니다. 이제 유추하여 우리는 무엇에 대해 이야기해야 합니까? 다항식의 곱셈. 그러나 여기서는 천천히 진행해야 합니다. 먼저 (이 단락에서) 다항식의 곱셈을 고려합니다. 단항식(또는 다항식에 의한 단항식은 중요하지 않습니다.) 그런 다음 (다음 단락에서) - 모든 다항식의 곱셈. 초등학교에서 숫자를 곱하는 법을 배웠을 때 점진적으로 행동했습니다. 먼저 여러 자리 수에 한 자리 수를 곱하는 법을 배웠고 그 다음에야 여러 자리 수에 여러 자리 수를 곱했습니다.
(a + b)c \u003d ac + bc.
실시예 1곱셈 수행 2a 2 - Zab) (-5a).
해결책. 새로운 변수를 소개하겠습니다.
x \u003d 2a 2, y \u003d Zab, z \u003d - 5a.
그런 다음 이 제품은 유통 법칙에 따라 xr + yz와 같은 (x + y)z 형식으로 다시 작성됩니다. 이제 이전 변수로 돌아가십시오.
xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a).
단항식의 제품을 찾는 것만 남아 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다.
- 10a 3 + 15a 2 b
우리는 솔루션에 대한 간략한 표기법을 제공합니다(이것은 우리가 미래에 새로운 변수를 도입하지 않고 그것을 작성하는 방법입니다):
(2a 2-Zab) (-5a) \u003d 2a 2 (-5a) + (- Zab) (-5a) \u003d -10a 3 + 15a 2 b.
이제 다항식에 단항식을 곱하는 해당 규칙을 공식화할 수 있습니다.
단항식에 다항식을 곱할 때도 동일한 규칙이 적용됩니다.
- 5a (2a 2 - Zab) \u003d (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) \u003d 10a 3 + 15a 2 b
(예제 1을 사용했지만 요인을 바꿨습니다).
실시예 2다음과 같은 경우 다항식과 단항식의 곱으로 다항식을 표현합니다.
a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;
b) p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zu 2.
해결책.
a) 2x 2 y \u003d 2x xy 및 4a: \u003d 2x 2. 따라서,
2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x
b) 예 a)에서 우리는 다항식 p 1 (x, y) \u003d 2x 2 y + 4a의 각 구성원의 구성에 성공했습니다. 동일한 부분(동일한 인수) 2x를 선택합니다. 여기에는 그러한 공통 부분이 없습니다. 즉, 다항식 p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zy 2 는 다항식과 단항식의 곱으로 나타낼 수 없습니다.
사실, 다항식 p 2 (x, y)는 예를 들어 다음과 같이 곱으로 나타낼 수도 있습니다.
x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) 0.5
또는 다음과 같이:
x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- 다항식에 의한 숫자의 곱이지만 이것은 인위적인 변환이며 큰 필요 없이 사용되지 않습니다.
그건 그렇고, 주어진 다항식을 단항식과 다항식의 곱으로 나타내야 하는 요구 사항은 수학에서 매우 일반적이므로 이 절차에 특별한 이름이 지정되었습니다. 대괄호에서 공통 인수를 빼는 것입니다.
대괄호에서 공통 요소를 빼는 작업은 정확할 수도 있고(예시 2a에서와 같이) 완전히 정확하지 않을 수도 있습니다(예시 26에서처럼). 다음 장에서는 이 문제를 구체적으로 다룰 것입니다.
섹션의 끝에서 우리는 실제로 어떻게 작업하는지 보여줄 문제를 해결할 것입니다. 수학적 모델실제 상황에서는 다항식의 대수적 합을 구성하고 다항식에 단항식을 곱해야 합니다. 그래서 우리는 이러한 작업을 헛되이 연구하지 않습니다.
실시예 3 A, B, C 지점은 그림 3과 같이 고속도로에 있습니다. A와 B 사이의 거리는 16km입니다. 한 보행자가 B에서 C를 향해 떠났다. 2시간 후, 자전거 운전자가 A를 C 방향으로 떠났고 속도는 6km/h입니다. 더 빠른 속도보행자. 출발 4시간 후, 자전거 운전자는 C 지점에서 보행자를 따라 잡았습니다. B에서 C까지의 거리는 얼마입니까?
해결책.
첫 단계.제도 수학적 모델. x km/h를 보행자의 속도라고 하면 (x + 6) km/h는 자전거 타는 사람의 속도입니다.
자전거 운전자는 A에서 C까지의 거리를 4시간 동안 이동했으며, 이는 이 거리가 공식 4(x + 6)km로 표시됨을 의미합니다. 즉, AC = 4(x + 6)입니다.
B에서 C까지의 거리는 보행자가 6시간 만에 덮었으므로(결국 자전거 운전자가 떠나기 전에 그는 이미 2시간 동안 도로 위에 있었습니다), 이 거리는 공식 6x km로 표현됩니다. 즉, BC = 6x
이제 그림 3에 주목하십시오. AC - BC = AB, 즉 AC - BC = 16입니다. 이것은 문제의 수학적 모델을 컴파일하는 기초입니다. AC = 4(x + 6), BC = 6x:; 따라서,
4(x + 6) -6x = 16.
A. V. Pogorelov, 7-11학년을 위한 기하학, 교육 기관을 위한 교과서
수업 내용 수업 요약지원 프레임 수업 프레젠테이션 가속 방법 대화형 기술 관행 과제 및 연습 자체 검사 워크샵, 교육, 사례, 퀘스트 숙제 토론 질문 학생들의 수사학적 질문 삽화 오디오, 비디오 클립 및 멀티미디어사진, 그림 그래픽, 표, 계획 유머, 일화, 농담, 만화 비유, 속담, 십자말 풀이, 인용문 부가 기능 초록기사 호기심을 위한 칩 치트 시트 교과서 기본 및 추가 용어집 기타 교과서 및 수업 개선교과서의 오류 수정쓸모없는 지식을 새로운 지식으로 교체하는 수업에서 혁신의 교과서 요소의 단편 업데이트 교사 전용 완벽한 수업 달력 계획 1년 동안 지침토론 프로그램 통합 수업1. 일반 조항
1.1. 유지하기 위해 사업 평판및 연방 법률 준수 보장 FGAU GNII ITT "Informika"(이하 회사)는 회사의 비즈니스 프로세스에서 주체의 개인 데이터 처리 및 보안의 정당성을 보장하는 것을 가장 중요한 작업으로 간주합니다.
1.2. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 회사는 개인정보보호시스템을 도입하여 운영하고 있으며 주기적인 검토(통제)를 받고 있습니다.
1.3. 회사에서 개인정보를 처리하는 방법은 다음과 같습니다.
개인 데이터 처리 목적 및 방법의 적법성 및 신의성실
개인정보 수집 과정에서 미리 결정되고 선언된 개인정보 처리 목적 및 회사의 권한 준수
처리된 개인 데이터의 양 및 성격 준수, 개인 데이터 처리 목적으로 개인 데이터 처리 방법
개인 데이터의 신뢰성, 처리 목적에 대한 관련성 및 충분성, 개인 데이터 수집 목적과 관련하여 과도한 처리의 허용 불가,
개인 데이터의 보안을 보장하기 위한 조직적 및 기술적 조치의 합법성
처리 중 개인 데이터의 보안을 보장하는 분야에서 회사 직원의 지식 수준을 지속적으로 개선합니다.
개인 데이터 보호 시스템의 지속적인 개선을 위해 노력합니다.
2. 개인정보의 처리 목적
2.1. 회사는 개인정보 처리 원칙에 따라 처리의 구성 및 목적을 정의합니다.
개인정보 처리 목적:
결론, 유지, 변경, 종료 고용 계약, 회사와 직원 간의 노사 관계의 발생 또는 종료를 위한 기초입니다.
포털, 서비스 제공 개인 계정학생, 학부모 및 교사를 위해;
학습 결과의 저장;
연방법 및 기타 규제법률에 규정된 의무 이행
3. 개인정보 처리에 관한 규정
3.1. 회사는 FSAI GNII ITT "Informika"에서 처리되는 승인된 개인 데이터 목록에 있는 개인 데이터만 처리합니다.
3.2. 회사는 다음 범주의 개인 데이터 처리를 허용하지 않습니다.
경주;
철학적 신념;
건강 상태에 대해;
상태 친밀한 삶;
국적;
종교적 신념.
3.3. 회사는 생체 인식 개인 데이터(생리적, 생물학적 특징그의 신원을 확립하는 것이 가능한 사람).
3.4. 회사는 개인 데이터의 국가 간 이전을 수행하지 않습니다. 외국외국의 권위, 외국 개인에게또는 외국 법인).
3.5. 회사는 개인 데이터의 자동화된 처리에만 기반하여 개인 데이터 주체에 대한 결정을 내리는 것을 금지합니다.
3.6. 회사는 피험자의 범죄기록에 관한 데이터를 처리하지 않습니다.
3.7. 회사는 귀하의 사전 동의 없이 대상의 개인 데이터를 공개 소스에 배치하지 않습니다.
4. 개인 데이터의 보안을 보장하기 위한 구현된 요구 사항
4.1. 처리하는 동안 개인 데이터의 보안을 보장하기 위해 회사는 처리 및 개인 데이터 보안 보장 분야에서 러시아 연방의 다음 규제 문서의 요구 사항을 구현합니다.
연방법 2006년 7월 27일 No. 152-FZ "개인 데이터에 관하여";
정부령 러시아 연방 2012년 11월 1일 N 1119 "처리 중 개인 데이터 보호 요구 사항 승인 시 정보 시스템개인 정보";
2008 년 9 월 15 일 러시아 연방 정부 법령 No. 687 "자동화 도구를 사용하지 않고 수행되는 개인 데이터 처리 세부 사항에 관한 규정 승인시";
2013년 2월 18일자 러시아 FSTEC 명령 N 21 "개인 데이터 정보 시스템에서 처리하는 동안 개인 데이터의 보안을 보장하기 위한 조직적 및 기술적 조치의 구성 및 내용 승인";
개인 데이터 정보 시스템에서 처리되는 동안 개인 데이터 보안 위협의 기본 모델(2008년 2월 15일 러시아 FSTEC 부국장 승인)
개인 데이터 정보 시스템에서 처리하는 동안 개인 데이터 보안에 대한 실제 위협을 결정하기 위한 방법론(2008년 2월 14일 러시아 FSTEC 부국장 승인).
4.2. 회사는 개인정보 주체에게 미칠 수 있는 피해를 평가하고 개인정보의 보안 위협을 판단합니다. 회사는 식별된 실제 위협에 따라 정보보안 도구의 사용, 무단 접근의 탐지, 개인정보의 복구, 개인정보에 대한 접근에 대한 규칙의 수립, 또한 취해진 조치의 효과를 모니터링하고 평가합니다.
4.3. 회사는 개인 데이터의 처리를 조직하고 보안을 보장하는 책임자를 임명했습니다.
4.4. 회사의 경영진은 러시아 연방 규제 문서의 요구 사항과 비즈니스에 대한 위험 평가 측면에서 정당화되는 요구 사항을 인식하고 있으며 회사의 핵심 사업입니다.
숫자가 다른 문자로 표시되는 경우 제품에서만 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 a에 숫자 b를 곱한 경우 - a ∙ b 또는 ab로 나타낼 수 있지만 이 곱셈을 어떻게든 수행하는 데는 의문의 여지가 없습니다. 그러나 단항식을 다룰 때 1) 계수의 존재와 2) 이러한 단항식이 같은 문자로 표시된 요인을 포함할 수 있다는 사실로 인해 단항식의 곱셈에 대해 이야기할 수 있습니다. 이러한 가능성은 다항식의 경우 훨씬 더 넓습니다. 가장 단순한 것부터 곱셈을 수행할 수 있는 여러 가지 경우를 분석해 보겠습니다.
1. 같은 밑수로 거듭제곱하기. 예를 들어 a 3 ∙ a 5가 필요하다고 합시다. 권력을 키우는 것의 의미를 알고 같은 것을 더 자세히 작성합시다.
ㄱ ∙ 에이 ∙ 에이 ∙ 에이 ∙ 에이 ∙ 에이
이 자세한 항목을 보면 8배, 즉 8의 승수를 작성했음을 알 수 있습니다. 따라서 a 3 ∙ a 5 = a 8 입니다.
b 42 ∙ b 28이 필요하다고 하자. 우리는 먼저 인수 b를 42번 작성해야 하고 다시 인수 b를 28번 작성해야 합니다. 일반적으로 b는 인수 70번으로 취해집니다. 즉 b 70 . 따라서 b 42 ∙ b 28 \u003d b 70. 이로부터 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱할 때 차수의 밑이 변경되지 않고 지수가 추가된다는 것이 이미 분명합니다. 8 ∙ a가 있는 경우 인수 a는 지수 1("a의 1승")을 의미하므로 a 8 ∙ a = a 9 임을 명심해야 합니다.
예: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 등
때로는 지수가 문자로 표시되는 도(예: xn(x의 n제곱))를 처리해야 합니다. 이러한 표현에 익숙해져야 합니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.
다음 예 중 일부를 설명하겠습니다. b n - 3 ∙ b 5 기본 b를 변경하지 않고 표시기를 추가해야 합니다. 예: (n - 3) + (+5) \u003d n - 3 + 5 \u003d n + 2 물론 그러한 추가는 마음속으로 빠르게 수행하는 법을 배워야 합니다.
또 다른 예: x n + 2 ∙ x n - 2, - x의 밑은 변경하지 않고 표시자를 추가해야 합니다. 즉, (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n .
위에서 찾은 순서, 동일한 밑수로 거듭제곱을 수행하는 방법을 이제 등식으로 표현할 수 있습니다.
m ∙ n = m + n
2. 단항식을 단항식으로 곱합니다.예를 들어 3a²b³c ∙ 4ab²d²가 필요합니다. 여기서 하나의 곱셈이 점으로 표시된다는 것을 알지만 3과 a² 사이, a²와 b³ 사이, b³와 c 사이, 4와 a 사이, 와 b² 사이, b²와 d². 따라서 여기에서 8개 요소의 곱을 볼 수 있으며 임의의 그룹으로 임의의 순서로 곱할 수 있습니다. 같은 밑수를 가진 계수와 거듭제곱이 가깝도록 다시 정렬해 보겠습니다.
3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².
그런 다음 1) 계수와 2) 거듭제곱을 동일한 밑수로 곱하여 12a³b5cd²를 얻을 수 있습니다.
따라서 단항식을 단항식으로 곱할 때 계수와 거듭제곱을 동일한 밑수로 곱할 수 있으며 나머지 요소는 변경 없이 다시 작성해야 합니다.
더 많은 예:
3. 다항식을 단항식으로 곱합니다.먼저 a - b - c + d와 같은 다항식에 +3과 같은 양의 정수를 곱해야 한다고 가정합니다. 양수는 산술과 동일한 것으로 간주되므로 (a - b - c + d) ∙ 3과 동일합니다. 즉, a - b - c + d를 합으로 3번 취하거나
(a - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,
즉, 결과적으로 다항식의 각 항에 3(또는 +3)을 곱해야 했습니다.
이것은 다음과 같습니다.
(a - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,
즉, 다항식의 각 항은 (+3)으로 나누어져야 했습니다. 또한 요약하면 다음을 얻습니다.
등.
이제 (a - b - c + d)에 +와 같은 양의 분수를 곱해야 합니다. 그것은 산술 분수로 곱하는 것과 같습니다. 이는 (a - b - c + d)에서 부분을 취하는 것을 의미합니다. 이 다항식의 5분의 1을 취하는 것은 쉽습니다. (a - b - c + d)를 5로 나누어야 하며, 우리는 이미 이를 수행하는 방법을 알고 있습니다. 
. 얻은 결과를 3 번 반복하거나 3을 곱해야합니다.
결과적으로 다항식의 각 항에 또는 +를 곱해야 한다는 것을 알 수 있습니다.
이제 (a - b - c + d)에 음수, 정수 또는 분수를 곱해야 합니다.
즉, 이 경우 다항식의 각 항에 -를 곱해야 합니다.
따라서 숫자 m이 무엇이든 항상 (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm입니다.
각 단항식은 숫자이기 때문에 여기에서 다항식을 단항식으로 곱하는 방법에 대한 표시를 봅니다. 다항식의 각 구성원은 이 단항식을 곱해야 합니다.
4. 다항식을 다항식으로 곱하기. (a + b + c) ∙ (d + e)라고 합시다. d와 e는 숫자를 의미하므로 (d + e)는 하나의 숫자를 나타냅니다.
(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)
(우리는 이것을 이렇게 설명할 수 있습니다: 우리는 단항식에 대해 일시적으로 d + e를 취할 권리가 있습니다).
광고 + ae + bd + be + cd + ce
결과적으로 멤버의 순서를 변경할 수 있습니다.
(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,
즉, 다항식을 다항식으로 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 항의 각 항을 곱해야 합니다. 첫 번째 다항식의 각 항에 두 번째 항의 첫 번째 항(+ d)을 곱한 다음 두 번째 항(+ e) 그렇다면 세 번째 등으로 d.; 그 후에는 유사한 용어를 줄여야 합니다.
이 예에서는 이항에 이항을 곱합니다. 각 이항식에서 용어는 두 이항식에 공통적인 문자의 내림차순으로 배열됩니다. 이러한 곱셈은 머리에서 수행하기 쉽고 즉시 최종 결과를 작성합니다.
첫 번째 이항식의 상위 항에 두 번째 이항식의 상위 항, 즉 4x²에 3x를 곱하면 제품의 상위 항이 12x³가 됩니다. 분명히 유사한 것은 없을 것입니다. 다음으로, 문자 x의 거듭제곱에서 1을 뺀 값, 즉 x²를 사용하여 얻을 수 있는 항을 곱셈에서 찾습니다. 이러한 항은 첫 번째 요인의 두 번째 항에 두 번째 요인의 첫 번째 항을 곱하고 첫 번째 요인의 첫 번째 항에 두 번째 항의 두 번째 항을 곱하여 얻은 것임을 쉽게 알 수 있습니다(하단의 괄호 예)가 이를 나타냅니다. 머리 속에서 이러한 곱셈을 수행하고 이 두 가지 유사한 항을 줄이는 것도(그 후에 -19x² 항을 얻음) 어렵지 않습니다. 그런 다음 문자 x의 1승, 즉 x의 1승을 포함하는 다음 항은 두 번째 항에 두 번째 항을 곱해야만 얻을 수 있으며 유사한 항은 없을 것임을 알 수 있습니다.
다른 예: (x² + 3x)(2x - 7) = 2x³ - x² - 21x.
다음과 같은 예를 정신적으로 실행하는 것도 쉽습니다.
선임 기간은 연장 기간에 연장 기간을 곱하여 얻어지며 이에 대한 유사한 용어는 없으며 = 2a³입니다. 그런 다음 첫 번째 항(a²)과 두 번째 항(-5)을 곱하고 두 번째 항(-3a)과 첫 번째 항(2a)을 곱하여 a²가 있는 항을 얻을 수 있는 곱셈을 찾습니다. - 이것은 아래 괄호 안에 표시되어 있습니다. 이러한 곱셈을 수행하고 결과 항을 하나로 결합하면 -11a²가 됩니다. 그런 다음 우리는 1도에서 어떤 곱셈이 결과로 나올지 찾습니다. 이러한 곱셈은 위에서 대괄호로 표시됩니다. 그것들을 완성하고 결과 멤버를 하나로 결합하면 + 11a를 얻습니다. 마지막으로, 우리는 전혀 포함하지 않는 곱의 낮은 항(+10)이 한 다항식의 낮은 항(-2)에 다른 다항식의 낮은 항(-5)을 곱하여 얻은 것임을 알 수 있습니다.
다른 예: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) \u003d 12a 5 - 11a 4 - 21a 3 + 10a 2.
이전의 모든 예에서 우리는 또한 다음을 얻습니다. 전체 결과: 곱의 가장 높은 항은 항상 요인의 가장 높은 항의 곱에서 구하며 이와 유사한 구성원이 있을 수 없습니다. 또한 곱의 최하위 항은 요인의 최하위 항을 곱하여 구하며 유사한 항도 있을 수 없습니다.
다항식에 다항식을 곱하여 얻은 나머지 항은 비슷할 수 있으며, 이 모든 항이 서로를 상쇄하고 더 오래된 것과 더 어린 것만 남게 되는 경우도 있습니다.
여기 몇 가지 예가 있어요.
(a² + ab + b²) (a - b) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(a² - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (결과만 씁니다)
(x 4 - x³ + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 등
이 결과는 주목할 만하고 기억하기 좋습니다.
다음과 같은 곱셈의 경우가 특히 중요합니다.
(a + b) (a - b) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
또는 (x + y) (x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
또는 (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 등
산술에 적용되는 이 모든 예에서 우리는 두 숫자의 합과 그 차이의 곱을 가지며 결과는 이 숫자의 제곱의 차이입니다.
그런 경우를 보면 위에서 했던 것처럼 곱셈을 자세히 할 필요는 없지만 결과를 바로 쓸 수는 있다.
예를 들어, (3a + 1) ∙ (3a – 1). 여기서 산술의 관점에서 첫 번째 요소는 두 숫자의 합입니다. 첫 번째 숫자는 3a이고 두 번째 요소는 1이고 두 번째 요소는 동일한 숫자의 차이입니다. 따라서 결과는 첫 번째 숫자의 제곱(즉, 3a ∙ 3a = 9a²)에서 두 번째 숫자의 제곱(1 ∙ 1 = 1)을 뺀 값이어야 합니다.
(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1.
또한 
(ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25 등
그러니 기억하자
(a + b) (a - b) = a² - b²
즉, 두 숫자의 합과 그 차이의 곱은 이 숫자의 제곱의 차이와 같습니다.
다항식에 다항식을 곱하는 특별한 경우는 다항식을 단항식으로 곱하는 것입니다. 이 기사에서는 이 작업을 수행하기 위한 규칙을 공식화하고 실제 예제를 통해 이론을 분석합니다.
다항식에 단항식을 곱하는 기초가 무엇인지 알아 봅시다. 이 동작은 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 기반으로 합니다. 말 그대로 이 속성은 (a + b) c \u003d a c + b c (a, b 및 씨일부 숫자입니다). 이 항목에서 표현 (a + b) c다항식(a + b)과 단항식의 곱일 뿐입니다. 씨. 평등의 오른쪽 c + b c단항식의 곱의 합입니다. ㅏ그리고 비단항식으로 씨.
위의 추론을 통해 다항식에 단항식을 곱하는 규칙을 공식화할 수 있습니다.
정의 1
다항식에 단항식을 곱하는 작업을 수행하려면 다음을 수행해야 합니다.
위의 알고리즘을 더 설명하겠습니다.
다항식의 곱을 단항식으로 구성하려면 원래 다항식을 대괄호로 묶습니다. 또한, 곱하기 기호는 그것과 주어진 단항식 사이에 배치됩니다. 단항식의 항목이 빼기 기호로 시작하는 경우에도 대괄호로 묶어야 합니다. 예를 들어, 다항식의 곱 - 4 x 2 + x - 2그리고 단항 7년로 쓰다 (− 4 x 2 + x − 2) 7 y, 그리고 다항식의 곱 a 5 b − 6 a b그리고 단항 - 3 a 2다음 형식으로 작성하십시오. (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).
알고리즘의 다음 단계는 다항식의 각 항을 주어진 단항식으로 곱하는 것입니다. 다항식의 구성 요소는 단항식입니다. 사실, 우리는 단항식을 단항식으로 곱해야 합니다. 알고리즘의 첫 번째 단계 후에 다음 식을 얻었다고 가정합시다. (2 x 2 + x + 3) 5 x,두 번째 단계는 다항식의 각 항을 곱하는 것입니다. 2 x 2 + x + 3단항식으로 5 x, 따라서 다음을 얻습니다. 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 및 3 5 x = 15 x. 결과는 단항식 10 x 3, 5 x 2 및 15개.
규칙에 따른 마지막 작업은 결과 제품을 추가하는 것입니다. 제안된 예제에서 알고리즘의 이 단계를 완료한 후 다음을 얻습니다. 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
기본적으로 모든 단계는 등호 체인으로 작성됩니다. 예를 들어, 다항식의 곱 찾기 2 x 2 + x + 3그리고 단항 5 x다음과 같이 작성해 보자. (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x .두 번째 단계의 중간 계산을 제거하면 다음과 같이 짧은 솔루션을 공식화할 수 있습니다. (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
고려한 예를 통해 다음을 알 수 있습니다. 중요한 뉘앙스: 다항식과 단항식을 곱한 결과 다항식이 얻어진다. 이 진술모든 곱셈 다항식 및 단항식에 대해 참입니다.
유추하여, 단항식에 다항식을 곱합니다. 주어진 단항식에 다항식의 각 구성원을 곱하고 결과 제품을 합산합니다.
제품을 찾을 필요가 있습니다: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .
해결책
규칙의 첫 번째 단계가 이미 완료되었습니다. 작업이 기록되었습니다. 이제 다음 단계를 수행하여 다항식의 각 항에 주어진 단항식을 곱합니다. 이 경우 소수점 이하 자릿수를 공통 분수로 먼저 변환하는 것이 편리합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.
1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 y - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y
대답: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y .
원래의 다항식 및/또는 단항식이 비표준 형식으로 주어졌을 때 곱을 찾기 전에 표준 형식으로 줄이는 것이 바람직하다는 점을 분명히 합시다.
실시예 2
주어진 다항식 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2그리고 단항 − 0 , 5 a b (− 2) a. 그들의 일을 찾아야 합니다.
해결책
초기 데이터가 비표준 형식으로 표시되므로 추가 계산의 편의를 위해 표준 형식으로 가져옵니다.
− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0 , 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 a) − 2 a 2 = 1 + 4 a − 2 a 2
이제 단항식의 곱셈을 해보자 에이 2 ㄴ다항식의 각 멤버에 대해 1 + 4 a - 2 a2
a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b
초기 데이터를 표준 형식으로 가져올 수 없었습니다. 그러면 솔루션이 더 복잡해집니다. 이 경우 마지막 단계는 유사한 용어를 줄여야 할 필요가 있습니다. 이해를 위해 다음은 이 계획에 따른 솔루션입니다.
− 0 .5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = = − 0 . 5 a b (− 2) a 3 − 0 . 5 a b (− 2) a a − 0 . 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 a b (− 2) a 3 a − 0 , 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 a 4 b + 3 a 3 b − 2 a 2 b = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b
대답: − 0 , 5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b.
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