Una piramide è un poliedro con un poligono alla base. Tutte le facce, a loro volta, formano triangoli che convergono in un vertice. Le piramidi sono triangolari, quadrangolari e così via. Per determinare quale piramide si trova di fronte a te, è sufficiente contare il numero di angoli alla sua base. La definizione di "altezza della piramide" si trova molto spesso nei problemi di geometria in curriculum scolastico. Nell'articolo cercheremo di considerare diversi modi la sua posizione.
Parti della piramide
Ogni piramide è composta dai seguenti elementi:
Come trovare l'altezza di una piramide se si conosce il suo volume
Attraverso la formula V \u003d (S * h) / 3 (nella formula V è il volume, S è l'area di base, h è l'altezza della piramide), troviamo che h \u003d (3 * V) / S . Per consolidare il materiale, risolviamo immediatamente il problema. A base triangolareè 50 cm 2, mentre il suo volume è 125 cm 3. L'altezza della piramide triangolare è sconosciuta, che dobbiamo trovare. Qui tutto è semplice: inseriamo i dati nella nostra formula. Otteniamo h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Come trovare l'altezza di una piramide se si conoscono la lunghezza della diagonale e il suo bordo
Come ricordiamo, l'altezza della piramide forma un angolo retto con la sua base. E questo significa che l'altezza, il bordo e la metà della diagonale insieme formano Molti, ovviamente, ricordano il teorema di Pitagora. Conoscendo due dimensioni, non sarà difficile trovare il terzo valore. Ricordiamo il noto teorema a² = b² + c², dove a è l'ipotenusa, e nel nostro caso il bordo della piramide; b - la prima gamba o metà della diagonale e c - rispettivamente la seconda gamba o l'altezza della piramide. Da questa formula, c² = a² - b².
Ora il problema: in una piramide regolare la diagonale è di 20 cm, mentre la lunghezza del bordo è di 30 cm, devi trovare l'altezza. Risolviamo: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Quindi c \u003d √ 500 \u003d circa 22,4.
Come trovare l'altezza di una piramide tronca
È un poligono che ha una sezione parallela alla sua base. L'altezza di una piramide tronca è il segmento che collega le sue due basi. L'altezza può essere trovata a una piramide regolare se si conoscono le lunghezze delle diagonali di entrambe le basi, nonché il bordo della piramide. Sia la diagonale della base maggiore d1, mentre la diagonale della base minore sia d2 e il bordo abbia lunghezza l. Per trovare l'altezza, puoi abbassare le altezze dai due punti opposti superiori del diagramma alla sua base. Vediamo che abbiamo due triangoli rettangoli, resta da trovare la lunghezza delle loro gambe. Per fare ciò, sottrai la diagonale più piccola dalla diagonale più grande e dividi per 2. Quindi troveremo una gamba: a \u003d (d1-d2) / 2. Dopodiché, secondo il teorema di Pitagora, dobbiamo solo trovare la seconda gamba, che è l'altezza della piramide.
Ora diamo un'occhiata a tutta questa faccenda in pratica. Abbiamo un compito davanti a noi. Il tronco piramidale ha un quadrato alla base, la diagonale della base più grande è di 10 cm, mentre quella più piccola è di 6 cm, e il bordo è di 4 cm, occorre trovare l'altezza. Per cominciare, troviamo una gamba: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm Una gamba è 2 cm e l'ipotenusa è 4 cm Si scopre che la seconda gamba o altezza sarà 16- 4 \u003d 12, ovvero h \u003d √12 = circa 3,5 cm.
In questa lezione considereremo una piramide tronca, conosceremo la piramide tronca corretta e ne studieremo le proprietà.
Ricordiamo il concetto di piramide n-gonale usando l'esempio di una piramide triangolare. Viene dato il triangolo ABC. Fuori dal piano del triangolo si prende un punto P, connesso ai vertici del triangolo. La superficie poliedrica risultante è chiamata piramide (Fig. 1).
Riso. 1. Piramide triangolare
Tagliamo la piramide con un piano parallelo al piano della base della piramide. La figura ottenuta tra questi piani è chiamata tronco di piramide (Fig. 2).
Riso. 2. Tronco di piramide
Elementi principali:
Base superiore;
Base inferiore ABC;
Faccia laterale ;
Se PH è l'altezza della piramide originale, allora è l'altezza della piramide tronca.
Le proprietà di un tronco piramidale derivano dal metodo di costruzione, ovvero dal parallelismo dei piani delle basi:
Tutte le facce laterali di una piramide tronca sono trapezi. Si consideri, ad esempio, una faccia. Ha la proprietà di piani paralleli (poiché i piani sono paralleli, tagliano la faccia laterale della piramide ABP originale lungo linee parallele), allo stesso tempo non sono paralleli. Ovviamente il quadrilatero è un trapezio, come tutte le facce laterali di un tronco di piramide.
Il rapporto delle basi è lo stesso per tutti i trapezi:
Abbiamo diverse coppie di triangoli simili con lo stesso coefficiente di somiglianza. Ad esempio, triangoli e RAB sono simili a causa del parallelismo dei piani e , il coefficiente di somiglianza:
Allo stesso tempo, triangoli e RCS sono simili con coefficiente di somiglianza:
Ovviamente, i coefficienti di somiglianza per tutte e tre le coppie di triangoli simili sono uguali, quindi il rapporto delle basi è lo stesso per tutti i trapezi.
Un tronco di piramide regolare è un tronco di piramide ottenuto tagliando una piramide regolare con un piano parallelo alla base (Fig. 3).
Riso. 3. Corretta piramide tronca
Definizione.
Una piramide regolare è chiamata piramide, alla base della quale giace un n-gon regolare, e il vertice è proiettato nel centro di questo n-gon (il centro del cerchio inscritto e circoscritto).
A questo caso alla base della piramide si trova un quadrato e il vertice è proiettato nel punto di intersezione delle sue diagonali. La piramide tronca quadrangolare regolare risultante ha ABCD - la base inferiore, - la base superiore. L'altezza della piramide originaria - RO, tronco di piramide - (Fig. 4).
Riso. 4. Tronco piramidale quadrangolare regolare
Definizione.
L'altezza di una piramide tronca è una perpendicolare tracciata da qualsiasi punto di una base al piano della seconda base.
L'apotema della piramide originale è RM (M è la metà di AB), l'apotema della piramide tronca è (Fig. 4).
Definizione.
L'apotema di una piramide tronca è l'altezza di qualsiasi faccia laterale.
È chiaro che tutti i bordi laterali della piramide tronca sono uguali tra loro, cioè le facce laterali sono trapezi isoscele uguali.
L'area della superficie laterale di un tronco di piramide regolare è uguale al prodotto di metà della somma dei perimetri delle basi e dell'apotema.
Dimostrazione (per una piramide tronca quadrangolare regolare - Fig. 4):
Quindi, dobbiamo dimostrare:
L'area della superficie laterale qui consisterà nella somma delle aree delle facce laterali - trapezi. Poiché i trapezi sono gli stessi, abbiamo:
L'area di un trapezio isoscele è il prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza, l'apotema è l'altezza del trapezio. Abbiamo:
QED
Per una piramide n-gonale:
Dove n è il numero di facce laterali della piramide, aeb sono le basi del trapezio, è l'apotema.
Fianchi della base di una piramide regolare tronco quadrangolare 
sono uguali a 3 cm e 9 cm, altezza - 4 cm Trova l'area della superficie laterale.
Riso. 5. Illustrazione per il problema 1
Soluzione. Illustriamo la condizione:
Dato: , ,
Disegna una retta MN passante per il punto O parallela ai due lati della base inferiore, allo stesso modo traccia una retta passante per il punto (Fig. 6). Poiché i quadrati e le costruzioni sono paralleli alle basi del tronco piramidale, otteniamo un trapezio uguale alle facce laterali. Inoltre, il suo lato laterale passerà attraverso il centro dei bordi superiore e inferiore delle facce laterali e sarà l'epitome di una piramide tronca.
Riso. 6. Costruzioni aggiuntive
Considera il trapezio risultante (Fig. 6). In questo trapezio sono note la base superiore, la base inferiore e l'altezza. È necessario trovare il lato laterale, che è l'apotema della data piramide tronca. Disegna perpendicolare a MN. Lasciamo cadere la perpendicolare NQ dal punto. Lo capiamo base maggiore diviso in segmenti di tre centimetri (). Considera un triangolo rettangolo, le gambe al suo interno sono note, questo è un triangolo egiziano, dal teorema di Pitagora determiniamo la lunghezza dell'ipotenusa: 5 cm.
Ora ci sono tutti gli elementi per determinare l'area della superficie laterale della piramide:
La piramide è attraversata da un piano parallelo alla base. Utilizzando l'esempio di una piramide triangolare, dimostrare che i bordi laterali e l'altezza della piramide sono divisi da questo piano in parti proporzionali.
Prova. Illustriamo:
Riso. 7. Illustrazione per il problema 2
Viene data la piramide RABC. RO è l'altezza della piramide. La piramide è sezionata da un piano, si ottiene, inoltre, una piramide tronca. Punto: il punto di intersezione dell'altezza del RO con il piano della base della piramide tronca. È necessario dimostrare:
La chiave della soluzione è la proprietà dei piani paralleli. Due piani paralleli tagliano un terzo piano in modo che le linee di intersezione siano parallele. Da qui: . Il parallelismo delle rette corrispondenti implica la presenza di quattro coppie di triangoli simili:
Dalla somiglianza dei triangoli segue la proporzionalità dei lati corrispondenti. Una caratteristica importante è che i coefficienti di somiglianza per questi triangoli sono gli stessi:
QED
Una piramide triangolare regolare RABC con altezza e lato della base è sezionata da un piano passante per il punto medio dell'altezza PH parallelo alla base ABC. Trova l'area della superficie laterale della piramide tronca risultante.
Soluzione. Illustriamo:
Riso. 8. Illustrazione per il problema 3
DIA è un triangolo regolare, H è il centro di questo triangolo (il centro dei cerchi inscritti e circoscritti). RM è l'apotema della piramide data. - l'apotema del tronco di piramide. Secondo la proprietà dei piani paralleli (due piani paralleli tagliano un terzo piano in modo che le linee di intersezione siano parallele), abbiamo diverse coppie di triangoli simili con un coefficiente di similarità uguale. In particolare ci interessa la relazione:
Troviamo NM. Questo è il raggio di un cerchio inscritto nella base, conosciamo la formula corrispondente:
Ora, dal triangolo rettangolo РНМ, per il teorema di Pitagora, troviamo РМ - l'apotema della piramide originale:
Dal rapporto iniziale:
Ora conosciamo tutti gli elementi per trovare la superficie laterale di una piramide tronca:
Quindi, abbiamo familiarizzato con i concetti di una piramide tronca e di una piramide tronca regolare, abbiamo fornito definizioni di base, considerato le proprietà e dimostrato il teorema sull'area della superficie laterale. La prossima lezione si concentrerà sulla risoluzione dei problemi.
Bibliografia
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Questa lezione ti aiuterà a farti un'idea sull'argomento "Piramide. Piramide regolare e tronco. In questa lezione conosceremo il concetto di piramide regolare, daremo una definizione. Quindi dimostriamo il teorema sulla superficie laterale di una piramide regolare e il teorema sulla superficie laterale di una piramide tronca regolare.
Tema: Piramide
Lezione: corretto e tronco di piramide
Definizione: una piramide regolare n-gonale è una piramide la cui base è un n-gon regolare e l'altezza è proiettata nel centro di questo n-gon (Fig. 1).
Riso. uno
Piramide triangolare regolare
Per cominciare, si consideri ∆ABC (Fig. 2), in cui AB=BC=CA (cioè un triangolo regolare giace alla base della piramide). In un triangolo regolare, il centro dei cerchi inscritti e circoscritti coincidono e sono il centro del triangolo stesso. In questo caso il centro si trova come segue: troviamo la metà di AB - C 1, disegniamo il segmento SS 1, che è la mediana, bisettrice e altezza; similmente troviamo il punto medio AC-B 1 e disegniamo il segmento BB 1 . L'intersezione di BB 1 e CC 1 sarà il punto O, che è il centro di ∆ABC.
Se colleghiamo il centro del triangolo O con la sommità della piramide S, otteniamo l'altezza della piramide SO ⊥ ABC, SO = h.
Collegando il punto S con i punti A, B e C, otteniamo i bordi laterali della piramide.
Abbiamo quello giusto piramide triangolare SABC (Fig. 2).
- Questo è un poliedro, che è formato dalla base della piramide e da una sezione parallela ad essa. Possiamo dire che una piramide tronca è una piramide con la sommità tagliata. Questa figura ha molte proprietà uniche:
La formula per l'area della superficie laterale di una piramide tronca è la somma delle aree dei suoi lati: 
Poiché i lati della piramide tronca sono trapezi, dovrai utilizzare la formula per calcolare i parametri zona trapezoidale. Per una piramide tronca regolare, può essere applicata un'altra formula per il calcolo dell'area. Poiché tutti i suoi lati, facce e angoli alla base sono uguali, è possibile applicare i perimetri della base e dell'apotema, e anche ricavare l'area attraverso l'angolo alla base.
Se, secondo le condizioni di un tronco di piramide regolare, si danno l'apotema (altezza del lato) e le lunghezze dei lati della base, allora l'area può essere calcolata per mezzo del prodotto della somma dei perimetri di le basi e l'apotema:
Diamo un'occhiata a un esempio di calcolo della superficie laterale di una piramide tronca.
Data una piramide pentagonale regolare. Apotema l\u003d 5 cm, la lunghezza della faccia nella base grande è un\u003d 6 cm e la faccia è alla base più piccola b\u003d 4 cm Calcola l'area della piramide tronca.
Per prima cosa, troviamo i perimetri delle basi. Poiché ci viene data una piramide pentagonale, capiamo che le basi sono pentagoni. Ciò significa che le basi sono una figura con cinque lati identici. Trova il perimetro della base più grande:
Allo stesso modo troviamo il perimetro della base minore:
Ora possiamo calcolare l'area di una piramide tronca regolare. Sostituiamo i dati nella formula:
Pertanto, abbiamo calcolato l'area di una piramide tronca regolare attraverso i perimetri e l'apotema.
Un altro modo per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide regolare è la formula attraverso gli angoli alla base e l'area di queste stesse basi.
Diamo un'occhiata a un esempio di calcolo. Ricorda che questa formula si applica solo a una piramide tronca regolare.
Sia data una piramide quadrangolare regolare. La faccia della base inferiore è a = 6 cm e la faccia della parte superiore b = 4 cm L'angolo diedro alla base è β = 60°. Trova la superficie laterale di una piramide tronca regolare.
Per prima cosa, calcoliamo l'area delle basi. Poiché la piramide è regolare, tutte le facce delle basi sono uguali tra loro. Dato che la base è un quadrilatero, capiamo che sarà necessario calcolare area quadrata. È il prodotto di larghezza e lunghezza, ma al quadrato questi valori sono gli stessi. Trova l'area della base più grande: 
Ora utilizziamo i valori trovati per calcolare l'area della superficie laterale. 
Conoscendo alcune semplici formule, abbiamo facilmente calcolato l'area del trapezio laterale di un tronco di piramide attraverso vari valori.
