Logaritmikus kifejezések, megoldási példák. Ebben a cikkben a logaritmusok megoldásával kapcsolatos problémákat nézzük meg. A feladatok egy kifejezés jelentésének megtalálását teszik fel. Megjegyzendő, hogy a logaritmus fogalmát számos feladatban használják, és jelentésének megértése rendkívül fontos. Ami az Egységes Államvizsgát illeti, a logaritmust egyenletek megoldásánál, alkalmazott feladatoknál, valamint a függvénytanulmányozási feladatoknál alkalmazzák.
Adjunk példákat, hogy megértsük a logaritmus jelentését:
Alapvető logaritmikus azonosság:
A logaritmusok tulajdonságai, amelyeket mindig emlékezni kell:
*A termék logaritmusa egyenlő az összeggel tényezők logaritmusai.
* * *
*Egy hányados (tört) logaritmusa megegyezik a tényezők logaritmusai közötti különbséggel.
* * *
*Egy kitevő logaritmusa egyenlő a kitevő és az alapja logaritmusának szorzatával.
* * *
*Áttérés új alapokra
* * *
További ingatlanok:
* * *
A logaritmusok számítása szorosan összefügg a kitevők tulajdonságainak használatával.
Soroljunk fel néhányat közülük:
A lényeg ennek az ingatlannak abban rejlik, hogy amikor a számlálót átvisszük a nevezőre és fordítva, a kitevő előjele az ellenkezőjére változik. Például:
Következmény ebből az ingatlanból:
* * *
Ha egy hatványt hatványra emelünk, az alap ugyanaz marad, de a kitevők megszorozódnak.
* * *
Amint látja, maga a logaritmus fogalma egyszerű. A lényeg az, hogy mire van szükség jó gyakorlatok, ami bizonyos készségeket ad. Természetesen a képletek ismerete szükséges. Ha az elemi logaritmusok konvertálásának készsége nem fejlődött ki, akkor egyszerű feladatok megoldása során könnyen hibázhat.
Gyakorold, oldd meg először a matematika tantárgy legegyszerűbb példáit, majd térj át a bonyolultabbakra. A jövőben mindenképpen megmutatom, hogyan oldják meg a „csúnya” logaritmusokat, ezek nem fognak megjelenni az Egységes Államvizsgán, de érdekesek, ne hagyd ki!
Ez minden! Sok szerencsét!
Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh
P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Különösen a logaritmusú egyenletek.
Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Ne higgy nekem? Bírság. Most mindössze 10-20 perc alatt:
1. Meg fogod érteni mi az a logaritmus.
2. Tanulj meg egy egész osztályt megoldani exponenciális egyenletek. Még ha nem is hallottál róluk semmit.
3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.
Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismerned, és azt, hogyan emelhetsz egy számot hatványra...
Úgy érzem, kétségei vannak... Nos, oké, jelölje meg az időt! Megy!
Először fejben oldja meg ezt az egyenletet:
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Ebben a videós oktatóanyagban egy meglehetősen komoly logaritmikus egyenlet megoldását nézzük meg, amelyben nem csak a gyökereket kell megtalálni, hanem ki is kell választani azokat, amelyek egy adott szegmensen fekszenek.
C1 probléma. Oldja meg az egyenletet. Keresse meg ennek az egyenletnek az intervallumhoz tartozó összes gyökét.
Azonban évről évre jönnek hozzám olyan diákok, akik megpróbálják megoldani, őszintén, nehéz egyenletek, de ugyanakkor nem értik: hol is kezdjék és hogyan közelítsék meg a logaritmusokat? Ez a probléma még az erős, jól felkészült tanulók körében is felmerülhet.
Ennek eredményeként sokan kezdenek félni ettől a témától, vagy akár hülyének tartják magukat. Tehát ne feledd: ha nem tudsz megoldani egy ilyen egyenletet, az egyáltalán nem jelenti azt, hogy hülye vagy. Mert például ezt az egyenletet szinte verbálisan is kezelheti:
log 2 x = 4
És ha ez nem így van, akkor most nem olvasná ezt a szöveget, mert egyszerűbb és hétköznapibb feladatokkal volt elfoglalva. Természetesen most valaki ellenkezni fog: „Mi köze ennek a legegyszerűbb egyenletnek egészséges szerkezetünkhöz?” Azt válaszolom: bármilyen logaritmikus egyenlet, bármilyen bonyolult is legyen, végül ezekre a legegyszerűbb, szóban megoldható szerkezetekre vezethető vissza.
Természetesen az összetett logaritmikus egyenletekről az egyszerűbbek felé nem szelekcióval vagy tamburával táncolással kell áttérni, hanem világos, hosszan definiált szabályok szerint, amelyek ún. szabályok a logaritmikus kifejezések konvertálására. Ezek ismeretében könnyedén megbirkózik a legkifinomultabb egyenletekkel is a matematika egységes államvizsgáján.
És ezekről a szabályokról fogunk beszélni a mai leckében. Megy!
Tehát megoldjuk az egyenletet:
Először is, ha logaritmikus egyenletekről van szó, emlékezzünk az alapvető taktikákra - úgymond a logaritmikus egyenletek megoldásának alapszabályára. A következőkből áll:
A kanonikus formatétel. Bármely logaritmikus egyenletet, függetlenül attól, hogy mit tartalmaz, nem számít, milyen logaritmusok, nem számít, milyen bázis, és nem számít, mit tartalmaz, szükségszerűen le kell redukálni a következő alakú egyenletre:
log a f (x) = log a g (x)
Ha megnézzük az egyenletünket, azonnal két problémát észlelünk:
Összeállítottuk tehát azoknak a problémáknak a listáját, amelyek elválasztják az egyenletünket ettől kanonikus egyenlet , amelyre a megoldási folyamat során minden logaritmikus egyenletet le kell redukálni. Így az egyenletünk megoldása ebben a szakaszban a fent leírt két probléma kiküszöböléséhez vezet.
Bármely logaritmikus egyenlet gyorsan és egyszerűen megoldható, ha leredukálja a kanonikus formájára.
Folytassuk sorban. Először nézzük meg a bal oldali szerkezetet. Mit mondhatunk két logaritmus összegéről? Emlékezzünk a csodálatos képletre:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
De érdemes megfontolni, hogy esetünkben az első tag egyáltalán nem logaritmus. Ez azt jelenti, hogy az egységet a 2. bázis logaritmusaként kell ábrázolnunk (pontosan 2, mert a 2. bázis logaritmusa a bal oldalon található). Hogyan kell csinálni? Emlékezzünk még egyszer a csodálatos képletre:
a = log b b a
Itt meg kell értened: amikor azt mondjuk, hogy „Bármilyen b alap”, akkor azt értjük, hogy b még mindig nem lehet tetszőleges szám. Ha beszúrunk egy számot egy logaritmusba, bizonyos korlátozásokat, nevezetesen: a logaritmus alapjának nagyobbnak kell lennie 0-nál, és nem lehet egyenlő 1-gyel. Ellenkező esetben a logaritmusnak egyszerűen nincs értelme. Ezt írjuk le:
0 < b ≠ 1
Lássuk, mi történik a mi esetünkben:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Most írjuk át a teljes egyenletünket ennek a ténynek a figyelembevételével. És azonnal alkalmazunk egy másik szabályt: a logaritmusok összege egyenlő az argumentumok szorzatának logaritmusával. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
Van egy új egyenletünk. Amint látjuk, ez már sokkal közelebb áll ahhoz a kanonikus egyenlethez, amelyre törekszünk. De van egy probléma, ezt írtuk fel második pontként: a logaritmusainkat, amelyek bal és jobb oldalon vannak, különböző okok miatt. Térjünk át a következő lépésre.
Tehát a bal oldali logaritmus alapja csak 2, a jobb oldali logaritmusnak pedig gyöke van az alapon. De ez nem baj, ha emlékezünk arra, hogy a logaritmus argumentumainak alapjai hatványokra emelhetők. Írjunk le egyet az alábbi szabályok közül:
log a b n = n log a b
Emberi nyelvre lefordítva: a logaritmus alapjából kiveheti a hatalmat, és szorzóként elé helyezheti. Az n szám "vándorolt" a logaritmusból kifelé, és együtthatóvá vált elöl.
Ugyanilyen könnyen levezethetjük a hatványt a logaritmus alapjából. Így fog kinézni:
Más szóval, ha kiveszed a fokot a logaritmus argumentumából, akkor ez a fok is faktorként kerül a logaritmus elé, de nem számként, hanem 1/k reciprok számként.
Ez azonban még nem minden! Összevonhatjuk ezt a két képletet, és a következő képlethez juthatunk:
Ha egy hatvány megjelenik a logaritmus alapjában és argumentumában is, időt takaríthatunk meg és egyszerűsíthetjük a számításokat, ha azonnal kivesszük a hatványokat mind az alapból, mind az argumentumból. Ebben az esetben az argumentumban szereplő (esetünkben ez az n együttható) megjelenik a számlálóban. És ami az alap foka volt, a k, az megy a nevezőbe.
És most ezeket a képleteket fogjuk használni, hogy logaritmusainkat ugyanarra az alapra redukáljuk.
Először is válasszunk egy szebbnél-szebb alapot. Nyilvánvalóan sokkal kellemesebb kettessel az alapnál dolgozni, mint gyökérrel. Tehát próbáljuk meg a második logaritmust 2-es bázisra redukálni. Írjuk ezt a logaritmust külön:
Mit tehetünk itt? Idézzük fel a hatványképletet racionális kitevővel. Más szóval, a gyököket felírhatjuk hatványként racionális kitevővel. És akkor kivesszük az 1/2 hatványát mind az argumentumból, mind a logaritmus alapjából. Csökkentjük a ketteseket a logaritmus felé eső számlálóban és nevezőben az együtthatókban:
Végül írjuk át az eredeti egyenletet az új együtthatók figyelembevételével:
log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)
Megkaptuk a kanonikus logaritmikus egyenletet. Mind a bal, mind a jobb oldalon van egy logaritmusunk ugyanarra a 2-es bázisra. Ezeken a logaritmusokon kívül nincsenek együtthatók, nincsenek tagok sem a bal, sem a jobb oldalon.
Következésképpen megszabadulhatunk a logaritmus előjelétől. Természetesen a definíciós tartomány figyelembevételével. De mielőtt ezt megtennénk, térjünk vissza, és tisztázzunk egy kicsit a törtekkel kapcsolatban.
Nem minden tanuló érti, hogy a megfelelő logaritmus előtt álló tényezők honnan származnak, és hová vezetnek. Írjuk le még egyszer:
Találjuk ki, mi az a tört. Írjuk fel:
Most emlékezzünk a törtek osztásának szabályára: az 1/2-vel való osztáshoz meg kell szorozni a fordított törttel:
Természetesen a további számítások kényelme érdekében kettőt írhatunk 2/1-nek - és ezt figyeljük meg második együtthatóként a megoldási folyamatban.
Remélem, most már mindenki megérti, honnan származik a második együttható, ezért térjünk át közvetlenül a kanonikus logaritmikus egyenletünk megoldására.
Hadd emlékeztesselek arra, hogy most megszabadulhatunk a logaritmusoktól, és meghagyhatjuk a következő kifejezést:
2 (9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Nyissuk ki a bal oldali zárójeleket. Kapunk:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Mozgassunk mindent balról jobbra:
8x 4 + 14 - 18x 2 - 10 = 0
Hozzunk hasonlókat és kapjunk:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Ennek az egyenletnek mindkét oldalát eloszthatjuk 2-vel, hogy egyszerűsítsük az együtthatókat, és a következőt kapjuk:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Előttünk a szokásos bikvadratikus egyenlet, és gyökerei könnyen kiszámíthatók a diszkrimináns segítségével. Tehát írjuk le a diszkriminánst:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
Remek, a diszkrimináns „szép”, a gyökere a 7. Ennyi, számoljuk meg mi magunk az X-eket. De ebben az esetben a gyökök nem x, hanem x 2 lesznek, mert van egy kétnegyedes egyenletünk. Tehát a mi lehetőségeink:
Figyelem: kivontuk a gyökereket, így két válasz lesz, mert... négyzet - páros funkció. És ha csak a kettő gyökerét írjuk le, akkor egyszerűen elveszítjük a második gyökeret.
Most felírjuk a bikvadratikus egyenletünk második gyökét:
Ismét kivonjuk az aritmetikát Négyzetgyök egyenletünk mindkét oldaláról két gyöket kapunk. Ne feledje azonban:
Nem elég egyszerűen egyenlőségjelet tenni a logaritmusok érvei között kanonikus formában. Ne feledje a meghatározás területét!
Összesen négy gyökeret kaptunk. Valójában mindegyik az eredeti egyenletünk megoldása. Nézze meg: az eredeti logaritmikus egyenletünkben a belső logaritmusok vagy 9x 2 + 5 (ez a függvény mindig pozitív), vagy 8x 4 + 14 - ami szintén mindig pozitív. Ezért a logaritmusok definíciós tartománya minden esetben teljesül, függetlenül attól, hogy milyen gyöket kapunk, ami azt jelenti, hogy mind a négy gyök megoldása az egyenletünkre.
Remek, most térjünk át a probléma második részére.
Négy gyökünk közül kiválasztjuk azokat, amelyek a [−1; 8/9]. Visszatérünk a gyökereinkhez, és most ezek kiválasztását végezzük el. Először azt javaslom, hogy rajzoljon egy koordináta tengelyt, és jelölje meg rajta a szegmens végeit:
Mindkét pont árnyékolt lesz. Azok. A probléma feltételeinek megfelelően az árnyékolt szegmensre vagyunk kíváncsiak. Most pedig nézzük a gyökereket.
Kezdjük az irracionális gyökerekkel. Vegye figyelembe, hogy 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Ebből következik, hogy a kettő gyökere nem tartozik a számunkra érdekes szegmensbe. Hasonlóképpen negatív gyökkel kapjuk: kisebb, mint −1, azaz a számunkra érdekes szegmenstől balra fekszik.
Két gyök maradt: x = 1/2 és x = −1/2. Vegyük észre, hogy a szegmens bal vége (−1) negatív, jobb vége (8/9) pozitív. Ezért valahol e végek között van a 0. Az x = −1/2 gyök −1 és 0 között lesz, azaz. a végső válaszba fog kerülni. Ugyanezt tesszük az x = 1/2 gyökérrel. Ez a gyökér is a vizsgált szegmensben rejlik.
Győződjön meg arról, hogy 8/9 nagyobb, mint 1/2. Vonjuk ki ezeket a számokat egymásból:
A 7/18 > 0 törtet kaptuk, ami definíció szerint azt jelenti, hogy 8/9 > 1/2.
Jelöljük a megfelelő gyökereket a koordinátatengelyen:
A végső válasz két gyök lesz: 1/2 és −1/2.
Befejezésül szeretnék még egyszer visszatérni az irracionális számokhoz. Példájuk felhasználásával most megvizsgáljuk, hogyan lehet a racionális és irracionális mennyiségeket összehasonlítani a matematikában. Először is van köztük egy pipa, V - egy „több” vagy „kevesebb” jel, de még nem tudjuk, hogy melyik irányba van irányítva. Írjuk fel:
Miért van szükségünk egyáltalán összehasonlító algoritmusokra? A helyzet az, hogy ebben a feladatban nagyon szerencsések voltunk: a megoldás során felmerült az 1-es szám, amelyről határozottan elmondhatjuk:
Az ilyen számokat azonban nem mindig látja azonnal. Tehát próbáljuk meg közvetlenül összehasonlítani a számainkat.
Hogyan történik? Ugyanúgy járunk el, mint a közönséges egyenlőtlenségeknél:
Ha összehasonlításkor irracionális számok Nem lehet azonnal kiválasztani egy osztóelemet, azt javaslom, hogy egy ilyen összehasonlítást „fejjel” hajtson végre - közönséges egyenlőtlenségként leírva.
Megoldáskor a következőképpen formalizáljuk:
Most minden könnyen összehasonlítható. A lényeg, hogy 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
Ez van, szigorú bizonyítékot kaptunk arra, hogy az x számegyenesen minden szám helyesen és pontosan abban a sorrendben van megjelölve, ahogyan valójában lennie kell. Ebben a megoldásban senki nem fog kivetni, ezért ne feledd: ha nem látod azonnal az osztószámot (esetünkben 1), akkor nyugodtan írd ki a fenti konstrukciót, szorozd, négyzetezd – és a végén már kap egy szép egyenlőtlenséget. Ebből az egyenlőtlenségből kiderül, melyik szám nagyobb és melyik kisebb.
Visszatérve a problémánkra, szeretném még egyszer felhívni a figyelmet arra, hogy mit tettünk a legelején az egyenletünk megoldása során. Nevezetesen: alaposan megnéztük az eredeti logaritmikus egyenletünket, és megpróbáltuk redukálni kánoni logaritmikus egyenlet. Ahol csak logaritmusok vannak balra és jobbra - minden további tag nélkül, előtte együtthatók stb. Nem két logaritmusra van szükségünk a vagy b alapján, hanem egy másik logaritmussal egyenlő logaritmusra.
Ezenkívül a logaritmusok alapjainak is egyenlőnek kell lenniük. Sőt, ha az egyenletet helyesen állítottuk össze, akkor elemi logaritmikus transzformációk (logaritmusok összege, szám átalakítása logaritmussá stb.) segítségével ezt az egyenletet a kanonikusra redukáljuk.
Ezért mostantól, ha olyan logaritmikus egyenletet lát, amelyet nem lehet azonnal megoldani, ne tévedjen el, és ne próbálja kitalálni a választ. Mindössze annyit kell tennie, hogy kövesse az alábbi lépéseket:
Ennek eredményeként egy egyszerű egyenletet kap, amely elemi algebrai eszközökkel megoldható 8-9 osztályos anyagokból. Általában látogass el a weboldalamra, gyakorold a logaritmusmegoldást, oldj meg logaritmikus egyenleteket, mint én, oldd meg jobban, mint én. És nekem ennyi. Pavel Berdov veled volt. Viszlát!
