§ 6. MECHANIKAI REZGÉSEKAlapképletek
Harmonikus rezgésegyenlet
ahol X - az oszcilláló pont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből; t- idő; DE,ω, φ-, illetve amplitúdó, szögfrekvencia, rezgések kezdeti fázisa; - az oszcillációk pillanatnyi fázisa t.
Szöglengés frekvencia
ahol ν és T a rezgések gyakorisága és periódusa.
Egy pont sebessége, amely harmonikus rezgéseket okoz,
Harmonikus gyorsulás
Amplitúdó DE az egy egyenes mentén előforduló két azonos frekvenciájú rezgés összeadásával kapott rezgést a képlet határozza meg
ahol a 1 és DE 2 - az oszcillációs komponensek amplitúdói; φ 1 és φ 2 - kezdeti fázisaik.
A képletből megtudhatjuk a keletkező rezgés kezdeti φ fázisát
Az ugyanazon egyenes mentén fellépő két rezgés összeadásából adódó ütemek frekvenciája, amelyek különböző, de közeli értékűek ν 1 és ν 2 frekvenciákkal,
Két egymásra merőleges, A 1 és A 2 amplitúdójú és φ 1 és φ 2 kezdeti fázisú rezgésben részt vevő pont pályájának egyenlete,
Ha az oszcillációs komponensek φ 1 és φ 2 kezdeti fázisai azonosak, akkor a pályaegyenlet a következő alakot ölti:
azaz a pont egyenes vonalban mozog.
Abban az esetben, ha a fáziskülönbség , az egyenlet alakot ölt
azaz a pont ellipszis mentén mozog.
Anyagi pont harmonikus rezgésének differenciálegyenlete
, vagy 
, ahol m a pont tömege; k-
kvázi-rugalmas erő együtthatója ( k=tω 2).
Egy anyagi pont összenergiája, amely harmonikus rezgéseket okoz,
A rugóra (rugós inga) felfüggesztett test lengési periódusa,
ahol m- testtömeg; k- rugó merevsége. A képlet azokon a határokon belüli rugalmas rezgésekre érvényes, amelyekben a Hooke-törvény teljesül (kis rugótömeg mellett a test tömegéhez képest).
A matematikai inga lengési periódusa
ahol l- inga hossza; g- a gravitáció gyorsulása. Fizikai inga lengési periódusa
ahol J- az oszcilláló test tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül
ingadozások; a- az inga tömegközéppontjának távolsága a lengéstengelytől;
Fizikai inga csökkentett hossza.
A fenti képletek végtelenül kicsi amplitúdók esetén pontosak. Véges amplitúdók esetén ezek a képletek csak közelítő eredményeket adnak. Az amplitúdóknál nem nagyobb, mint a periódus értékének hibája nem haladja meg az 1%-ot.
Rugalmas menetre felfüggesztett test torziós rezgésének periódusa,
ahol J- a test tehetetlenségi nyomatéka a rugalmas menettel egybeeső tengely körül; k- egy rugalmas menet merevsége, amely megegyezik a menet megcsavarásakor keletkező rugalmas nyomaték és a menet elcsavarodási szögének arányával.
A csillapított rezgések differenciálegyenlete 
, vagy ,
ahol r- ellenállási együttható; δ - csillapítási együttható: ;ω 0 - a rezgések természetes szögfrekvenciája *
Csillapított oszcillációs egyenlet
ahol Nál nél)- csillapított rezgések amplitúdója pillanatnyilag t;ω a szögfrekvenciájuk.
A csillapított rezgések szögfrekvenciája
О A csillapított rezgések amplitúdójának időfüggősége
én
ahol DE 0 - az oszcilláció amplitúdója pillanatnyilag t=0.
Logaritmikus oszcilláció csökkenése
ahol Nál nél)és A(t+T)- két egymást követő oszcilláció amplitúdója, amelyeket időben elválaszt egymástól egy periódus.
Kényszerrezgések differenciálegyenlete
ahol egy oszcilláló anyagi pontra ható, kényszerrezgéseket okozó külső periodikus erő; F 0 - az amplitúdó értéke;
A kényszerrezgések amplitúdója
Rezonancia frekvencia és rezonancia amplitúdó 
és
Példák problémamegoldásra
1. példa A pont a törvény szerint oszcillál x(t)=
,
ahol A=2 lásd: φ kezdeti fázis meghatározása, ha
x(0)=cm és x , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t=0.
Megoldás. A mozgásegyenletet használjuk, és kifejezzük a pillanatnyi elmozdulást t=0 a kezdeti fázisig:
Innentől kezdve megtaláljuk a kezdeti fázist:
* A korábban megadott harmonikus rezgések képleteiben ugyanezt az értéket egyszerűen ω-vel jelöltük (0 index nélkül).
Helyettesítse a megadott értékeket ebbe a kifejezésbe x(0) és DE:φ=
= 
. Az argumentum értékét két szögérték elégíti ki:
Annak eldöntéséhez, hogy a φ szög ezen értékei közül melyik felel meg a feltételnek, először meg kell találnunk:
Ebbe a kifejezésbe behelyettesítve az értéket t=0 és felváltva a kezdeti fázisok értékei és azt találjuk
T 
rendben, mint mindig A>0 és ω>0, akkor csak a kezdeti fázis első értéke elégíti ki a feltételt. Így a kívánt kezdeti fázis
A φ talált értéke alapján vektordiagramot készítünk (6.1. ábra). 2. példa Anyagpont tömeggel t\u003d 5 g frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajt végre ν =0,5 Hz. Oszcillációs amplitúdó A=3 cm Határozzuk meg: 1) υ sebességet pont abban az időpontban, amikor az eltolás x== 1,5 cm; 2) maximális erő F max egy pontra ható; 3) ábra. 6,1 teljes energia E oszcilláló pont.
és a sebességképletet úgy kapjuk meg, hogy az elmozdulás első deriváltját vesszük:
A sebesség elmozdulásban való kifejezéséhez az időt ki kell zárni az (1) és (2) képletből. Ehhez mindkét egyenletet négyzetre emeljük, az elsőt elosztjuk vele DE 2 , a másodikat az A 2 ω 2-n, és add hozzá:
, vagy 
Az utolsó egyenlet megoldása υ-re , megtalálja
Miután elvégeztük a számításokat e képlet szerint, megkapjuk
A pluszjel annak az esetnek felel meg, amikor a sebesség iránya egybeesik a tengely pozitív irányával X, mínusz jel - amikor a sebesség iránya egybeesik a tengely negatív irányával X.
A harmonikus rezgés során bekövetkező elmozdulás az (1) egyenlet mellett az egyenlettel is meghatározható
Ugyanazt a megoldást ezzel az egyenlettel megismételve ugyanazt a választ kapjuk.
2. A pontra ható erőt Newton második törvénye szerint találjuk:
ahol a - egy pont gyorsulása, amelyet a sebesség időbeli deriváltjának felvételével kapunk:
A gyorsulási kifejezést a (3) képletbe behelyettesítve megkapjuk
Ezért az erő maximális értéke
Ebbe az egyenletbe behelyettesítve π, ν, tés A, megtalálja
3. Egy oszcilláló pont összenergiája a kinetikai és potenciális energiák összege bármely időpillanatban.
A teljes energia kiszámításának legegyszerűbb módja abban a pillanatban, amikor a kinetikus energia eléri a maximális értékét. Ezen a ponton a potenciális energia nulla. Tehát a teljes energia E oszcillációs pont egyenlő a maximális mozgási energiával
A maximális sebességet a (2) képletből határozzuk meg, beállítás: 
. A sebesség kifejezést behelyettesítve a (4) képletbe, azt találjuk
A mennyiségek értékét ebbe a képletbe behelyettesítve és számításokat végezve megkapjuk
vagy mcJ.
3. példa Vékony rúd végein l= 1 m és súly m 3 =400 g-os kis golyókat masszával megerősítünk m 1 = 200 g és m 2 = 300 g. A rúd a vízszintes tengely körül, arra merőlegesen oszcillál
dicularis rúd, és áthalad a közepén (6.2. ábra O pontja). Határozza meg az időszakot T a rúd által keltett rezgések.
Megoldás. A fizikai inga, amely egy golyós rúd, lengési periódusát az összefüggés határozza meg
ahol J- t - a súlya; l TÓL TŐL - távolság az inga tömegközéppontjától a tengelyig.
Ennek az inga tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az összeggel a golyók tehetetlenségi nyomatékai J 1 és J 2 és rúd J 3:
A golyókat anyagi pontnak tekintve kifejezzük tehetetlenségük pillanatait:
Mivel a tengely a rúd közepén halad át, a tehetetlenségi nyomatéka e tengely körül J 3 = =. Az eredményül kapott kifejezések behelyettesítése J 1 , J 2 és J A 3. képletben a (2) képletben megtaláljuk a fizikai inga teljes tehetetlenségi nyomatékát:
Ezzel a képlettel számításokat végezve azt találjuk
Rizs. 6.2 Az inga tömege a golyók tömegéből és a rúd tömegéből áll:
Távolság l TÓL TŐL az inga tömegközéppontját a lengés tengelyéből találjuk meg, a következő megfontolások alapján. Ha a tengely x irányítsa a rúd mentén, és igazítsa az origót a ponthoz ó, majd a kívánt távolságot l egyenlő az inga tömegközéppontjának koordinátájával, azaz.
A mennyiségek értékeinek helyettesítése m 1 , m 2 , m, lés számításokat végezve azt találjuk
Az (1) képlet szerinti számítások elvégzése után megkapjuk a fizikai inga lengési periódusát:
4. példa A fizikai inga egy hosszúságú rúd l= 1 m és súlya 3 t 1 Val velátmérőjű és tömegű karikával az egyik végéhez rögzítve t 1 . Vízszintes tengely Oz
inga halad át a rúd közepén rá merőlegesen (6.3. ábra). Határozza meg az időszakot T egy ilyen inga lengései.
Megoldás. A fizikai inga lengési periódusát a képlet határozza meg
(1)
ahol J- az inga tehetetlenségi nyomatéka a lengéstengely körül; t - a súlya; l C - az inga tömegközéppontja és a lengéstengely közötti távolság.
Az inga tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a rúd tehetetlenségi nyomatékainak összegével J 1 és karika J 2:
(2).
A rúd tehetetlenségi nyomatékát a rúdra merőleges és a tömegközéppontján átmenő tengelyhez képest a képlet határozza meg 
. Ebben az esetben t= 3t 1 és
A karika tehetetlenségi nyomatékát a Steiner-tétel segítségével találjuk meg 
,ahol J-
tehetetlenségi nyomaték tetszőleges tengely körül; J 0
-
tehetetlenségi nyomaték az adott tengellyel párhuzamos tömegközépponton átmenő tengely körül; a - a megadott tengelyek közötti távolság. Ezt a képletet a karikára alkalmazva azt kapjuk
Kifejezések helyettesítése J 1 és J A (2) képletben megtaláljuk az inga tehetetlenségi nyomatékát a forgástengely körül:
Távolság l TÓL TŐL az inga tengelyétől a tömegközéppontig az
Az (1) képletbe behelyettesítve a kifejezéseket J, l c és az inga tömege, megtudjuk a lengés periódusát:
Miután ezzel a képlettel számoltunk, azt kapjuk T\u003d 2,17 s.
5. példa Két azonos irányú oszcillációt adunk össze, amelyeket az egyenletek fejeznek ki; x 2 = =, hol DE 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Határozza meg az oszcilláció összetevőinek φ 1 és φ 2 kezdeti fázisait
bani. 2. Keresse meg az amplitúdót DEés a keletkező rezgés kezdeti fázisa φ. Írja fel az eredő rezgés egyenletét!
Megoldás. 1. A harmonikus rezgés egyenletének alakja
Alakítsuk át a feladat feltételében megadott egyenleteket ugyanilyen alakra:
A (2) kifejezések (1) egyenlőséggel való összehasonlításából megtaláljuk az első és a második rezgés kezdeti fázisát:
Örülök és 
boldog.
2. Az amplitúdó meghatározása DE Az eredményül kapott ingadozásból célszerű a ben bemutatott vektordiagramot használni rizs. 6.4. A koszinusztétel szerint azt kapjuk
ahol az oszcillációs komponensek fáziskülönbsége.. Mivel 
, akkor a talált φ 2 és φ 1 értékeket behelyettesítve rad értéket kapunk.
Cserélje ki az értékeket DE 1 , DE 2 és a (3) képletbe, és végezze el a számításokat:
A= 2,65 cm.
A keletkező rezgés kezdőfázisának φ érintője közvetlenül meghatározható az 1-1. 6.4: 
, ahonnan a kezdeti fázis
A rezgések legegyszerűbb fajtái a harmonikus rezgések- ingadozások, amelyekben a lengéspont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből idővel a szinusz vagy koszinusz törvény szerint változik.
Tehát, ha a golyó egyenletesen forog a kerület körül, a vetülete (árnyék párhuzamos fénysugarakban) harmonikus oszcillációs mozgást végez egy függőleges képernyőn (1. ábra).
A harmonikus rezgések során az egyensúlyi helyzetből való elmozdulást egy egyenlet írja le (ezt a harmonikus mozgás kinematikai törvényének nevezik), amelynek alakja:
ahol x - elmozdulás - az az érték, amely az oszcilláló pont helyzetét jellemzi t időpontban az egyensúlyi helyzethez viszonyítva, és az egyensúlyi helyzettől a t időpontban lévő pont távolságával mérjük. Ebben a pillanatban idő; A - oszcillációs amplitúdó - a test maximális elmozdulása az egyensúlyi helyzetből; T - oszcillációs periódus - egy teljes rezgés ideje; azok. az a legkisebb időtartam, amely után az oszcillációt jellemző fizikai mennyiségek értékei megismétlődnek; - kezdeti fázis;
Az oszcilláció fázisa t időpontban. Az oszcillációs fázis egy periodikus függvény argumentuma, amely adott rezgési amplitúdó mellett bármikor meghatározza a test rezgésrendszerének állapotát (elmozdulás, sebesség, gyorsulás).
Ha a kezdeti időpillanatban az oszcilláló pont maximálisan elmozdul az egyensúlyi helyzetből, akkor , és a pont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből a törvény szerint változik
Ha az at rezgőpont stabil egyensúlyi helyzetben van, akkor a pont elmozdulása az egyensúlyi helyzetből a törvény szerint változik
A V értéket, a periódus reciproka, amely megegyezik az 1 s alatt végrehajtott teljes rezgések számával, rezgési frekvenciának nevezzük:
Ha t időben a test N teljes rezgést végez, akkor
az érték 
, amely megmutatja, hogy a test hány oszcillációt végez s alatt, az úgynevezett ciklikus (körkörös) frekvencia.
A harmonikus mozgás kinematikai törvénye a következőképpen írható fel:
Grafikusan egy rezgőpont elmozdulásának az időtől való függését koszinusz (vagy szinusz) ábrázolja.
A 2. a ábra az oszcilláló pont egyensúlyi helyzettől való elmozdulásának időfüggését mutatja az esetre.
Nézzük meg, hogyan változik egy oszcilláló pont sebessége az idő múlásával. Ehhez megtaláljuk ennek a kifejezésnek az időbeli származékát:
ahol a sebesség vetületének amplitúdója az x tengelyen.
Ez a képlet azt mutatja, hogy harmonikus rezgések során a testsebesség x tengelyre vetülete is a harmonikus törvény szerint azonos frekvenciával, eltérő amplitúdóval változik, és a keveredési fázist megelőzi (2. ábra, b). .
A gyorsulás függőségének megállapításához megtaláljuk a sebesség-projekció időbeli deriváltját:
ahol a gyorsulási vetület amplitúdója az x tengelyen.
Harmonikus rezgések esetén a gyorsulási vetület k-val vezeti a fáziseltolódást (2. ábra, c).
Hasonlóképpen függőségi gráfokat is készíthet
Ennek figyelembevételével felírható a gyorsulás képlete
azok. harmonikus rezgések esetén a gyorsulási vetület egyenesen arányos az elmozdulással és ellentétes előjelű, azaz. a gyorsulás az elmozdulással ellentétes irányba irányul.
Tehát a gyorsulási vetület az elmozdulás második deriváltja, akkor a kapott arány a következőképpen írható fel:
Az utolsó egyenlőséget ún harmonikus rezgések egyenlete.
Olyan fizikai rendszert nevezünk, amelyben harmonikus rezgések létezhetnek harmonikus oszcillátor, és a harmonikus rezgések egyenlete - harmonikus oszcillátor egyenlet.
22. § HARMONIKUS OSZILLÁCIÓK
Tudva, hogy egy rezgő test gyorsulása és koordinátája hogyan függ össze, matematikai elemzés alapján meg lehet határozni a koordináta időfüggőségét.
A gyorsulás a koordináta második deriváltja az idő függvényében. A pont pillanatnyi sebessége, amint azt a matematikából tudja, a pont időbeli koordinátájának deriváltja. Egy pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja, vagy a koordinátának az időhöz viszonyított második deriváltja. Ezért a (3.4) egyenlet a következőképpen írható fel:
ahol x " a koordináta második deriváltja az idő függvényében. A (3.11) egyenlet szerint a szabad rezgések során az x koordináta idővel úgy változik, hogy a koordináta időbeli második deriváltja magával a koordinátával egyenesen arányos és ellentétes előjelű vele.
A matematika kurzusából ismert, hogy a szinusz és a koszinusz második deriváltja az argumentum szempontjából arányos magával a függvényekkel ellentétes jel. A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy más függvények nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Mindez alapos okkal állítja, hogy a szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel a szinusz vagy pasine törvénye szerint változik. A 3.6. ábra egy pont koordinátájának időbeli változását mutatja a koszinusztörvény szerint.
A fizikai mennyiségnek az időtől függő, a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint bekövetkező periodikus változásait harmonikus rezgéseknek nevezzük.
Oszcillációs amplitúdó. A harmonikus rezgések amplitúdója a test egyensúlyi helyzetből való legnagyobb elmozdulásának modulja.
Az amplitúdó lehet különféle jelentések attól függően, hogy a kezdeti pillanatban mennyire mozdítjuk ki a testet az egyensúlyi helyzetből, vagy milyen sebességgel számolunk a testnek. Az amplitúdót a kezdeti feltételek, vagy inkább a testnek adott energia határozza meg. De a szinuszmodul és a koszinuszmodul maximális értéke eggyel egyenlő. Ezért a (3.11) egyenlet megoldása nem fejezhető ki egyszerűen szinuszos vagy koszinuszos. Az x m rezgési amplitúdó szinuszos vagy koszinuszos szorzatának alakja legyen.
A szabad rezgéseket leíró egyenlet megoldása. A (3.11) egyenlet megoldását a következő formában írjuk fel:
és a második származék a következő lesz:
Megkaptuk a (3.11) egyenletet. Ezért a (3.12) függvény az eredeti (3.11) egyenlet megoldása. Ennek az egyenletnek a megoldása is a függvény lesz
A (3.14) szerint a test koordinátájának időfüggőségének grafikonja koszinuszhullám (lásd 3.6. ábra).
A harmonikus rezgések periódusa és gyakorisága. A rezgések során a testmozgások időszakosan ismétlődnek. Azt a T időtartamot, amely alatt a rendszer egy teljes rezgésciklust teljesít, rezgésperiódusnak nevezzük.
A periódus ismeretében meghatározhatja az oszcillációk gyakoriságát, azaz az időegységenkénti rezgések számát, például másodpercenként. Ha egy rezgés következik be a T időben, akkor a másodpercenkénti oszcillációk száma
A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a rezgések gyakorisága eggyel egyenlő, ha másodpercenként egy oszcilláció történik. A frekvencia mértékegységét G. Hertz német fizikus tiszteletére hertznek (rövidítve: Hz) nevezik.
Az oszcillációk száma 2 s alatt:
Érték - ciklikus vagy körkörös rezgések frekvenciája. Ha a (3.14) egyenletben a t idő egyenlő egy periódussal, akkor T = 2. Így, ha a t időpontban \u003d 0 x \u003d x m, akkor t időpontban \u003d T x \u003d x m, azaz egy periódusnak megfelelő időtartam, a rezgések megismétlődnek.
A szabad rezgések frekvenciáját az oszcillációs rendszer 1 sajátfrekvenciájával határozzuk meg.
A szabad rezgések gyakoriságának és periódusának függősége a rendszer tulajdonságaitól. Egy rugóra kapcsolt test rezgésének természetes frekvenciája a (3.13) egyenlet szerint egyenlő:
Minél nagyobb, minél nagyobb a k rugó merevsége, és minél kisebb, annál nagyobb az m testtömeg. Ez könnyen érthető: a merev rugó nagyobb gyorsulást ad a testnek, gyorsabban változtatja a test sebességét. És minél masszívabb a test, annál lassabban változtatja a sebességet az erő hatására. Az oszcillációs periódus a következő:
Különböző merevségű rugókészlettel és különböző tömegű testekkel, tapasztalatból könnyen igazolható, hogy a (3.13) és (3.18) képletek helyesen írják le u T k-tól és m-től való függésének természetét.
Figyelemre méltó, hogy a test rugón való rezgési periódusa és az inga kis elhajlási szögű lengési periódusa nem függ a lengési amplitúdótól.
Az inga lengéseit leíró (3.10) egyenletben a t gyorsulás és az x elmozdulás közötti arányossági együttható modulja a (3.11) egyenlethez hasonlóan a ciklikus frekvencia négyzete. Következésképpen a matematikai inga lengéseinek természetes frekvenciája a szál függőlegestől való kis eltérési szögeinél az inga hosszától és a szabadesési gyorsulástól függ:
Ezt a képletet először G. Huygens holland tudós szerezte meg és tesztelte, I. Newton kortársa. Csak a menet kis elhajlási szögeire érvényes.
1 A következőkben a rövidség kedvéért gyakran a ciklikus frekvenciát egyszerűen frekvenciának nevezzük. A ciklikus frekvenciát jelöléssel lehet megkülönböztetni a szokásos frekvenciától.
A lengés periódusa az inga hosszával növekszik. Nem függ az inga tömegétől. Ez könnyen ellenőrizhető különféle ingákkal végzett kísérletekkel. Megtalálható az oszcillációs periódus függése a szabadesési gyorsulástól is. Minél kisebb g, annál hosszabb az inga lengési periódusa, következésképpen annál lassabban jár az inga óra. Így egy rúdon lévő súly formájában ingával ellátott óra majdnem 3 másodperccel lemarad egy nap alatt, ha felemelik a pincéből a Moszkvai Egyetem felső szintjére (magasság 200 m). És ez csak a szabadesés gyorsulásának a magassággal való csökkenésének köszönhető.
Az inga lengési periódusának g értékétől való függését a gyakorlatban alkalmazzák. Az oszcilláció periódusának mérésével g nagyon pontosan meghatározható. A szabadesés gyorsulása től változik földrajzi szélesség. De még egy adott szélességi körön sem mindenhol egyforma. Hiszen a földkéreg sűrűsége nem mindenhol egyforma. Azokon a területeken, ahol sűrű kőzetek fordulnak elő, a g gyorsulás valamivel nagyobb. Ezt figyelembe veszik az ásványok felkutatása során.
Így a vasérc sűrűsége megnövekedett a hagyományos kőzetekhez képest. A Kurszk melletti gravitációs gyorsulás mérései, amelyeket A. A. Mikhailov akadémikus irányításával végeztek, lehetővé tették a gravitáció helyének tisztázását. vasérc. Először mágneses mérésekkel fedezték fel őket.
A mechanikai rezgések tulajdonságait a legtöbb elektronikus mérleg eszközei alkalmazzák. A lemérendő testet egy platformra helyezik, amely alá merev rugót szerelnek fel. Ennek eredményeként mechanikai rezgések lépnek fel, amelyek frekvenciáját egy megfelelő érzékelő méri. Az ehhez az érzékelőhöz csatlakoztatott mikroprocesszor az oszcillációs frekvenciát lefordítja a lemért test tömegére, mivel ez a frekvencia a tömegtől függ.
A kapott (3.18) és (3.20) képletek az oszcillációs periódusra azt jelzik, hogy a harmonikus rezgések periódusa a rendszer paramétereitől (rugó merevség, menethossz stb.) függ.
Myakishev G. Ya., fizika. 11. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; szerk. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17. kiadás, átdolgozva. és további - M.: Oktatás, 2008. - 399 p.: ill.
A témák teljes listája osztályonként, naptári terv alapján iskolai tananyag fizikából online, fizikából videóanyag a 11. évfolyamhoz letöltés
Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári tervet az évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék(lat. amplitúdó- magnitúdó) - ez a rezgő test legnagyobb eltérése az egyensúlyi helyzettől.
Inga esetében ez az a maximális távolság, amennyit a labda elmozdul egyensúlyi helyzetéből (az alábbi ábra). Kis amplitúdójú oszcillációk esetén ez a távolság felvehető a 01 vagy 02 ív hosszának, valamint ezen szakaszok hosszának.
Az oszcillációs amplitúdót hosszegységekben mérik - méter, centiméter stb. Az oszcillációs grafikonon az amplitúdó a szinuszos görbe maximális (modulo) ordinátájaként van definiálva (lásd az alábbi ábrát).
Oszcillációs periódus- ez az a legkisebb időtartam, amely után a rendszer rezgéseket végezve ismét visszatér abba az állapotba, amelyben a kezdeti, önkényesen választott időpillanatban volt.
Más szóval, az oszcillációs periódus ( T) az az idő, ameddig egy teljes oszcilláció megy végbe. Például az alábbi ábrán ez az az idő, amely alatt az inga súlya a jobb szélső ponttól az egyensúlyi ponton áthalad. O a bal szélső pontig és vissza a ponton keresztül O ismét a jobb szélen.
A teljes rezgési perióduson ezért a test négy amplitúdóval megegyező utat jár be. Az oszcillációs periódus mérése időegységekben történik - másodperc, perc stb. A rezgési periódus a jól ismert rezgési grafikonon határozható meg (lásd az alábbi ábrát).
Az „oszcillációs periódus” fogalma szigorúan csak akkor érvényes, ha az oszcilláló mennyiség értékei egy bizonyos idő elteltével pontosan ismétlődnek, vagyis harmonikus rezgések esetén. Ez a fogalom azonban a megközelítőleg ismétlődő mennyiségek eseteire is vonatkozik, pl csillapított oszcillációk.
Oszcillációs frekvencia az időegységenkénti rezgések száma, például 1 s alatt.
A frekvencia SI mértékegysége a neve hertz(Hz) G. Hertz (1857-1894) német fizikus tiszteletére. Ha az oszcillációs frekvencia ( v) egyenlő 1 Hz, akkor ez azt jelenti, hogy minden másodpercben egy rezgés történik. A rezgések gyakoriságát és periódusát a következő összefüggések kapcsolják össze:
Az oszcillációelméletben a fogalom is használatos ciklikus, vagy körkörös frekvencia ω . Ez a normál frekvenciához kapcsolódik vés az oszcillációs periódus T arányok:
.
Ciklikus frekvencia az oszcillációk száma per 2π másodpercig.
Ingadozások - a rendszer állapotainak megváltoztatásának folyamata az egyensúlyi pont körül, időben bizonyos fokig ismétlődően.
Harmonikus oszcilláció - olyan rezgések, amelyekben egy fizikai (vagy bármely más) mennyiség idővel szinuszos vagy koszinuszos törvény szerint változik. A harmonikus rezgések kinematikai egyenlete alakja
ahol x az oszcilláló pont elmozdulása (eltérése) az egyensúlyi helyzettől a t időpontban; A - oszcillációs amplitúdó, ez az az érték, amely meghatározza az oszcillációs pont maximális eltérését az egyensúlyi helyzettől; ω - ciklikus frekvencia, a 2π másodpercen belül fellépő teljes rezgések számát mutató érték - a rezgések teljes fázisa, 0 - az oszcillációk kezdeti fázisa.
Amplitúdó - egy változó elmozdulásának vagy változásának maximális értéke az átlagos értékhez képest oszcilláló vagy hullámmozgás közben.
A rezgések amplitúdóját és kezdeti fázisát a mozgás kezdeti feltételei határozzák meg, pl. egy anyagi pont helyzete és sebessége a t=0 pillanatban.
Általános harmonikus rezgés be differenciális forma
A hanghullámok és audiojelek amplitúdója általában a hullámban lévő légnyomás amplitúdójára utal, de néha az egyensúlyi helyzetből (levegő vagy a hangszóró membránja) való elmozdulás amplitúdójaként írják le.
Frekvencia - fizikai mennyiség, jellemző a periodikus folyamatra, számával egyenlő a folyamat teljes ciklusai időegység alatt. A hanghullámok rezgésének gyakoriságát a hangforrás rezgési frekvenciája határozza meg. A magas frekvenciájú rezgések gyorsabban csillapodnak, mint az alacsony frekvenciájú rezgések.
Az oszcillációs frekvencia reciprokát T periódusnak nevezzük.
Az oszcillációs periódus az egy időtartama teljes ciklus ingadozások.
A koordinátarendszerben a 0 pontból megrajzoljuk az А̅ vektort, amelynek az OX tengelyre vetülete egyenlő Аcosϕ-vel. Ha az А̅ vektor egyenletesen forog ω˳ szögsebességgel az óramutató járásával ellentétes irányba, akkor ϕ=ω˳t + ϕ˳, ahol ϕ˳ a ϕ (oszcillációs fázis) kezdeti értéke, akkor az oszcillációs amplitúdó az egyenletesen forgó vektor modulusa. А̅, az oszcillációs fázis (ϕ ) az А̅ vektor és az ОХ tengely közötti szög, a kezdeti fázis (ϕ˳) ennek a szögnek a kezdőértéke, az oszcillációk szögfrekvenciája (ω) a szög forgási szögsebessége. a vektor А̅..
2. Hullámfolyamatok jellemzői: hullámfront, nyaláb, hullámsebesség, hullámhossz. Hosszanti és keresztirányú hullámok; példák.
Hullámfrontnak nevezzük azt a felületet, amely egy adott időpillanatban elválasztja a rezgéssel már borított és még nem borított közeget. Egy ilyen felület minden pontján a hullámfront távozása után azonos fázisú rezgések jönnek létre.
A nyaláb merőleges a hullámfrontra. Az akusztikus sugarak a fénysugarakhoz hasonlóan homogén közegben egyenes vonalúak. Két médium határfelületén tükröződik és megtörik.
Hullámhossz - a távolság két egymáshoz legközelebb eső, azonos fázisban oszcilláló pont között, általában a hullámhosszt a görög betű jelzi. A vízben egy kidobott kőből származó hullámokkal analóg módon a hullámhossz két szomszédos hullámhegy közötti távolság. A rezgések egyik fő jellemzője. Távolság mértékegységében mérve (méter, centiméter stb.)
A rezgések szögfrekvenciája (ω) az А̅(V) vektor forgási szögsebessége, a rezgéspont x elmozdulása az А̅ vektornak az OX tengelyre való vetülete.
V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳), ahol Vm=Aω˳ maximális sebesség(sebesség amplitúdója)
3. Szabad és kényszerrezgések. A rendszer lengéseinek természetes frekvenciája. Rezonancia jelenség. Példák .
Szabad (természetes) rezgések azokat nevezik, amelyeket a hő által kezdetben kapott energia miatt külső hatás nélkül hajtanak végre. Az ilyen mechanikai rezgések jellemző modelljei a rugón lévő anyagi pont (rugóinga) és a nyújthatatlan meneten lévő anyagi pont (matematikai inga).
Ezekben a példákban az oszcillációk vagy a kezdeti energia miatt keletkeznek (egy anyagi pont eltérése az egyensúlyi helyzettől és mozgás nélkül kezdeti sebesség), vagy a mozgási energia miatt (a test az egyensúlyi helyzet kezdeti helyzetében sebességet kap), vagy mindkettő miatt (a sebesség üzenete az egyensúlyi helyzettől eltért testnek).
Tekintsünk egy rugós ingát. Egyensúlyi helyzetben az F1 rugalmas erő
egyensúlyba hozza a gravitációs erőt mg. Ha a rugót x távolságra meghúzzuk, akkor az anyagpontra nagy rugalmassági erő hat. A rugalmas erő (F) értékének változása a Hooke-törvény szerint arányos a rugó hosszának változásával vagy a pont x elmozdulásával: F= - rx
Egy másik példa. Az egyensúlyi helyzettől való eltérés matematikai inga olyan kicsi α szög, hogy egy anyagi pont mozgási pályáját az OX tengellyel egybeeső egyenesnek tekinthetjük. Ebben az esetben teljesül a közelítő egyenlőség: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L
Csillapítatlan rezgések. Tekintsünk egy olyan modellt, amelyben a húzóerőt figyelmen kívül hagyjuk.
A rezgések amplitúdóját és kezdeti fázisát a mozgás kezdeti feltételei határozzák meg, pl. az anyagi pont pillanatának helyzete és sebessége t=0.
Között különféle fajták oszcilláció A harmonikus rezgés a legegyszerűbb forma.
Így egy rugóra vagy menetre felfüggesztett anyagi pont harmonikus rezgéseket hajt végre, ha az ellenállási erőket nem vesszük figyelembe.
Az oszcilláció periódusát a következő képletből találhatjuk meg: T=1/v=2P/ω0
csillapított rezgések. NÁL NÉL valós eset ellenállási (súrlódási) erők hatnak a rezgő testre, a mozgás jellege megváltozik, a rezgés csillapodik.
Az egydimenziós mozgás tekintetében az utolsó képletet a következő alakban adjuk: Fс= - r * dx/dt
Az oszcillációs amplitúdó csökkenésének mértékét a csillapítási együttható határozza meg: minél erősebb a közeg lassító hatása, annál nagyobb a ß és annál gyorsabban csökken az amplitúdó. A gyakorlatban azonban a csillapítás mértékét gyakran logaritmikus csillapítási csökkenés jellemzi, ami azt jelenti, hogy ez az érték egyenlő a két egymást követő amplitúdó arányának természetes logaritmusával, amelyeket az oszcillációs periódussal egyenlő időintervallum választ el, ezért a csillapítási együttható és a logaritmikus csillapítási csökkenést egy meglehetősen egyszerű összefüggés köti össze: λ=ßT
Erős csillapításnál a képletből látható, hogy a lengési periódus egy képzeletbeli mennyiség. A mozgás ebben az esetben már nem lesz periodikus, és aperiodikusnak nevezzük.
Kényszerrezgések. Kényszerrezgéseknek nevezzük azokat a rezgéseket, amelyek egy periódusos törvény szerint változó külső erő közreműködésével lépnek fel a rendszerben.
Tegyük fel, hogy az F=F0 cos ωt anyagpontra a rugalmas és a súrlódási erőn kívül külső hajtóerő hat.
A kényszerrezgés amplitúdója egyenesen arányos a hajtóerő amplitúdójával, és összetett függésben van a közeg csillapítási együtthatójától, valamint a természetes és kényszerrezgések körfrekvenciáitól. Ha a rendszerre adott ω0 és ß, akkor a kényszerrezgések amplitúdója a hajtóerő meghatározott fajlagos frekvenciáján, ún. rezonáns Magát a jelenséget - az erőltetett rezgések maximális amplitúdójának elérését adott ω0 és ß esetén - ún. rezonancia.
A rezonancia körfrekvencia a minimális nevező feltételéből adható meg: ωres=√ωₒ- 2ß
A mechanikai rezonancia előnyös és káros is lehet. A káros hatás elsősorban az általa okozott pusztuláshoz kapcsolódik. Tehát a technológiában, a különböző rezgések figyelembevételével, gondoskodni kell a rezonanciaviszonyok esetleges előfordulásáról, különben pusztulás és katasztrófa következhet be. A testek általában több természetes rezgésfrekvenciával és ennek megfelelően több rezonanciafrekvenciával rendelkeznek.
A belső szervekben külső mechanikai rezgések hatására rezonáns jelenségek lépnek fel. Nyilvánvalóan ez az egyik oka az infrahangos rezgések és rezgések emberi testre gyakorolt negatív hatásának.
6. Hangkutatási módszerek az orvostudományban: ütőhangszerek, auskultáció. Fonokardiográfia.
A hang az állapotinformációk forrása lehet belső szervek ezért a beteg állapotának tanulmányozásának olyan módszerei, mint az auskultáció, az ütőhangszerek és a fonokardiográfia, jól elterjedtek az orvostudományban.
Hallgatózás
Az auskultációhoz fonendoszkópot vagy fonendoszkópot használnak. A fonendoszkóp egy üreges kapszulából áll, melynek hangáteresztő membránja a páciens testére van felhelyezve, ebből gumicsövek mennek az orvos fülébe. A kapszulában a légoszlop rezonanciája lép fel, aminek eredményeként a hang felerősödik, és javul az auskultáció. A tüdő auszkultációja során légzési hangok, különféle betegségekre jellemző zihálás hallatszik. Meghallgathatja a szívet, a beleket és a gyomrot is.
Ütőhangszerek
Ennél a módszernél az egyes testrészek hangját hallgatják, amikor megérinti őket. Képzeljünk el egy zárt üreget valamilyen test belsejében, tele levegővel. Ha hangrezgéseket okoz ebben a testben, akkor egy bizonyos hangfrekvenciánál az üregben lévő levegő rezonálni kezd, kiemelve és felerősítve az üreg méretének és helyzetének megfelelő hangot. Az emberi testet gázzal töltött (tüdő), folyadék (belső szervek) és szilárd (csontok) térfogatok kombinációjaként ábrázolhatjuk. A test felületének megütésekor rezgések lépnek fel, amelyek frekvenciája széles tartományú. Ebből a tartományból néhány rezgés meglehetősen gyorsan kialszik, míg mások az üregek természetes oszcillációival egybeesve felerősödnek, és a rezonancia hatására hallhatóak lesznek.
Fonokardiográfia
A szívműködés állapotának diagnosztizálására szolgál. A módszer a szívhangok és zörejek grafikus rögzítéséből és diagnosztikus értelmezéséből áll. A fonokardiográf egy mikrofonból, egy erősítőből, egy frekvenciaszűrő rendszerből és egy felvevő készülékből áll.
9. Ultrahangos kutatási módszerek (ultrahang) az orvosi diagnosztikában.
1) Diagnosztikai és kutatási módszerek
Ide tartoznak a főként impulzív sugárzást alkalmazó helymeghatározási módszerek. Ez az echoencephalography - a daganatok és az agy duzzanatának meghatározása. Ultrahangos kardiográfia - a szív méretének mérése dinamikában; a szemészetben - ultrahangos hely a szemmédium méretének meghatározására.
2) Befolyásolási módszerek
Ultrahangos fizioterápia - mechanikai és termikus hatások a szövetre.
11. Lökéshullám. Lökéshullámok előállítása és alkalmazása az orvostudományban.
lökéshullám
– szakadási felület, amely a gázhoz képest mozog, és amelynek metszéspontjában a nyomás, a sűrűség, a hőmérséklet és a sebesség ugrásszerűen megnő.
Nagy zavarok (robbanás, testek szuperszonikus mozgása, erős elektromos kisülés stb.) esetén a közeg rezgő részecskéinek sebessége a hangsebességgel összemérhetővé válhat. , lökéshullám lép fel.
A lökéshullámnak jelentős energiája lehet, tehát, at atomrobbanás lökéshullám kialakulásához környezet a robbanás energiájának körülbelül 50%-a elhasználódik. Ezért a biológiai és műszaki tárgyakat elérő lökéshullám halált, sérülést és pusztulást okozhat.
A lökéshullámokat az orvostechnikában használják, amelyek rendkívül rövid, erőteljes nyomásimpulzusok, nagy nyomásamplitúdókkal és kis nyújtási komponenssel. A páciens testén kívül keletkeznek, és mélyen a testbe jutnak, terápiás hatást kifejtve, amelyet a berendezésmodell specializációja biztosít: húgykövek zúzása, fájdalomzónák és mozgásszervi sérülések következményeinek kezelése, szívizom infarktus utáni felépülés serkentése, cellulitképződmények simítása stb.
