Instituição Educacional Municipal

Escola Secundária nº 4

Seções cônicas

Concluído

SpiridonovAnton

aluno da turma 11A

Verificado

Korobeynikova A. T.

Tobolsk – 2006

O conceito de seções cônicas

Tipos de seções cônicas

Estudar

Construção de seções cônicas

Abordagem analítica

Aplicativo

Aplicativo

Bibliografia

Introdução.

Objetivo: estudar seções cônicas.

Objectivos: aprender a distinguir entre tipos de secções cónicas, construir secções cónicas e aplicar uma abordagem analítica.

As seções cônicas foram propostas pela primeira vez para serem usadas pelo antigo geômetra grego Menaechmus, que viveu no século IV aC, ao resolver o problema de duplicação de um cubo. Esta tarefa está associada à legenda a seguir.

Um dia, uma epidemia de peste eclodiu na ilha de Delos. Os habitantes da ilha recorreram ao oráculo, que disse que para travar a epidemia era necessário duplicar o altar de ouro, que tinha a forma de um cubo e estava localizado no templo de Apolo, em Atenas. um novo altar, cujas costelas eram duas vezes maiores que as costelas do anterior. No entanto, a praga não parou. Os moradores indignados ouviram do oráculo que eles entenderam mal suas instruções - não eram as bordas do cubo que precisavam ser duplicadas, mas sim o seu volume, ou seja, as bordas do cubo deveriam ser aumentadas em um fator de 100%. Em termos de álgebra geométrica, usada pelos matemáticos gregos, o problema significava: dado um segmento a, encontre os segmentos x e y tais que a: x = x: y = y: 2a. Então o comprimento do segmento x será igual a />.

A proporção dada pode ser considerada como um sistema de equações:

Mas x2=ay e y2=2ax são equações de parábolas. Portanto, para resolver o problema, é necessário encontrar seus pontos de intersecção. Se levarmos em conta que a equação da hipérbole xy = 2a2 pode ser obtida a partir do sistema, então o mesmo problema pode ser resolvido encontrando os pontos de intersecção da parábola e da hipérbole.

Para obter seções cônicas, Menaechmus cruzou um cone - agudo, retangular ou obtuso - com um plano perpendicular a uma das geratrizes. Para um cone de ângulo agudo, a seção por um plano perpendicular à sua geratriz tem a forma de uma elipse. Um cone obtuso dá uma hipérbole e um cone retangular dá uma parábola.

Daí surgiram os nomes das curvas, introduzidos por Apolônio de Perga, que viveu no século III a.C.: elipse (έλλείψίς), que significa uma falha, uma deficiência (do ângulo de um cone com uma linha reta) ; hipérbole (ύπέρβωλη) - exagero, preponderância (de um ângulo de cone sobre uma linha reta); parábola (παραβολη) - aproximação, igualdade (de um ângulo de cone a um ângulo reto). Mais tarde, os gregos notaram que todas as três curvas poderiam ser obtidas em um cone, alterando a inclinação do plano secante. Neste caso, deve-se pegar um cone composto por duas cavidades e pensar que elas se estendem até o infinito (Fig. 1).

Se desenharmos uma seção de um cone circular perpendicular ao seu eixo, e depois girarmos o plano secante, deixando fixo um ponto de sua intersecção com o cone, veremos como o círculo primeiro se estenderá, transformando-se em uma elipse. o segundo vértice da elipse irá para o infinito, e em vez de uma elipse obteremos uma parábola, e então o plano também cruzará a segunda cavidade do cone e o resultado será uma hipérbole.

O conceito de seções cônicas.

Seções cônicas são curvas planas obtidas pela intersecção de um cone circular reto com um plano que não passa por seu vértice. Do ponto de vista da geometria analítica, uma seção cônica é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma equação de segunda ordem. Com exceção dos casos degenerados discutidos na última seção, as seções cônicas são elipses, hipérboles ou parábolas (Fig. 2).

Quando um triângulo retângulo é girado em torno de um de seus catetos, a hipotenusa com suas extensões descreve uma superfície cônica chamada superfície de um cone circular reto, que pode ser considerada como uma série contínua de linhas que passam pelo vértice e são chamadas de geradores, todos geradores apoiado no mesmo círculo, denominado gerador. Cada um dos geradores é a hipotenusa de um triângulo giratório (em sua posição conhecida), estendido em ambas as direções até o infinito. Assim, cada geratriz se estende em ambos os lados do vértice, pelo que a superfície possui duas cavidades: elas convergem em um ponto em um vértice comum. Se tal superfície for interceptada por um plano, então a seção produzirá uma curva, que é chamada de seção cônica. Pode ser de três tipos:

1) se um plano cruza uma superfície cônica ao longo de todas as geratrizes, então apenas uma cavidade é dissecada e uma curva fechada chamada elipse é obtida no corte;

2) se o plano cortante cruza ambas as cavidades, obtém-se uma curva que possui dois ramos e é chamada de hipérbole;

3) se o plano de corte for paralelo a uma das geratrizes, obtém-se uma parábola.

Se o plano secante for paralelo ao círculo gerador, o resultado será um círculo que pode ser considerado um caso especial de elipse. Um plano de corte pode cruzar uma superfície cônica em apenas um vértice, então um ponto é obtido na seção, como um caso especial de elipse.

Se um plano que passa pelo vértice intercepta ambas as cavidades, então a seção produz um par de linhas que se cruzam, considerado um caso especial de hipérbole.

Se o vértice estiver infinitamente distante, então a superfície cônica torna-se cilíndrica, e sua seção por um plano paralelo aos geradores dá um par de retas paralelas como um caso especial de parábola. As seções cônicas são expressas por equações de 2ª ordem, cuja forma geral é

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

e são chamadas de curvas de 2ª ordem.

Tipos de seções cônicas.

As seções cônicas podem ser de três tipos:

1) o plano de corte cruza o cone todo formado em pontos de uma de suas cavidades; a linha de intersecção é uma curva oval fechada - uma elipse; um círculo como caso especial de elipse é obtido quando o plano de corte é perpendicular ao eixo do cone.

2) O plano de corte é paralelo a um dos planos tangentes do cone; na seção transversal, o resultado é uma curva aberta indo ao infinito - uma parábola, situada inteiramente em uma cavidade.

3) O plano de corte cruza as duas metades do cone; a linha de intersecção - uma hipérbole - consiste em duas partes abertas idênticas que se estendem ao infinito (ramos da hipérbole) situadas em ambas as cavidades do cone.

Estudar.

Nos casos em que uma seção cônica possui centro de simetria (centro), ou seja, é uma elipse ou hipérbole, sua equação pode ser reduzida (movendo a origem das coordenadas para o centro) à forma:

a11x2+2a12xy+ a22y2 = a33.

Estudos posteriores dessas seções cônicas (chamadas centrais) mostram que suas equações podem ser reduzidas a uma forma ainda mais simples:

Ах2+ Ву2 = С,

se para as direções dos eixos coordenados, selecione as direções principais - as direções dos eixos principais (eixos de simetria) das seções cônicas. Se A e B tiverem os mesmos sinais (coincidindo com o sinal de C), então a equação define uma elipse; se A e B têm sinais opostos, então é uma hipérbole.

A equação da parábola não pode ser reduzida à forma (Ax2 + By2 = C). Ao escolher adequadamente os eixos coordenados (um eixo coordenado é o único eixo de simetria da parábola, o outro é uma linha reta perpendicular a ele, passando pelo vértice da parábola), sua equação pode ser reduzida à forma:

CONSTRUÇÃO DE SEÇÕES CÔNICAS.

Estudando seções cônicas como interseções de planos e cones, os antigos matemáticos gregos também as consideravam como trajetórias de pontos em um plano. Verificou-se que uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos, cuja soma das distâncias a dois pontos dados é constante; parábola - como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um determinado ponto e de uma determinada linha reta; hipérbole - como o lugar geométrico dos pontos, a diferença nas distâncias de dois pontos dados é constante.

Estas definições de seções cônicas como curvas planas também sugerem um método para sua construção utilizando um fio esticado.

Elipse... Se as pontas de um fio de determinado comprimento são fixadas nos pontos F1 e F2 (Fig. 3), então a curva descrita pela ponta de um lápis deslizando ao longo de um fio bem esticado tem a forma de uma elipse. Os pontos F1 e F2 são chamados de focos da elipse, e os segmentos V1V2 e v1v2 entre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados são chamados de eixos maiores e menores. Se os pontos F1 e F2 coincidirem, a elipse se transforma em um círculo (Fig. 3).

Hipérbole. Ao construir uma hipérbole, o ponto P, a ponta de um lápis, é fixado em um fio que desliza livremente ao longo dos pinos instalados nos pontos F1 e F2, conforme mostrado na Figura 4, a, as distâncias são selecionadas de forma que o segmento PF2 ultrapasse o segmento PF1 de comprimento por um valor fixo, menor que a distância F1F2. Neste caso, uma extremidade do fio passa sob o pino F1 e ambas as extremidades do fio passam sobre o pino F2 (a ponta do lápis não deve deslizar ao longo do fio, por isso deve ser fixada fazendo um pequeno laço no fio e passando a ponta por ele.) Desenhamos um ramo da hipérbole (PV1Q), certificando-nos de que o fio permanece esticado o tempo todo e puxando ambas as pontas do fio para baixo, passando pelo ponto F2, e quando ponto P aparece abaixo do segmento F1F2, segurando a linha pelas duas pontas e soltando-a com cuidado. Desenhamos o segundo ramo da hipérbole trocando primeiro os pinos F1 e F2 (Fig. 4).

Os ramos da hipérbole aproximam-se de duas linhas retas que se cruzam entre os ramos. Essas linhas retas, chamadas assíntotas de hipérboles, são construídas conforme mostrado na Figura 4, b. Angular

os coeficientes dessas retas são iguais a onde é o segmento da bissetriz do ângulo entre as assíntotas, perpendicular ao segmento F2F1; O segmento v1v2 é chamado de eixo conjugado da hipérbole, e o segmento V1V2 é seu eixo transversal. Assim, as assíntotas são as diagonais de um retângulo cujos lados passam por quatro pontos v1, v2, V1, V2 paralelos aos eixos. Para construir este retângulo, você precisa especificar a localização dos pontos v1 e v2. Eles estão à mesma distância, iguais

do ponto de intersecção dos eixos O. Esta fórmula pressupõe a construção de um triângulo retângulo com catetos Ov1 e V2O e hipotenusa F2O.

Se as assíntotas de uma hipérbole são mutuamente perpendiculares, então a hipérbole é chamada equilátera. Duas hipérboles que possuem assíntotas comuns, mas com os eixos transverso e conjugado reorganizados, são chamadas mutuamente conjugadas.

Parábola. Os focos da elipse e da hipérbole eram conhecidos por Apolônio, mas //o foco da parábola foi aparentemente estabelecido pela primeira vez por Pappus (segunda metade do século III), que definiu esta curva como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma determinado ponto (foco) e uma determinada linha reta, que é chamada de diretora. A construção de uma parábola com fio esticado, baseada na definição de Pappus, foi proposta por Isidoro de Mileto (século VI) (Fig. 5).

Vamos posicionar a régua de forma que sua aresta coincida com a diretriz, e anexar as pernas AC do triângulo desenhado ABC a esta aresta. Vamos prender uma ponta de um fio de comprimento AB no vértice do triângulo B, e a outra no foco da parábola F. Depois de puxar o fio com a ponta de um lápis, pressione a ponta no ponto variável P para o perna livre AB do triângulo desenhado. À medida que o triângulo se move ao longo da régua, o ponto P descreverá o arco de uma parábola com foco F e diretriz, pois o comprimento total do fio é igual a AB, a seção do fio é adjacente à perna livre do triângulo, e portanto a seção restante do fio PF deve ser igual à parte restante da perna AB, ou seja PA. O ponto de intersecção de V da parábola com o eixo é chamado //o vértice da parábola, a linha reta passando por F e V é //o eixo da parábola. Se uma linha reta é traçada através do foco, perpendicular ao eixo, então o segmento dessa linha reta, cortado pela parábola, é chamado //o parâmetro focal Para elipses e hipérboles, o parâmetro focal é determinado de forma semelhante.

ABORDAGEM ANALÍTICA

Classificação algébrica. Em termos valgébricos, as seções cônicas podem ser definidas como curvas planas cujas coordenadas no sistema de coordenadas cartesianas satisfazem uma equação de segundo grau. Em outras palavras, a equação de todas as seções cônicas pode ser escrita na forma geral como

onde nem todos os coeficientes A, B e C são iguais a zero. Usando translação paralela e rotação dos eixos, a equação (1) pode ser reduzida à forma

machado2 + by2 + c = 0

A primeira equação é obtida da equação (1) para B2 > AC, a segunda - para B2 = AC. As seções cônicas cujas equações são reduzidas à primeira forma são chamadas centrais. Seções cônicas definidas por equações do segundo tipo com q > 0 são chamadas de não centrais. Dentro destas duas categorias, existem nove tipos diferentes de secções cónicas dependendo do sinal dos coeficientes.

1) Se os coeficientes a, bec têm o mesmo sinal, então não existem pontos reais cujas coordenadas satisfaçam a equação. Essa seção cônica é chamada de elipse imaginária (ou círculo imaginário se a = b).

2) Se aeb têm o mesmo sinal e c tem sinal oposto, então a seção cônica é uma elipse; quando a =b – círculo.

3) Se aeb têm sinais diferentes, então a seção cônica é uma hipérbole.

4) Se aeb têm sinais diferentes e c = 0, então a seção cônica consiste em duas linhas que se cruzam.

5) Se aeb têm o mesmo sinal e c = 0, então existe apenas um ponto real na curva que satisfaz a equação, e a seção cônica são duas linhas imaginárias que se cruzam. Neste caso, falamos também de uma elipse contraída a um ponto, ou, se a = b, de um círculo contraído a um ponto.

6) Se a ou b for igual a zero e os demais coeficientes tiverem sinais diferentes, então a seção cônica consiste em duas retas paralelas.

7) Se a ou b for igual a zero, e os demais coeficientes tiverem o mesmo sinal, então não existe um único ponto real que satisfaça a equação. Nesse caso, dizem que uma seção cônica consiste em duas retas paralelas imaginárias.

8) Se c = 0, e a ou b também for zero, então a seção cônica consiste em duas retas reais coincidentes. (A equação não define nenhuma seção cônica para a = b = 0, pois neste caso a equação original (1) não é de segundo grau.)

9) Equações do segundo tipo determinam parábolas se p e q forem diferentes de zero. Se p > 0 e q = 0, obtemos a curva do passo 8. Se p = 0, então a equação não define nenhuma seção cônica, pois a equação original (1) não é de segundo grau.

Aplicativo

Seções cônicas são frequentemente encontradas na natureza e na tecnologia. Por exemplo, as órbitas dos planetas que giram em torno do Sol têm a forma de elipses. Um círculo é um caso especial de elipse em que o eixo maior é igual ao menor. Um espelho parabólico tem a propriedade de que todos os raios incidentes paralelos ao seu eixo convergem em um ponto (foco). Isto é usado na maioria dos telescópios refletores que utilizam espelhos parabólicos, bem como em antenas de radar e microfones especiais com refletores parabólicos. Um feixe de raios paralelos emana de uma fonte de luz colocada no foco de um refletor parabólico. É por isso que os espelhos parabólicos são usados ​​em holofotes de alta potência e faróis de carros. A hipérbole é um gráfico de muitas relações físicas importantes, como a lei de Boyle (relacionando a pressão e o volume de um gás ideal) e a lei de Ohm, que especifica a corrente elétrica como uma função da resistência a uma tensão constante

Aplicativo

Bibliografia.

1. Alekseev. Teorema de Abel em problemas e soluções.2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P... Livro didático para alunos do 1º ano dos departamentos de física e matemática dos institutos pedagógicos. "Iluminismo" de Moscou 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. Aulas teóricas de lógica matemática e teoria de algoritmos. 1999

4. Gelfand I.M... Aulas de álgebra linear. 1998.

5. Gladky A.V... Introdução à lógica moderna. 2001

6. M. E. Kazaryan. Curso de geometria diferencial (2001-2002).

7. Prasolov V.V… Geometria de Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V... Problemas de planimetria 2001

9. Sheinman O.K... Fundamentos da teoria das representações. 2004

Instituição Educacional Municipal

Escola Secundária nº 4

Concluído

Spiridonov Anton

aluno da turma 11A

Verificado

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Introdução

O conceito de seções cônicas

Tipos de seções cônicas

Estudar

Construção de seções cônicas

Abordagem analítica

Aplicativo

Aplicativo

Bibliografia

Introdução.

Objetivo: estudar seções cônicas.

Objectivos: aprender a distinguir entre tipos de secções cónicas, construir secções cinéticas e aplicar uma abordagem analítica.

As seções cônicas foram propostas pela primeira vez para serem usadas pelo antigo geômetra grego Menaechmus, que viveu no século IV aC, ao resolver o problema de duplicação de um cubo. Esta tarefa está associada à legenda a seguir.

Um dia, uma epidemia de peste eclodiu na ilha de Delos. Os habitantes da ilha recorreram ao oráculo, que disse que para deter a epidemia era necessário duplicar o altar de ouro, que tinha a forma de um cubo e estava localizado no templo de Apolo, em Atenas. Os ilhéus fizeram um novo altar, cujas costelas eram duas vezes maiores que as costelas do anterior. No entanto, a praga não parou. Os moradores indignados ouviram do oráculo que eles entenderam mal suas instruções - não eram as bordas do cubo que precisavam ser duplicadas, mas sim o seu volume, ou seja, as bordas do cubo precisavam ser duplicadas. Em termos de álgebra geométrica, usada pelos matemáticos gregos, o problema significava: dado um segmento a, encontre os segmentos x e y tais que a: x = x: y = y: 2a. Então o comprimento do segmento x será igual.

A proporção dada pode ser considerada como um sistema de equações:

Mas x 2 =ay e y 2 =2ax são equações de parábolas. Portanto, para resolver o problema, é necessário encontrar seus pontos de intersecção. Se levarmos em conta que a equação da hipérbole xy=2a 2 também pode ser obtida a partir do sistema, então o mesmo problema pode ser resolvido encontrando os pontos de intersecção da parábola e da hipérbole.

Para obter seções cônicas, Menaechmus cruzou um cone - agudo, retangular ou obtuso - com um plano perpendicular a uma das geratrizes. Para um cone de ângulo agudo, a seção por um plano perpendicular à sua geratriz tem a forma de uma elipse. Um cone obtuso dá uma hipérbole e um cone retangular dá uma parábola.

É daí que vêm os nomes das curvas, introduzidos por Apolônio de Perga, que viveu no século III a.C.: elipse (έλλείψίς), que significa uma falha, uma deficiência (do ângulo de um cone em relação a uma linha reta) ; hipérbole (ύπέρβωλη) - exagero, preponderância (de um ângulo de cone sobre uma linha reta); parábola (παραβολη) - aproximação, igualdade (de um ângulo de cone a um ângulo reto). Mais tarde, os gregos notaram que todas as três curvas poderiam ser obtidas em um cone, alterando a inclinação do plano de corte. Neste caso, deve-se pegar um cone composto por duas cavidades e pensar que elas se estendem até o infinito (Fig. 1).

e são chamadas de curvas de 2ª ordem.

Tipos de seções cônicas.

As seções cônicas podem ser de três tipos:

1) o plano de corte cruza todas as geratrizes do cone em pontos de uma de suas cavidades; a linha de intersecção é uma curva oval fechada - uma elipse; um círculo como caso especial de elipse é obtido quando o plano de corte é perpendicular ao eixo do cone.

2) O plano de corte é paralelo a um dos planos tangentes do cone; na seção transversal, o resultado é uma curva aberta que vai ao infinito - uma parábola, situada inteiramente em uma cavidade.

3) O plano de corte cruza ambas as cavidades do cone; a linha de intersecção - uma hipérbole - consiste em duas partes abertas idênticas que se estendem ao infinito (ramos da hipérbole) situadas em ambas as cavidades do cone.

Estudar.

Nos casos em que uma seção cônica possui centro de simetria (centro), ou seja, é uma elipse ou hipérbole, sua equação pode ser reduzida (movendo a origem das coordenadas para o centro) à forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Estudos posteriores dessas seções cônicas (chamadas centrais) mostram que suas equações podem ser reduzidas a uma forma ainda mais simples:

Machado 2 + Wu 2 = C,

se escolhermos as direções principais para as direções dos eixos coordenados - as direções dos eixos principais (eixos de simetria) das seções cônicas. Se A e B tiverem os mesmos sinais (coincidindo com o sinal de C), então a equação define uma elipse; se A e B têm sinais diferentes, então é uma hipérbole.

A equação de uma parábola não pode ser reduzida à forma (Ax 2 + By 2 = C). Com a escolha adequada dos eixos coordenados (um eixo coordenado é o único eixo de simetria da parábola, o outro é uma reta perpendicular a ela, passando pelo vértice da parábola), sua equação pode ser reduzida à forma:

CONSTRUÇÃO DE SEÇÕES CÔNICAS.

Estudando seções cônicas como interseções de planos e cones, os antigos matemáticos gregos também as consideravam como trajetórias de pontos em um plano. Verificou-se que uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos, cuja soma das distâncias a dois pontos dados é constante; parábola - como lugar geométrico de pontos equidistantes de um determinado ponto e de uma determinada reta; hipérbole - como um lugar geométrico de pontos, a diferença nas distâncias de dois pontos dados é constante.

Estas definições de seções cônicas como curvas planas também sugerem um método para construí-las usando uma corda esticada.

Elipse. Se as pontas de um fio de determinado comprimento forem fixadas em pontos F 1 e F 2 (Fig. 3), então a curva descrita pela ponta de um lápis deslizando ao longo de um fio bem esticado tem o formato de uma elipse. Pontos F 1 e F 2 são chamados de focos da elipse, e os segmentos V 1 V 2 e v 1 v 2 entre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados - os eixos maior e menor. Se pontos F 1 e F 2 coincidem, então a elipse se transforma em um círculo (Fig. 3).

Hipérbole. Ao construir uma hipérbole, o ponto P, a ponta de um lápis, é fixada em um fio que desliza livremente ao longo de pinos instalados nas pontas F 1 e F 2, conforme mostrado na Figura 4, a, as distâncias são selecionadas de forma que o segmento PF 2 é mais longo que o segmento PF 1 por um valor fixo menor que a distância F 1 F 2. Neste caso, uma extremidade do fio passa sob o pino F 1, e ambas as pontas da linha passam sobre o pino F 2. (A ponta do lápis não deve deslizar ao longo do fio, por isso deve ser fixada fazendo um pequeno laço no fio e passando a ponta por ele.) Um ramo da hipérbole ( VP 1 P) desenhamos, certificando-nos de que o fio permanece esticado o tempo todo e puxando ambas as pontas do fio para baixo além da ponta F 2 e quando ponto P estará abaixo do segmento F 1 F 2, segurando a linha pelas duas pontas e soltando-a com cuidado. Desenhamos o segundo ramo da hipérbole mudando primeiro os pinos F 1 e F 2 (Fig. 4).

Os ramos da hipérbole aproximam-se de duas linhas retas que se cruzam entre os ramos. Essas linhas, chamadas assíntotas de uma hipérbole, são construídos conforme mostrado na Figura 4,b. Canto

os coeficientes dessas retas são iguais a onde é o segmento da bissetriz do ângulo entre as assíntotas perpendicular ao segmento F 2 F 1; segmento de linha v 1 v 2 é chamado de eixo conjugado da hipérbole, e o segmento V 1 V 2 - seu eixo transversal. Assim, as assíntotas são as diagonais de um retângulo cujos lados passam por quatro pontos v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralelo aos eixos. Para construir este retângulo, você precisa especificar a localização dos pontos v 1 e v 2. Eles estão à mesma distância, iguais

do ponto de intersecção dos eixos Ó. Esta fórmula envolve a construção de um triângulo retângulo com pernas Ah 1 e V 2 Ó e hipotenusa F 2 Ó.

Se as assíntotas de uma hipérbole são perpendiculares entre si, então a hipérbole é chamada equilátero. Duas hipérboles que possuem assíntotas comuns, mas com os eixos transverso e conjugado reorganizados, são chamadas conjugados mutuamente.

Parábola. Os truques da elipse e da hipérbole eram conhecidos por Apolônio, mas foco da parábola, aparentemente, foi estabelecido pela primeira vez por Pappus (segunda metade do século III), que definiu esta curva como o lugar geométrico de pontos equidistantes de um determinado ponto (foco) e de uma determinada linha reta, que é chamada diretora. A construção de uma parábola com fio tensionado, baseada na definição de Pappus, foi proposta por Isidoro de Mileto (século VI) (Fig. 5).

Vamos posicionar a régua de forma que sua borda coincida com a diretriz e anexar a perna a esta borda A.C. desenhando triângulo abc. Prendemos uma ponta do fio com um comprimento AB no topo B triângulo e o outro no foco da parábola F. Usando a ponta de um lápis para esticar a linha, pressione a ponta em um ponto variável P para a perna livre AB desenhando triângulo. À medida que o triângulo se move ao longo da régua, o ponto P descreverá o arco de uma parábola com foco F e diretriz, já que o comprimento total do fio é AB, um pedaço de linha é adjacente à perna livre do triângulo e, portanto, o pedaço restante de linha PF deve ser igual à parte restante da perna AB, aquilo é PA. Ponto de interseção V uma parábola com um eixo é chamada o vértice da parábola, linha reta passando por F E V, - o eixo da parábola. Se uma linha reta é traçada através do foco, perpendicular ao eixo, então o segmento dessa linha reta cortado pela parábola é chamado parâmetro focal. Para uma elipse e uma hipérbole, o parâmetro focal é determinado de forma semelhante.

ABORDAGEM ANALÍTICA

Classificação algébrica. Em termos algébricos, as seções cônicas podem ser definidas como curvas planas cujas coordenadas no sistema de coordenadas cartesianas satisfazem uma equação de segundo grau. Em outras palavras, a equação de todas as seções cônicas pode ser escrita na forma geral como

onde nem todos os coeficientes A, B e C são iguais a zero. Usando translação paralela e rotação dos eixos, a equação (1) pode ser reduzida à forma

machado 2 + por 2 + c = 0

A primeira equação é obtida da equação (1) para B 2 > AC, a segunda - para B 2 = AC. As seções cônicas cujas equações são reduzidas à primeira forma são chamadas centrais. Seções cônicas definidas por equações do segundo tipo com q > 0 são chamadas de não centrais. Dentro destas duas categorias, existem nove tipos diferentes de secções cónicas dependendo dos sinais dos coeficientes.

1) Se os coeficientes a, bec têm o mesmo sinal, então não existem pontos reais cujas coordenadas satisfaçam a equação. Essa seção cônica é chamada de elipse imaginária (ou círculo imaginário se a = b).

2) Se aeb têm o mesmo sinal e c tem sinal oposto, então a seção cônica é uma elipse; quando a = b - círculo.

3) Se aeb têm sinais diferentes, então a seção cônica é uma hipérbole.

4) Se aeb têm sinais diferentes e c = 0, então a seção cônica consiste em duas linhas que se cruzam.

5) Se aeb têm o mesmo sinal e c = 0, então existe apenas um ponto real na curva que satisfaz a equação, e a seção cônica são duas linhas imaginárias que se cruzam. Neste caso, falamos também de uma elipse subtendida a um ponto ou, se a = b, de um círculo subtendido a um ponto.

6) Se a ou b for igual a zero e os demais coeficientes tiverem sinais diferentes, então a seção cônica consiste em duas retas paralelas.

7) Se a ou b for igual a zero, e os demais coeficientes tiverem o mesmo sinal, então não existe um único ponto real que satisfaça a equação. Nesse caso, dizem que uma seção cônica consiste em duas retas paralelas imaginárias.

8) Se c = 0, e a ou b também for zero, então a seção cônica consiste em duas retas reais coincidentes. (A equação não define nenhuma seção cônica para a = b = 0, pois neste caso a equação original (1) não é de segundo grau.)

9) Equações do segundo tipo definem parábolas se p e q forem diferentes de zero. Se p > 0 e q = 0, obtemos a curva do passo 8. Se p = 0, então a equação não define nenhuma seção cônica, pois a equação original (1) não é de segundo grau.

Aplicativo

Seções cônicas são frequentemente encontradas na natureza e na tecnologia. Por exemplo, as órbitas dos planetas que giram em torno do Sol têm a forma de elipses. Um círculo é um caso especial de elipse em que o eixo maior é igual ao menor. Um espelho parabólico tem a propriedade de que todos os raios incidentes paralelos ao seu eixo convergem em um ponto (foco). Isto é usado na maioria dos telescópios refletores que utilizam espelhos parabólicos, bem como em antenas de radar e microfones especiais com refletores parabólicos. Um feixe de raios paralelos emana de uma fonte de luz colocada no foco de um refletor parabólico. É por isso que os espelhos parabólicos são usados ​​em holofotes de alta potência e faróis de carros. A hipérbole é um gráfico de muitas relações físicas importantes, como a lei de Boyle (relacionando a pressão e o volume de um gás ideal) e a lei de Ohm, que define a corrente elétrica como uma função da resistência a uma tensão constante.

Aplicativo

Bibliografia.

1. Alekseev. Teorema de Abel em problemas e soluções. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Livro didático para alunos do 1º ano das faculdades de física e matemática dos institutos pedagógicos. "Iluminismo" de Moscou 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Aulas teóricas de lógica matemática e teoria de algoritmos. 1999

4. Gelfand I.M. Aulas sobre álgebra linear. 1998.

5. Gladky A. V. Introdução à lógica moderna. 2001

6. M. E. Kazaryan. Curso de geometria diferencial (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Geometria de Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V.. Problemas de planimetria 2001

9. Sheinman O.K.. Fundamentos da teoria da representação. 2004

(cm.) (cuja guia é um círculo) por planos que não passam pelo seu vértice.
Se o plano de corte não for paralelo a nenhuma das geratrizes da superfície cônica, então a seção cônica é uma elipse, em particular um círculo (Fig. 107). Se o plano de corte for paralelo a apenas uma das geratrizes da superfície cônica, então a seção cônica é uma parábola (Fig. 108). Se o plano secante for paralelo a duas geratrizes de uma superfície cônica, então a seção cônica é uma hipérbole (Fig. 109).
No caso de uma elipse e de uma parábola, o plano cortante intercepta apenas uma cavidade da superfície cônica e, no caso de uma hipérbole, o plano cortante intercepta ambas as cavidades da superfície cônica.
As seções cônicas também são chamadas de curvas de 2ª ordem. As seções cônicas já foram estudadas por matemáticos da Grécia antiga (por exemplo, Menaechmus no século 4 aC resolveu o problema de (ver) uso de seções cônicas). O estudo mais completo das seções cônicas foi realizado por Apolônio de Perga (século III aC).

As seções cônicas são utilizadas em tecnologia, por exemplo, em engrenagens elípticas, em instalações de holofotes (espelhos parabólicos), etc. Os planetas do sistema solar se movem em elipses, os cometas se movem em parábolas e hipérboles.
O estudo das seções cônicas por meio de esferas inscritas em uma superfície cônica foi realizado pelo geômetra belga J. Dandelin (século XIX).

A equação de uma seção cônica em coordenadas polares tem a forma:

onde r é o vetor do raio focal (Fig. 110, F é o foco direito da seção cônica);

p - parâmetro focal;
e - excentricidade;
φ - ângulo polar.

Se e 1, então esta equação determina (ver); neste caso, para um ângulo φ variando de φ 0 a 2π - φ 0 (onde 2 φ 0 é o ângulo entre assíntotas tan φ 0 =b/a), obtemos o ramo direito da hipérbole, e para ângulos φ variando de - φ 0 a φ 0, obtemos o ramo esquerdo da hipérbole.

O nome das seções cônicas (elipse, parábola e hipérbole) é explicado pelos antigos geômetras pelo seu método de resolução de problemas que se resumem à resolução de equações lineares ou quadráticas - o método de aplicação de áreas, ou método parabólico, também chamado de método de álgebra geométrica.

Seja AB = 2a - o diâmetro da elipse (Fig. 111), AE = 2p, CF - perpendicular a AB; então o quadrado construído em CD será igual à área do retângulo (AF):

Colocando AC=x, CB=2a - x, CD=y, obtemos:

Da mesma forma para uma hipérbole teremos:

No caso de uma elipse, a fórmula contém um sinal de menos, ou seja, a área do retângulo (CE) é usada com desvantagem (grego ελλειψιζ - desvantagem). No caso de uma hipérbole, a fórmula contém um sinal de mais, ou seja, a área do retângulo (CE) é usada em excesso (grego υπερβολη - excesso, excesso).
Se houver uma igualdade simples entre a área de um quadrado e a área de um retângulo (CE) (não há menos ou mais na fórmula - nem excesso nem deficiência), ou seja, y² = 2pх, então a curva (seção cônica) é chamada de parábola (παραβολη - áreas do apêndice, equalização).

Ministério da Educação da Federação Russa

Universidade Pedagógica do Estado de Kaluga

Eles. K. E. Tsiolkovsky

"Seções cônicas"

1. Obras de Apolônio

2. “Seções cônicas” de Apolônio.

2.1 Derivação da equação da curva para uma seção de um cone de revolução retangular

2.2 Derivação da equação para uma parábola

2.3 Derivação da equação para a elipse e a hipérbole

2.4 Invariância de seções cônicas

2.5 Estudo mais aprofundado das seções cônicas nas obras de Apolônio

2.6 Desenvolvimento adicional da teoria das seções cônicas

3. Conclusão

4. Referências

Obras de Apolônio

Apolônio nasceu em Perge, na Ásia Menor. O apogeu de sua atividade cai por volta de 210. AC. Nesta época viveu em Alexandria, para onde se mudou ainda jovem e onde estudou sob a orientação de matemáticos da escola de Euclides. Apolônio tornou-se famoso como geômetra e astrônomo. Ele morreu por volta de 170. AC e.

Na matemática, Apolônio é mais conhecido por suas Seções Cônicas, nas quais fez uma exposição completa da teoria e desenvolveu métodos analíticos e projetivos. Apolônio escreveu um tratado “Sobre Inserções”, dedicado à classificação de problemas que podem ser resolvidos por meio de inserções. Tais problemas podem ser resolvidos com um compasso e uma régua (problemas planos), com a ajuda de seções cônicas (problemas sólidos) e com a ajuda de outras curvas (lineares). Identificar a qual classe pertence um determinado problema pode marcar o início de sua classificação algébrica. O interesse de Apolônio por problemas algébricos também se manifestou em seu outro trabalho, “Sobre Irracionalidades Desordenadas”, no qual ele deu continuidade à classificação de Euclides.

As obras puramente geométricas de Apolônio são: a obra “On Spiral Lines”, em que considera espirais na superfície de um cilindro, “On Touch”, onde se analisa o famoso problema de Apolônio: “Dadas três coisas, cada uma das quais pode ser um ponto, uma linha reta ou um círculo; é necessário desenhar um círculo que passe por cada um dos pontos dados e toque cada uma das linhas ou círculos dados.”

Das obras “On Plane Geometric Places” podemos concluir que Apolônio considerou a transformação de um plano sobre si mesmo, que transforma retas e círculos em retas e círculos. Um caso especial dessas transformações são as transformações de similaridade e as inversões de um determinado ponto.

Algumas das obras de Apolônio foram perdidas e não sobreviveram até hoje.

"Seções cônicas" de Apolônio

Conic Sections consiste em oito livros. Os quatro primeiros, que, segundo o autor, expõem os elementos da teoria, chegaram até nós em grego, os três seguintes estão na tradução árabe de Thabit ibn Korra, o último - o oitavo livro - está perdido. Há uma reconstrução de seu texto, pertencente ao astrônomo inglês E. Halley (século XVIII).

As curvas de segunda ordem foram consideradas pela primeira vez em conexão com o problema da duplicação do cubo; Menaechmus as apresentou como seções planas de cones de revolução retangulares, de ângulo obtuso e de ângulo agudo. Esta representação estereométrica garantiu a existência e continuidade das curvas em questão. Então Menaechmus procedeu à derivação da propriedade planimétrica básica da seção, que os antigos chamavam de sintoma (equação da curva).

Derivação da equação da curva para uma seção de um cone de revolução retangular

Seja OAB a seção deste cone por um plano que passa pelo eixo OL, e seja PLK o traço do plano perpendicular à geratriz deste cone (Fig. 1). Então KM 2 = AK KB, pois AMB é um semicírculo. Mas AK=PP′=√2LP 2 e KB=√2KP 2, então KM 2 =2LP KP.

Arroz. 1

Vamos denotar KM por y, KP por p, então obtemos

Esta é uma equação, ou sintoma, de uma curva, que é escrita com símbolos alfabéticos, e os antigos a escreviam em forma verbal-geométrica: o quadrado da meia corda KM em cada ponto é igual ao retângulo PKSR, construído em o segmento PK do eixo ao vértice (x) e no segmento constante PR (Fig. 2).

Arroz. 2

Da mesma forma, a equação foi derivada para as seções de cones de ângulo agudo e de ângulo obtuso, ou seja, elipse e hipérbole:

= e =, (2)

onde 2a é o eixo maior da elipse ou o eixo real da hipérbole,

e p é constante.

No caso em que р=а, as equações (2) assumem a forma

y 2 =x(2a-x) e y 2 =x(2a+x) (3)

a primeira delas é a equação de um círculo de raio a, e a segunda é a equação de uma hipérbole equilátera. A elipse e a hipérbole (2) podem ser obtidas a partir do círculo e da hipérbole (3) por compressão ao eixo das abcissas na razão √p/a.

Apolônio dá antes de tudo uma definição mais geral. Primeiramente, ele pega um cone circular arbitrário; em segundo lugar, ele examina ambas as cavidades (o que lhe dá a oportunidade de estudar ambos os ramos da hipérbole); finalmente, ele desenha uma seção com um plano localizado em qualquer ângulo da geratriz.

Na linguagem usual da geometria analítica, podemos dizer que antes de Apolônio, as seções cônicas eram consideradas em relação a um sistema de coordenadas retangular, com um dos eixos coincidindo com o diâmetro principal, e o segundo passando perpendicularmente a ele pelo vértice do curva; Apolônio relacionou curvas a qualquer diâmetro de uma tangente desenhada em uma de suas extremidades, ou seja, para algum sistema de coordenadas oblíquas.

Após a definição estereométrica, Apolônio também dá uma derivação dos sintomas - equações de curvas. Ao mesmo tempo, ele classifica as curvas resultantes de acordo com o tipo de equação que as define, ou seja, A base é o ponto de vista característico da geometria analítica.

Derivação da equação para uma parábola

Seja BAC a seção de um cone circular por um plano que passa pelo eixo (Fig. 3), e seja o plano GHD desenhado de modo que DE seja perpendicular a BC e GH seja paralelo a AB (GH poderia ser escolhido para ser paralelo para AC). Vamos encontrar a equação da curva DGE obtida na seção.

Arroz. 3

Seja K um ponto arbitrário nesta curva. Desenhemos KL paralelo a DE e MN paralelo a BC. O plano que passa por KL e MN será paralelo ao plano da base e, como Apolônio já havia provado, cruzará o cone em círculo. Portanto KL 2 =ML LN.

O segmento GL é uma distância variável da projeção do ponto D do vértice, os termos são constantes. Apolônio escolhe um segmento GF tal que

Então KL 2 =GF LG. Este é o sintoma – a equação transversal.

Se denotarmos KL=y, LG=x, GF=2p, então obteremos a equação na forma usual: y 2 =2px.

Em Apolônio, a equação também é escrita verbalmente - em grego: se GH é um dos diâmetros da parábola, e KL é o semicórdio conjugado a esse diâmetro, então Apolônio coloca GR = 2p perpendicular a GH. A seguir afirma-se que em cada ponto o quadrado construído em LK (Fig. 4) deve ser igual ao retângulo GRSL, ou seja, GL GR.

O nome “parábola” vem do nome παραβολή (aplicação) de Apolônio, pois o problema de construção de um ponto nesta curva se reduz ao problema de aplicação (antes de Apolônio, a parábola era chamada de seção de um cone retangular de revolução).

Arroz. 4

Derivação da equação para elipse e hipérbole

Da mesma forma, Apolônio obtém a equação da elipse e da hipérbole.

Assim, para uma elipse está provado que LK 2 = pl. GLL′G′ (Fig. 5), onde GH=2a é um certo diâmetro da elipse, LK é o semicorde conjugado a ela, GR=2p é uma constante e GR é perpendicular a GH. Para passar para uma forma de notação mais familiar, observe que

Arroz. 5

Assim, o problema de construção de pontos de uma elipse se reduz ao problema de uma aplicação com desvantagem (“problema elíptico”), o que explica o nome “elipse” (έλλειψις - desvantagem). Este nome foi introduzido por Apolônio; antes dele, a elipse era chamada de seção de um cone de revolução de ângulo agudo.

Da mesma forma para a hipérbole (Fig. 6) obtemos a equação

LK 2 = quadrado GLL′G′, ou seja , ou.

Consequentemente, o problema de construção de pontos de uma hipérbole se reduz ao problema de aplicação com excesso (“problema hiperbólico”), o que explica o nome “hipérbole” (ύπερβολή - excesso). Este nome também foi introduzido por Apolônio, antes dele uma hipérbole era chamada de seção de um cone obtuso de revolução.

O segmento construído GR=2p, disposto perpendicularmente ao diâmetro GH, foi denominado “lado reto” por Apolônio.

Arroz. 6

Atualmente, o valor p é chamado de parâmetro da seção canônica (no caso de uma elipse e uma hipérbole com semieixos a e b, p=b 2 /a, e o fator de compressão √p/a, transformando um círculo ou hipérbole equilátera em uma determinada elipse ou hipérbole, é igual a b/a).

A classificação das seções cônicas de Apolônio era essencialmente algébrica.

Invariância de seções cônicas

Apolônio entendeu perfeitamente (e isso o aproximou dos geômetras da Nova Era) que tal classificação só é legítima se a forma da equação não muda quando a curva é atribuída ao seu outro diâmetro e às suas cordas conjugadas.

No primeiro livro ele explora essa questão. Para isso, foi necessário determinar a direção das cordas associadas a qualquer diâmetro. Com a determinação estereométrica, as direções conjugadas são obtidas automaticamente. Porém, para resolver o problema colocado por Apolônio, é necessária uma definição independente da estereometria. Apolônio faz o seguinte: prova que a reta traçada pelo ponto A da seção canônica paralela à direção das cordas conjugadas ao diâmetro que passa por A é uma tangente. Depois disso, ele constrói uma tangente a uma parábola, elipse, círculo e hipérbole.

Seja P algum ponto da parábola e AA′ um dos diâmetros (Fig. 7). Apolônio prova que a tangente PR cortará o segmento AR=AQ da extensão do diâmetro se PL for uma corda conjugada a AA′. Para uma hipérbole, uma elipse e um círculo, ele obtém a relação (Fig. 8, para uma elipse)

Arroz. 7

RA:RA′=QA:QA′.

Apolônio transforma então a equação da elipse e da hipérbole para que a origem das coordenadas esteja no centro da curva, e a equação da parábola para que a origem das coordenadas coincida com o vértice desta curva.

Assim, aqui os eixos coordenados são dois diâmetros conjugados. Depois disso, ele mostra que a forma da equação não muda se algum dos diâmetros da curva e a tangente traçada em uma de suas extremidades forem tomados como novos eixos.

Arroz. 8

No primeiro livro, Apolônio considera uma variedade de sistemas de coordenadas dependendo de um parâmetro, uma vez que esses sistemas de coordenadas são determinados por um ponto da curva - o final do diâmetro, e prova a invariância das equações da elipse, hipérbole e parábola no que diz respeito às transformações dos sistemas de coordenadas correspondentes.

No final do primeiro livro, Apolônio mostra que é possível escolher um diâmetro perpendicular às cordas a ele associadas. Então a curva em consideração pode ser representada como uma seção de qualquer cone de rotação de ângulo obtuso, de ângulo agudo ou retangular por um plano perpendicular à geratriz. Isto estabelece a identidade das curvas introduzidas por Apolônio com as seções canônicas que foram consideradas antes dele.

A ideia principal do primeiro livro é tomar como base para a classificação das curvas as propriedades de suas equações algébricas, e justamente aquelas que permanecem invariantes sob transformações de coordenadas admissíveis. Somente no século XIX. Esta ideia foi plenamente compreendida quando Klein, no Programa Erlangen, estabeleceu uma nova visão da geometria como a ciência dos invariantes de certos grupos de transformações de um plano ou espaço.

Estudo adicional de seções cônicas nas obras de Apolônio

Nos três livros seguintes, Apolônio desenvolve a teoria das seções cônicas: esclarece as propriedades básicas dos diâmetros conjugados das assíntotas, obtém a equação de uma hipérbole em relação às assíntotas (xy=const) e estabelece as propriedades básicas dos focos de uma elipse e uma hipérbole. Aqui, pela primeira vez, aparecem pólos e polares em relação às seções cônicas: se de um ponto é possível traçar duas tangentes a uma seção cônica, então a linha reta que conecta os pontos de tangência é chamada de polar do ponto dado , e o ponto é o pólo desta linha reta. Se você mover o pólo ao longo de uma linha reta que cruza a seção, o polar girará em torno do pólo desta linha reta, mas se você mover o pólo ao longo de uma linha reta que não cruze a seção, o polar também girará em torno algum ponto, e neste caso o ponto em torno do qual o polar gira, e a linha reta , ao longo do qual o pólo se move, também são chamados de pólo e polar. No quarto livro, Apolônio considera a questão do número de pontos de intersecção de duas seções cônicas.

No quinto livro, Apolônio define todas as normais a uma seção cônica (perpendiculares à tangente, restauradas no ponto de tangência). O sexto livro estuda seções cônicas semelhantes.

O sétimo livro contém os famosos teoremas de Apolônio:

a) a soma dos quadrados dos diâmetros conjugados da elipse é igual à soma dos quadrados dos eixos principais;

b) a diferença dos quadrados em dois diâmetros conjugados de uma hipérbole é igual à diferença dos quadrados nos eixos principais;

c) um paralelogramo construído sobre dois diâmetros conjugados de uma elipse ou hipérbole tem área constante.

Desenvolvimento adicional da teoria das seções cônicas

Na antiguidade, os métodos de estudo das curvas criadas por Apolônio não foram desenvolvidos, embora até o início do século V. DE ANÚNCIOS suas obras foram estudadas e comentadas. Quanto às próprias seções cônicas, elas foram utilizadas por Arquimedes para resolver e estudar a equação cúbica. Para os mesmos propósitos, seções cônicas foram usadas posteriormente por antigos geômetras e cientistas de países islâmicos.

Por muito tempo eles não receberam nenhuma aplicação nas ciências matemáticas naturais, exceto no estudo do reflexo da luz em espelhos parabólicos. Somente no século XVII. Houve um renascimento das ideias de Apolônio: Fermat e Descartes traduziram seu método para a linguagem de uma nova álgebra, fundando a geometria analítica, e Newton aplicou esses métodos para descrever e estudar curvas de terceira ordem. Mas ainda antes, a teoria das seções cônicas recebeu a mais ampla aplicação na mecânica dos corpos terrestres e celestes: Kepler estabeleceu que os planetas do nosso sistema solar se movem em elipses, em um dos focos onde o Sol está localizado; Galileu mostrou que uma pedra atirada voa pelo espaço formando uma parábola. Finalmente, na década de 80 do século XVII. Newton criou seus "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural" baseados diretamente nas obras de Apolônio.

Conclusão

As seções cônicas de Apolônio são um exemplo de teoria matemática criada muito antes de ser necessária. Nesta ocasião, A. Einstein escreveu: “Além da admiração por este homem maravilhoso (estamos falando de Kepler), há outro sentimento de admiração e espanto, mas relativo não ao homem, mas à misteriosa harmonia da natureza, que correspondem às leis mais simples. Junto com a linha reta e o círculo, incluíam a elipse e a hipérbole. Vemos este último implementado nas órbitas dos corpos celestes, pelo menos com uma boa aproximação.”

Bibliografia:

1. Caminhos e labirintos. Ensaios sobre a história da matemática. Daan – Dalmedico A., Peiffer J. Trans. do francês – M.: Mir, 1986.

2. História da matemática desde a antiguidade até ao início do século XIX. Yushkevich A.P. – M.: Nauka, 1970.

Visitei o recém-inaugurado “Livro Antigo” na 2ª Sovetskaya. As impressões são muito favoráveis: uma loja universal, muita ficção, uma boa seleção de literatura técnica e científica. Como o processo de arranjo ainda não foi concluído, nem toda a literatura técnica foi exibida ainda (está prometida uma reposição significativa nos próximos dias) e está um tanto desarrumada. O tratamento dos clientes é “o mais armarinho”; eles convidam você a voltar e pedem para contar aos amigos sobre a nova loja.
Estou atendendo ao meu último pedido:

Naturalmente, era simplesmente impossível sair sem comprar um livro:

L. Karpinsky, professor da Universidade de Michigan, G. Benedict, professor da Universidade do Texas, J. Kalgun, professor da Universidade do Texas
Matemática unificada
Tradução autorizada do inglês com notas e alterações do Prof. D. A. Kryzhanovsky
A Seção Científica e Técnica do Conselho Acadêmico Estadual é aprovada como manual para escolas técnicas e faculdades técnicas; recomendado como um guia para professores
M.-L.: Editora Estadual, 1926. XVI, 596 p.
(Manuais e manuais para escolas técnicas e faculdades)

Do prefácio do tradutor:

Entre a quase imensa literatura matemática educacional de diferentes países, o trabalho coletivo de três professores americanos, “Unified Mathematics”, destaca-se tanto pela escolha original do material como, principalmente, pelos métodos de processamento e apresentação. A principal tendência dos autores é conectar todo o material apresentado, entrelaçando organicamente suas partes individuais, em um todo - está em total harmonia com os princípios de nossa escola. Se a matemática, como matéria de instrução escolar, deve estar intimamente ligada ao estudo da natureza e da sociedade e às exigências da vida, então não pode haver uma divisão escolar em disciplinas e capítulos isolados e auto-suficientes. A física, a tecnologia e a economia não adaptam os seus problemas às categorias em que as coleções de problemas matemáticos são normalmente divididas. Portanto, quanto mais cedo o aluno aprender a combinar as técnicas e os resultados dos diversos ramos da matemática, melhor. E para isso, o caminho mais seguro é introduzir esse método de combinação no próprio processo de estudo da matemática.

Outra característica distintiva do livro, organicamente ligada à sua tendência geral mencionada acima, é a extrema riqueza e variedade de material aplicado (retirado da física, astronomia, tecnologia, artilharia, biologia, estatística, aritmética comercial, etc.) tanto no texto. e e nas tarefas - também atende perfeitamente às necessidades da nossa escola. Este material está espalhado com mão generosa por todos os capítulos e, em particular, preenche completamente os capítulos XXII, XXVI (“movimento oscilatório”) e XXVII (“leis do crescimento orgânico”). Neste último (XXVII) capítulo, especial atenção é dada à novidade do tema “curva de cicatrização de feridas” - resultado de observações hospitalares durante a última guerra. Graças a esta abundância de exemplos e problemas, “Matemática Unificada” pode ser um guia útil para aquelas instituições de ensino nas quais a teoria é ensinada através de outros manuais.
As vantagens indiscutíveis da “Matemática Unificada” também incluem numerosas “notas históricas” curiosamente compostas.

Prefácio do Professor L. Karpinsky à tradução russa:

A ideia central da “Matemática Unificada” não é tanto desviar-nos da matemática tradicional, a nossa grande herança do passado, mas mostrar o papel vital e real que a matemática desempenha no mundo moderno. Saber que uma parábola tem tais e tais propriedades geométricas maravilhosas era suficiente para os gregos. O estudante moderno precisa mostrar uma ligação marcante com as equações algébricas elementares e, principalmente, com o vôo de um projétil, com vários tipos de estruturas de pontes, com o formato das salas de concerto e até com os holofotes dos automóveis. As aplicações práticas não são menos maravilhosas do que as puramente teóricas.
O mundo moderno exige trabalho mental não menos que o mundo antigo, mas exige que a mente esteja em contato com a realidade. Na matemática, isso pode ser feito preservando muitas das conquistas do passado.

Ler um livro como esse é muito divertido. Muitos dos exemplos nele dados já têm valor quase histórico. Além disso, algumas seções, sem cujo conhecimento há oitenta ou noventa anos era impossível para matemáticos e engenheiros, estão praticamente extintas, e descobri-las é extremamente interessante. Alguns comentários são recebidos com um sorriso triste, principalmente quando se pensa nos alunos atuais.

Nos últimos anos, o uso generalizado de máquinas de calcular, realizando multiplicações e divisões de quinze e até vinte dígitos, suplantou parcialmente as tabelas logarítmicas nos escritórios das grandes companhias de seguros e também, até certo ponto, nos observatórios.

DO CAPÍTULO VII: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

§ 10. Origem das funções tangente e cotangente.- Na astronomia observacional, o ângulo de inclinação do Sol e de outros corpos celestes em relação ao horizonte desempenha um papel importante. A razão entre o comprimento da sombra projetada por algum objeto vertical e o comprimento do próprio objeto fornece a cotangente do ângulo de inclinação do sol. Esta função angular apareceu antes da tangente nos escritos do astrônomo árabe Al-Battani, no século X depois de Cristo, e foi chamada de sombra, e mais tarde de sombra direta ou segunda sombra. A função tangente, que representa a razão entre o comprimento da sombra projetada em uma parede vertical por uma barra perpendicular à parede e o comprimento da própria barra, foi mais tarde chamada de primeira sombra. Os árabes consideraram o comprimento da haste de 12 unidades.

DO CAPÍTULO XIX: PARÁBOLA

§ 1. Definição.- Definimos uma elipse (Capítulo XVIII, § 3) como a localização de um ponto que se move de tal forma que a sua distância a um ponto fixo, o foco, esteja numa razão constante inferior a 1 com a sua distância ao linha fixa, a diretriz. Se esta razão constante for 1, então a curva descrita pelo ponto móvel é chamada de parábola. Se esta razão, sendo constante, exceder 1, então a curva é chamada de hipérbole.

Doença: ,at, uma elipse é determinada.
Condição: uma parábola é definida.
Doença: , em, uma hipérbole é definida.

[COM. 345–346.]

DO CAPÍTULO XXI: TANGENTES E NORMAIS PARA CURVAS DE SEGUNDA ORDEM

§ 2. Uma equação de segundo grau de forma geral representa uma seção cônica.- Se for dado um cone circular reto, então pode-se mostrar, utilizando os métodos geométricos da geometria euclidiana, que a seção da superfície do cone por qualquer plano representa uma das curvas mencionadas acima; por exemplo, um plano paralelo à base de um cone fornece um círculo em seção transversal, ou um ponto-círculo (um círculo de raio zero) se passar pelo vértice.
Por cone entendemos aqui toda a superfície cônica formada pelas geratrizes do cone, estendida indefinidamente em ambas as direções a partir do ponto de sua intersecção.
Um plano paralelo a apenas um elemento gerador (a geratriz do cone) intercepta o cone ao longo de uma parábola, ou ao longo de duas linhas retas coincidentes, se o plano cortante passar ao mesmo tempo por uma das geratrizes e tocar a base circular do cone.
Um plano que cruza a uma distância finita todas as geratrizes do cone dá uma elipse em seção transversal; este último se transforma em um ponto de elipse quando o plano passa pelo vértice do cone.
Um plano que é simultaneamente paralelo a quaisquer duas geratrizes do cone corta esta última ao longo da hipérbole, mas se o plano passar pelo vértice, a hipérbole degenera em um par de linhas retas.

§ 3. Nota histórica sobre seções cônicas.- As propriedades básicas das seções cônicas foram descobertas pelos matemáticos gregos quase dois mil anos antes da invenção da geometria analítica pelos matemáticos franceses do século XVII, Descartes e Fermat. Um tratado sobre seções cônicas foi escrito por Euclides (c. 320 a.C.), mas foi decisivamente superado por um tratado escrito um século depois Apolônio de Pérgamo(c. 250 AC); este último tratado continha a maioria das propriedades básicas que estudamos.
As propriedades de uma parábola diretamente relacionadas ao foco e à diretriz não estão incluídas nos oito livros (capítulos) escritos por Apolônio sobre seções cônicas; ele também não usou a diretriz no caso de seções centrais (ou seja, curvas com centro de simetria - uma elipse e uma hipérbole). Introduziu esses conceitos em seu Coleções Matemáticas Papo de Alexandria(c. 300 DC), talvez o último de todos os matemáticos gregos importantes.
Os matemáticos da Grécia Antiga estavam interessados ​​nestas curvas de um ponto de vista puramente geométrico. Eles não sabiam que os caminhos dos planetas são seções cônicas; Eles também não conheciam nenhuma aplicação prática dessas curvas. No entanto, foi apenas porque os geómetras gregos estudaram as propriedades destas curvas que Johannes Kepler e Isaac Newton foram capazes de estabelecer as leis do movimento planetário no universo em que vivemos. Os mencionados cientistas, assim como Nicolau Copérnico, que restaurou a teoria heliocêntrica do mundo, eram profundos especialistas na geometria pura dos gregos; suas novas teorias foram construídas diretamente com base nesta geometria pura.

[COM. 374–376.]

DO CAPÍTULO XXII: APLICAÇÕES DE SEÇÕES CÔNICAS

§ 1. Observações gerais.- Numerosas aplicações de secções cónicas - círculo, elipse, parábola e hipérbole - já foram parcialmente indicadas nos problemas que acompanham o estudo de cada uma destas curvas. Essas aplicações úteis extensas e variadas dessas curvas devem-se principalmente às suas propriedades tangenciais e outras características geométricas. O fato de propriedades geométricas simples pertencerem justamente a curvas que são expressas por equações algébricas com duas variáveis ​​de primeiro e segundo graus parece indicar a existência de uma certa harmonia no mundo da álgebra e da geometria.

§ 2. Leis do universo.- Em 1529, o astrónomo e matemático polaco Copérnico (1473 - 1543) redescobriu e estabeleceu o facto, já conhecido dos antigos gregos, de que o sol representa o centro do universo em que vivemos; ele acreditava que os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas circulares.
Cerca de um século depois disso, o grande astrônomo alemão Kepler (1571 - 1630) estabeleceu as seguintes leis do universo:
1. As órbitas dos planetas são elipses, com o Sol num dos focos.
2. O vetor raio que conecta o Sol a um planeta em movimento descreve áreas iguais em períodos iguais de tempo (para cada planeta separadamente).
3. O quadrado do tempo de revolução completa de cada planeta é proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol, ou seja,
,
onde e são os períodos orbitais dos dois planetas, e e são os diâmetros de suas órbitas.
Kepler só pôde fazer suas descobertas graças ao trabalho de todos os seus antecessores, especialmente dos matemáticos gregos que realizaram um estudo tão completo das propriedades das seções cônicas, bem como do dinamarquês Tycho Brahe (1546 - 1601), cujas observações cuidadosas forneceram os dados factuais necessários sobre o movimento dos planetas.
Newton (1642 - 1727) completou o trabalho de codificação das leis do movimento no mundo que nos rodeia, mostrando que a atração mútua de quaisquer dois corpos é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles e diretamente proporcional às suas massas. Além disso, Newton mostrou que esta suposição leva ao movimento elíptico no caso do Sol e de qualquer planeta.
As trajetórias dos cometas que aparecem apenas uma vez no sistema solar são, como se sabe, parábolas ou, talvez, hipérboles, cuja excentricidade é próxima de 1.

[COM. 391–392.]

§ 6. Aplicação de seções cônicas em arquitetura e construção de pontes.- A chamada “Proporção Áurea” fornece, sem dúvida, uma boa ilustração da existência de uma estreita ligação entre a beleza da forma e as relações numéricas.

De acordo com o reconhecimento unânime de pessoas competentes no assunto, as dimensões de um retângulo são mais satisfatórias do ponto de vista artístico no caso em que o lado longo do retângulo está relacionado ao lado curto aproximadamente da mesma forma que o lado curto lado está relacionado à diferença entre os dois lados. Em outras palavras, se a base de um retângulo for dada, então encontraremos a altura desejada - no sentido da maior beleza da forma - usando a “proporção áurea”, ou seja, dividindo o segmento dado em proporções extremas e médias . Assim, por exemplo, com base igual a 40, a altura é determinada a partir da equação:
;
isso leva a uma equação quadrática em relação a. É notável que cortando do retângulo resultante um quadrado construído no lado menor do retângulo, obtemos um retângulo semelhante ao original; um retângulo semelhante será obtido se um quadrado for adicionado ao original, construído no lado maior do retângulo original.
Já encontramos exemplos da ligação que aparentemente existe entre a simplicidade de uma forma e a simplicidade da equação algébrica correspondente. Assim, uma linha reta é representada pela equação algébrica mais simples com duas variáveis, nomeadamente uma equação de primeiro grau; um círculo, a curva mais simples em termos de desenho, é representado por uma equação quadrática de tipo particularmente simples; Todos os outros tipos de equações quadráticas em duas variáveis ​​correspondem a apenas três outras classes de curvas, nomeadamente elipses, parábolas e hipérboles. O sentimento de satisfação artística que nos é proporcionado pela forma destas curvas de segunda ordem - secções cónicas - é confirmado pela ampla utilização que estas formas encontram entre artistas antigos e novos.
Na construção de arcos, descobriu-se que a beleza da forma geométrica está mais intimamente relacionada com a simplicidade da equação algébrica correspondente. A parábola e a elipse são amplamente utilizadas em estruturas arqueadas, não só pela beleza da sua forma, mas também pela sua adaptabilidade puramente mecânica às tensões e deformações causadas pelo peso destas estruturas. Um reconhecido especialista * em matéria de construção de pontes afirma que “os arcos devem apresentar curvas perfeitas”, alertando contra o uso das chamadas elipses “falsas”.

O facto de elipses e parábolas regulares serem tão frequentemente encontradas em muitas das pontes mais grandiosas do mundo mostra quão amplamente aceite é a teoria que atribui a beleza da forma aos arcos elípticos e parabólicos.
Na gigante Hell-Gate Bridge, em Nova York, o arco principal representa uma parábola geometricamente regular (ver Problema 11, Capítulo XIX, § 11). Na London Bridge, a parte principal da estrutura consiste em cinco arcos elípticos. Mesmo a hipérbole, embora muito raramente, é usada na construção de pontes. Note-se que - em parte pela maior facilidade de desenho - os arcos circulares (semicirculares) são muito mais difundidos, assim como as aproximações a uma elipse ou parábola, construídas a partir de vários arcos circulares com centros diferentes.
Na utilização de arco parabólico na construção de pontes e lajes de cobertura, podem ser distinguidos pelo menos quatro tipos diferentes. O primeiro tipo é representado por pontes suspensas (correntes) com cabos flacidez ao longo de uma curva parabólica. O segundo tipo inclui o caso em que o topo do arco parabólico está localizado sob a estrada. Nas pontes do terceiro tipo, um arco parabólico atravessa a via. Por fim, as estruturas em que o arco parabólico se encontra inteiramente acima do caminho, como no caso dos tetos, pertencem ao quarto tipo.
Arcos elípticos, ou menos frequentemente parabólicos, são geralmente usados ​​​​no projeto de grandes teatros e outras salas.
Arcos parabólicos e puramente elípticos também são usados, embora não tão frequentemente quanto os circulares e em forma de ferradura, no projeto de calhas. Às vezes até elipses geométricas regulares completas são usadas (veja o Problema 6 abaixo).

1. Resolva a equação quadrática do último parágrafo e verifique a solução traçando a curva.
2. Qual é a largura de um retângulo cuja altura é 40, se essa altura for obtida como resultado da “proporção áurea” da largura correspondente à forma mais bonita do retângulo?
3. A ponte em Pittsburgh, na América, tem arco parabólico, com vão de 108 metros e altura de 13,5 metros. Desenhe esta parábola. Supondo que os postes verticais sejam separados por painéis de 6 metros de comprimento e se elevem 4,5 metros acima do topo do arco, descubra quais são seus comprimentos.
4. Os arcos menores que conduzem à própria ponte, descritos no problema anterior, parecem ter forma elíptica. Seus vãos são de 8,4 metros e a altura dos próprios arcos é de cerca de 2,4 metros. Desenhe-os.
5. Num dreno, a abóbada parabólica tem 1,8 metros de largura e 1,2 metros de altura. Construa dez pontos deste arco.
6. Um dos esgotos de Chicago, construído em 1910, é uma elipse vertical em seção transversal, com dimensões de 3,6 × 4,2 metros. Desenhe a forma desta seção.
7. Desenhe um arco elíptico e parabólico, cada um com vão de 30 metros e altura de 9 metros. Compare-os entre si.
8. Usando escala, construa um arco parabólico da ponte suspensa de Williamsborg (Fig. 153), com vão de 488 metros e desvio de 55 metros. Escreva sua equação na sua forma mais simples, escolhendo os eixos adequadamente. Qual é o comprimento dos quatro postes, desde o cabo até a tangente no vértice da parábola?

* GH Tyrrell, Projeto Artístico de Ponte, Chicago, 1912.

[COM. 399–403.]

DO CAPÍTULO XXVI: MOVIMENTO VIBRACIONAL

Na maioria dos casos, é conveniente aplicar o tempo de um ciclo completo à fibra comum na forma de um número inteiro de unidades, e o valor da unidade depende do valor do período. No caso de rotação com período de um minuto, a unidade do eixo das abcissas pode ser considerada como 10 segundos, e a mesma unidade do eixo das ordenadas como o comprimento do raio. A curva resultante difere muito pouco de uma sinusóide com unidades iguais de comprimento em ambos os eixos de coordenadas. Os pontos mais altos e mais baixos ocorrem nas abcissas 15 e 45. Momentos: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 e 30 segundos correspondem aos ângulos de 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° e 180 °.

Físicos e engenheiros geralmente usam a seguinte técnica puramente gráfica para desenhar curvas senoidais que ocorrem com frequência. Primeiro, desenhe um círculo com centro na origem, cujo diâmetro seja igual à amplitude desejada. Os ângulos entre os eixos são divididos ao meio e novamente ao meio (quantas vezes desejar). Um segmento de comprimento adequado para representar um ciclo completo é disposto no eixo horizontal e dividido em tantas (geralmente 16) partes iguais quanto o círculo é dividido pelos eixos e bissetoras.

[COM. 466–467.]

DO CAPÍTULO XXVII: AS LEIS DO CRESCIMENTO

§ 5. Curva de progresso da cicatrização de feridas.- Intimamente relacionada às fórmulas que expressam a lei do crescimento orgânico e a lei da “diminuição orgânica” está uma lei recentemente descoberta que relaciona, tanto algebricamente na forma de uma equação quanto graficamente na forma de uma curva, a área de superfície de ​​uma ferida com tempo expresso em dias, que ocorreu desde que a ferida se tornou estéril ou asséptica. Quando se atinge um estado asséptico, graças à lavagem e enxaguamento com soluções anti-sépticas, então, com base em duas observações, geralmente feitas 4 dias após a outra, calcula-se o chamado “índice pessoal”; este índice, juntamente com duas medições da área da ferida, permite ao médico determinar a progressão normal da redução da superfície da ferida para um determinado indivíduo. Os contornos da ferida são cuidadosamente traçados em papel transparente e depois sua área é medida por meio de um instrumento matemático denominado planímetro.

O tempo de observação, expresso em dias, é plotado ao longo do eixo x, e a área da ferida é plotada em ordenadas. Após cada observação e cálculo da área, o ponto assim obtido é traçado no mesmo sistema de eixos em que se constrói a curva ideal ou profética (curva de previsão). Duas dessas curvas ideais, bem como as curvas reais observadas, estão representadas em nossos diagramas.
Se a área observada for visivelmente maior que a área determinada pela curva ideal, é um indício de que ainda há infecção na ferida. Tal caso é apresentado no segundo diagrama. O seguinte fenômeno extremamente marcante e ainda inexplicável é freqüentemente observado: se a superfície da ferida cicatrizar muito mais rápido do que a curva ideal mostra, então se desenvolvem úlceras secundárias, que retornam a curva ao normal. Nosso primeiro diagrama é deste tipo.

Esta aplicação da matemática à medicina se deve em grande parte ao Dr. Alexis Carrel, do Rockefeller Medical Research Institute. Ele observou que quanto maior a área superficial de uma ferida, mais cedo ela cicatrizava, e que a taxa de cicatrização parecia ser proporcional à área da ferida. Mas o coeficiente desta proporcionalidade não é o mesmo para todos os valores da área da ferida, caso contrário haveria uma equação da forma
,
onde denota a área da ferida no momento em que ela se torna estéril e quando começam as observações registradas no diagrama.
Na realidade (para desenhar curvas ideais) são utilizadas as seguintes fórmulas, propostas pelo Dr. Lecomte du Nouilly(Nooyi mostrou que existe um valor normal do coeficiente dependendo da idade do indivíduo e do tamanho da ferida, e que o índice pessoal, determinado a partir de duas observações, revela sem dúvida factos relevantes para o estado geral de saúde do indivíduo *.

[COM. 486–489.]

Instituição Educacional Municipal

Escola Secundária nº 4

Seções cônicas

Concluído

Spiridonov Anton

aluno da turma 11A

Verificado

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Introdução

O conceito de seções cônicas

Tipos de seções cônicas

Estudar

Construção de seções cônicas

Abordagem analítica

Aplicativo

Aplicativo

Bibliografia

Introdução.

Objetivo: estudar seções cônicas.

Objectivos: aprender a distinguir entre tipos de secções cónicas, construir secções cinéticas e aplicar uma abordagem analítica.

As seções cônicas foram propostas pela primeira vez para serem usadas pelo antigo geômetra grego Menaechmus, que viveu no século IV aC, ao resolver o problema de duplicação de um cubo. Esta tarefa está associada à legenda a seguir.

Um dia, uma epidemia de peste eclodiu na ilha de Delos. Os habitantes da ilha recorreram ao oráculo, que disse que para deter a epidemia era necessário duplicar o altar de ouro, que tinha a forma de um cubo e estava localizado no templo de Apolo, em Atenas. Os ilhéus fizeram um novo altar, cujas costelas eram duas vezes maiores que as costelas do anterior. No entanto, a praga não parou. Os moradores indignados ouviram do oráculo que eles entenderam mal suas instruções - não eram as bordas do cubo que precisavam ser duplicadas, mas sim o seu volume, ou seja, as bordas do cubo precisavam ser duplicadas. Em termos de álgebra geométrica, usada pelos matemáticos gregos, o problema significava: dado um segmento a, encontre os segmentos x e y tais que a: x = x: y = y: 2a. Então o comprimento do segmento x será igual.

A proporção dada pode ser considerada como um sistema de equações:

Mas x 2 =ay e y 2 =2ax são equações de parábolas. Portanto, para resolver o problema, é necessário encontrar seus pontos de intersecção. Se levarmos em conta que a equação da hipérbole xy=2a 2 também pode ser obtida a partir do sistema, então o mesmo problema pode ser resolvido encontrando os pontos de intersecção da parábola e da hipérbole.

Para obter seções cônicas, Menaechmus cruzou um cone - agudo, retangular ou obtuso - com um plano perpendicular a uma das geratrizes. Para um cone de ângulo agudo, a seção por um plano perpendicular à sua geratriz tem a forma de uma elipse. Um cone obtuso dá uma hipérbole e um cone retangular dá uma parábola.

É daí que vêm os nomes das curvas, introduzidos por Apolônio de Perga, que viveu no século III a.C.: elipse (έλλείψίς), que significa uma falha, uma deficiência (do ângulo de um cone em relação a uma linha reta) ; hipérbole (ύπέρβωλη) - exagero, preponderância (de um ângulo de cone sobre uma linha reta); parábola (παραβολη) - aproximação, igualdade (de um ângulo de cone a um ângulo reto). Mais tarde, os gregos notaram que todas as três curvas poderiam ser obtidas em um cone, alterando a inclinação do plano de corte. Neste caso, deve-se pegar um cone composto por duas cavidades e pensar que elas se estendem até o infinito (Fig. 1).

Se desenharmos uma seção de um cone circular perpendicular ao seu eixo e depois girarmos o plano de corte, deixando um ponto de sua intersecção com o cone estacionário, veremos como o círculo primeiro se estenderá, transformando-se em uma elipse. Então o segundo vértice da elipse irá para o infinito, e em vez de uma elipse você obterá uma parábola, e então o plano também cruzará a segunda cavidade do cone e você obterá uma hipérbole.

O conceito de seções cônicas.

Seções cônicas são curvas planas obtidas pela intersecção de um cone circular reto com um plano que não passa por seu vértice. Do ponto de vista da geometria analítica, uma seção cônica é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma equação de segunda ordem. Com exceção dos casos degenerados discutidos na última seção, as seções cônicas são elipses, hipérboles ou parábolas (Fig. 2).

Quando um triângulo retângulo é girado em torno de um de seus catetos, a hipotenusa com suas extensões descreve uma superfície cônica chamada superfície de um cone circular reto, que pode ser considerada como uma série contínua de linhas que passam pelo vértice e são chamadas de geradores, todos geradores descansando no mesmo círculo, chamado de produção. Cada uma das geratrizes é um triângulo giratório (em sua posição conhecida), estendido em ambas as direções até o infinito. Assim, cada geratriz se estende em ambos os lados do vértice, pelo que a superfície possui duas cavidades: elas convergem em um ponto em um vértice comum. Se tal superfície for interceptada por um plano, então a seção produzirá uma curva, que é chamada de seção cônica. Pode ser de três tipos:

1) se um plano cruza uma superfície cônica ao longo de todas as geratrizes, então apenas uma cavidade é dissecada e uma curva fechada chamada elipse é obtida no corte;

2) se o plano cortante cruza ambas as cavidades, obtém-se uma curva que possui dois ramos e é chamada de hipérbole;

3) se o plano de corte for paralelo a uma das geratrizes, obtém-se uma parábola.

Se o plano de corte for paralelo ao círculo gerador, obtém-se um círculo, que pode ser considerado um caso especial de elipse. Um plano de corte pode cruzar uma superfície cônica apenas em um vértice, então a seção produz um ponto, como um caso especial de elipse.

Se um plano que passa pelo vértice intercepta ambas as cavidades, então a seção produz um par de linhas que se cruzam, considerado um caso especial.

Se o vértice estiver infinitamente distante, então a superfície cônica se transforma em cilíndrica, e sua seção por um plano paralelo aos geradores dá um par de retas paralelas como um caso especial. As seções cônicas são expressas por equações de 2ª ordem, cuja forma geral é

Machado 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

e são chamadas de curvas de 2ª ordem.

Tipos de seções cônicas.

As seções cônicas podem ser de três tipos:

1) o plano de corte cruza todas as geratrizes do cone em pontos de uma de suas cavidades; a linha de intersecção é uma curva oval fechada - ; um círculo como caso especial de elipse é obtido quando o plano de corte é perpendicular ao eixo do cone.

2) O plano de corte é paralelo a um dos planos tangentes do cone; na seção transversal, o resultado é uma curva aberta que vai ao infinito - uma parábola, situada inteiramente em uma cavidade.

3) O plano de corte cruza ambas as cavidades do cone; a linha de intersecção - uma hipérbole - consiste em duas partes abertas idênticas que se estendem ao infinito (ramos da hipérbole) situadas em ambas as cavidades do cone.

Estudar.

Nos casos em que uma seção cônica possui centro de simetria (centro), ou seja, é uma elipse ou hipérbole, sua equação pode ser reduzida (movendo a origem das coordenadas para o centro) à forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Estudos posteriores dessas seções cônicas (chamadas centrais) mostram que suas equações podem ser reduzidas a uma forma ainda mais simples:

Machado 2 + Wu 2 = C,

se escolhermos as direções principais para as direções dos eixos coordenados - as direções dos eixos principais (eixos de simetria) das seções cônicas. Se A e B tiverem os mesmos sinais (coincidindo com o sinal de C), então a equação define uma elipse; se A e B têm sinais diferentes, então é uma hipérbole.

A equação de uma parábola não pode ser reduzida à forma (Ax 2 + By 2 = C). Com a escolha adequada dos eixos coordenados (um eixo coordenado é o único eixo de simetria da parábola, o outro é uma reta perpendicular a ela, passando pelo vértice da parábola), sua equação pode ser reduzida à forma:

CONSTRUÇÃO DE SEÇÕES CÔNICAS.

Estudando seções cônicas como interseções de planos e cones, os antigos matemáticos gregos também as consideravam como trajetórias de pontos em um plano. Verificou-se que uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos, cuja soma das distâncias a dois pontos dados é constante; parábola - como lugar geométrico de pontos equidistantes de um determinado ponto e de uma determinada reta; hipérbole - como um lugar geométrico de pontos, a diferença nas distâncias de dois pontos dados é constante.

Estas definições de seções cônicas como curvas planas também sugerem um método para construí-las usando uma corda esticada.

Elipse. Se as pontas de um fio de determinado comprimento forem fixadas nos pontos F 1 e F 2 (Fig. 3), então a curva descrita pela ponta de um lápis deslizando ao longo de um fio bem esticado tem a forma de uma elipse. Os pontos F 1 e F 2 são chamados de focos da elipse, e os segmentos V 1 V 2 e v 1 v 2 entre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados - os eixos maior e menor. Se os pontos F 1 e F 2 coincidirem, a elipse se transforma em um círculo (Fig. 3).

Hipérbole. Ao construir uma hipérbole, o ponto P, ponta de um lápis, é fixado em um fio que desliza livremente ao longo dos pinos instalados nos pontos F 1 e F 2, conforme mostrado na Figura 4, a, as distâncias são selecionadas de forma que o segmento PF 2 é maior que o segmento PF 1 por um valor fixo menor que a distância F 1 F 2 . Neste caso, uma extremidade do fio passa sob o pino F 1 e ambas as extremidades do fio passam sobre o pino F 2. (A ponta do lápis não deve deslizar ao longo do fio, por isso deve ser fixada fazendo um pequeno laço no fio e passando a ponta por ele.) Desenhamos um ramo da hipérbole (PV 1 Q), certificando-nos de que o fio permanece esticado o tempo todo e, puxando ambas as pontas do fio para baixo, passando pelo ponto F 2, e quando o ponto P estiver abaixo do segmento F 1 F 2, segurando o fio pelas duas pontas e soltando-o com cuidado. Desenhamos o segundo ramo da hipérbole trocando primeiro os pinos F 1 e F 2 (Fig. 4).

Os ramos da hipérbole aproximam-se de duas linhas retas que se cruzam entre os ramos. Essas linhas retas, chamadas assíntotas da hipérbole, são construídas conforme mostrado na Figura 4, b. Canto

os coeficientes dessas retas são iguais a onde é o segmento da bissetriz do ângulo entre as assíntotas, perpendicular ao segmento F 2 F 1 ; o segmento v 1 v 2 é chamado de eixo conjugado da hipérbole, e o segmento V 1 V 2 é seu eixo transversal. Assim, as assíntotas são as diagonais de um retângulo cujos lados passam por quatro pontos v 1, v 2, V 1, V 2 paralelos aos eixos. Para construir este retângulo, você precisa especificar a localização dos pontos v 1 e v 2. Eles estão à mesma distância, iguais

do ponto de intersecção dos eixos O. Esta fórmula pressupõe a construção de um triângulo retângulo com catetos Ov 1 e V 2 O e hipotenusa F 2 O.

Se as assíntotas de uma hipérbole são mutuamente perpendiculares, então a hipérbole é chamada equilátera. Duas hipérboles que possuem assíntotas comuns, mas com eixos transversais e conjugados reorganizados, são chamadas mutuamente conjugadas.

Parábola. Os focos da elipse e da hipérbole eram conhecidos por Apolônio, mas o foco da parábola foi aparentemente estabelecido pela primeira vez por Pappus (segunda metade do século III), que definiu esta curva como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um determinado ponto (foco) e uma determinada linha reta, que é chamada de diretora. A construção de uma parábola com fio tensionado, baseada na definição de Pappus, foi proposta por Isidoro de Mileto (século VI) (Fig. 5).

Vamos posicionar a régua de forma que sua aresta coincida com a diretriz, e anexar a esta aresta a perna AC do triângulo desenhado ABC. Vamos prender uma ponta do fio de comprimento AB no vértice B do triângulo e a outra no foco da parábola F. Depois de puxar o fio com a ponta de um lápis, pressione a ponta no ponto variável P para o perna livre AB do triângulo desenhado. À medida que o triângulo se move ao longo da régua, o ponto P descreverá o arco de uma parábola com foco F e diretriz, pois o comprimento total do fio é igual a AB, o pedaço de fio é adjacente à perna livre do triângulo, e portanto, o pedaço restante do fio PF deve ser igual ao pedaço restante da perna AB, ou seja, PA. O ponto de intersecção de V da parábola com o eixo é chamado de vértice da parábola, a reta que passa por F e V é o eixo da parábola. Se uma linha reta é traçada através do foco, perpendicular ao eixo, então o segmento dessa linha reta cortado pela parábola é chamado de parâmetro focal. Para uma elipse e uma hipérbole, o parâmetro focal é determinado de forma semelhante.

ABORDAGEM ANALÍTICA

Classificação algébrica. Em termos algébricos, as seções cônicas podem ser definidas como curvas planas cujas coordenadas no sistema de coordenadas cartesianas satisfazem uma equação de segundo grau. Em outras palavras, a equação de todas as seções cônicas pode ser escrita na forma geral como

onde nem todos os coeficientes A, B e C são iguais a zero. Usando translação paralela e rotação dos eixos, a equação (1) pode ser reduzida à forma

machado 2 + por 2 + c = 0

A primeira equação é obtida da equação (1) para B 2 > AC, a segunda - para B 2 = AC. As seções cônicas cujas equações são reduzidas à primeira forma são chamadas centrais. Seções cônicas definidas por equações do segundo tipo com q > 0 são chamadas de não centrais. Dentro destas duas categorias, existem nove tipos diferentes de secções cónicas dependendo dos sinais dos coeficientes.

1) Se os coeficientes a, bec têm o mesmo sinal, então não existem pontos reais cujas coordenadas satisfaçam a equação. Essa seção cônica é chamada de elipse imaginária (ou círculo imaginário se a = b).

2) Se aeb têm o mesmo sinal e c tem sinal oposto, então a seção cônica é uma elipse; quando a = b – círculo.

3) Se aeb têm sinais diferentes, então a seção cônica é uma hipérbole.

4) Se aeb têm sinais diferentes e c = 0, então a seção cônica consiste em duas linhas que se cruzam.

5) Se aeb têm o mesmo sinal e c = 0, então existe apenas um ponto real na curva que satisfaz a equação, e uma seção cônica são duas linhas imaginárias que se cruzam. Neste caso, falamos também de uma elipse subtendida a um ponto ou, se a = b, de um círculo subtendido a um ponto.

6) Se a ou b for igual a zero e os demais coeficientes tiverem sinais diferentes, então a seção cônica consiste em duas retas paralelas.

7) Se a ou b for igual a zero, e os demais coeficientes tiverem o mesmo sinal, então não existe um único ponto real que satisfaça a equação. Nesse caso, dizem que uma seção cônica consiste em duas retas paralelas imaginárias.

8) Se c = 0, e a ou b também for zero, então a seção cônica consiste em duas retas reais coincidentes. (A equação não define nenhuma seção cônica para a = b = 0, pois neste caso a equação original (1) não é de segundo grau.)

Instituição Educacional Municipal

Escola Secundária nº 4

Seções cônicas

Concluído

Spiridonov Anton

aluno da turma 11A

Verificado

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Introdução

O conceito de seções cônicas

Tipos de seções cônicas

Estudar

Construção de seções cônicas

Abordagem analítica

Aplicativo

Aplicativo

Bibliografia

Introdução.

Objetivo: estudar seções cônicas.

Objectivos: aprender a distinguir entre tipos de secções cónicas, construir secções cinéticas e aplicar uma abordagem analítica.

As seções cônicas foram propostas pela primeira vez para serem usadas pelo antigo geômetra grego Menaechmus, que viveu no século IV aC, ao resolver o problema de duplicação de um cubo. Esta tarefa está associada à legenda a seguir.

Um dia, uma epidemia de peste eclodiu na ilha de Delos. Os habitantes da ilha recorreram ao oráculo, que disse que para deter a epidemia era necessário duplicar o altar de ouro, que tinha a forma de um cubo e estava localizado no templo de Apolo, em Atenas. Os ilhéus fizeram um novo altar, cujas costelas eram duas vezes maiores que as costelas do anterior. No entanto, a praga não parou. Os moradores indignados ouviram do oráculo que eles entenderam mal suas instruções - não eram as bordas do cubo que precisavam ser duplicadas, mas sim o seu volume, ou seja, as bordas do cubo deveriam ser aumentadas em

uma vez. Em termos de álgebra geométrica, usada pelos matemáticos gregos, o problema significava: dado um segmento a, encontre os segmentos x e y tais que a: x = x: y = y: 2a. Então o comprimento do segmento x será igual a .

A proporção dada pode ser considerada como um sistema de equações:

Mas x 2 =ay e y 2 =2ax são equações de parábolas. Portanto, para resolver o problema, é necessário encontrar seus pontos de intersecção. Se levarmos em conta que a equação da hipérbole xy=2a 2 também pode ser obtida a partir do sistema, então o mesmo problema pode ser resolvido encontrando os pontos de intersecção da parábola e da hipérbole.

Para obter seções cônicas, Menaechmus cruzou um cone - agudo, retangular ou obtuso - com um plano perpendicular a uma das geratrizes. Para um cone de ângulo agudo, a seção por um plano perpendicular à sua geratriz tem a forma de uma elipse. Um cone obtuso dá uma hipérbole e um cone retangular dá uma parábola.

É daí que vêm os nomes das curvas, introduzidos por Apolônio de Perga, que viveu no século III a.C.: elipse (έλλείψίς), que significa uma falha, uma deficiência (do ângulo de um cone em relação a uma linha reta) ; hipérbole (ύπέρβωλη) - exagero, preponderância (de um ângulo de cone sobre uma linha reta); parábola (παραβολη) - aproximação, igualdade (de um ângulo de cone a um ângulo reto). Mais tarde, os gregos notaram que todas as três curvas poderiam ser obtidas em um cone, alterando a inclinação do plano de corte. Neste caso, deve-se pegar um cone composto por duas cavidades e pensar que elas se estendem até o infinito (Fig. 1).

Se desenharmos uma seção de um cone circular perpendicular ao seu eixo e depois girarmos o plano de corte, deixando um ponto de sua intersecção com o cone estacionário, veremos como o círculo primeiro se estenderá, transformando-se em uma elipse. Então o segundo vértice da elipse irá para o infinito, e em vez de uma elipse você obterá uma parábola, e então o plano também cruzará a segunda cavidade do cone e você obterá uma hipérbole.

O conceito de seções cônicas.

Seções cônicas são curvas planas obtidas pela intersecção de um cone circular reto com um plano que não passa por seu vértice. Do ponto de vista da geometria analítica, uma seção cônica é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma equação de segunda ordem. Com exceção dos casos degenerados discutidos na última seção, as seções cônicas são elipses, hipérboles ou parábolas (Fig. 2).

Quando um triângulo retângulo é girado em torno de um de seus catetos, a hipotenusa com suas extensões descreve uma superfície cônica chamada superfície de um cone circular reto, que pode ser considerada como uma série contínua de linhas que passam pelo vértice e são chamadas de geradores, todos geradores descansando no mesmo círculo, chamado de produção. Cada um dos geradores representa a hipotenusa de um triângulo giratório (em sua posição conhecida), estendido em ambas as direções até o infinito. Assim, cada geratriz se estende em ambos os lados do vértice, pelo que a superfície possui duas cavidades: elas convergem em um ponto em um vértice comum. Se tal superfície for interceptada por um plano, então a seção produzirá uma curva, que é chamada de seção cônica. Pode ser de três tipos:

1) se um plano cruza uma superfície cônica ao longo de todas as geratrizes, então apenas uma cavidade é dissecada e uma curva fechada chamada elipse é obtida no corte;

2) se o plano cortante cruza ambas as cavidades, obtém-se uma curva que possui dois ramos e é chamada de hipérbole;

3) se o plano de corte for paralelo a uma das geratrizes, obtém-se uma parábola.

Se o plano de corte for paralelo ao círculo gerador, obtém-se um círculo, que pode ser considerado um caso especial de elipse. Um plano de corte pode cruzar uma superfície cônica apenas em um vértice, então a seção produz um ponto, como um caso especial de elipse.

Se um plano que passa pelo vértice intercepta ambas as cavidades, então a seção produz um par de linhas que se cruzam, considerado um caso especial de hipérbole.

Se o vértice estiver infinitamente distante, então a superfície cônica se transforma em cilíndrica, e sua seção por um plano paralelo aos geradores dá um par de retas paralelas como um caso especial de parábola. As seções cônicas são expressas por equações de 2ª ordem, cuja forma geral é

Machado 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

e são chamadas de curvas de 2ª ordem.

Tipos de seções cônicas.

As seções cônicas podem ser de três tipos:

1) o plano de corte cruza todas as geratrizes do cone em pontos de uma de suas cavidades; a linha de intersecção é uma curva oval fechada - uma elipse; um círculo como caso especial de elipse é obtido quando o plano de corte é perpendicular ao eixo do cone.

2) O plano de corte é paralelo a um dos planos tangentes do cone; na seção transversal, o resultado é uma curva aberta que vai ao infinito - uma parábola, situada inteiramente em uma cavidade.

3) O plano de corte cruza ambas as cavidades do cone; a linha de intersecção - uma hipérbole - consiste em duas partes abertas idênticas que se estendem ao infinito (ramos da hipérbole) situadas em ambas as cavidades do cone.

Estudar.

Nos casos em que uma seção cônica possui centro de simetria (centro), ou seja, é uma elipse ou hipérbole, sua equação pode ser reduzida (movendo a origem das coordenadas para o centro) à forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Estudos posteriores dessas seções cônicas (chamadas centrais) mostram que suas equações podem ser reduzidas a uma forma ainda mais simples:

Machado 2 + Wu 2 = C,

se escolhermos as direções principais para as direções dos eixos coordenados - as direções dos eixos principais (eixos de simetria) das seções cônicas. Se A e B tiverem os mesmos sinais (coincidindo com o sinal de C), então a equação define uma elipse; se A e B têm sinais diferentes, então é uma hipérbole.

A equação de uma parábola não pode ser reduzida à forma (Ax 2 + By 2 = C). Com a escolha adequada dos eixos coordenados (um eixo coordenado é o único eixo de simetria da parábola, o outro é uma reta perpendicular a ela, passando pelo vértice da parábola), sua equação pode ser reduzida à forma:

CONSTRUÇÃO DE SEÇÕES CÔNICAS.

Estudando seções cônicas como interseções de planos e cones, os antigos matemáticos gregos também as consideravam como trajetórias de pontos em um plano. Verificou-se que uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos, cuja soma das distâncias a dois pontos dados é constante; parábola - como lugar geométrico de pontos equidistantes de um determinado ponto e de uma determinada reta; hipérbole - como um lugar geométrico de pontos, a diferença nas distâncias de dois pontos dados é constante.

Estas definições de seções cônicas como curvas planas também sugerem um método para construí-las usando uma corda esticada.

Elipse. Se as pontas de um fio de determinado comprimento forem fixadas nos pontos F 1 e F 2 (Fig. 3), então a curva descrita pela ponta de um lápis deslizando ao longo de um fio bem esticado tem a forma de uma elipse. Os pontos F 1 e F 2 são chamados de focos da elipse, e os segmentos V 1 V 2 e v 1 v 2 entre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados - os eixos maior e menor. Se os pontos F 1 e F 2 coincidirem, a elipse se transforma em um círculo (Fig. 3).

Hipérbole. Ao construir uma hipérbole, o ponto P, ponta de um lápis, é fixado em um fio que desliza livremente ao longo dos pinos instalados nos pontos F 1 e F 2, conforme mostrado na Figura 4, a, as distâncias são selecionadas de forma que o segmento PF 2 é maior que o segmento PF 1 por um valor fixo menor que a distância F 1 F 2 . Neste caso, uma extremidade do fio passa sob o pino F 1 e ambas as extremidades do fio passam sobre o pino F 2. (A ponta do lápis não deve deslizar ao longo do fio, por isso deve ser fixada fazendo um pequeno laço no fio e passando a ponta por ele.) Desenhamos um ramo da hipérbole (PV 1 Q), certificando-nos de que o fio permanece esticado o tempo todo e, puxando ambas as pontas do fio para baixo, passando pelo ponto F 2, e quando o ponto P estiver abaixo do segmento F 1 F 2, segurando o fio pelas duas pontas e soltando-o com cuidado. Desenhamos o segundo ramo da hipérbole alterando primeiro os pinos F 1 e F 2 (Fig. 4).

O conceito de seções cônicas.

Seções cônicas são curvas planas obtidas pela intersecção de um cone circular reto com um plano que não passa por seu vértice. Do ponto de vista da geometria analítica, uma seção cônica é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma equação de segunda ordem. Com exceção dos casos degenerados discutidos na última seção, as seções cônicas são elipses, hipérboles ou parábolas (Fig. 2).

Quando um triângulo retângulo é girado em torno de um de seus catetos, a hipotenusa com suas extensões descreve uma superfície cônica chamada superfície de um cone circular reto, que pode ser considerada como uma série contínua de linhas que passam pelo vértice e são chamadas de geradores, todos geradores descansando no mesmo círculo, chamado de produção. Cada um dos geradores representa a hipotenusa de um triângulo giratório (em sua posição conhecida), estendido em ambas as direções até o infinito. Assim, cada geratriz se estende em ambos os lados do vértice, pelo que a superfície possui duas cavidades: elas convergem em um ponto em um vértice comum. Se tal superfície for interceptada por um plano, então a seção produzirá uma curva, que é chamada de seção cônica. Pode ser de três tipos:

1) se um plano cruza uma superfície cônica ao longo de todas as geratrizes, então apenas uma cavidade é dissecada e uma curva fechada chamada elipse é obtida no corte;

2) se o plano cortante cruza ambas as cavidades, obtém-se uma curva que possui dois ramos e é chamada de hipérbole;

3) se o plano de corte for paralelo a uma das geratrizes, obtém-se uma parábola.

Se o plano de corte for paralelo ao círculo gerador, obtém-se um círculo, que pode ser considerado um caso especial de elipse. Um plano de corte pode cruzar uma superfície cônica apenas em um vértice, então a seção produz um ponto, como um caso especial de elipse.

Se um plano que passa pelo vértice intercepta ambas as cavidades, então a seção produz um par de linhas que se cruzam, considerado um caso especial de hipérbole.

Se o vértice estiver infinitamente distante, então a superfície cônica se transforma em cilíndrica, e sua seção por um plano paralelo aos geradores dá um par de retas paralelas como um caso especial de parábola. As seções cônicas são expressas por equações de 2ª ordem, cuja forma geral é

Machado 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

e são chamadas de curvas de 2ª ordem.

Tipos de seções cônicas.

As seções cônicas podem ser de três tipos:

1) o plano de corte cruza todas as geratrizes do cone em pontos de uma de suas cavidades; a linha de intersecção é uma curva oval fechada - uma elipse; um círculo como caso especial de elipse é obtido quando o plano de corte é perpendicular ao eixo do cone.

2) O plano de corte é paralelo a um dos planos tangentes do cone; na seção transversal, o resultado é uma curva aberta que vai ao infinito - uma parábola, situada inteiramente em uma cavidade.

3) O plano de corte cruza ambas as cavidades do cone; a linha de intersecção - uma hipérbole - consiste em duas partes abertas idênticas que se estendem ao infinito (ramos da hipérbole) situadas em ambas as cavidades do cone.

Estudo do teorema de Bezout para resolução de equações de enésimo grau para n>2

Deter-me-ei na consideração de alguns exemplos da aplicação do teorema de Bezout à resolução de problemas práticos. Deve-se notar...

História do desenvolvimento da lógica matemática

Combinando uma abordagem lógico-matemática com outras abordagens matemáticas, principalmente com ideias e métodos estatísticos probabilísticos - tendo como pano de fundo um profundo interesse em dispositivos de computação...

Seções cônicas

Seções cônicas são frequentemente encontradas na natureza e na tecnologia. Por exemplo, as órbitas dos planetas que giram em torno do Sol têm a forma de elipses. Um círculo é um caso especial de elipse em que o eixo maior é igual ao menor...

Redes neurais

Depois que a rede neural estiver treinada, podemos usá-la para resolver problemas úteis. A característica mais importante do cérebro humano é que, uma vez aprendido um determinado processo, ele pode agir corretamente nessas situações...

Variáveis ​​aleatórias contínuas. Lei de distribuição normal

Uma das distribuições mais comuns é a distribuição normal. Ela desempenha um grande papel na teoria das probabilidades e ocupa uma posição especial entre outras distribuições...

Espaços normatizados

Um dos mais importantes na teoria da interpolação é o teorema de Z. Marcinkiewicz, comprovado por ele em 1939. Antes de considerar o teorema, vamos provar a proposição. Deixe uma função ser dada. Vamos definir para,. Proposição 3. Deixe...

Dígrafos, teoria e aplicação

Os dígrafos são amplamente utilizados em programação como forma de descrever sistemas com conexões complexas. Por exemplo, uma das principais estruturas...

Construir figuras sem tirar o lápis do papel

Os gráficos são frequentemente usados ​​para resolver problemas lógicos envolvendo enumeração. Por exemplo, considere os seguintes problemas: Problema: Três irmãos - Vanya, Sasha e Kolya de idades diferentes. Vanya não é mais velha que Kolya, e Sasha não é mais velha que Vanya...

Limite de consistência. Teorema de Stolz e sua aplicação

No mercado financeiro, o credor recebe rendimentos ao emprestar dinheiro na forma de, por exemplo, colocar dinheiro em uma conta poupança, comprar ações, emitir um empréstimo, etc. A receita recebida é chamada de juros e é determinada pela taxa de empréstimo...

Aplicação de métodos matemáticos discretos em economia

Aplicação de métodos matemáticos discretos em economia

Uma empresa que atua no transporte de mercadorias perecíveis precisa entregar mercadorias de Suifenhe a Khabarovsk, e existem várias rotas pelas quais a entrega pode ser feita. A distancia entre Suifenhe e City 2 é 15 km...

Aplicação de métodos de estatística matemática (análise de variância) e produto de software (Excel) em marketing

Usando a função Ferramentas>Análise de Dados, você pode realizar ANOVAs unidirecionais e bidirecionais. ANOVA bidirecional tem capacidade de análise de dois fatores com e sem repetição...

Interesses e sua aplicação

Resolvendo equações não lineares pelo método de iteração

As funções são amplamente utilizadas na teoria e prática econômica. A gama de funções utilizadas é muito ampla: desde as lineares mais simples até funções obtidas através de um algoritmo específico usando relações de recorrência...